ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій і рівняння кола.

Побудуймо графік рівняння кола, яке має загальний вигляд:

\begin{gather*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2, \end{gather*}

(де \(x_0\), \(y_0\) − координати центра кола; \(R\) − радіус кола).

За умовою задане рівняння кола: \((x−5)^2+(y+4)^2=16.\)

Запишімо \(16\) як \(4^2\), \(+4\) як \(−(−4).\) Маємо:

\begin{gather*} (x-5)^2+(y-(-4))^2=4^2, \end{gather*}

Отже, координати центра кола: \((5;−4)\), радіус кола: \(4.\)

Побудуймо задане коло.

1. Спростімо функцію \(y=\ln 1\), використовуючи логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a 1=0.\\[7pt] y=ln 1=0. \end{gather*}

Побудуймо отриману функцію. Її графік – пряма, що накладається на вісь абсцис.

Коло дотикається осі абсцис (і, відповідно, графіка функції \(y=\ln 1\)) в одній точці з координатами: \((5; 0).\) Задане коло й побудована функція матимуть одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Спростімо функцію \(y+x^2=(x-1)^2.\) Для цього використаймо формулу квадрата різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[7pt] y+x^2=x^2-2\cdot x\cdot 1+(-1)^2;\\[7pt] y+x^2=x^2-2x+1. \end{gather*}

Перенесімо праворуч і зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} y=x^2-2x+1-x^2;\\[7pt] y=-2x+1. \end{gather*}

Отримали лінійну функцію, для побудови якої потрібно взяти дві точки:

• якщо \(x=0\), то \(y=1\);
• якщо \(x=1\), то \(y=−1.\)

Позначмо точки \((0; 1)\), \((1; −1)\) на координатній площині й проведімо через них пряму.

Як бачимо з отриманого графіка, побудована пряма й коло мають дві точки перетину.

Отже, правильна відповідь – В.

3. У функції \(y-2=5^{−x}\) виразімо \(y.\) Для цього перенесімо \(−2\) праворуч:

\begin{gather*} y=5^{-x}+2. \end{gather*}

Це показникова функція \(y=5^{−x}\), графік якої перенесено паралельно осі ординат на дві одиниці вгору. За властивістю показникова функція \(y=5^{−x}\) за будь-яких \(x\) набуває додатних значень, тобто її графік розташований вище від осі абсцис:

Графік функції \(y=5^{−x}\) підняли на дві одиниці вгору, тобто для утвореної функції \(y\gt 2.\)

Отже, графік заданої за умовою функції лежить повністю над віссю абсцис. Це означає, що графік заданої функції \(y=5^{−x}+2\) й коло, яке лежить нижче від осі абсцис і дотикається до неї лише в одній точці з координатами: \((5; 0)\), не мають жодної спільної точки:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння визначати площу круга, якщо відомі площа сектора й відповідний центральний кут, елементи та площу прямокутного трикутника, площу трапеції, зважаючи на властивість чотирикутника, у який вписано коло.

1. Визначмо площу круга \(S_\text{круга}.\) Складімо пропорцію, враховуючи, що весь круг відповідає куту \(360^\circ\), а заданий сектор – куту \(40^\circ{:}\)

Підставимо в пропорцію відому площу сектора:

Виразімо з пропорції площу круга:

\begin{gather*} S_\text{круга}=\frac{4\pi\cdot 360^\circ}{40^\circ}=36\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Підставмо \(3{,}14\) замість \(\pi{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. Оскільки \(KM\) – діаметр, то \(\angle KLM=90^\circ\), як вписаний кут, що спирається на діаметр. Отже, трикутник \(KLM\) прямокутний. Його площу можна обчислити за формулою:

За умовою: \(\angle LKM=60^\circ\), як кут між хордою \(KL\) і діаметром \(KM.\) Сума гострих кутів у прямокутному трикутнику дорівнює \(90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \angle LKM+\angle LMK=90^\circ. \end{gather*}

Виразімо градусну міру кута \(LMK{:}\)

У прямокутному трикутнику навпроти кута \(30^\circ\) лежить катет, який удвічі коротший за гіпотенузу. У прямокутному трикутнику \(KLM\) навпроти кута \(\angle LMK=30^\circ\) лежить катет \(KL.\) Отже: \(KL=\dfrac{KM}{2}.\)

З обчисленої в першому пункті площі круга визначмо довжину його радіуса \((R).\) Для цього запишімо формулу для обчислення площі круга:

\begin{gather*} S_\text{круга}=\pi R^2. \end{gather*}

Підставмо це значення площі круга й визначмо радіус круга \((R){:}\)

\begin{gather*} 36\pi=\pi R^2;\\[7pt] 36=R^2;\\[7pt] R=6\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину діаметра \((KM)\) круга:

\begin{gather*} d=KM=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину катета \(KL{:}\)

\begin{gather*} KL=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо площу трикутника \(KLM.\) Для цього у формулу підставмо обчислені величини \((\angle LKM=60^\circ\), \(KM=12\), \(KL=6){:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

3. Запишімо формулу для визначення площі трапеції \(ABCD{:}\)

\begin{gather*} S_{ABCD}=m\cdot h, \end{gather*}

(де \(m\) − середня лінія трапеції \(ABCD\), \(h\) − висота трапеції \(ABCD\)).

