ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, то \(\angle B=90^\circ.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому гіпотенуза \(AK=8\) см і \(\angle BAK=30^\circ.\)

Катет \(BK\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} BK=\frac 12AK=\frac 12\cdot 8=4\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину катета \(AB\) через косинус кута:

За умовою, \(AK\) – бісектриса кута \(\angle BAC.\) Оскільки \(\angle BAK=30^\circ\), то

\begin{gather*} \angle KAC=\angle BAK=30^\circ. \end{gather*}

Тоді кут

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=4\sqrt{3}\) см і гострий кут \(\angle BAC=60^\circ.\)

Обчислімо довжину катета \(BC\) через тангенс кута:

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів, визначати місце отриманих чисел на координатній прямій.

1. \(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\) Отже, 1 – Б.

2. \((1-\sqrt{5})\cdot \varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

Застосували формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

Числу \(-2\) на прямій відповідає точка \(K.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_5 (2\varphi-\sqrt{5}).\)

Для спрощення виразу застосовували формулу:

\begin{gather*} \log_a 1=0. \end{gather*}

Числу \(0\) на прямій відповідає точка \(M.\) Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=-3-x^2.\)

Графік цієї функції – парабола. Оскільки коефіцієнт перед \(x^2\) від'ємний \((-1)\), вітки параболи напрямлені вниз. Вершина параболи зміщена по осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз і має координати \((0; -3).\)

Графік повністю лежить нижче осі \(x\), тобто в III та IV чвертях.

Отже, 1 – В.

2. Функція \(y=\dfrac 3x.\)

Це обернена пропорційність, графік якої – гіпербола. Оскільки чисельник додатний \((3\gt 0)\), вітки гіперболи розташовані в I та III координатних чвертях. Графік міститься лише в I та III чвертях.

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\mathrm{tg}\ x.\)

Графік тангенса – тангенсоїда. Це періодична функція, яка набуває і додатних, і від'ємних значень для різних значень (і додатних, і від'ємних) аргумента \(x\). Тангенсоїда складається з безлічі віток, які проходять через кожну чверть. Графік лежить у I, II, III та IV чвертях.

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. \(BO.\)

За умовою \(AK=5\) см. Точка \(K\) лежить на відрізку \(AO\), тому:

\begin{gather*} OK=AO-AK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) лежить на колі, а \(O\) – його центр, тому \(OK\) – це радіус кола \((R=15\ \text{см}).\) Оскільки \(BD\) – діаметр кола, то відрізок \(BO\) також є радіусом цього кола:

\begin{gather*} BO=R=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ)\), \(AO=20\) см, \(BO=15\) см. За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи \(AB\) (сторону ромба):

Отже, 2 – Г.

3. \(BN.\)

Точка \(N\) лежить на колі, а \(BD\) – діаметр. Кут \(\angle BND\) вписаний і спирається на діаметр, тому \(\angle BND=90^\circ.\) Отже \(BN\!\perp\!CD\), тобто \(BN\) – висота ромба, опущена на сторону \(CD.\) Обчислімо висоту \(BN\) через площу ромба.

Площа ромба через діагоналі:

Площа ромба через сторону й висоту \((CD=AB=25\ \text{см}){:}\)

\begin{gather*} S=CD\cdot BN;\\[7pt] 600=25\cdot BN;\\[6pt] BN=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну лінійної функції.

Будь-яку лінійну функцію задано формулою:

\begin{gather*} y=kx+b. \end{gather*}

Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту \(k{:}\)

\begin{gather*} f'(x)=(kx+b)'=k. \end{gather*}

За умовою \(f'(x)=-5\), тому \(k=-5.\)

Тобто функція набуває вигляду:

\begin{gather*} f(x)=-5x+b. \end{gather*}

Нуль функції – це значення аргументу \(x\), за якого \(f(x)=0.\) За умовою, якщо \(x=1{,}5\), то \(f(1{,}5)=0.\)

Підставмо ці дані в рівняння, щоб обчислити \(b{:}\)

\begin{gather*} -5\cdot 1{,}5+b=0;\\[7pt] -7{,}5+b=0;\\[7pt] b=7{,}5. \end{gather*}

Отже, остаточний вигляд функції такий:

\begin{gather*} f(x)=-5x+7{,}5. \end{gather*}

Підставмо \(x=-2\) у формулу функції:

Відповідь: \(17{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації.

