ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \((a_n)\) відрізняється від відомого \((a_k)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_n=a_k+d\cdot m, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число.

Підставивши відомі значення \(a_k=27\) та \(d=5\)

\begin{gather*} a_n=27+5m. \end{gather*}

Шукані члени прогресії належать інтервалу \((60; 75).\) Складімо подвійну нерівність:

\begin{gather*} 60\lt 27+5m\lt 75;\\[7pt] 60-27\lt 5m\lt 75-27;\\[7pt] 33\lt 5m\lt 48;\\[6pt] \frac{33}{5}\lt m\lt \frac{48}{5};\\[6pt] 6{,}6\lt m\lt 9{,}6;\\[7pt] m=\{7,\ 8,\ 9\} \end{gather*}

Обчислімо відповідні члени арифметичної прогресії:

Обчислімо суму \(S\) визначених членів прогресії:

\begin{gather*} S=62+67+72=201. \end{gather*}

Відповідь: \(201.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) елементів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

1. Оберімо співака.

Треба обрати \(1\) співака з \(5\) фіналістів. Кількість способів це зробити дорівнює:

\begin{gather*} C_5^1=5. \end{gather*}

2. Оберімо музичні групи.

Треба обрати \(2\) групи з \(12\) фіналістів. Оскільки порядок вибору груп не має значення, використаймо формулу комбінацій \((C_{12}^2){:}\)

3. Визначмо загальну кількість варіантів.

Оскільки маємо обрати і співака, і музичні групи (сполучник і вказує на одночасний вибір), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} N=C_5^1\cdot C_{12}^2=5\cdot 66=330. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(330.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ \((AC)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу:

Звідси обчислімо більшу діагональ:

2. Визначмо меншу діагональ \((BD)\) ромба.

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

Підставимо знайдені значення площі основи та висоти у формулу об'єму:

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(x^2+(2a-15)x+26-4a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=1;\\[7pt] b_\text{коеф.}=2a-15;\\[7pt] c_\text{коеф.}=26-4a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

Тобто

За умовою задачі, обидва корені мають бути більшими за \(1{:}\ x_1\gt 1\) i \(x_2\gt 1.\)

Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2\gt 1,\\ -2a+13\gt 1. \end{array}\right.\\[7pt] -2a+13\gt 1;\\[7pt] -2a\gt 1-13;\\[7pt] -2a\gt -12. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 2a\lt 12. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} a\lt 6. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-\infty; 6).\)

У завданні запитують про найбільше ціле значення \(a.\) Оскільки число \(6\) не входить у проміжок (знак строгий), то найбільше ціле число, що задовольняє умову, – це \(5.\)

Відповідь: \(5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.\)

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 115^\circ=\angle KOM+35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=115^\circ-35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми відображення статистичних даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості кленів до кількості ялин: \(3:1.\)

Це означає, що на \(3\) клени припадає \(1\) ялина.

Усього частин:

\begin{gather*} 3\ \text{(клени)} + 1\ \text{(ялина)} = 4\ \text{(частини)}. \end{gather*}

Частка ялин:

\begin{gather*} \frac 14\ \text{від усього кола}. \end{gather*}

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ :4=90^\circ\ \text{(прямий кут)}. \end{gather*}

Частка кленів:

\begin{gather*} \frac 34\ \text{від усього кола (решта}\ 270^\circ\text{)}. \end{gather*}

Отже, вибираємо діаграму, де світло-сірий сектор (ялини) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє знання властивостей коренів і вміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Оскільки \(25=5^2\), \(\sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt[\scriptstyle 4]{5^2}=\sqrt{5}.\)

Застосували властивості коренів:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle nk]{a^{mk}}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо хорди, що є його діаметром.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(3{:}\)

\begin{gather*} x\in [-18; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.