Оскільки трапеція прямокутна, її бічна сторона перпендикулярна до основ і дорівнює висоті цієї трапеції та діаметру круга, який у неї вписано:

\begin{gather*} AB=h=d=12\ \text{см}. \end{gather*}

Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} m=\frac{AD+BC}{2}. \end{gather*}

У чотирикутник можна вписати коло, коли суми довжин його протилежних сторін однакові. Оскільки в задану трапецію вписано коло, суми її протилежних сторін рівні:

\begin{gather*} AB+CD=AD+BC. \end{gather*}

Підставмо в цей запис відомі величини (\(AB=12\), \(CD=22\) за умовою):

\begin{gather*} 12+22=AD+BC;\\[7pt] AD+BC=34\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, сума основ трапеції \(ABCD\) дорівнює \(34\) см. Підставмо це значення у формулу для обчислення середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} m=\frac{34}{2}=17\ \text{см}. \end{gather*}

Підставмо довжину середньої лінії та висоту у формулу для обчислення площі трапеції:

\begin{gather*} S_{ABCD}=17\cdot 12=204\ \text{см}^2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння розрізняти первісну й похідну функції, визначати похідну й мінімальне значення квадратичної функції, обчислювати абсцису її вершини.

Визначмо функцію \(y=f(x).\) Оскільки \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}−3x^2+5x+4\) – первісна для функції \(y=f(x)\), визначмо її похідну. Для цього застосуймо правила диференціювання:

\begin{gather*} (u+v)'=u'+v';\\[7pt] (cu)'=cu';\\[7pt] (c)'=0, \end{gather*}

(де \(c\) – стала).

А також використаймо табличні похідні:

\begin{gather*} x'=1;\\[7pt] (x^a)'=ax^{a-1}. \end{gather*}

У доданку \(\dfrac{x^3}{3}\) винесімо \(x^3\) із чисельника як множник: \(\dfrac 13 x^3.\)

Отримали квадратичну функцію: \(f(x)=x^2−6x+5.\) Її графік – парабола з вітками вгору, оскільки коефіцієнт \(a\) (множник біля \(x^2\)) більший за нуль \((a=1\), \(1\gt 0).\) Отже, мінімальне значення ця функція буде набувати у вершині. Визначимо абсцису вершини параболи за формулою:

\begin{gather*} x_\text{В}=-\frac{b}{2a}. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=−6\) (множник біля \(x\)).

\begin{gather*} x_\text{В}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac 62=3. \end{gather*}

Отже, абсциса вершини функції \(y=f(x)\) і її мінімального значення дорівнює \(3.\)

Відповідь: \(3.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння використовувати арифметичну прогресію для розв’язання текстових задач.

Оскільки щодня учасниця долала на ту саму кількість поверхів більше, ніж попереднього дня, задача зводиться до арифметичної прогресії, елементами якої \((a_n)\) є кількість пройдених поверхів. Виділімо основні параметри цієї арифметичної прогресії:

• \(a_1=4\) – кількість поверхів, які пройшла учасниця першого дня;
• \(d=1\) – кількість поверхів, на яку щодня збільшувалось навантаження;
• \(n=20\) – кількість днів челенджу.

Визначмо кількість поверхів, які подолала учасниця за всі дні челенджу. Для цього використаймо формулу суми арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

Отже, за всі дні челенджу учасниця подолала \(270\) поверхів. Визначмо кількість сходинок, які було пройдено за цей час. Для цього зважмо на умову завдання: між двома поверхами \(8\) сходинок. Щоб обчислити загальну кількість пройдених сходинок, помножмо визначену кількість поверхів на кількість сходинок, що розділяють два сусідні поверхи:

\begin{gather*} 270\cdot 8=2160\ \text{сходинок}. \end{gather*}

Відповідь: \(2160.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи й об’єм циліндра.

Запишімо формулу для обчислення об’єму циліндра:

\begin{gather*} V=\pi R^2H. \end{gather*}

Запишімо формулу для обчислення площі бічної поверхні циліндра й підставмо відому величину:

\begin{gather*} S_\text{бічн}=2\pi RH;\\[7pt] 48\pi=2\pi RH. \end{gather*}

Скоротімо обидві частини на \(2\pi{:}\)

\begin{gather*} 24=RH. \end{gather*}

Виразімо радіус:

\begin{gather*} R=\frac{24}{H}. \end{gather*}

Проведімо в циліндрі \(OM\) – це відстань від центра основи циліндра до середини його твірної.

