ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} \frac{2x+10}{5}\gt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на додатне число \(5\), унаслідок цього знак нерівності не змінюється:

\begin{gather*} 2x+10\gt -20. \end{gather*}

Перенесімо \(10\) у праву частину з протилежним знаком:

\begin{gather*} 2x\gt -20-10;\\[7pt] 2x\gt -30. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} x\gt -15. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-15; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції.

I. Середня лінія трапеції проходить через середини діагоналей.

Середня лінія трапеції паралельна основам і проходить через середини обох її діагоналей (це випливає з теореми Фалеса для трикутників, утворених діагоналями й бічними сторонами). Твердження правильне.

II. Середня лінія трапеції більша за половину більшої основи.

Позначмо більшу основу як \(a\), а меншу як \(b\), де \(a\gt b\gt 0.\) За означенням, середня лінія

\begin{gather*} m=\frac{a+b}{2}=\frac a2+\frac b2. \end{gather*}

Оскільки довжина меншої основи додатна \((b\gt 0)\), доданок \(\dfrac b2\gt 0\), тому

\begin{gather*} \frac a2+\frac b2\gt \frac a2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Середня лінія трапеції ділить її на дві рівновеликі трапеції.

Рівновеликі фігури мають рівні площі. Обидві утворені трапеції мають однакову висоту, але нижня трапеція має більші основи \((m\) та \(a)\), ніж верхня \((b\) та \(m).\) Отже, площа нижньої трапеції завжди більша за площу верхньої. Твердження неправильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Скористаймося формулою скороченого множення квадрат суми:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі й властивостей сфери.

За властивістю сфер, що мають внутрішній дотик: точка дотику \(A\) й центри сфер \(B\) і \(O\) лежать на одній прямій, а центр меншої сфери \(B\) належить відрізку \(AO.\) Звідси випливає, що радіус більшої сфери \(R=AO\) має бути строго більшим за радіус меншої сфери \(r=AB\), тобто \(R\gt r.\)

Обчислімо радіус меншої сфери \(r\) як відстань між точками \(A(9; -2; 4)\) та \(B(1; 7; -8).\)

Застосуймо формулу відстані між двома точками в просторі:

Оскільки \(R\gt 17\), із запропонованих варіантів відповідей \((36\), \(21\), \(17\), \(42\), \(56) \) найменшим числом, яке задовольняє цю нерівність, є \(21.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів і різниці арифметичної прогресії.

Дано арифметичну прогресію \(a_n\), у якій перший член \(a_1=2\), а другий \(a_2=1{,}4.\)

Обчислімо різницю прогресії:

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

Формула суми перших \(n\) членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо значення для \(n=10{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведімо обидві частини показникового рівняння до спільної основи \(3{:}\)

Застосуймо властивість степеня:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \sqrt{3}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Отримали рівняння:

\begin{gather*} 3^{-x+7}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} -x+7=0{,}5;\\[7pt] -x=0{,}5-7;\\[7pt] -x=-6{,}5;\\[7pt] x=6{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння \(6{,}5\in (6; 7).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, середньої лінії трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Нехай \(AK=KD=x\), тоді \(BC=AD=2x.\)

Відрізок \(d\) – це середня лінія трапеції \(ABCK\) (з основами \(BC\) та \(AK\)).

\begin{gather*} d=\frac{BC+AK}{2}=\frac{2x+x}{2};\\[6pt] d=\frac{3x}{2};\\[6pt] x=\frac{2d}{3}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} AD=2x=2\cdot \frac{2d}{3}=\frac{4d}{3}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta KDC\ (\angle D=90^\circ\), \(\angle CKD=60^\circ){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами й логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac 12=0{,}5.\)

Значення \(0{,}5\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

2. \(\pi \approx 3{,}14.\)

\begin{gather*} \pi-4\approx 3{,}14-4=-0{,}86. \end{gather*}

Значення \(-0{,}86\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(4^{\textstyle \log_4 \pi}=\pi\approx 3{,}14.\)

За основною логарифмічною тотожністю \((a^{\textstyle \log_a b}=b).\) Значення \(3{,}14\) належить проміжку \([2; 4).\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\dfrac 1x-1.\)

Це – обернена пропорційність (гіпербола). Oбласть визначення \(x\ne 0\), тому перетину з віссю \(y\) немає. Для \(y=0\) отримуємо \(\dfrac 1x-1=0\), звідки \(x=1\), тобто графік перетинає лише вісь \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=x^2-4x+5.\)

Квадратична функція \(y=x^2-4x+5\) за \(x=0\) має значення \(y=5\), отже, перетинає вісь \(y.\) Дискримінант рівняння \(x^2-4x+5=0\) від'ємний \((D=-4)\), тому точок перетину з віссю \(x\) немає, а графік перетинає лише вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – А.

3. \(y=2\cos x.\)

Тригонометрична функція \(y=2\cos x\) парна, оскільки \(2\cos(-x)=2\cos x\), а графік будь-якої парної функції симетричний відносно осі \(y.\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д.