ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, вписаних й описаних чотирикутників і прямокутного трикутника.

І. Існує рівнобічна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник \(ABCD\) можна вписати коло тоді, коли суми його протилежних сторін рівні: \(AB+CD=BC+AD.\)

Існують рівнобічні трапеції, для яких ця умова виконується, наприклад, трапеція зі сторонами: \(AB=CD=5\), \(AD=7\), \(BC=3.\) Твердження правильне.

II. Існує прямокутна трапеція, висота якої менша за коротшу бічну сторону.

Розгляньмо прямокутну трапецію \(ABCD\), у якій проведено висоту \(CH.\)

У прямокутному трикутнику \(CHD{:}\ CD\) – гіпотенуза; \(CH\), \(HD\) – катети. Довжина катета завжди менша за довжину гіпотенузи, отже, \(CH\lt CD.\) У чотирикутнику \(ABCH\) всі кути по \(90^\circ.\) Отже, цей чотирикутник – прямокутник.

У прямокутника протилежні сторони рівні, отже, \(AB=CH.\) Тобто менша бічна сторона трапеції \(ABCD\) – \(AB\), а її довжина дорівнює висоті \(CH.\) Твердження неправильне.

III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює \(180^\circ.\)

Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, тоді сума його протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Навколо трапеції можна описати коло лише тоді, коли вона рівнобічна. Отже, не в будь-якій трапеції сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ\), а лише в рівнобічній. Твердження неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості степенів.

Перетворімо перший множник виразу за властивістю степеня \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1}{q^{-2}}=q^{-(-2)}=q^2. \end{gather*}

Перетворімо другий множник, використовуючи перехід від кореня до степеня \(\sqrt[\scriptstyle n]{a^m}=a^{\textstyle \frac mn}\) і властивість степеня \((a^m)^n=a^{m\cdot n}{:}\)

Спростімо отриманий вираз, використовуючи властивість степеня \(a^m\cdot a^m=a^{m+n}{:}\)

\begin{gather*} q^2\cdot q^6=q^8. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом й обчислювати відсотки.

Визначмо масу цукру (x) в початковому солодкому чаї. Для цього масу всього чаю вважаймо за \(100\ \%\) і складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2000 - 100\ \%;\\[7pt] x - 10\ \%. \end{gather*}

З пропорції визначмо масу цукру в початковому солодкому чаї:

\begin{gather*} x=\frac{2000\cdot 10\ \%}{100\ \%}=200\ \text{г}. \end{gather*}

Обчислімо загальну масу чаю після розведення водою:

\begin{gather*} 2000\ \text{г}+500\ \text{г}=2500\ \text{г}. \end{gather*}

Визначмо відсоток цукру \(y\) в розведеному солодкому чаї. Для цього масу розведеного чаю позначмо \(100\ \%\) і складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2500 - 100\ \%;\\[7pt] 200 - y\ \%. \end{gather*}

З пропорції визначмо відсоток цукру розведеному чаї:

\begin{gather*} y=\frac{200\cdot 100\ \%}{2500}=8\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати векторів і їхні модулі.

Визначмо координати точки \(O\), яка є початком координат: \(O(0; 0; 0).\) Визначмо координати векторів: \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{BC}.\) Для цього від координат кінця вектора віднімімо координати його початку:

Визначмо координати вектора \(\overrightarrow{c}\), віднявши від координат вектора \(\overrightarrow{OA}\) координати вектора \(\overrightarrow{BC}{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні нерівності, використовуючи знання про властивості кореня парного степеня й розуміння області допустимих значень.

Корінь парного степеня набуває лише невід’ємних значень. Отже, ліва частина нерівності \(\sqrt[\scriptstyle 6]{4x-1}\) буде більшою за \(−2\) при всіх \(x\), для яких цей вираз матиме зміст.

Тому розв’язання нерівності зводиться до визначення області допустимих значень. Визначмо допустимі значення \(x\), зважаючи на те, що підкореневий вираз для кореня парного степеня невід’ємний:

\begin{gather*} 4x-1\ge 0;\\[7pt] 4x\ge 1;\\[7pt] x\ge 0{,}25. \end{gather*}

Отже, областю допустимих значень і, відповідно, розв’язком нерівності є проміжок \([0{,}25; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи й площу рівнобедреного трикутника, використовуючи радіус описаного кола, відомий кут і властивості рівнобедреного трикутника.