Уся кругова діаграма становить \(100\ \%.\) Віднімімо від загальної кількості відомі частки (%) інших трьох жанрів:

Отже, жанру «Хоррор» віддали перевагу \(7{,}5\ \%\) студентів.

За умовою, «Фантастику» вибрало на \(45\) осіб більше. Обчислімо різницю часток:

\begin{gather*} 10\ \% - 7{,}5\ \%=2{,}5\ \%. \end{gather*}

Це означає, що \(2{,}5\ \%\) від загальної кількості студентів – \(45\) осіб.

За правилом обчислення числа за його відсотком:

Відповідь: \(1800.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості піраміди для розв’язування стереометричних задач.

Діагональним перерізом такої піраміди є трикутник \(SAC\), де сторона \(AC\) – діагональ квадрата основи, а \(SA\) і \(SC\) – бічні ребра піраміди.

Оскільки \(\Delta SAC\) рівносторонній, то:

\begin{gather*} SA=SC=AC. \end{gather*}

Висота піраміди \(SO\) є одночасно висотою рівностороннього трикутника \(SAC.\)

Формула висоти рівностороннього трикутника зі стороною \(a{:}\)

\begin{gather*} SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Підставмо відоме значення висоти, щоб обчислити довжину сторони \(a\) (яка дорівнює діагоналі \(AC\) й бічному ребру \(SA\)):

Отже, діагональ основи \(AC=8\sqrt{2}\) см, бічне ребро \(SA=8\sqrt{2}\) см.

В основі піраміди лежить квадрат \(ABCD\) із діагоналлю \(AC=8\sqrt{2}\) см, його сторона \(AB\) дорівнює:

\begin{gather*} AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Для обчислення площі бічної поверхні потрібно знати довжину апофеми \(SF\) (висоту бічної грані \(SDC\)). Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOF\) (де \(OF\) – радіус вписаного у квадрат кола, \(OF=\dfrac{AB}{2}=4\) см):

За теоремою Піфагора:

Обчислімо площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot P_\text{осн}\cdot SF;\\[6pt] P_\text{осн}=4\cdot AB=4\cdot 8=32\ \text{см};\\[6pt] S=\frac 12\cdot 32\cdot 4\sqrt{7}=64\sqrt{7}\ \text{см}^2. \end{gather*}

За умовою задачі у відповіді треба записати значення \(\dfrac{S}{\sqrt{7}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{64\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=64. \end{gather*}

Відповідь: \(64.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових і раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} 4x-\sqrt{4x+a}+a=0;\\[7pt] (4x+a)-\sqrt{4x+a}=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt{4x+a}=t\), де \(t\ne 0\), тоді \(4x+a=t^2.\)

Підставмо в рівняння:

\begin{gather*} t^2-t=0;\\[7pt] t(t-1)=0. \end{gather*}

Отримуємо два корені, якщо обидва задовольняють умову \(t=0.\) Отже, \(t_1=0\) i \(t_2=1.\)

1. Якщо \(t=0{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=0;\\[7pt] 4x_1=-a;\\[6pt] x_1=-\frac a4. \end{gather*}

2. Якщо \(t=1{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=1^2;\\[7pt] 4x_2=1-a;\\[6pt] x_2=\frac{1-a}{4}. \end{gather*}

Оскільки для будь-якого дійсного значення \(a\) отримуємо два різні корені, рівняння завжди має рівно два корені.

За умовою сума коренів дорівнює \(10{:}\)

\begin{gather*} x_1+x_2=10;\\[6pt] -\frac a4+\frac{1-a}{4}=10. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

\begin{gather*} -a+1-a=40;\\[7pt] -2a+1=40;\\[7pt] -2a=39;\\[7pt] a=39:(-2);\\[7pt] a=-19{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(-19{,}5.\)