У циліндрі довжина твірної дорівнює довжині його висоти:

\begin{gather*} AB=H. \end{gather*}

Виразімо довжину \(AM\), зваживши на те, що точка \(M\) ділить твірну \(AB\) навпіл:

\begin{gather*} AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac H2. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(OAM\), у якому \(OM=5\), \(OA=R=\dfrac{24}{H}\), \(AM=\dfrac H2.\)

Запишімо теорему Піфагора для цього трикутника:

\begin{gather*} OM^2=OA^2+AM^2. \end{gather*}

Підставмо відомі величини:

\begin{gather*} 5^2=\left(\frac{24}{H}\right)^2+\left(\frac H2\right)^2;\\[6pt] 25=\frac{24^2}{H^2}+\frac{H^2}{2^2};\\[6pt] 25=\frac{576}{H^2}+\frac{H^2}{4}. \end{gather*}

Зведімо дроби в правій частині до спільного знаменника \(4H^2{:}\)

\begin{gather*} 25=\frac{4\cdot 576}{4H^2}+\frac{H^2\cdot H^2}{4H^2};\\[6pt] 25=\frac{2304}{4H^2}+\frac{H^4}{4H^2};\\[6pt] 25=\frac{2304+H^2}{4H^2}. \end{gather*}

Для спрощення отриманого рівняння помножмо обидві його частини на \(4H^2{:}\)

\begin{gather*} 25\cdot 4H^2=2304+H^4. \end{gather*}

Перенесімо всі доданки ліворуч:

\begin{gather*} -H^4+100H^2-2304=0. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(−1{:}\)

\begin{gather*} H^4-100H^2+2304=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(H^2=t\ (t\gt 0)\), тоді \(H^4=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-100t+2304=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти утвореного квадратного рівняння:

• \(a=1\) (множник біля \(t^2\));
• \(b=−100\) (множник біля \(t\));
• \(c=2304\) (вільний член).

Обчислімо дискримінант рівняння:

Повернімося до заміни й визначмо \(H{:}\)

\begin{gather*} H^2=t;\\[7pt] H^2=64,\ H=8\ \text{см};\\[7pt] H^2=36,\ H=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, висота циліндра дорівнює \(6\) см або \(8\) см. Обчислімо радіус циліндра.

1. Якщо \(H=8\) см, тоді \(R=\dfrac{24}{8}=3\) см, \(d=2R=2\cdot 3=6\) см. За умовою діаметр основи циліндра має бути більшим за його висоту, тому цей варіант неправильний: \(d\lt H\ (6\) см \(\lt 8\) см\().\)

2. Якщо \(H=6\) см, тоді \(R=\dfrac{24}{6}=4\) см, \(d=2R=2\cdot 4=8\) см. Цей варіант правильний: \(d\gt H\ (8\) см \(\gt 6\) см\().\)

Отже, висота циліндра дорівнює \(6\) см, радіус основи циліндра – \(4\) см.

Визначмо об’єм циліндра. Для цього підставмо обчислені значення:

У відповіді запишімо \(\dfrac{V}{\pi}{:}\)

\begin{gather*} \frac{96\pi}{\pi}=96. \end{gather*}

Відповідь: \(96.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня та знаменнику дробу, визначати умову існування розв’язку.

Перенесімо \(\dfrac{81}{a−2x}\) ліворуч:

\begin{gather*} \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}-\frac{\log_3 81}{a-2x}=0. \end{gather*}

Зведімо доданки лівої частини до одного знаменника \(2x−a.\) Для цього помножмо чисельник і знаменник другого доданку на \(−1{:}\)

\begin{gather*} \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}-\frac{-\log_3 81}{-(a-2x)}=0;\\[6pt] \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}+\frac{\log_3 81}{2x-a}=0;\\[6pt] \frac{9^x-12\cdot 3^x+23+\log_3 81}{2x-a}=0. \end{gather*}

Запишімо ОДЗ утвореного рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

\begin{gather*} 2x-a\ne 0. \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 9^x-12\cdot 3^x+23+\log_3 81=0. \end{gather*}

Спростімо доданки: \(9^x\) запишімо як \((3^2)^x=3^{2x}.\)

Запишімо \(81\) як \(3^4.\) Використаймо логарифмічні тотожності:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \log_3 3^4=4\cdot \log_3 3=4\cdot 1=4. \end{gather*}

Рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} 3^{2x}-12\cdot 3^x+23+4=0;\\[7pt] 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2.\) Оскільки показникова функція \(y=3^x\) набуває лише додатних значень, на заміну накладімо обмеження: \(t\gt 0.\)

Утворилося квадратне рівняння:

\begin{gather*} t^2-12\cdot t+27=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

• \(a=1\) (множник біля \(t^2\));
• \(b=−12\) (множник біля \(t\));
• \(c=27\) (вільний член).