Площу трикутника \(ABC\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12\cdot AC\cdot BH. \end{gather*}

Довжину сторони \(AC\) – за теоремою синусів:

\begin{gather*} \frac{AC}{\sin \angle B}=2R;\\[6pt] AC=2R\cdot\sin \angle B=2a\cdot \sin (2\beta). \end{gather*}

Довжину висоти \(BH\) – з прямокутного трикутника \(BHA\ (\angle H=90^\circ).\)

Оскільки трикутник \(ABC\) рівнобедрений, висота \(BH\), проведена до його основи, є також бісектрисою і медіаною. Оскільки \(BH\) − медіана, вона ділить сторону \(AC\) навпіл:

Оскільки \(BH\) − бісектриса, вона ділить кут \(B\) навпіл:

\begin{gather*} \angle ABH=\angle HBC=\frac{\angle B}{2}=\frac{2\beta}{2}=\beta. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(BHA\) тангенс кута \(ABH\) дорівнює відношенню протилежного катета \((AH)\) до прилеглого \((BH){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \angle ABH=\frac{AH}{BH}. \end{gather*}

Виразімо \(BH{:}\)

\begin{gather*} BH=\frac{AH}{\mathrm{tg}\ \angle ABH}=\frac{a\cdot \sin (2\beta)}{\mathrm{tg}\ \beta}. \end{gather*}

Запишімо \(\mathrm{tg}\ \beta\) як

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}. \end{gather*}

Розпишімо множник із чисельника за формулою синуса подвійного кута:

Підставмо ці величини у формулу площі трикутника \(ABC{:}\)

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12\cdot 2a\cdot \sin(2\beta)\cdot 2a\cdot \cos^2\beta. \end{gather*}

Спростімо отриманий запис, для цього використаймо скорочення на \(2\) й формулу синуса подвійного кута:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну функції, використовуючи правила диференціювання й таблицю похідних.

Спростімо вигляд наведеної в умові функції. Для цього помножмо \(x^2\) на кожен доданок у дужці, використовуючи властивість степенів \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}{:}\)

Визначмо похідну функції, скориставшись правилами диференціювання:

\begin{gather*} (u+v)'=u'+v';\\[7pt] (cu)'=cu', \end{gather*}

(де \(c\) – стала).

Також використаймо табличну похідну степеневої функції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння розкривати модуль, використовувати формулу скороченого множення й зводити подібні доданки.

Розкриймо квадрат різниці, використовуючи формулу скороченого множення:

Розкриймо модуль. Для цього визначмо знак підмодульного виразу: \(2-2\sqrt{2}.\)

Подамо \(2\) як \(\sqrt{4}\), \(2\sqrt{2}\) як \(\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=8.\) Порівняємо отримані підкореневі вирази. Оскільки \(4\lt 8\), тоді: \(\sqrt{4}\lt \sqrt{8}\), отже: \(2\lt 2\sqrt{2}.\)

Оскільки від меншого числа \((2)\) віднімаємо більше \((2\sqrt{2})\), значення підмодульного виразу буде від’ємним. Після розкриття такого модуля маємо змінити знак підмодульного виразу на протилежний:

Маємо:

Запишімо вираз з умови, зважаючи на зроблені перетворення, і зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} 3-2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь, використовуючи навички розв’язання показникових і лінійних рівнянь.

Визначмо з першого рівняння \(x.\) Для цього спростимо ліву частину рівняння, використовуючи властивість степенів:

\begin{gather*} a^n\cdot b^n=(ab)^n.\\[7pt] 2^x\cdot 7^x=(2\cdot 7)^x=14^x. \end{gather*}

Спростимо праву частину першого рівняння системи. Для цього використаємо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\\[6pt] \frac{1}{14}=14^{-1}. \end{gather*}

Вигляд першого рівняння системи:

\begin{gather*} 14^x=14^{-1}. \end{gather*}

У рівнянні в лівій і правій частині основи однакові \((14).\) Отже, можемо відкинути основи й прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} x=-1. \end{gather*}

Підставмо отримане значення \(x\) у друге рівняння системи, щоб визначитити \(y{:}\)

\begin{gather*} 3\cdot (-1)-2y=7;\\[7pt] -3-2y=7. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння. Для цього перенесімо \(−3\) праворуч і поділімо обидві частини рівняння на \(−2{:}\)

\begin{gather*} -2y=7+3;\\[7pt] -2y=10;\\[7pt] y=10:(-2)=-5. \end{gather*}

Отже, розв’язок системи: \(x_0=−1\), \(y_0=−5.\) Обчислімо суму:

Відповідь: Г.