ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна і визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислімо площу зафарбованої фігури за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Визначмо точку перетину графіків \(y=9\) та \(y=x^3+1.\) Для цього прирівняймо їхні вирази:

\begin{gather*} x^3+1=9;\\[7pt] x^3=9-1;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Площу \(S\) фігури, що обмежена зверху графіком \(y=9\) (верхня), знизу – \(y=x^3+1\), а зліва – прямою \(x=0\), обчислімо за допомогою визначеного інтеграла:

Застосували формулу Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати інформацію з полігона частот й обчислювати середнє значення.

З полігона частот виписуємо значення елементів \((x_i)\) й відповідні їм частоти \((n_i){:}\)

Обчислімо загальну кількість елементів (суму частот):

\begin{gather*} N=3+7+1+3+3+5=22. \end{gather*}

Середнє значення обчислімо як середнє арифметичне:

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей многогранників і тіл обертання, формул площ поверхонь й об'ємів многогранників і тіл обертання.

Формула площі поверхні сфери:

\begin{gather*} S=4\pi R^2. \end{gather*}

За умовою \(S=432\pi\), тому:

\begin{gather*} 4\pi R^2=432\pi. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівності на \(4\pi{:}\)

\begin{gather*} R^2=108;\\[7pt] R=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює діаметру сфери \(D{:}\)

\begin{gather*} H=D=2R=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є правильний трикутник. За умовою радіус описаного навколо нього кола дорівнює радіусу сфери:

\begin{gather*} R_\text{осн}=R=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона основи \((a){:}\)

\begin{gather*} R_\text{осн}=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R_\text{осн}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа основи \((S_\text{осн}){:}\)

Формула об'єму піраміди:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кількість розв’язків системи двох лінійних рівнянь із двома змінними залежно від значень параметра.

Система лінійних рівнянь виду

\begin{gather*} \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \end{gather*}

не має розв'язків, якщо коефіцієнти при змінних пропорційні, але не дорівнюють відношенню вільних членів:

\begin{gather*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}. \end{gather*}

Запишімо відношення коефіцієнтів:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}\ne \frac{3}{24}. \end{gather*}

Розв'яжімо першу рівність:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}. \end{gather*}

За властивістю пропорції:

\begin{gather*} a(5a+6)=2\cdot 16;\\[7pt] 5a^2+6a-32=0. \end{gather*}

Для розв'язання квадратного рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0\) обчислімо дискримінант \(D=b^2-4ac.\)

Оскільки \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\\[6pt] a_1=\frac{-6+26}{2\cdot 5}=\frac{20}{10}=2;\\[6pt] a_2=\frac{-6-26}{2\cdot 5}=\frac{-32}{10}=-3{,}2. \end{gather*}

Перевірмо умову нерівності \(\dfrac{a}{16}\ne\dfrac{3}{24}\) \(\left(\text{де}\ \dfrac{3}{24}=\dfrac 18\right){:}\)

• якщо \(a=2,\)

\(\dfrac{2}{16}=\dfrac 18.\) Умова не виконується (за \(a=2\) система має безліч розв'язків);

• якщо \(a=-3{,}2,\)

\(\dfrac{-3{,}2}{16}=-\dfrac{32}{160}=-\dfrac 15\ne \dfrac 18.\) Умова виконується (система не має розв'язків).

Отже, система не має розв’язків лише за \(a=-3{,}2.\)

Відповідь: \(-3{,}2.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо.

\begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*}

(де \(a\) – будь-яке число \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати дані, наведені на графіку або в таблиці.

На горизонтальній осі час зазначено у хвилинах, тому виразимо у хвилинах час, заданий в умові:

\begin{gather*} 1\ \text{год}\ 20\ \text{хв}=60\ \text{хв}+20\ \text{хв}=80\ \text{хв}. \end{gather*}

На графіку значенню часу \(t=80\) хв відповідає заряд батареї \(70\ \%.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивості зовнішнього кута трикутника.

Кут \(\angle CBD=153^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABD\) при вершині \(B.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle CBD=\angle CAD+\angle ADB;\\[7pt] \angle CAD=\angle CBD-\angle ADB. \end{gather*}

Підставмо відомі значення \(\angle ADB=90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \angle CAD=153^\circ-90^\circ=63^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності площин і властивостей паралелепіпеда.

У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані лежать у паралельних площинах.

Грань \(AA_1D_1D\) проходить через точки \(A_1\), \(D_1\), \(D\), а грань \(BB_1C_1C\) – через точки \(C\), \(B\), \(B_1.\)

Оскільки це протилежні грані паралелепіпеда, площини \(A_1D_1D\) й \(CBB_1\) паралельні.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число в правій частині рівняння у неправильний дріб:

\begin{gather*} -3\frac{12}{13}=-\frac{3\cdot 13+12}{13}=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Запишімо рівняння:

\begin{gather*} \frac{4}{13}x=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(13{:}\)

\begin{gather*} 4x=-51;\\[6pt] x=-\frac{51}{4}=-12,75;\\[7pt] -12{,}75\in (-55; -10). \end{gather*}

Відповідь: Б.