ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},\) де \(a\ge 0\) i \(b\ge 0{:}\)

Число \(5\) належить проміжку \((3; 6].\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\log_8 200.\)

Оцінимо значення логарифма через степені основи \(8{:}\)

Запишемо подвійну нерівність

Оскільки основа логарифма \(8\gt 1\), то логарифмічна функція \(y=\log_8 x\) є зростаючою, і знаки нерівності не змінюються:

Застосуймо властивості логарифмів

Значення знаходиться в межах від \(2\) до \(3\), що належить проміжку \((0; 3].\) Отже, правильна відповідь – В.

3. \(8\cdot \cos 120^\circ.\)

Застосуймо формулу зведення

Число \(-4\) належить проміжку \((-5; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

За формулою діагоналі квадрата \(d=a\sqrt{2}\), де \(a\) – його сторона. Оскільки \(d=8\sqrt{2}\) см, маємо:

1. Відстань між серединами сторін \(AB\) i \(AD.\)

Точки \(M\) та \(N\) – середини сторін \(AB\) і \(AD\) відповідно. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABD.\) За її властивістю:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD.\)

Радіус \(r\) вписаного у квадрат кола дорівнює половині сторони цього квадрата.

Отже, правильна відповідь – A.

3. Довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A.\)

Медіана \(AP\) ділить сторону \(BC\) навпіл, тому

У прямокутному трикутнику \(ABP\ (\angle B=90^\circ)\) шукаємо гіпотенузу \(AP\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, вміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки — це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняємо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротимо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжемо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Нанесемо критичні точки на числову пряму та визначимо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної — квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки при переході через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Однокімнатні квартири становлять \(40\ \%\) від загальної кількості \((150){:}\)

Двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних (тобто вони становлять \(80\ \%\) від кількості однокімнатних):

Щоб знайти кількість трикімнатних квартир потрібно від загальної кількості відняти кількість однокімнатних та двокімнатних:

Отже, в будинку \(42\) трикімнатні квартири.

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для знаходження невідомих параметрів призми та обчислення її об'єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Оскільки діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) — рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

Тоді довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

Периметр основи призми:

Висота призми \(h\) шукається через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

Об'єм призми:

Відповідь: \(2800.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні та ірраціональні рівняння.

е завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

Добуток двох множників дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із них дорівнює нулю та при цьому не втрачає змісту інший.

Спочатку знайдемо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

З першого множника отримуємо

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належать області допустимих значень та не збігаються між собою.

Перевіримо виконання умов ОДЗ та відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки отримуємо \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) вона виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаємо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислюємо їх кількість:

Відповідь: \(17.\)