ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника, співвідношення в прямокутному трикутнику, середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників, властивості площ геометричних фігур.

Оскільки \(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((AB=BC)\) з кутом при вершині \(\angle ABC=120^\circ\), кути при основі дорівнюють

\begin{gather*} \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \end{gather*}

Проведімо висоту \(BM\!\perp\!AC.\)

У рівнобедреному трикутнику висота є медіаною, тому \(AM=MC=24:2=12\) см. З прямокутного трикутника \(ABM\) визначмо висоту \(BM{:}\)

Точки \(K\) та \(M\) – середини сторін \(AB\) й \(AC\), отже, \(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC.\)

Трикутник \(AKM\) подібний до \(\Delta ABC\) з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k=\frac{AK}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{KM}{BC}=\frac 12. \end{gather*}

Відношення площ подібних трикутників дорівнює \(k^2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N.\\[6pt] 5^{-1}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки.

З першого рівняння системи виразімо змінну \(y\) через змінну \(x{:}\)

\begin{gather*} y=-4-x. \end{gather*}

Підставмо цей вираз замість змінної \(y\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} x\cdot (-4-x)+(-4-x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння, використавши формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+16+8x+x^2=12;\\[7pt] 4x=12-16;\\[7pt] 4x=-4;\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} y=-4-(-1)=-4+1=-3. \end{gather*}

\((-1; -3)\) – розв'язок системи.

Добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-1\cdot (-3)=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x^2+2\) – квадратична функція.

Перевірмо функцію на парність:

\begin{gather*} f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x). \end{gather*}

Умова \(f(-x)=f(x)\) виконується для будь-якого \(x\in R\), тому функція парна.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=\sin x.\)

Перевірмо належність точки \((0; 0){:}\) підставмо \(x=0\), тоді \(y=\sin 0 = 0.\) Графік функції проходить через початок координат \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=3x+2\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

Оскільки кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0\), функція строго зростає на всій області визначення \((-\infty; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},\) де \(a\ge 0\) i \(b\gt 0{:}\)

\begin{gather*} \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Число \(5\) належить проміжку \((3; 6].\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\log_8 200.\)

Оцінімо значення логарифма через степені основи \(8{:}\)

\begin{gather*} 8^2=64\ \text{та}\ 8^3=512. \end{gather*}

Запишімо подвійну нерівність

\begin{gather*} 64\lt 200\lt 512. \end{gather*}

Основа логарифма \(8\gt 1\), тому логарифмічна функція \(y=\log_8 x\) зростає, а знаки нерівності не змінюються:

\begin{gather*} \log_8 64\lt \log_8 200\lt \log_8 512. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_8 8^2\lt \log_8 200\lt \log_8 8^3;\\[7pt] 2\lt \log_8 200\lt 3. \end{gather*}

Значення перебуває в межах від \(2\) до \(3\), тобто належить проміжку \((0; 3].\) Отже, правильна відповідь – В.

3. \(8\cdot \cos 120^\circ.\)

Застосуймо формулу зведення

Число \(-4\) належить проміжку \((-5; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

За формулою діагоналі квадрата \(d=a\sqrt{2}\), де \(a\) – його сторона. Оскільки \(d=8\sqrt{2}\) см, маємо:

\begin{gather*} a\sqrt{2}=8\sqrt{2};\\[7pt] a=8\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань між серединами сторін \(AB\) i \(AD.\)

Точки \(M\) та \(N\) – середини сторін \(AB\) й \(AD\) відповідно. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABD.\) За її властивістю:

\begin{gather*} MN=\frac{BD}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD.\)

Радіус \(r\) вписаного у квадрат кола дорівнює половині сторони цього квадрата.

\begin{gather*} r=\frac a2=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. Довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A.\)

Медіана \(AP\) ділить сторону \(BC\) навпіл, тому

\begin{gather*} BP=\frac{BC}{2}=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABP\ (\angle B=90^\circ)\) обчислюємо довжину гіпотенузи \(AP\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну для дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою її похідної.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) й визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої спрямовані вгору):

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Однокімнатні квартири становлять \(40\ \%\) від загальної кількості \((150){:}\)

\begin{gather*} 150\cdot 0{,}4=60. \end{gather*}

Двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних (тобто вони становлять \(80\ \%\) від кількості однокімнатних):

\begin{gather*} 60\cdot 0{,}8=48. \end{gather*}

Щоб обчислити кількість трикімнатних квартир, від загальної кількості квартир віднімімо кількість однокімнатних і двокімнатних:

\begin{gather*} 150-60-48=150-108=42. \end{gather*}

Отже, в будинку \(42\) трикімнатні квартири.

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для визначення невідомих параметрів призми й обчислення її об’єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) – рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

Отже, довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту призми \(h\) визначмо через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(2800.\)