ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом й обчислювати відсотки.

Визначмо масу цукру (x) в початковому солодкому чаї. Для цього масу всього чаю вважаймо за \(100\ \%\) і складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2000 - 100\ \%;\\[7pt] x - 10\ \%. \end{gather*}

З пропорції визначмо масу цукру в початковому солодкому чаї:

\begin{gather*} x=\frac{2000\cdot 10\ \%}{100\ \%}=200\ \text{г}. \end{gather*}

Обчислімо загальну масу чаю після розведення водою:

\begin{gather*} 2000\ \text{г}+500\ \text{г}=2500\ \text{г}. \end{gather*}

Визначмо відсоток цукру \(y\) в розведеному солодкому чаї. Для цього масу розведеного чаю позначмо \(100\ \%\) і складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2500 - 100\ \%;\\[7pt] 200 - y\ \%. \end{gather*}

З пропорції визначмо відсоток цукру розведеному чаї:

\begin{gather*} y=\frac{200\cdot 100\ \%}{2500}=8\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати векторів і їхні модулі.

Визначмо координати точки \(O\), яка є початком координат: \(O(0; 0; 0).\) Визначмо координати векторів: \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{BC}.\) Для цього від координат кінця вектора віднімімо координати його початку:

Визначмо координати вектора \(\overrightarrow{c}\), віднявши від координат вектора \(\overrightarrow{OA}\) координати вектора \(\overrightarrow{BC}{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні нерівності, використовуючи знання про властивості кореня парного степеня й розуміння області допустимих значень.

Корінь парного степеня набуває лише невід’ємних значень. Отже, ліва частина нерівності \(\sqrt[\scriptstyle 6]{4x-1}\) буде більшою за \(−2\) при всіх \(x\), для яких цей вираз матиме зміст.

Тому розв’язання нерівності зводиться до визначення області допустимих значень. Визначмо допустимі значення \(x\), зважаючи на те, що підкореневий вираз для кореня парного степеня невід’ємний:

\begin{gather*} 4x-1\ge 0;\\[7pt] 4x\ge 1;\\[7pt] x\ge 0{,}25. \end{gather*}

Отже, областю допустимих значень і, відповідно, розв’язком нерівності є проміжок \([0{,}25; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи й площу рівнобедреного трикутника, використовуючи радіус описаного кола, відомий кут і властивості рівнобедреного трикутника.

Площу трикутника \(ABC\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12\cdot AC\cdot BH. \end{gather*}

Довжину сторони \(AC\) – за теоремою синусів:

\begin{gather*} \frac{AC}{\sin \angle B}=2R;\\[6pt] AC=2R\cdot\sin \angle B=2a\cdot \sin (2\beta). \end{gather*}

Довжину висоти \(BH\) – з прямокутного трикутника \(BHA\ (\angle H=90^\circ).\)

Оскільки трикутник \(ABC\) рівнобедрений, висота \(BH\), проведена до його основи, є також бісектрисою і медіаною. Оскільки \(BH\) − медіана, вона ділить сторону \(AC\) навпіл:

Оскільки \(BH\) − бісектриса, вона ділить кут \(B\) навпіл:

\begin{gather*} \angle ABH=\angle HBC=\frac{\angle B}{2}=\frac{2\beta}{2}=\beta. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(BHA\) тангенс кута \(ABH\) дорівнює відношенню протилежного катета \((AH)\) до прилеглого \((BH){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \angle ABH=\frac{AH}{BH}. \end{gather*}

Виразімо \(BH{:}\)

\begin{gather*} BH=\frac{AH}{\mathrm{tg}\ \angle ABH}=\frac{a\cdot \sin (2\beta)}{\mathrm{tg}\ \beta}. \end{gather*}

Запишімо \(\mathrm{tg}\ \beta\) як

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}. \end{gather*}

Розпишімо множник із чисельника за формулою синуса подвійного кута:

Підставмо ці величини у формулу площі трикутника \(ABC{:}\)

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12\cdot 2a\cdot \sin(2\beta)\cdot 2a\cdot \cos^2\beta. \end{gather*}

Спростімо отриманий запис, для цього використаймо скорочення на \(2\) й формулу синуса подвійного кута:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну функції, використовуючи правила диференціювання й таблицю похідних.

Спростімо вигляд наведеної в умові функції. Для цього помножмо \(x^2\) на кожен доданок у дужці, використовуючи властивість степенів \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}{:}\)

Визначмо похідну функції, скориставшись правилами диференціювання:

\begin{gather*} (u+v)'=u'+v';\\[7pt] (cu)'=cu', \end{gather*}

(де \(c\) – стала).

Також використаймо табличну похідну степеневої функції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння розкривати модуль, використовувати формулу скороченого множення й зводити подібні доданки.

Розкриймо квадрат різниці, використовуючи формулу скороченого множення:

Розкриймо модуль. Для цього визначмо знак підмодульного виразу: \(2-2\sqrt{2}.\)

Подамо \(2\) як \(\sqrt{4}\), \(2\sqrt{2}\) як \(\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=8.\) Порівняємо отримані підкореневі вирази. Оскільки \(4\lt 8\), тоді: \(\sqrt{4}\lt \sqrt{8}\), отже: \(2\lt 2\sqrt{2}.\)

Оскільки від меншого числа \((2)\) віднімаємо більше \((2\sqrt{2})\), значення підмодульного виразу буде від’ємним. Після розкриття такого модуля маємо змінити знак підмодульного виразу на протилежний:

\begin{gather*} |a|=-a, \end{gather*}

(де \(a\lt 0\)).

