ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжімо логарифмічну нерівність \(\log_{0{,}2} (x+4)\gt \log_{0{,}2} 5.\)

Функція є спадною, бо основа логарифма \(0{,}2\lt 1.\) Отже, \(x+4\lt 5\) та за ОДЗ \(x+4\gt 0.\)

Розв'язком нерівності є розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+4\lt 5,\\ x+4\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 5-4,\\ x\gt -4, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -4. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-4; 1). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв’язувати текстові задачі.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \(a_k\) відрізняється від відомого \((a_n)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_k-a_n=m\cdot d, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число (кількість кроків).

Різниця між невідомим числом і числом \(27\) має націло ділитися на \(5.\)
А) \(49{:}\
49 - 27 = 22\) (число \(22\) не ділиться на \(5\) без остачі).
Б) \(50{:}\
50 - 27 = 23\) (не ділиться на \(5\)).
В) \(51{:}\
51 - 27 = 24\) (не ділиться на \(5\)).
Г) \(52{:}\
52 - 27 = 25\) (число \(25\) ділиться на \(5\) націло: \(25 : 5 = 5\)).
Д) \(53{:}\
53 - 27 = 26\) (не ділиться на \(5\)).

Оскільки різниця ділиться на \(5\) лише для числа \(52\), воно єдиний можливий правильний варіант із запропонованих.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ).\)

За умовою, \(\angle A=30^\circ\), а гіпотенуза \(AB=12\) см. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи.

\begin{gather*} BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, сторона \(AD\) втричі більша за висоту, проведену до неї:

\begin{gather*} AD=3\cdot BH=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площу паралелограма обчислімо як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\begin{gather*} S=AD\cdot BH=18\cdot 6=108\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right.\\[7pt] 10x-4y+6x+4y=26+6;\\[7pt] 16x=32;\\[7pt] x=\frac{32}{16}=2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=2\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6;\\[7pt] 12+4y=6;\\[7pt] 4y=6-12;\\[7pt] 4y=-6;\\[6pt] y=-\frac 64=-1{,}5. \end{gather*}

Тобто \((2; -1{,}5)\) – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1{,}5)=-3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних виразів.

1. Якщо \(n^{\textstyle \log_n m}=a\), то…

Застосуймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\textstyle \log_a b}=b.\\[7pt] m=a. \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. Якщо \(\dfrac{mn^2-nm^2}{n-m}=a\), то…

Розкладімо чисельник дробу на множники, винісши спільний множник \(mn\) за дужки.

\begin{gather*} \frac{mn(n-m)}{n-m}=a. \end{gather*}

Скоротімо дріб на спільний множник \((n-m)\), оскільки \(n\gt 1\), \(m\gt 1\) і \(n\ne m\) (інакше знаменник перетворився б на нуль):

\begin{gather*} mn=a. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. Якщо \(n\sin^2 m+n\cos^2 m=a\), то…

Винесімо спільний множник \(n\) за дужки й застосуймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.\\[7pt] n(\sin^2 m+\cos^2 m)=a;\\[7pt] n\cdot 1=a;\\[7pt] n=a. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=x^3\) (кубічна парабола).

Оскільки \(y(0)=0^3=0\), графік перетинає відрізок \(AB\) у точці \((0; 0).\) Оскільки \(y(1)=1^3=1\), графік перетинає відрізок \(BC\) у точці \((1; 1).\) Графік має дві спільні точки з ламаною.

Отже, 1 – B.

2. Функція \(y=\cos x\) (косинусоїда).

Розгляньмо зміну косинуса на відрізку \([0; 2\pi]{:}\)

Якщо \(x=0\), \(y=\cos 0=1.\) Це вершина \(B(0; 1).\)

Якщо \(x=\pi\), \(y=\cos \pi=-1.\) Ця точка лежить на нижній основі \(AD.\)

Якщо \(x=2\pi\), \(y=\cos (2\pi)=1.\) Це вершина \(C(2\pi; 1).\)

Графік має три спільні точки з ламаною.

Отже, 2 – Г.

3. Функція \(y=x+1\) (лінійна функція).

Графік має одну спільну точку з ламаною – це вершина \(B(0; 1).\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутного та рівнобедреного трикутників, а також теореми Піфагора.

1. Довжина сторони квадрата \(ABCD.\)

Оскільки за умовою \(KM=DM\), трикутник \(\Delta KMD\) – рівнобедрений з основою \(KD.\)

Проведімо з вершини \(M\) висоту \(MP\) до основи \(KD\ (MP\!\perp\!AD).\) За властивістю рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є також його медіаною.

Це означає, що точка \(P\) ділить відрізок \(KD\) навпіл: \(KP=PD.\)

Чотирикутник \(MPDC\) за побудовою є прямокутником (оскільки \(MC\!\parallel\!PD\) та \(\angle C=\angle D=90^\circ\)).

З властивостей прямокутника випливає, що протилежні сторони рівні:

\begin{gather*} PD=MC=10\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(P\) – середина \(KD\), то:

\begin{gather*} KP=PD=10\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона квадрата \(AD\) просто складається з трьох відомих відрізків на одній прямій:

\begin{gather*} AD=AK+KP+PD;\\[7pt] AD=4+10+10=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. Довжина відрізка \(DM.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta MCD\ (\angle C=90^\circ).\)

Катет \(MC=10\) см (за умовою).

Катет \(CD=24\) см (сторона квадрата).

За теоремою Піфагора в трикутнику \(\Delta MCD{:}\)

\begin{gather*} DM^2=MC^2+CD^2. \end{gather*}

Підставмо відомі значення чисел:

\begin{gather*} DM^2=10^2+24^2;\\[7pt] DM^2=100+576=676;\\[7pt] DM=\sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Відстань від середини відрізка \(DM\) до прямої \(AB.\)

Чотирикутник \(ABMD\) – це прямокутна трапеція з основами \(BM\) і \(AD\ (BM\!\parallel\!AD\), \(\angle A=\angle B=90^\circ).\)

Точка \(O\) – середина похилої бічної сторони \(MD.\) Проведімо з точки \(O\) перпендикуляр \(OK\) до сторони \(AB\ (OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(BM\!\parallel\!AD\) і вони обидва перпендикулярні до \(AB\), то відрізок \(OK\), проведений через середину \(MD\) паралельно основам, є середньою лінією трапеції \(ABMD.\)

За властивістю середньої лінії трапеції, її довжина дорівнює півсумі основ:

\begin{gather*} OK=\frac{BM+AD}{2}. \end{gather*}

\begin{gather*} OK=\frac{14+24}{2}=\frac{38}{2}=19\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, розкриймо дужки, щоб звести функцію до стандартного вигляду многочлена:

\begin{gather*} f(x)=4x-x^2. \end{gather*}

Застосуймо основні правила диференціювання \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\) та \((Cx)'=C.\)

\begin{gather*} f(x)'=(4x)'-(x^2)'=4-2x. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=5\) у рівняння похідної:

\begin{gather*} f(5)'=4-2\cdot 5=4-10=-6. \end{gather*}

Відповідь: \(-6.\)