ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину вектора \(\overrightarrow{OK}\) можна визначити за формулою:

де \(O(x_1, y_1, z_1)\), \(K(x_2, y_2, z_2)\) – координати точок.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 3)\), а її ордината дорівнює \(3.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки карат дорівнює \(0{,}2\) г, то маса діаманта в \(0{,}8\) карата становить: \begin{gather*} 0{,}8\cdot 0{,}2=0{,}16\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 0{,}16\ \text{г}=\frac{0{,}16}{1000}\ \text{кг}=0{,}00016\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(4\) знаки праворуч:

\begin{gather*} 0{,}00016\ \text{кг}=1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), a \(m\) – ціле число.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних елементів циліндра.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Усі твірні циліндра за означенням паралельні його осі обертання. Оскільки дві довільні твірні циліндра паралельні тій самій прямій (осі циліндра), то за ознакою паралельності прямих у просторі вони паралельні між собою.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників.

І. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.

За нерівністю трикутника сума будь-яких двох його сторін завжди більша за третю: \((a+b\gt c).\) Якщо сума буде меншою або рівною, геометрично неможливо буде замкнути сторони в трикутник. Твердження неправильне.

ІІ. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за \(90^\circ.\)

Це твердження легко спростувати контрприкладом. Візьмімо тупокутний трикутник із кутами \(100^\circ\), \(40^\circ\) і \(40^\circ.\) Сума двох найменших кутів: \(40^\circ+40^\circ=80^\circ\), що менше за \(90^\circ.\) Твердження неправильне.

ІІІ. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший кут.

Це фундаментальна теорема про співвідношення між сторонами й кутами трикутника: у будь-якому трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (ab)^x=a^x\cdot b^x.\\[6pt] 3^x\cdot 5^x\le \frac{1}{15};\\[6pt] (3\cdot 5)^x\le 15^{-1};\\[6pt] 15^x\le 15^{-1}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((15)\) більша за одиницю \((15\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(x\le -1.\)

\begin{gather*} x\in (-\infty; -1]. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

\begin{gather*} b_n=\frac{(-1)^n}{n}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_4=\frac{(-1)^4}{4}=\frac 14. \end{gather*}

Обчислімо п’ятий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_5=\frac{(-1)^5}{5}=-\frac 15. \end{gather*}

Обчислімо суму виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

ОДЗ:

\begin{gather*} 2x+y\ne 0;\\[7pt] 2x\ne y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd \Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] 5\cdot x=1\cdot (2x+y);\\[7pt] 5x=2x+y;\\[7pt] 5x-2x=y;\\[7pt] 3x=y.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3x=y,\\ 4x+2=y. \end{array}\right. \end{gather*}

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(y.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

\begin{gather*} 3x=4x+2;\\[7pt] 3x-4x=2;\\[7pt] -x=2;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x=-2.\) у перше рівняння:

\begin{gather*} y=3\cdot (-2)=-6. \end{gather*}

Отже, \((-2; -6)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо суму:

\begin{gather*} x_0+y_0=-2+(-6)=-8. \end{gather*}

Відповідь: A.