ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні подвійні нерівності й порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} -4\lt 6-2x\lt 2. \end{gather*}

Віднімімо \(6\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -4-6\lt -2x\lt 2-6;\\[7pt] -10\lt -2x\lt -4. \end{gather*}

Поділімо на \(-2{:}\)
Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} \frac{-10}{-2}\gt x\gt \frac{-4}{-2};\\[6pt] 5\gt x\gt 2;\\[7pt] 2\lt x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (2; 5).\) З наведених чисел лише \(3\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] (-6x^3)^2=(-6)^2\cdot (x^3)^2=36x^6. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур для розв'язання задач практичного змісту.

Напрямки північ і схід перпендикулярні, тому кут між ними дорівнює \(90^\circ.\) Кут між напрямком північ і напрямком \(OA\) дорівнює \(15^\circ\), тому:

\begin{gather*} \angle AOB=90^\circ-15^\circ=75^\circ. \end{gather*}

Напрямок південний схід є бісектрисою прямого кута між напрямками схід і південь, тобто

\begin{gather*} \angle BOC=\angle COD=90^\circ: 2=45^\circ. \end{gather*}

Обчислімо шуканий кут повороту:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

За умовою температура повітря не перевищувала \(10\ ^\circ\mathrm{C}\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де значення температури є меншим або дорівнює \(10\ ^\circ\mathrm{C}\ (t\le 10\ ^\circ\mathrm{C}).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від 0 до 7 год (з 00:00 до 07:00) температура підвищується з \(2\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) включно. Тривалість підвищення: \(7-0=7\) год.

Від 22 до 24 год (з 22:00 до 24:00) температура знижується з \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(7\ ^\circ\mathrm{C}.\) Тривалість зниження: \(24-22=2\) год.

Сумарна кількість годин: \(7+2=9\) год.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a-(12a+5a)=a-17a=-16a. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел й уміння розв'язувати задачі на відношення і пропорції.

Усі цукерки розфасували по \(6\) штук у коробку без залишку. Це означає, що шукане число можна поділити на \(6\) націло. Число ділиться на \(6\) тоді й тільки тоді, коли воно одночасно ділиться і на \(2\), і на \(3.\)

За ознакою подільності число ділиться на \(2\), якщо воно парне (закінчується на \(0\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\)).

За ознакою подільності число ділиться на \(3\) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на \(3.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання про піраміду та її елементи.

Правильна шестикутна піраміда – це многокутник, основою якого є правильний шестикутник, а всі бічні грані – рівні між собою рівнобедрені трикутники.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} x(2x+5)=2x+5;\\[7pt] x(2x+5)-(2x+5)=0. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \((2x+5)\) за дужки:

\begin{gather*} (2x+5)(x-1)=0. \end{gather*}

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 2x+5=0\ \text{або}\ x-1=0;\\[7pt] 2x=-5;\\[7pt] x_1=-2{,}5;\\[7pt] x_2=1. \end{gather*}

Порівняймо корені: \(-2{,}5\lt 1\), отже, менший корінь – це \(x=-2{,}5.\)

\begin{gather*} -2{,}5\in (-3; -1]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, рівностороннього трикутника.

І. \(BM\!\perp\!BC.\)

Протилежні сторони ромба паралельні \((BC\!\parallel\!AD).\) Висота \(BM\!\perp\!AD\), тому вона перпендикулярна і до паралельної сторони \(BC.\) Твердження правильне.

ІI. Трикутник \(ABD\) є рівностороннім.

За умовою \(BM\) – висота та медіана \((AM=MD)\) трикутника \(ABD.\) Отже, \(\Delta ABD\) рівнобедрений \((AB=BD).\) У ромба всі сторони рівні, тому \(AB=AD.\) Маємо \(AB=AD=BD\), тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній. Твердження правильне.

ІII. \(\angle BAD\) удвічі менший за \(\angle ADC.\)

Оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній, його кут \(\angle BAD=60^\circ.\)
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює \(180^\circ\), тому \(\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\)
Отже, \(\angle BAD=60^\circ\) удвічі менший за \(\angle ADC=120^\circ.\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.