Оскільки \(a=1\), рівняння зведене. Використаймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \begin{cases} t_1+t_2=-b=-(-12)=12,\\ t_1\cdot t_2=c=27. \end{cases} \end{gather*}

Із системи визначмо корені \(t_1\), \(t_2\) рівняння:

\begin{gather*} t_1=3;\\[7pt] t_2=9. \end{gather*}

Повернімося до заміни:

\begin{gather*} 3^x=t;\\[7pt] 3^x=3,\ \ 3^x=3^1,\ \ x=1;\\[7pt] 3^x=9,\ \ 3^x=3^2,\ \ x=2. \end{gather*}

Маємо два корені початкового рівняння. Щоб це рівняння мало один розв’язок, як зазначено в умові завдання, один з коренів має бути стороннім, тобто не задовольняти записаної ОДЗ (перетворювати знаменник дробу на нуль).

Варіант 1: нехай розв’язок \(x=1\) буде стороннім коренем. Визначмо, за якого значення параметра \(a\) це справджується. Для цього в знаменник \(2x−a\) замість \(x\) підставмо \(1\) і прирівняймо його до нуля:

\begin{gather*} 2\cdot 1-a=0;\\[7pt] 2-a=0;\\[7pt] a=2. \end{gather*}

Отже, якщо \(x=1\) і \(a=2\), знаменник дробу в рівнянні перетвориться на нуль. Тобто корінь \(x=1\) за \(a=2\) є стороннім. Перевірмо, чи буде в такому разі існувати корінь \(x=2.\) Для цього перевірмо значення знаменника, підставивши в нього \(2\) замість параметра \(a\) й \(2\) замість кореня \(x{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 2-2=4-2=2. \end{gather*}

Як бачимо, якщо \(a=2\), корінь \(x=2\) існує (оскільки знаменник не перетворюється в нуль) і буде єдиним розв’язком рівняння.

Варіант 2: нехай розв’язок \(x=2\) буде стороннім коренем. Визначмо, за якого значення параметра \(a\) це справджується. Для цього в знаменник \(2x−a\) замість \(x\) підставмо \(2\) та прирівняймо його до нуля:

\begin{gather*} 2\cdot 2-a=0;\\[7pt] 4-a=0;\\[7pt] a=4. \end{gather*}

Отже, якщо \(x=2\) і \(a=4\), знаменник дробу в рівнянні перетвориться на нуль. Тобто корінь \(x=2\) при \(a=4\) є стороннім. Перевірмо, чи буде в такому разі існувати корінь \(x=1.\) Для цього перевірмо значення знаменника, підставивши в нього \(4\) замість параметра \(a\) ій\(1\) замість кореня \(x{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 1-4=2-4=-2. \end{gather*}

Якщо \(a=4\), корінь \(x=1\) існує (оскільки знаменник не перетворюється в нуль) і буде єдиним розв’язком рівняння.

Тобто маємо два значення параметра \(a\), за яких рівняння матиме лише один корінь (якщо \(a=2\), тоді існуватиме лише \(x=2\); якщо \(a=4\), тоді існуватиме лише \(x=1\)).

Обчислімо суму значень параметра \(a{:}\ 2+4=6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Арифметичні дії.

Завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з буквеними виразами, зокрема спрощувати алгебричні вирази способом групування й зведення подібних доданків з огляду на знаки їхніх коефіцієнтів.

Щоб спростити вираз, зведімо подібні доданки, згрупувавши їх за степенями \(x{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення й обчислювати дріб від числа через множення.

Щоб обчислити дріб (частину) від числа, треба це число помножити на дріб.

Запишімо \(0{,}01\) у вигляді степеня числа \(10{:}\)

\begin{gather*} 0{,}01=10^{-2}. \end{gather*}

Обчислімо максимальну швидкість зорельота, помноживши швидкість світла на \(0{,}01{:}\)

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність випадкової події за класичним означенням, а також уміння зчитувати й аналізувати дані з графічних зображень (схем, планів).

Для обчислення ймовірності скористаймося класичною формулою

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – кількість усіх доступних (вільних) місць, а \(m\) – кількість сприятливих місць за барною стійкою.

Усього в кав'ярні \(25\) місць, але зайняті лише \(5\) місць біля барної стійки. Отже, вільними залишаються \(n=25-5=20\) місць.

На плані зображено \(3\) круглі столики, навколо кожного – \(4\) стільці, тому кількість сприятливих місць дорівнює

\begin{gather*} m=3\cdot 4=12, \end{gather*}

шукана ймовірність становить

\begin{gather*} P=\frac{12}{20}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: Б.