ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

Серед наведених варіантів лише число \(-5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За аксіомою стереометрії через пряму й точку, яка їй не належить, можна провести єдину площину.

Оскільки вершина піраміди \(S\) не належить прямій \(AM\), через них можна провести лише одну площину – площину перерізу \((SAM).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Перетворімо звичайний дріб у десятковий:

\begin{gather*} \frac{24}{5}=\frac{24\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{48}{10}=4{,}8. \end{gather*}

Підставмо цей десятковий дріб у початковий вираз й обчислімо його значення:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати графіки елементарних функцій та аналізувати їхні властивості за областю визначення, областю значень і симетрією відносно осей координат.

Графік розташований у IV координатній чверті, отже, \(x\ge 0\), а \(y\le 0.\) Графік проходить через початок координат \((0; 0)\) і точки \((1; -1)\) і \((4; -2).\)

Проаналізуймо варіанти відповідей методом виключення:

А \((y=-2^x){:}\)
за \(x=0\) отримуємо \(y=-1\ne 0\) (не проходить через \((0; 0)\)).

Б \((y=\sqrt{-x}){:}\)
визначена за \(-x\ge 0\), отже \(x\le 0\) (розміщена в II чверті).

В \((y=-\sqrt{x}){:}\)
визначена за \(x\ge 0\), \(y\le 0\), проходить через точки \((0; 0)\), \((1; -1)\), \((4; -2).\) Це графік \(y=\sqrt{x}\), симетрично відображений відносно осі \(Ox.\)

Г \(\left(y=\dfrac 1x\right)\) та Д \((y=\log_{\textstyle \frac 13} x){:}\)
не визначені в точці \(x=0\) (не проходять через \((0; 0)\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, уміння обчислювати периметр чотирикутника.

Периметр трикутника \(ABC\) складається з двох сторін ромба й діагоналі \(AC{:}\)

\begin{gather*} P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC. \end{gather*}

Обчислімо суму двох сторін ромба:

Оскільки в ромба всі чотири сторони рівні \((AB=BC=CD=DA)\), його периметр дорівнює подвоєній сумі двох сусідніх сторін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишмо без змін, а показники додамо.

\begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*}

де (\(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Перегрупуймо числові коефіцієнти та степені з однаковою основою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі.

Відстань між двома точками \(K(x_1; y_1; z_1)\) і \(P(x_2, y_2, z_2)\) в просторі обчислюють за формулою:

Обчислімо відстань від точки \(K(0; 0; 2)\) до кожної точки з-поміж наведених:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

Запишімо праву частину нерівності як степінь з основою \(10\ (a^0=1){:}\)

\begin{gather*} 10^{x-2}\gt 10^0. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \(10\gt 1\), показникові функції є висхідними, тому знак нерівності зберігається й ця нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} x-2\gt 0;\\[7pt] x\gt 2. \end{gather*}

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \(x\in (2; +\infty).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника й прямокутного трикутника, для обчислення периметра.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle A=90^\circ){:}\)

Розгорнутий кут \(\angle AKD=180^\circ\), тому:

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta KDC\ (\angle D=90^\circ){:}\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle A=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{AK}{AB};\\[6pt] AK=AB\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=3\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3. \end{gather*}

Обчислімо сторони прямокутника.

\begin{gather*} AD=AK+KD=3+9=12. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні,

\begin{gather*} AB=CD=3\sqrt{3}. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: A.