ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє розуміння властивостей парності й непарності функцій і вміння застосовувати їх для обчислення значень алгебричних виразів.

Оскільки \(f(x)\) – парна функція, то мінус в аргументі «зникає»:

\begin{gather*} f(-x_0)=f(x_0)=1. \end{gather*}

Оскільки \(g(x)\) – непарна функція, то мінус з аргумента виносимо наперед:

\begin{gather*} g(-x_0)=-g(x_0)=-(-3)=3. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення в початковий дріб:

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(y=f(x)\) непарна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=-f(x).\)

Відповідь: \(2{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, і виконувати відсоткові розрахунки.

Обчислімо розмах ряду даних \((R)\), який є різницею між найбільшим \((26)\) і найменшим \((22)\) значеннями:

\begin{gather*} R=26-22=4. \end{gather*}

Обчислімо середнє арифметичне значення ряду \((\overline{x})\), поділивши суму всіх елементів на їхню кількість:

Обчислімо, на скільки відсотків середнє значення перевищує розмах. Порівняймо середнє значення \((\overline{x}=24)\) з розмахом \((R=4)\), який беремо за \(100\ \%.\)

Різниця між значеннями: \(24-4=20.\)

Обчислімо відсоткове відношення різниці до розмаху:

Відповідь: \(500.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної трикутної призми для обчислення об’єму призми.

Основа призми – правильний трикутник зі стороною \(a=12\) см. Радіус \(R\) описаного навколо нього кола дорівнює радіусу основи конуса:

Твірна конуса \(L=5\sqrt{3}\) см, радіус основи \(R=4\sqrt{3}\) см. З прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом і твірною конуса, за теоремою Піфагора обчислімо висоту \(H{:}\)

Оскільки висоти конуса та призми однакові, висота призми також дорівнює \(H=3\sqrt{3}\) см.

Площа правильного трикутника в основі призми:

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід'ємним, а знаменник не повинен дорівнювати нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} x\ge 0,\\ \sqrt{x}-2\ne 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\ge 0,\\ x\ne 4. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x\in [0; 4)\cup (4; +\infty); \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5^{4x+2a-6}-1=0;\\[7pt] 5^{4x+2a-6}=1;\\[7pt] 5^{4x+2a-6}=5^0;\\[7pt] 4x+2a-6=0;\\[7pt] 4x=6-2a;\\[6pt] x=\frac{3-a}{2}. \end{gather*}

Рівняння матиме корінь лише тоді, коли \(x\) входить до ОДЗ.

З умови \(x\ge 0\) маємо:

\begin{gather*} \frac{3-a}{2}\ge 0;\\[6pt] 3-a\ge 0;\\[7pt] a\le 3. \end{gather*}

З умови \(x\ne 4\) маємо:

\begin{gather*} \frac{3-a}{2}\ne 4;\\[6pt] 3-a\ne 8;\\[7pt] a\ne 3-8;\\[7pt] a\ne -5. \end{gather*}

Тобто рівняння має корінь за \(a\in (-\infty; -5)\cup (-5; 3].\)

Цьому проміжку \([-8; 5]\) належать такі цілі значення параметра:

Відповідь: \(-25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння перетворювати ірраціональні вирази, розуміння змісту подвійної нерівності та вміння визначати її цілі розв’язки.

За властивістю коренів: \(\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}=\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}\) спростімо праву частину подвійної нерівності:

\begin{gather*} \frac{\sqrt[\scriptstyle 5]{64}}{\sqrt[\scriptstyle 5]{2}}=\sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{64}{2}}. \end{gather*}

Під коренем скоротімо чисельник і знаменник утвореного дробу на \(2\) й добудемо корінь п’ятого степеня з отриманого числа:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 5]{32}=\sqrt[\scriptstyle 5]{2^5}=2. \end{gather*}

Унаслідок спрощення правої частини нерівності маємо подвійну нерівність

\begin{gather*} -3\lt x\le 2. \end{gather*}

Зобразімо множину розв’язків подвійної нерівності на координатній прямій, зважаючи на строгий знак \((\lt)\) після \(-3\) і нестрогий знак \((\le)\) перед \(2.\)

Розв’язком нерівності є проміжок \((−3; 2].\) Випишімо всі цілі числа, які входять до цього проміжку: \(−2\); \(−1\); \(0\); \(1\); \(2.\) Усього таких чисел пʼять.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Статистика.

Завдання перевіряє вміння розуміти дані, відображені на стовпчиковій діаграмі, обчислювати середнє арифметичне значення й визначати відношення двох величин.

Визначмо ціну поділки на вертикальній осі діаграми. Для цьогообчислімо різницю між двома сусідніми великими поділками й поділімо її на кількість проміжків між ними:

\begin{gather*} \frac{1500-1000}{5}=\frac{500}{5}=100. \end{gather*}

За діаграмою з'ясуймо кількість тестових завдань, виконаних учнями в кожному місяці:

• у січні – \(1200\) завдань;
• у лютому – \(1800\) завдань;
• у березні – \(3000\) завдань.

Обчислімо середню кількість тестових завдань, виконаних за три місяці. Для цього використаймо формулу середнього арифметичного значення:

\begin{gather*} \overline{X}=\frac{x_1+x_2+\text{...}+x_n}{n}, \end{gather*}

(де \(n\) – кількість значень, яких набула величина \(X\); \(x_1\), \(x_2\), \(\text{...}\), \(x_n\) – значення, яких набула величина \(X\)).

Визначмо, яку частину становить кількість завдань, виконаних учнями в січні, від середнього значення кількості завдань, виконаних за три місяці. Для цього складімо відношення кількості виконаних завдань у січні до обчисленого середнього значення й скоротімо на \(400{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200}{2000}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати градусну міру вертикальних кутів і зовнішнього кута трикутника.

Розгляньмо трикутник \(ABC.\)

Визначмо градусну міру \(\angle ABC\), який вертикальний до кута \(56^\circ.\) Вертикальні кути рівні, тобто \(\angle ABC=56^\circ.\)

Кут із градусною мірою \(144^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABC\) при вершині \(C.\) Обчислімо градусну міру кута \(BAC\) (кута \(\alpha\)). Зовнішній кут при вершині трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів цього трикутника, що не суміжні з ним:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння обчислювати дискримінант квадратного рівняння.

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0 \end{gather*}

\(a=-3\) (множник біля \(x^2\));
\(b=−4\) (множник біля \(x\));
\(c=5\) (вільний член).

Обчислімо дискримінант за формулою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати прямі, паралельні площині.

Зазначмо всі ребра наведеної піраміди. Бічні ребра: \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD.\) Ребра основи: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD.\)

Оскільки пряма, яка паралельна площині, не повинна мати із нею спільних точок, визначмо, які з-поміж зазначених ребер не мають спільних точок із площиною \(SBD{:}\)

• ребра \(SB\), \(SD\) належать площині \(SBD\);
• ребра \(SA\), \(SC\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(S\);
• ребра \(AB\), \(BC\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(B\);
• ребра \(CD\), \(AD\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(D.\)

Отже, кожна пряма, що містить ребро піраміди \(SABCD\), має принаймні одну спільну точку з площиною \(SBD.\) Тобто прямих, які містять ребра піраміди й паралельні площині \(SBD\), немає.

Відповідь: A.