ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Якщо за \(t\) ручок заплатили \(x\) гривень, то одна ручка коштує \(\dfrac xt\) грн.

Обчислімо загальну вартість ручок, помноживши ціну ручки на кількість ручок \(m{:}\)

\begin{gather*} \frac xt\cdot m=\frac{mx}{t}\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (-\infty; 0)\), тому її графік обов'язково буде в тій ділянці, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи:

\begin{gather*} 9=3^2=\left(\frac 13\right)^{-2};\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(\dfrac 13\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} 2x-1=-2;\\[7pt] 2x=-2+1;\\[7pt] 2x=-1;\\[6pt] x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(-\dfrac 12\in (-2; 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних та вміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

Первісну, яка проходить через точку \(M(0; 1)\), дізнаймося підставивши координати точки \(x=0\), \(F(0)=1\) у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої \(C{:}\)

\begin{gather*} \frac 32\cdot 0^2+0+C=1;\\[6pt] C=1. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} F(x)=\frac 32 x^2+x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y} \end{gather*}

і властивості логарифмів:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[7pt] \log_{10} a=\lg a. \end{gather*}

Оскільки \(100=10^2\), маємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі й уміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

\begin{gather*} \angle BCA=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \end{gather*}

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=75^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

\begin{gather*} \overset{\smile}{AB}=75^\circ \cdot 2=150^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння \(\dfrac{x}{3y}=\dfrac{-2}{1}\) за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=-2\cdot 3y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо цей вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} -6y+y=15;\\[7pt] -5y=15;\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-3.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати вектора в просторі.

Якщо \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{BA}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2).\\[7pt] A(0; 2; 0);\\[7pt] B(0; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0-0; 2-0; 0-2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0; 2; -2). \end{gather*}

Відповідь: B.