ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник на множники:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

З першого рівняння визначмо \(x{:}\)

\begin{gather*} -2x=6;\\[6pt] x=\frac{6}{-2}=-3. \end{gather*}

З другого рівняння визначмо \(y{:}\)

\begin{gather*} \frac y3=9;\\[6pt] y=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Запишімо розв'язок як упорядковану пару \((x; y){:}\ (-3; 27).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

За формулою відстані між двома точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) і \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) простору:

Точка лежить усередині сфери, якщо відстань від неї до центра \(O\) менша за радіус \((OX\lt 13).\)

У всіх варіантах відповіді \(x\) та \(y\) координати збігаються з координатами центра \(O(11; -3; -5).\) Тому відстань від центра \(O\) до точки \((11; -3; z)\) обчислімо як модуль різниці аплікат:

\begin{gather*} OX=|z-(-5)|=|z+5|. \end{gather*}

Перевірмо варіанти, шукаючи той, де \(OX\lt 13{:}\)

A \((11; -3; 10){:}\ 10 + 5 = 15\gt 13\) (поза сферою).

Б \((11; -3; 6){:}\ 6 + 5 = 11\lt 13\) (усередині сфери – правильний варіант).

В \((11; -3; 19){:}\ 19 + 5 = 24\gt 13\) (поза сферою).

Д \((11; -3; 9){:}\ 9+ 5 = 14\gt 13\) (поза сферою).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів та \(n\)-го члена арифметичної прогресії.

За формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n. \end{gather*}

Для суми перших десяти членів \((n=10)\) формула матиме вигляд:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10. \end{gather*}

За умовою задачі відомо, що \(a_1+a_{10}=-12.\) Підставмо це значення у формулу:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{-12}{2}\cdot 10=-6\cdot 10=-60. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника і прямокутного трикутника.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності \((x\gt 0).\) Тоді \(AB=3x\), а \(BC=5x.\) За формулою периметра прямокутника:

\begin{gather*} P=2(AB+BC);\\[7pt] 2(3x+5x)=96;\\[7pt] 16x=96;\\[7pt] x=96:16;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Отже, сторона \(AB=3\cdot 6=18\) см.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}\) \(\angle KAB=30^\circ\), \(AB=18\) см – прилеглий катет, \(AK\) – шукана гіпотенуза. За означенням косинуса гострого кута:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних, ірраціональних виразів.

1. \(\lg 100.\)

Десятковий логарифм – це логарифм за основою \(10.\)

Застосуймо формули:

\begin{gather*} \log_{10} a=\lg a;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \lg 100=\log_{10} 10^2=2\cdot \log_{10} 10=2\cdot 1=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin\dfrac{3\pi}{2}.\)

Кут \(\dfrac{3\pi}{2}\) радіан відповідає \(270^\circ.\)

За тригонометричним колом або таблицею значень:

\begin{gather*} \sin\frac{3\pi}{2}=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A Графік функції \(f\) має лише одну спільну точку з графіком кола \((x-3)^2+(y+2)^2=1\).

Рівняння \((x-3)^2+(y+2)^2=1\) задає коло із центром у точці \((3; -2)\) і радіусом \(R=1.\)

Графік функції (пряма) проходить через точку \((3; -2)\), яка є центром кола. З рисунка видно, що він лише один раз перетинає коло. Отже, графік функції має з колом тільки одну спільну точку.

Отже, 2 – А.

Б Похідна функції \(f\) є додатною на проміжку \([–3; 3].\)

Якщо похідна \(f'(x)\gt 0\), то функція зростає на цьому проміжку. Це означає, що внаслідок збільшення значення \(x\) значення самої функції \(y\) також збільшується (графік функції підіймається).

Оскільки жоден графік не зростає безперервно від \(x=-3\) до \(x=3\), варіант Б є хибним в усіх трьох випадках.

В Функція \(f\) є непарною.

Графік непарної функції обов'язково симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Якщо повернути графік на \(180^\circ\) навколо точки \((0; 0)\), він має повністю збігтися сам із собою. Також графік непарної функції завжди проходить через точку \((0; 0)\) (якщо вона належить області визначення). Жоден графік не є симетричним відносно початку координат. Отже, варіант В є хибним в усіх трьох випадках.

Г Значення функції \(f\) на кінцях проміжку \([–3; 3]\) є рівними.

Перевірмо значення функції \(y=f(x)\) на кінцях проміжку \([-3; 3].\)

За графіком визначмо ординату точок з абсцисами \(x=-3\) та \(x=3\) \(f(-3)=2\) і \(f(3)=2.\)

Значення функції на кінцях проміжку є рівними \(f(-3)=f(3)=2.\) Отже, 1 – Г.

Д Функція \(f\) має два нулі.

Нулі функції – це точки перетину її графіка з віссю \(Ox\ (y=0).\) На рисунку графік перетинає вісь \(Ox\) точно у двох точках на проміжку \([-3; 0].\) Тобто функція має два нулі. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \((AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2;\\[7pt] AB^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] AB=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Радіус кола, вписаного в ромб \((r).\)

Висота ромба \(h=AK=12\) см. Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині його висоти:

\begin{gather*} r=\frac h2=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(OK.\)

Оскільки \(ABCD\) – ромб, то центр його симетрії (точка перетину діагоналей) – це точка \(O.\) Відрізок \(OK\) є медіаною, проведеною з прямого кута \(\angle AKC\) прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) до гіпотенузи \(AC.\)

Властивість: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи, тобто \(OK=AO=OC.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) знайдімо відрізок \(KC.\) Усі сторони ромба рівні \(13\) см, тому \(BC=13\) см.

\begin{gather*} KC=BC-BK=13-5=8\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2;\\[7pt] AC^2=12^2+8^2=144+64=208;\\[7pt] AC=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(OK=\dfrac{AC}{2}\),

\begin{gather*} OK=\frac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

Пряма \(y=x\) має кутовий коефіцієнт \(k=1.\) Оскільки дотична паралельна цій прямій, їхні кутові коефіцієнти рівні: \(f'(x_0)=1{:}\)

\begin{gather*} 8-2x_0=1;\\[7pt] -2x_0=1-8;\\[7pt] -2x_0=-7;\\[7pt] x_0=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(3{,}5.\)