ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійнi, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Нерівність виду \(f(x)^2\lt a^2\) рівносильна подвійній нерівності

\begin{gather*} -a\lt f(x)\lt a. \end{gather*}

Оскільки \(9=3^2\), то

\begin{gather*} (2x+1)^2\lt 3^2, \end{gather*}

маємо подвійну нерівність:

\begin{gather*} -3\lt 2x+1\lt 3. \end{gather*}

Віднімімо \(1\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -3-1\lt 2x\lt 3-1;\\[7pt] -4\lt 2x\lt 2. \end{gather*}

Поділімо всі частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} -2\lt x\lt 1. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-2; 1)\) – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати первісну тригонометричної функції.

Застосуймо правила визначення первісних для кожного доданка окремо:

Отримаємо

\begin{gather*} F(x)=3\sin x-\frac{x^{1+1}}{1+1};\\[6pt] F(x)=3\sin x-\frac{x^2}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо чотирикутник \(KBCD.\) У ньому \(BC\!\parallel\!KD\), тобто це трапеція з основами \(BC\) та \(KD.\) Відрізок \(MN\) з'єднує середини її бічних сторін \(BK\) та \(CD\), тому \(MN\) – середня лінія трапеції \(KBCD.\) За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} MN=\frac{BC+KD}{2}. \end{gather*}

Протилежні сторони паралелограма рівні \((BC=AD)\), тому

\begin{gather*} 24=\frac{AD+18}{2};\\[6pt] AD+18=48;\\[7pt] AD=30\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину відрізка \(AK{:}\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AK};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{BK}{12};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BK}{12};\\[6pt] BK=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою площі паралелограма \(S=a\cdot h_a\) обчислімо площу \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} W=\frac{q^2}{2C}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(C\), щоб винести шукану змінну зі знаменника:

\begin{gather*} W\cdot C=\frac{q^2}{2}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(W{:}\)

\begin{gather*} C=\frac{q^2}{2W}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

Знайдемо \(y\) з першого рівняння. Помножимо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

Підставимо знайдений \(y=8\) у друге рівняння:

Запишемо відповідь у вигляді впорядкованої пари \((x; y){:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь і вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(D\) є ортогональною проєкцією точки \(C(-1; 3; -4)\) на вісь \(Ox\), її \(x\)-координата залишається такою ж, а \(y\)- і \(z\)-координати дорівнюють нулю: \(D(-1; 0; 0).\)

Обчислімо відстань між точками \(C\) і \(D\).

За формулою відстані між двома точками у просторі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Запишімо масу солі, яку кристалізують з літра ропи, у кілограмах.

Оскільки \(1\) кг \(=\ 1000\) г, то:

\begin{gather*} 300\ \text{г}=0{,}3\ \text{кг}. \end{gather*}

Щоб дізнатися, скільки солі можна кристалізувати з \(9000\) літрів ропи, треба помножити об'єм ропи на масу солі, яку видобувають із літра ропи:

\begin{gather*} m=9000\cdot 0{,}3=2700\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. \(\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}.\)

Звільнімося від ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз \(\sqrt{2}-1{:}\)

Два вирази називають взаємно спряженими, якщо вони різняться лише знаком між доданками.

Оскільки \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), то \(\sqrt{2}-1\approx 0{,}41\gt 0.\) Це число містить корінь, який не можна добути, тому воно ірраціональне додатне.

Отже, правильна відповідь – Г.
 

2. \begin{gather*} \log_2(\delta-1)=\log_2(\sqrt{2}+1-1)=\log_2\sqrt{2}=\log_2 2^{\textstyle \frac 12}=\frac 12\cdot \log_2 2=\frac 12\cdot 1=\frac 12. \end{gather*}

Число \(\dfrac 12=0{,}5\) – це дріб, отже, воно є раціональним нецілим числом.

Для спрощення виразу застосовували формули:

Отже, правильна відповідь – B.
 

Число \(-1\) є цілим від'ємним числом.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних і квадратичних функцій, кола.

1. Побудуймо графік рівняння \(y+x=0.\)

Перенесімо \(x\) у праву частину: \(y=-x.\)

Це лінійна функція, графіком якої є пряма, що проходить через II й IV координатні чверті (бісектриса II й IV чвертей).

Отже, 1 – Г.

2. Побудуймо графік рівняння \(y+x^2=0.\)

Виразімо \(y{:}\ y=-x^2.\)

Це квадратична функція, графіком якої є парабола. Оскільки коефіцієнт біля \(x^2\) від'ємний \((a=-1\lt 0)\), вітки параболи напрямлені вниз.

Отже, 2 – Б.

3. Побудуймо графік рівняння \(y^2+x^2=1.\)

Запишімо в канонічному вигляді: \(x^2+y^2=1^2.\)

Це стандартне рівняння кола із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=1.\)

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.