ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність прямих і площин у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати взаємне розташування площин у просторі.

Площина грані \(A_1B_1C_1D_1\) паралельна площині грані \(ABCD\) як протилежній грані куба. За означенням, будь-яка пряма, що лежить у площині \((A_1B_1C_1D_1)\), паралельна площині \((ABCD).\)

Визначмо кількість усіх прямих, що проходять через обидві вершини чотирикутника \(A_1B_1C_1D_1{:}\)

• \(4\) прямі, що містять сторони (позначені блакитним кольором): \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\);
• \(2\) прямі, що містять діагоналі (позначені червоним кольором): \(A_1C_1\), \(B_1D_1.\)

Усього таких прямих: \(4+2=6.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=f(x)\) спадає за \(x\in [1; 3].\) Більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знання формул скороченого множення.

Розкриймо квадрат суми за формулою \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) та зведімо подібні доданки:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання координат точки в просторі.

Точка дотику сфери й координатної площини \(xy\) є ортогональною проєкцією її центра \(M(-3; 1; 5)\) на цю площину. Для будь-якої точки, що лежить у площині \(xy\), координати \(x\) та \(y\) залишаються такими ж, як і в початкової точки, а координата \(z\) дорівнює нулю \((z=0).\) Тобто проєкцією точки \(M(-3; 1; 5)\) є точка \(N(-3; 1; 0).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Застосуймо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\)

У довільному трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), отже, найбільшим кутом трикутника є \(\angle C.\) Навпроти кута \(C\) лежить сторона \(AB.\) Оскільки \(\angle C\) – найбільший кут, сторона \(AB\) є найдовшою стороною трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. Трикутник \(ABC\) – рівнобедрений.

Оскільки всі три кути трикутника строго нерівні між собою \((\angle A\lt \angle B\lt \angle C)\), трикутник не має рівних кутів. Отже, за властивостями рівнобедреного трикутника він є різностороннім. Твердження неправильне.

III. Довжина висоти, проведеної з вершини \(A\), менша за довжину сторони \(AC.\)

Проведімо з вершини \(A\) висоту \(AH\) до прямої, що містить сторону \(BC.\) У прямокутному трикутнику \(AHC\) (де \(\angle AHC=90^\circ\)) відрізок \(AC\) є гіпотенузою, а висота \(AH\) – катетом. Оскільки довжина катета завжди строго менша за довжину гіпотенузи \((AH\lt AC)\), довжина висоти менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ):

\begin{gather*} x-2\gt 0;\\[7pt] x\gt 2. \end{gather*}

За означенням логарифма \((a^{\textstyle \log_a b}=b){:}\)

\begin{gather*} x-2=(0{,}5)^{-2}. \end{gather*}

Перетворімо основу й показник степеня, використовуючи формули степеня:

Обчислімо значення \(x{:}\)

\begin{gather*} x-2=4;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Число \(6\) задовольняє ОДЗ \((6\gt 2)\) і належить проміжку \([5; 7).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Запишімо функцію \(f(x)\) у вигляді добутку сталого множника й елементарної функції:

\begin{gather*} f(x)=\frac{1}{3x}=\frac 13\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Використаймо властивість первісної (сталий множник можна виносити за знак інтегрування) і таблицю первісних:

Визначмо загальний вигляд первісної \(F(x){:}\)

\begin{gather*} F(x)=\frac 13\ln|x|+C. \end{gather*}

За \(C=0\) отримуємо:

\begin{gather*} F(x)=\frac 13\ln|x|. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 1-2x=8,\\ 1-2x=-8; \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} -2x=8-1,\\ -2x=-8-1; \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} -2x=7,\\ -2x=-9; \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=-3{,}5,\\ x_2=4{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Їхня сума дорівнює:

\begin{gather*} x_1+x_2=-3{,}5+4{,}5=1. \end{gather*}

Відповідь: B.