ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість кола, описаного навколо прямокутного трикутника, теорему Піфагора та тригонометричні співвідношення для обчислення площі паралелограма.

Щоб обчислити площу паралелограма \((S=a\cdot h_a)\), треба визначити висоту \(h_a=BK\) й основу \(a=AD.\) Основа \(AD\) складається з двох відрізків: \(AK\) і \(KD\) \((AD=AK+KD).\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ)\) відомо гіпотенузу \(BD=24\) см і кут \(\angle BDK=30^\circ{:}\)

Трикутник \(\Delta AKB\) прямокутний \((\angle AKB=90^\circ).\) За властивістю описаного навколо прямокутного трикутника кола, його центр збігається із серединою гіпотенузи \(AB\), а радіус дорівнює половині гіпотенузи \(\left(R=\dfrac{AB}{2}\right){:}\)

\begin{gather*} AB=2R=2\cdot 3\sqrt{7}=6\sqrt{7}\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора для \(\Delta AKB{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\dfrac 85:\dfrac{4}{15}.\)

Замінімо ділення множенням на обернений дріб і скоротімо:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2})^3.\)

Застосуймо властивості степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\) та \((\sqrt{a})^2=a{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\log_{\textstyle 16} 2.\)

Запишімо основу \(16\) як \(2^4\) і застосуймо властивість логарифма \(\log_{\textstyle a^k} b=\dfrac 1k\cdot \log_a b{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати точки перетину й дотику графіків показникових, лінійних і квадратичних функцій з осями координат і між собою.

1. Графіки функцій \(y=2^x\) та \(y=0{,}5^x\) перетинаються в точці...

Спосіб 1.

Прирівняймо вирази для пошуку спільної точки:

\begin{gather*} 2^x=0{,}5^x;\\[7pt] 2^x=2^{-x};\\[7pt] x=-x;\\[7pt] x=0. \end{gather*}

Визначмо ординату: \(y=2^0=1.\) Точка перетину – \((0; 1).\)

Спосіб 2.

Побудуймо графіки заданих показникових функцій: зростаючої \(y=2^x\) і спадної \(y=0{,}5x=\left(\dfrac 12\right)^x.\) Ці графіки симетричні відносно осі \(Oy\) і перетинаються на ній у точці \((0; 1).\)

Отже, 1 – Б.

2. Пряма \(y=x-1\) перетинає вісь \(x\) у точці...

Спосіб 1.

Будь-яка точка, що лежить на осі абсцис \((Ox)\), має ординату \(y=0.\) Для визначення точки перетину з віссю абсцис підставмо \(y=0\) у рівняння:

\begin{gather*} 0=x-1;\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Точка перетину – \((1; 0).\)

Спосіб 2.

Пряма \(y=x-1\) перетинає вісь \(Ox\) у точці з абсцисою \(x=1.\) Оскільки точка належить осі абсцис, її ордината \(y=0\), а отже, координати точки перетину – \((1; 0).\)

Отже, 2 – A.

3. Графік функції \(y=(x+2)^2\) дотикається осі \(x\) у точці...

Спосіб 1.

Графік дотикається осі \(x\) у вершині, де \(y=0{:}\)

\begin{gather*} (x+2)^2=0;\\[7pt] x+2=0;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Точка дотику – \((-2; 0).\)

Спосіб 2.

Графік заданої функції \(y=(x+2)^2\) — парабола, отримана паралельним перенесенням базової параболи \(y=x^2\) уздовж осі \(Ox\) на \(2\) одиниці ліворуч.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Вершина нової параболи лежить у точці \((-2; 0).\) Оскільки ордината вершини дорівнює нулю \((y=0)\), графік має з віссю абсцис єдину спільну точку – точку дотику \((-2; 0).\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи геометричних фігур за сіткою клітинок і застосовувати формули для обчислення площ прямокутного трикутника, паралелограма й трапеції.

1. \(ACM.\)

Трикутник \(ACM\) прямокутний

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів \((AC\!\perp\!CM){:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(ABLK.\)

Паралелограм \(ABLK\)

Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту \((KL=2\) см, \(h=4\) см\(){:}\)

\begin{gather*} S=KL\cdot h=2\cdot 4=8\ \text{см}^2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(BCML.\)

Трапеція \(BCML\)

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її паралельних основ на висоту \(( BC\!\parallel\!LM){:}\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і таблицею похідних:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} \frac{4}{\sqrt{x}}-1=0;\\[6pt] \frac{4}{\sqrt{x}}=1;\\[6pt] \sqrt{x}=4;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Знайдена критична точка \(x=16\) належить зазначеному відрізку \([0; 36].\) Обчислімо значення функції на кінцях проміжку й у критичній точці:

Порівняймо отримані результати: найбільшим серед них є \(20.\)

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки й середнє арифметичне, складаючи лінійні рівняння.

