ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) кути, прилеглі до бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралельних основах \(BC\!\parallel\!AD\), тому їхня сума дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки кути при верхній основі рівні \((\angle ABC=\angle BCD=110^\circ)\), то для кута \(BAD\) отримуємо:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x+7\gt 27;\\[7pt] 2x\gt 27-7;\\[7pt] 2x\gt 20;\\[7pt] x\gt 10. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (10; +\infty). \end{gather*}

Оскільки нерівність строга, число \(10\) не належить до множини розв'язків. Серед запропонованих варіантів умову \(x\gt 10\) задовольняють числа \(15\) та \(20\), з яких найменшим є \(15.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо діаметра.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція набуває лише від’ємних значень \((f(x)\lt 0)\) на тих проміжках, де її графік розташований строго нижче від осі абсцис \((Ox).\) На рисунку видно, що \(f(x)\lt 0\) для всіх \(x\in (1; 3).\) Оскільки проміжок \((1; 2]\) повністю належить цьому інтервалу, саме на ньому функція є строго від’ємною.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Загальна кількість світлин становить \(n=18\) (усі можливі наслідки).

Сприятливими в контексті завдання є світлини із зображеннями природи або будівель, тому їхня кількість дорівнює \(k=8+6=14\) (сприятливі наслідки).

Обчислімо ймовірність і скоротімо дріб на \(2{:}\)

\begin{gather*} P(A)=\frac kn=\frac{14}{18}=\frac 79. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точок у тривимірному просторі, координати вектора в просторі й відстань між точками за відомими координатами.

Якщо \(B_1(x_1; y_1; z_1)\), \(D(x_2; y_2; z_2)\) координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{DB_1}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2). \end{gather*}

Початок системи координат розташований у точці \(A(0; 0; 0).\) Точка \(D\) лежить на осі \(y\) на відстані \(3\) від початку координат \(A(0; 0; 0)\), тому \(D(0; 3; 0).\) Точка \(B_1\) розташована в площині \(xz{:}\) її координата за віссю \(x\) дорівнює \(2\), за віссю \(y-0\), а за віссю \(z-4\), тому \(B_1(2; 0; 4).\) Обчислімо координати вектора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та центральних кутів.

I. Градусна міра кута \(ABC\) дорівнює \(90^\circ.\)

Кут \(ABC\) – вписаний кут, який спирається на діаметр \(AC.\) Вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди дорівнює \(90^\circ.\) Твердження правильне.

II. Градусна міра кута \(BOC\) вдвічі більша за градусну міру кута \(BAC.\)

Кут \(BOC\) – центральний кут, а кут \(BAC\) – вписаний. Обидва спираються на спільну дугу \(BC.\) За теоремою про вписаний кут, центральний кут удвічі більший за вписаний, що спирається на ту саму дугу \((\angle BOC=2\cdot \angle BAC).\) Твердження правильне.

III. Довжина відрізка \(AC\) вдвічі більша за довжину відрізка \(OB.\)

Відрізок \(AC\) – це діаметр кола \((D=2R)\), а \(OB\) – радіус кола \((R).\) Відповідно, довжина діаметра вдвічі більша за довжину радіуса \((AC=2\cdot OB).\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{xy}. \end{gather*}

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти їхні показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.