ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Вираз під знаком логарифма повинен бути додатним: \(x\gt 0.\)

Запишімо число \(3\) у вигляді логарифма з основою \(2\), використовуючи властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] 3=3\cdot \log_2 2=\log_2 2^3=\log_2 8. \end{gather*}

Підставмо цей результат у початкову нерівність і використаймо властивість суми логарифмів \((\log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c){:}\)

\begin{gather*} \log_2 8+\log_2 x\lt \log_2 48;\\[7pt] \log_2 (8x)\lt \log_2 48. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(2\gt 1\), логарифмічна функція зростає, тому знак нерівності зберігається в разі переходу до виразів під логарифмом:

\begin{gather*} 8x\lt 48;\\[7pt] x\lt 6. \end{gather*}

Об'єднаймо умову \(x\lt 6\) з ОДЗ \((x\gt 0){:}\)

\begin{gather*} x\in (0; 6). \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення, зводити подібні доданки, виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Перетворімо квадрат двочлена за формулою \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)

\begin{gather*} (m+1)^2-1=n;\\[7pt] m^2+2m+1-1=n;\\[7pt] n=m^2+2m. \end{gather*}

Отже, 1 – В.

2. Запишімо корінь у вигляді степеня з дробовим показником:

Отже, 2 – Д.

3. Скористаймося означенням логарифма \((log_a b = c\Leftrightarrow a^c=b)\) й зведімо основи степенів до числа \(2{:}\)

\begin{gather*} \log_{\textstyle 2^n} 4^m=1;\\[7pt] (2^n)^1=4^m;\\[7pt] 2^n=(2^2)^m;\\[7pt] 2^n=2^{2m};\\[7pt] n=2m. \end{gather*}

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати кількість коренів рівняння \(f(x)=g(x)\) (або точок перетину графіків функцій) аналітичним чи графічним методом.

1. \(y=-x^3\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} -x^3=-x;\\[7pt] x^3-x=0;\\[7pt] x(x-1)(x+1)=0. \end{gather*}

Рівняння має три корені: \(x_1=0\), \(x_2=1\), \(x_3=-1.\)

Спосіб 2

Побудуймо графіки заданих функцій: пряму \(y=-x\) (бісектрису II та IV координатних чвертей) і кубічну параболу \(y=-x^3\) (розташована в II та IV чвертях).

Маємо три спільні точки. Отже, 1 – Г.

2. \(y=2-x\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} 2-x=-x;\\[7pt] 2=0x. \end{gather*}

Отримане рівняння не має розв’язків (прямі паралельні).

Спосіб 2

Побудуймо графіки заданих функцій (обидві функції лінійні): пряму \(y=-x\) (бісектрису II та IV координатних чвертей) і пряму \(y=2-x.\)

Прямі паралельні, отже, не мають жодної спільної точки. Отже, 2 – A.

3. \(y=2^x\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} 2^x=-x;\\[7pt] 2^x+x=0. \end{gather*}

Функція \(y=2^x\) зростає, а \(y=-x\) – спадає, тому їхні графіки можуть перетинатися не більш ніж в одній точці. Оскільки за \(x=-1\) маємо \(2^{-1}=0{,}5\lt 1\), а за \(x=0\) маємо \(2^0=1\gt 0\), за неперервністю корінь існує, і він єдиний (на проміжку \((-1; 0)\)).

Спосіб 2

Графік показникової функції \(y=2^x\) розміщений строго вище від осі \(Ox\) і проходить через точку \((0; 1).\) Пряма \(y=-x\) у II чверті проходить вище від осі \(Ox\), а в IV – нижче. Графіки перетинаються в одній точці в II чверті.

Тобто маємо одну спільну точку.

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, прямокутних трикутників.

1. Висота, проведена до \(AD.\)

Проведімо з вершини \(B\) висоту \(BH\!\perp\!AD.\)

Розгляньмо \(\Delta BHD.\) Оскільки \(BH\!\perp\!AD\) і \(OK\!\perp\!AD\), відрізки \(BH\) й \(OK\) паралельні. Оскільки \(O\) – середина \(BD\), то за означенням \(OK\) є середньою лінією \(\Delta BHD.\)

За властивістю середньої лінії трикутника, вона паралельна основі й дорівнює її половині \((OK=\dfrac 12BH).\)

Висота паралелограма

\begin{gather*} BH=2\cdot OK=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Проєкція \(AB\) на \(AD.\)

Оскільки \(OK\) – середня лінія \(\Delta BHD\), точка \(K\) ділить основу \(HD\) навпіл (\(KD=KH=17\) см). Тоді \(HD=2\cdot KD=34\) см. Проєкцією відрізка \(AB\) на пряму \(AD\) є відрізок \(AH{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(CD.\)

За властивістю паралелограма \(CD=AB.\)

З прямокутного трикутника \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Тобто \(CD=34\) см.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції, уміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної та обчислювати похідні функцій.

Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат \((0, 0)\), тому вона має вигляд: \(f(x)=ax^2.\) Визначмо коефіцієнт \(a\) за допомогою похідної.

Похідна функції:

\begin{gather*} f(x)=(ax^2)'=2ax. \end{gather*}

За умовою \(f'(1)=-4{:}\)

\begin{gather*} f'(1)=2a\cdot 1=2a;\\[7pt] 2a=-4;\\[7pt] a=-2. \end{gather*}

Маємо формулу функції: \(f(x)=-2x^2.\)

Обчислімо \(f(2{,}5){:}\)

Відповідь: \(-12,5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, розуміння змісту понять мода й середнє арифметичне.

Проаналізуймо дані з діаграми: значення температур за перші шість днів тижня дорівнюють \(23\), \(21\), \(23\), \(27\), \(23\) й \(24.\)

Модою цього ряду даних є число \(23\), оскільки воно трапляється найчастіше (тричі). За умовою середнє значення збігається з модою, тобто \(\overline{x}=23.\)

Позначивши температуру в неділю \(x\), складімо рівняння для обчислення середнього арифметичного:

Спростімо чисельник дробу:

\begin{gather*} \frac{141+x}{7}=23. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(7{:}\)

\begin{gather*} 141+x=161. \end{gather*}

Обчислімо невідомий доданок \(x{:}\)

\begin{gather*} x=161-141;\\[7pt] x=20. \end{gather*}

Середньоденна температура повітря в неділю становила \(20\ ^\circ\mathrm{C}.\)

Мода вибірки – це значення, яке трапляється найчастіше в наборі даних.

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних властивостей конуса й уміння обчислювати його об’єм.

Оскільки \(M\) і \(P\) – середини твірних \(AK\) і \(BK\), відрізок \(MP\) є середньою лінією трикутника \(ABK.\) Звідси діаметр основи \(AB=2\cdot MP=60\) см, а її радіус \(R=AO=30\) см. Довжина всієї твірної конуса дорівнює \(AK=2\cdot MK=50\) см.

З прямокутного трикутника \(AOK\) за теоремою Піфагора визначмо висоту конуса:

Отже, об'єм конуса \(\dfrac{V}{\pi}=12000.\)

Відповідь: \(12000.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь з параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження ірраціональних і показникових функцій.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=\sqrt{x}\) і \(v=3^y.\) Оскільки за умовою \(x_0\gt 0\) та \(y_0\gt 0\), для нових змінних маємо обмеження: \(u=\sqrt{x_0}\gt 0\) та \(v=3^{y_0}\gt 3^0=1.\)

Зваживши, що \(3^{y+1}=3\cdot 3y=3v\), перепишімо систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 2u+3v=5a+15,\\ u+v=a+9. \end{cases} \end{gather*}

Виразімо з другого рівняння \(u=a+9-v\) й підставмо в перше:

\begin{gather*} 2(a+9-v)+3v=5a+15;\\[7pt] 2a+18+v=5a+15;\\[7pt] v=5a+15-2a-18;\\[7pt] v=3a-3. \end{gather*}

Тоді

Зважаючи на умови для \(u\) та \(v\), дістанемо нерівності.

З умови \(u\gt 0\) маємо: \(12-2a\gt 0\Rightarrow a\lt 6.\)

З умови \(v\gt 1\) маємо: \(3a-3\gt 1\Rightarrow 3a\gt 4\Rightarrow a\gt \dfrac 43.\)

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \(\left(\dfrac 43; 6\right).\) Цілими числами із цього проміжку є \(2\), \(3\), \(4\) та \(5.\) Обчислімо їхню суму:

\begin{gather*} 2+3+4+5=14. \end{gather*}

Відповідь: \(14.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кути при паралельних прямих.

Завдання перевіряє знання властивостей кутів, що утворюються внаслідок перетинання двох паралельних прямих січною.

Оскільки прямі \(m\) і \(n\) паралельні \((m\!\parallel\!n)\), а пряма \(l\) є січною, то кути \(\alpha\) та \(\beta\) є внутрішніми різносторонніми. За властивістю паралельних прямих внутрішні різносторонні кути рівні: \(\alpha=\beta.\)

Підставмо \(\alpha=\beta\) в задану в умові рівність \(\alpha+\beta=58^\circ{:}\)

\begin{gather*} \alpha+\alpha=58^\circ;\\[7pt] 2\alpha=58^\circ;\\[7pt] \alpha=29^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.