ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей і вміння визначати парність і непарність функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, якщо для всіх \(x\) з області визначення виконується умова:

\begin{gather*} f(-x)=f(x). \end{gather*}

Перевірмо варіанти відповіді:

А \(y=3^{2x},\)

\(f(-x)=3^{2(-x)}=3^{-2x}\ne f(x)\) – ні парна, ні непарна.

Б \(y=\sin x +1,\)

B \(y=\dfrac 3x,\)

\(f(-x)=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac 3x=-f(x)\) – непарна.

Г \(y=2x^4,\)

\(f(-x)=2(-x)^4=2x^4=f(x)\) – парна.

Д \(y=2x,\)

\(f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)\) – непарна.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту трапеції \(BH\!\perp\!AD.\)

У прямокутному трикутнику \(BHO\ \angle BOH=45^\circ\), отже, трикутник \(BHO\) – рівнобедрений \((BH=HO).\)

Отже,

\begin{gather*} BH=HO=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Оскільки \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, проєкція бічної сторони

\begin{gather*} AH=\frac{AD-BC}{2}. \end{gather*}

За умовою \(AD=3BC.\)

Позначмо \(BC=x\), тоді \(AD=3x.\)

\begin{gather*} AH=\frac{3x-x}{2}=x=BC. \end{gather*}

Оскільки \(AO=AH+HO\), маємо

\begin{gather*} AO=x+\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Також

\begin{gather*} AO=\frac{AD}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x. \end{gather*}

Прирівняймо вирази для \(AO{:}\)

\begin{gather*} 1{,}5x=x+\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 1{,}5x-x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 0{,}5x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] x=a\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, основи трапеції дорівнюють:

\begin{gather*} BC=x=a\sqrt{2};\\[7pt] AD=3x=3a\sqrt{2}. \end{gather*}

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 2(x^2-x)=x^2+3. \end{gather*}

Розкриймо дужки в лівій частині рівняння й перенесімо всі доданки в ліву частину, щоб отримати квадратне рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0.\)

\begin{gather*} 2x^2-2x-x^2-3=0;\\[7pt] x^2-2x-3=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-3.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac.\)

Формула для визначення коренів квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

Дискримінант \(D\gt 0\), обчислімо корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1;\\[6pt] x_2=\frac{2+4}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати типові задачі на відсотки, зокрема визначати число за значенням його відсотка.

Оскільки знижка була \(70\ \%\), покупець заплатив:

\begin{gather*} 100\ \%-70\ \%=30\ \% \end{gather*}

від початкової вартості. Тобто \(30\ \%\) становлять \(105\) грн. Складімо пропорцію:

\begin{gather*} 30\ \%\ - \ 105\ \text{грн};\\[6pt] 100\ \%\ -\ x\ \text{грн};\\[6pt] \frac{30}{100}=\frac{105\ \text{грн}}{x};\\[6pt] x=\frac{105\ \text{грн}\cdot 100}{30}=350\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

I. Будь-який ромб є паралелограмом.

За означенням ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Твердження правильне.

II. Будь-яка висота ромба, проведена з його вершини, проходить через точку перетину діагоналей ромба.

Висота, опущена з вершини ромба на протилежну сторону, у загальному випадку не проходить через точку перетину діагоналей. Через цю точку проходить лише та висота, що сполучає протилежні сторони й ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Твердження неправильне.

III. Діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

Діагональ ромба ділить його на два трикутники зі спільною стороною (діагоналлю) і двома парами рівних сторін (оскільки всі сторони ромба рівні). Ці трикутники рівні за трьома сторонами (третя ознака рівності трикутників). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідні елементарних функцій, похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

Використали формули

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі}\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[6pt] (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}};\\[7pt] (u+v)'=u'+v'. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] 2^{3-x}\gt \frac 14,\\[6pt] 2^{3-x}\gt 4^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt (2^2)^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt 2^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((2)\) більша за одиницю \((2\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(3-x\gt -2.\)

Розв’яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} -x\gt -2-3;\\[7pt] -x\gt -5. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; 5).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Оскільки \(0{,}2=\dfrac{2}{10}=\dfrac 15=5^{-1}\) та \(25=5^2\), то:

Застосували властивості логарифмів:

і властивість степенів

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Центр сфери розташований у початку координат – точці \(O(0; 0; 0).\) Оскільки точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, радіус \(R\) дорівнює відстані від початку координат до точки \(A{:}\)

Рівняння сфери із центром у точці \((0; 0; 0)\) і радіусом \(R=5\) має вигляд:

\begin{gather*} x^2+y^2+z^2=25. \end{gather*}

Перевірмо запропоновані варіанти:

A \((5; 5; 5){:}\)

\(5^2+5^2+5^2=75\ne 25.\)

Б \((0; 0; 10){:}\)

\(0^2+0^2+10^2=100\ne 25.\)

B \((0; 0; 5){:}\)

\(0^2+0^2+5^2=25\) – підходить.

Г \((0; 1; 4){:}\)

\(0^2+1^2+4^2=17\ne 25.\)

Д \((5; 5; 0){:}\)

\(5^2+5^2+0^2=50\ne 25.\)

Відповідь: B.