Оскільки середня місячна кількість відвідувачів становить \(18000\) осіб, то за літо кінотеатр відвідало:

\begin{gather*} N_\text{заг}=18000\cdot 3=54000\ (\text{осіб}). \end{gather*}

Нехай у липні кількість відвідувачів становила \(x\) осіб.

У червні (на \(40\ \%\) більше, ніж у липні):

\begin{gather*} x+0{,}4x=1{,}4x\ \text{осіб}. \end{gather*}

У серпні (на \(20\ \%\) більше, ніж у липні):

\begin{gather*} x+0{,}2x=1{,}2x\ \text{осіб}. \end{gather*}

Сума відвідувачів за три місяці дорівнює \(54000.\)

Складімо рівняння:

\begin{gather*} 1{,}4x+x+1{,}2x=54000;\\[7pt] 3{,}6x=54000;\\[6pt] x=\frac{54000}{3{,}6}=15000\ (\text{осіб у липні}). \end{gather*}

Обчислімо кількість відвідувачів у червні:

\begin{gather*} 1{,}4\cdot 15000=21000\ (\text{осіб}). \end{gather*}

Відповідь: \(21000.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Комбінації геометричних тіл (конус і призма).

Завдання перевіряє знання формул бічної поверхні конуса, зв’язку між стороною правильного трикутника й радіусом описаного навколо нього кола, а також уміння обчислювати об’єм призми.

Площу бічної поверхні конуса обчислімо за формулою

\begin{gather*} S_\text{біч}=\pi RL, \end{gather*}

де \(L=12\) см – твірна.

\begin{gather*} 48\pi=\pi\cdot R\cdot 12;\\[7pt] 12R=48;\\[7pt] R=4\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, радіус основи конуса є радіусом кола, описаного навколо правильного трикутника (основи призми).

Зв'язок між стороною правильного трикутника \(a\) й радіусом описаного кола \(R{:}\)

\begin{gather*} R=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки бічні грані призми є квадратами, висота призми дорівнює стороні основи:

\begin{gather*} h=a=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника в основі:

Відповідь: 144.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння й системи рівнянь. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні, ірраціональні й логарифмічні рівняння з параметром, а також аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник має зміст і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \sqrt{3x+4}-x+12=0;\\[7pt] \sqrt{3x+4}=x-12. \end{gather*}

Арифметичний квадратний корінь не може бути від'ємним, тому маємо обов'язкову умову:

\begin{gather*} x-12\ge 0;\\[7pt] x\ge 12. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини до квадрата:

\begin{gather*} 3x+4=(x-12)^2;\\[7pt] 3x+4=x^2-24x+144;\\[7pt] x^2-27x+140=0. \end{gather*}

Застосуймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=27;\\ x_1\cdot x_2=140. \end{array}\right. \end{gather*}

Розклавши \(140\) на множники \((7\cdot 20=140\) та \(7+20=27)\), отримуємо корені: \(x_1=7\); \(x_2=20.\)

Зважаючи на умову \(x\ge 12\), значення \(x=7\) є стороннім коренем.

Отже, чисельник перетворюється на нуль лише при \(x=20.\)

Початкове рівняння не матиме коренів, якщо потенційний корінь \(x=20\) не входить до області допустимих значень знаменника \(log_5(x−2a).\)

Це відбувається у двох випадках.

1. Знаменник не існує (вираз під логарифмом недодатний):

\begin{gather*} x-2a\le 0;\\[7pt] 20-2a\le 0;\\[7pt] 2a\ge 20;\\[7pt] a\ge 10. \end{gather*}

2. Знаменник дорівнює нулю (ділення на нуль неможливе):

\begin{gather*} \log_5(x-2a)=0;\\[7pt] x-2a=1;\\[7pt] 20-2a=1;\\[7pt] 2a=19;\\[7pt] a=9{,}5. \end{gather*}

Рівняння не має коренів за \(a\in \{9{,}5\}\cup [10; +\infty).\)

Найменшим значенням \(a\) із цієї множини є \(9{,}5.\)

Відповідь: \(9{,}5.\)