ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 2^2;\\[7pt] \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 4. \end{gather*}

Оскільки основи однакові, прирівняймо підлогарифмічні вирази: \(x=4.\)

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Будь-який член цієї геометричної прогресії можна отримати, помноживши або поділивши відоме число \(6\) на знаменник \(2\) в певному цілому степені:

\begin{gather*} b_n=6\cdot 2^m, \end{gather*}

де \(m\in Z.\)

Послідовно помноживши \(6\) на \(2\), маємо ряд: \(12\); \(24\); \(48\); \(96\), а поділивши \(6\) на \(2\), маємо: \(3\); \(1{,}5\); \(0{,}75.\) Серед запропонованих відповідей у цей ряд потрапляє лише число \(48\), оскільки \(6\cdot 2^3=48.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника та прямокутного трикутника, для обчислення площі.

У прямокутному трикутнику \(\Delta KCD\ (\angle C=90^\circ)\) відрізок \(DK\) є бісектрисою, тому \(\angle KDC=45^\circ.\) Обчислімо довжину катета \(CD{:}\)

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, \(AB=CD=12\) см.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому \(\angle KAB=30^\circ{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення, виконувати тотожні перетворення ірраціональних, степеневих і логарифмічних виразів.

1. \(a^6.\)

Оскільки \(\sqrt{2}=2^{\textstyle \frac 12}\), то

\begin{gather*} (\sqrt{2})^6=(2^{\textstyle \frac 12})^6=2^{\textstyle \frac 12\cdot 6}=2^3=8. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

Отже, 1 – Г.

2. \((a-3)(a+3).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів \(a^2-b^2=(a-b)(a+b){:}\)

\begin{gather*} (a-3)(a+3)=a^2-9;\\[7pt] (\sqrt{2})^2-9=2-9=-7. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. \(81^{\textstyle \log_ 3a}.\)

Оскільки \(81=3^4\) і \(\sqrt{2}=2^{\textstyle \frac 12}\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

1. Не має спільних точок із функцією \(y=\log_2(x-1).\)

Область визначення (ОДЗ) функції \(y=\log_2(x - 1)\) задається нерівністю

Пряма на рисунку В є вертикальною і має рівняння \(x=1\) (вертикальна асимптота). Оскільки \(x\gt 1\), графік логарифма розташований строго праворуч від цієї прямої й не перетинає її. Отже, 1 – B.

2. Є графіком функції \(y=\dfrac{2x}{3}-2.\)

Знайдемо точки перетину прямої \(y=\dfrac 23x-2\) з осями координат.

За \(x=0\) отримуємо \(y=-2\), тобто точку \((0; -2)\) на осі \(Oy.\)

За \(y=0\) маємо рівняння

Домножимо рівняння на \(3{:}\)

що дає точку \((3; 0)\) на осі \(Ox.\)

Цим двох точкам відповідає графік Д. Отже, 2 – Д.

3. Кутовий коефіцієнт прямої є від'ємним числом.

Кутовий коефіцієнт прямої \(y=kx+b\) дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до додатного напрямку осі \(Ox{:}\ k=\mathrm{tg}\ \alpha.\) Умова \(k\lt 0\) означає, що \(\mathrm{tg}\ \alpha\lt 0\), тобто кут \(\alpha\) є тупим \((90^\circ\lt \alpha\lt 180^\circ).\) Геометрично це відповідає спадній функції.

Єдиною спадною прямою на малюнках є пряма Г (утворює тупий кут із додатною піввіссю \(Ox\)). Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

Оскільки прямі \(m\) і \(n\) паралельні, відстань між ними є спільною висотою \(h\) для всіх трьох фігур. Для кругового сектора ця відстань є його радіусом:

\begin{gather*} h=AB=KH=MF. \end{gather*}

1. \(AB.\)

Сектор \(ABC\) становить чверть круга з радіусом \(R=AB{:}\)

\begin{gather*} S_\text{круг}=\pi R^2;\\[6pt] S_\text{сектор}=\frac{\pi R^2}{4}=64\pi;\\[6pt] R^2=256;\\[7pt] R=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(DL.\)

У рівнобедреному \(\Delta DKL\ (DK=KL=20\ \text{см})\) висота \(KH\!\perp\!DL\) дорівнює \(16\) см. З прямокутного \(\Delta KHD\) за теоремою Піфагора:

Тоді вся основа

\begin{gather*} DL=2\cdot DH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(LP.\)

Площа паралелограма дорівнює:

\begin{gather*} S=ah_a;\\[7pt] S_{LMNP}=LP\cdot MF;\\[7pt] 288=LP\cdot 16;\\[7pt] LP=\frac{288}{16}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричного та фізичного змісту похідної, а також вміння працювати з лінійною функцією.

Лінійна функція задається формулою \(f(x)=kx+b.\) Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту: \(f'(x)=(kx+b)'=k.\)

Оскільки за умовою похідна дорівнює \(8\), то \(k=8.\) Графік перетинає вісь ординат у точці з ординатою \(-4\), тобто

Запишiмо формулу функції: \(f(x)=8x-4.\) Отже,

Відповідь: \(-13{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації, розв'язувати текстові задачі.

Нехай \(x\) – кількість осіб, які вибрали жанр «Хоррор». Тоді жанру «Фантастика» віддали перевагу \(1{,}5x\) осіб. За умовою різниця між ними становить \(30\) осіб, тому маємо рівняння:

\begin{gather*} 1{,}5x-x=30;\\[7pt] 0{,}5x=30;\\[7pt] x=60. \end{gather*}

Отже, «Хоррор» вибрали \(60\) осіб, а «Фантастику» – \(1{,}5\cdot 60=90\) осіб. Разом ці два жанри вибрали \(60+90=150\) осіб.

Скориставшись діаграмою, обчислімо частку (%) жанрів «Фантастика» й «Хоррор» разом:

\begin{gather*} 100\ \%-(40\ \%+35\ \%)=25\ \%. \end{gather*}

Оскільки \(25\ \%\) від загальної кількості опитаних становить \(150\) осіб, обчислімо \(100\ \%\) (тобто загальну кількість):

\begin{gather*} 150:0{,}25=600\ \text{осіб}. \end{gather*}

Відповідь: \(600.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо периметр основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою

Обчислімо площу бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] S_\text{біч}=46\cdot 20=920\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(920.\)