ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора для визначення елементів прямокутного паралелепіпеда, визначати радіус і висоту циліндра за заданими співвідношеннями й обчислювати його об'єм.

В основі прямокутного паралелепіпеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежить прямокутник \(ABCD\) зі сторонами \(AD=9\) см і \(CD=12\) см. Його діагональ \(AC\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ADC\) та \(\Delta ABC).\)

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ADC{:}\)

За умовою діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда

\begin{gather*} d=AC=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус циліндра:

\begin{gather*} R=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Бічне ребро \(CC_1\) перпендикулярне до площини основи, тому \(\angle ACC_1=90^\circ.\) З прямокутного трикутника \(ACC_1\) (де діагональ паралелепіпеда \(AC_1=39\) см, а катет \(AC=15\) см) за теоремою Піфагора знаходимо висоту \(CC_1{:}\)

За умовою висота циліндра \(H\) відноситься до висоти паралелепіпеда \(CC_1\) як \(2:3{:}\)

\begin{gather*} H=\frac 23\cdot CC_1=\frac 23\cdot 36=24\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра:

Відповідь: \(1350.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння досліджувати дробово-раціональні рівняння з модулем і параметром на кількість розв'язків, зважаючи на область допустимих значень.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |4x+5a-3|-3=0,\\ (x+2)(x^2+9)\ne 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Вираз \(x^2+9\gt 0\) за будь-яких \(x\in R\), тому єдине обмеження з ОДЗ: \(x\ne -2.\)

Рівняння з модулем зведімо до сукупності двох лінійних рівнянь.

Оскільки \(x_1-x_2=\dfrac 64=1{,}5\ne 0\), корені \(x_1\) та \(x_2\) за жодного \(a\) не збігаються.

Отже, чисельник завжди має два різні значення.

Випадок 1 \((x_1=-2){:}\)

\begin{gather*} \frac{6-5a}{4}=-2;\\[6pt] 6-5a=-8;\\[7pt] 5a=14;\\[7pt] a_1=2{,}8. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_2=-3{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Випадок 2 \((x_2=-2){:}\)

\begin{gather*} -\frac{5a}{4}=-2;\\[6pt] -5a=-8;\\[7pt] 5a=8;\\[7pt] a_2=1{,}6. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_1=-0{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Обчислімо суму:

\begin{gather*} a_1+a_2=2{,}8+1{,}6=4{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

За умовою густина пилу перевищувала \(25\) мкг/м\(^3\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де густина більша за \(25\) мкг/м\(^3\) \((y\gt 25\) мкг/м\(^3).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(25\) мкг/м\(^3\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від \(12\) до \(18\) год (з \(12{:}00\) до \(18{:}00\)) значення густини перевищує \(25\) мкг/м\(^3.\)

Тривалість: \(18-12=6\) год.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дробово-раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 2x-10=0,\\ x+1\ne 0. \end{cases} \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 2x-10=0;\\[7pt] 2x=10;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Перевірмо область допустимих значень (ОДЗ).

За \(x=5\) знаменник \(x+1=5+1=6\ne 0\), отже, число \(5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення й уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

I спосіб.

Винесімо спільний множник \(3\) за дужки з першого виразу:

\begin{gather*} (3-3x)(x+1)=3(1-x)(1+x). \end{gather*}

Застосуймо формулу різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2{:}\)

\begin{gather*} 3(1-x^2)=3-3x^2. \end{gather*}

II спосіб.

Помножмо кожен доданок у перших дужках на кожен доданок у других:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

Якщо від периметра відняти суму довжин трьох сторін, отримаємо довжину четвертої сторони:

\begin{gather*} 18-14=4\ \text{дм}. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, сума двох сусідніх сторін (півпериметр) дорівнює:

\begin{gather*} a+b=\frac P2=\frac{18}{2}=9\ \text{дм}. \end{gather*}

Одна зі сторін \(4\) дм завдовжки, довжина другої (більшої) сторони дорівнює:

\begin{gather*} 9-4=5\ \text{дм}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Через точку \(S\), яка не належить площині основи \((ABC)\), можна провести єдину площину, паралельну площині \((ABC).\) Усі прямі, що лежать у цій паралельній площині та проходять через вершину \(S\), будуть паралельними площині основи \((ABC).\) Через точку в площині можна провести нескінченну кількість (безліч) прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів з однаковими основами.

За властивістю степеня з однаковою основою \((a^m\cdot a^n=a^{m+n})\), під час множення показники додамо, а основу залишимо без змін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

І спосіб

Для лінійної функції \(y=kx+b\)

Вільний член \(b=-1\) показує ординату точки перетину графіком осі \(y\), тобто графік проходить через точку \((0; -1).\) Кутовий коефіцієнт \(k=\dfrac 32=1{,}5.\)

Оскільки \(k\gt 0\), функція є висхідною (пряма прямує знизу-ліворуч угору-праворуч).

ІІ спосіб

Визначмо точку перетину з віссю \(Oy\) (за \(x=0\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 0-1=-1. \end{gather*}

Графік функції має перетинати вісь \(Oy\) у точці \((0; -1).\) Цій умові відповідають рисунки Б і Г.

Перевірмо додаткову точку (наприклад, \(x=2\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 2-1=3-1=2. \end{gather*}

Графік проходить через точку \((2; 2)\), що повністю узгоджується з рисунком Б.

Відповідь: Б.