Маємо:

Запишімо вираз з умови, зважаючи на зроблені перетворення, і зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} 3-2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь, використовуючи навички розв’язання показникових і лінійних рівнянь.

Визначмо з першого рівняння \(x.\) Для цього спростимо ліву частину рівняння, використовуючи властивість степенів:

\begin{gather*} a^n\cdot b^n=(ab)^n.\\[7pt] 2^x\cdot 7^x=(2\cdot 7)^x=14^x. \end{gather*}

Спростимо праву частину першого рівняння системи. Для цього використаємо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\\[6pt] \frac{1}{14}=14^{-1}. \end{gather*}

Вигляд першого рівняння системи:

\begin{gather*} 14^x=14^{-1}. \end{gather*}

У рівнянні в лівій і правій частині основи однакові \((14).\) Отже, можемо відкинути основи й прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} x=-1. \end{gather*}

Підставмо отримане значення \(x\) у друге рівняння системи, щоб визначитити \(y{:}\)

\begin{gather*} 3\cdot (-1)-2y=7;\\[7pt] -3-2y=7. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння. Для цього перенесімо \(−3\) праворуч і поділімо обидві частини рівняння на \(−2{:}\)

\begin{gather*} -2y=7+3;\\[7pt] -2y=10;\\[7pt] y=10:(-2)=-5. \end{gather*}

Отже, розв’язок системи: \(x_0=−1\), \(y_0=−5.\) Обчислімо суму:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні, тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє знання множин чисел і вміння спрощувати тригонометричні й логарифмічні вирази, використовуючи тригонометричні формули й логарифмічні тотожності.

1. \(120^\circ\) можемо записати як різницю: \(180^\circ−60^\circ.\) Отже, отримаємо вираз:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (120^\circ)=\mathrm{tg}\ (180^\circ-60^\circ). \end{gather*}

Використаймо формулу зведення:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (180^\circ-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha;\\[7pt] \mathrm{tg}\ (180^\circ-60^\circ)=-\mathrm{tg}\ 60^\circ. \end{gather*}

За таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\sqrt{3}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} -\mathrm{tg}\ 60^\circ=-\sqrt{3}. \end{gather*}

\(-\sqrt{3}\) – це від’ємне ірраціональне число.

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів:

\begin{gather*} \sin 270^\circ=-1. \end{gather*}

Отже, маємо вираз: \(\lg 10^{-1}.\)

Використаймо логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \lg 10^{-1}=-1\cdot \lg 10=-\lg 10. \end{gather*}

Аргумент й основа логарифма однакові (дорівнюють \(10\)), тому застосуймо логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a a=1.\\[7pt] -\lg 10=-1\cdot 1=-1. \end{gather*}

\(−1\) – це ціле недодатне число.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Використаймо формулу синуса подвійного кута:

За таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів:

\begin{gather*} \sin 90^\circ=1. \end{gather*}

\(1\) – це натуральне число.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій і рівняння кола.

Побудуймо графік рівняння кола, яке має загальний вигляд:

\begin{gather*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2, \end{gather*}

(де \(x_0\), \(y_0\) − координати центра кола; \(R\) − радіус кола).

За умовою задане рівняння кола: \((x−5)^2+(y+4)^2=16.\)

Запишімо \(16\) як \(4^2\), \(+4\) як \(−(−4).\) Маємо:

\begin{gather*} (x-5)^2+(y-(-4))^2=4^2, \end{gather*}

Отже, координати центра кола: \((5;−4)\), радіус кола: \(4.\)

Побудуймо задане коло.

1. Спростімо функцію \(y=\ln 1\), використовуючи логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a 1=0.\\[7pt] y=ln 1=0. \end{gather*}

Побудуймо отриману функцію. Її графік – пряма, що накладається на вісь абсцис.

Коло дотикається осі абсцис (і, відповідно, графіка функції \(y=\ln 1\)) в одній точці з координатами: \((5; 0).\) Задане коло й побудована функція матимуть одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Спростімо функцію \(y+x^2=(x-1)^2.\) Для цього використаймо формулу квадрата різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[7pt] y+x^2=x^2-2\cdot x\cdot 1+(-1)^2;\\[7pt] y+x^2=x^2-2x+1. \end{gather*}

Перенесімо праворуч і зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} y=x^2-2x+1-x^2;\\[7pt] y=-2x+1. \end{gather*}

Отримали лінійну функцію, для побудови якої потрібно взяти дві точки:

• якщо \(x=0\), то \(y=1\);
• якщо \(x=1\), то \(y=−1.\)

Позначмо точки \((0; 1)\), \((1; −1)\) на координатній площині й проведімо через них пряму.

Як бачимо з отриманого графіка, побудована пряма й коло мають дві точки перетину.

Отже, правильна відповідь – В.

3. У функції \(y-2=5^{−x}\) виразімо \(y.\) Для цього перенесімо \(−2\) праворуч:

\begin{gather*} y=5^{-x}+2. \end{gather*}

Це показникова функція \(y=5^{−x}\), графік якої перенесено паралельно осі ординат на дві одиниці вгору. За властивістю показникова функція \(y=5^{−x}\) за будь-яких \(x\) набуває додатних значень, тобто її графік розташований вище від осі абсцис:

Графік функції \(y=5^{−x}\) підняли на дві одиниці вгору, тобто для утвореної функції \(y\gt 2.\)

Отже, графік заданої за умовою функції лежить повністю над віссю абсцис. Це означає, що графік заданої функції \(y=5^{−x}+2\) й коло, яке лежить нижче від осі абсцис і дотикається до неї лише в одній точці з координатами: \((5; 0)\), не мають жодної спільної точки:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.