ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля в розв'язуванні задач.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|. \end{gather*}

За формулою:

\begin{gather*} \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|. \end{gather*}

Оскільки \(2=\sqrt{4}\), а \(\sqrt{4}\lt \sqrt{5}\), то різниця \(2-\sqrt{5}\lt 0\) (від'ємна).

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розкриймо модуль для від'ємного виразу \((|a|=-a){:}\)

\begin{gather*} |2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Щоб визначити ймовірність того, що виросте білий або рожевий тюльпан, потрібно додати ймовірності цих двох подій. Оскільки вони несумісні (одна цибулина не може розквітнути двома кольорами водночас), застосуймо теорему додавання ймовірностей.

Частка рожевих тюльпанів становить \(\dfrac 13\), а білих – \(\dfrac 12.\) Звівши дроби до спільного знаменника \(6\), отримуємо:

\begin{gather*} P=\frac 13+\frac 12=\frac 26+\frac 36=\frac 56. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння визначати цілі числа, що належать заданому числовому проміжку, з урахуванням строгості знаків нерівності.

Нерівність задає числовий проміжок \((-4; 2{,}2].\)

Випишімо всі цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2. \end{gather*}

Усього таких чисел шість.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, а також ознаки паралельності прямої і площини.

Ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не належить площині, паралельна будь-якій прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

У заданому кубі грань \(AA_1B_1B\) утворено чотирма ребрами \((AA_1\), \(A_1B_1\), \(BB_1\), \(AB)\), а чотири інші ребра \((A_1D_1\), \(B_1C_1\), \(BC\), \(AD)\) її перетинають. Залишаються \(4\) ребра протилежної грані \(DD_1C_1C\ (DD_1\), \(CC_1\), \(D_1C_1\), \(DC)\), кожне з яких паралельне відповідному ребру грані \(AA_1B_1B\) і не належить їй, тому існує лише чотири такі прямі.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

За властивістю модуля числа:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Маємо лінійну функцію \(y=2x-3.\)

\(k=2\), отже, функція зростає.

\(b=-3\), отже, точка перетину графіка з віссю \(Oy\ (0; -3).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння обчислювати довжину середньої лінії трапеції за її периметром і відомою бічною стороною, застосовуючи властивості рівнобічної трапеції.

Периметр рівнобічної трапеції дорівнює сумі основи \(a\), основи \(b\) та двох рівних бічних сторін \(c{:}\)

\begin{gather*} P=a+b+2c. \end{gather*}

Підставмо відомі значення (\(P=60\) см, \(c=10\) см ):

\begin{gather*} 60=a+b+2\cdot 10;\\[7pt] 60=a+b+20;\\[7pt] a+b=40\ \text{см}. \end{gather*}

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} m=\frac{a+b}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, обчислювати відсоток від числа.

Для визначення маси жиру обчислімо \(2\ \%\) від загальної маси кефіру (\(900\) г).

За визначенням відсотка від числа:

\begin{gather*} m_\text{жиру}=900\cdot 0{,}02=18\ \text{г}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Перенесімо \(375\) у праву частину рівняння:

\begin{gather*} 15(x+3)^2=375. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(15{:}\)

\begin{gather*} (x+3)^2=\frac{375}{15};\\[6pt] (x+3)^2=25. \end{gather*}

Звідси \(x+3=5\) або \(x+3=-5\), отже, отримаємо корені \(x_1=5-3=2\) та \(x_2=-5-3=-8.\)

Сума коренів дорівнює:

\begin{gather*} x_1+x_2=2+(-8)=-6. \end{gather*}

Відповідь: Г.