ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення й обчислювати значення тригонометричних виразів.

Використаймо періодичність косинуса \(\cos (\alpha+360^\circ)=\cos \alpha\),

Оскільки тангенс є непарною функцією \(\mathrm{tg}\ (-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha\), маємо

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (-60^\circ)=-\mathrm{tg}\ 60^\circ=-\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо ці значення у вираз:

\begin{gather*} 2\cdot 0+(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}. \end{gather*}

Оскільки \(1\lt 3\lt 4\),

\begin{gather*} \sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4};\\[7pt] 1\lt \sqrt{3}\lt 2. \end{gather*}

Поділімо на \(-1{:}\)

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} -1\gt -\sqrt{3}\gt -2;\\[7pt] -2\lt -\sqrt{3}\lt -1. \end{gather*}

Отже, значення виразу належить проміжку \([-2; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє вміння обчислювати суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2\); \(a_2=1{,}4\); \(a_3=0{,}8.\)

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

обчислімо

\begin{gather*} S_{10}=\frac{2\cdot 2+(-0{,}6)\cdot (10-1)}{2}\cdot 10;\\[6pt] S_{10}=(4-0{,}6\cdot 9)\cdot 5;\\[7pt] S_{10}=(4-5{,}4)\cdot 5=-1{,}4\cdot 5=-7. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2x-5=8,\\ 2x-5=-8, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=8+5,\\ 2x=-8+5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=13,\\ 2x=-3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=6{,}5,\\ x_2=-1{,}5. \end{array}\right.\\[7pt] \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповіді запишімо суму коренів:

\begin{gather*} x_1+x_2=6{,}5+(-1{,}5)=5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі, а також властивостей кулі.

Обчислімо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

Якби кулі були однакового радіуса, то він дорівнював би \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус меншої кулі менший за \(13\) см.

З наведених значень – \(12\) см.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники. Подібність трикутників.

Завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їхніх сторін для визначення невідомих елементів трикутників.

Оскільки \(AD\!\parallel\!BC\), то \(\Delta AOL\sim \Delta COB\) за двома кутами (\(\angle AOL=\angle COB\) як вертикальні, \(\angle OAL=\angle OCB\) як внутрішні різносторонні). З подібності трикутників випливає відношення відповідних сторін:

\begin{gather*} \frac{BC}{AL}=\frac{OC}{AO};\\[6pt] \frac{BC}{3}=\frac{16}{4};\\[6pt] BC=12\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, \(AD=BC=12\) см.

Кут \(\alpha\) – це \(\angle ACD.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ACD\ (D=90^\circ)\) гіпотенуза \(AC=AO+OC=4+16=20\) см, а протилежний до кута \(\alpha\) катет – \(AD.\)

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

\begin{gather*} \sin \alpha=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}};\\[6pt] \sin \alpha=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{20}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних й ірраціональних виразів.

1. \(\log_3 27=\log_3 3^3=3\cdot \log_3 3=3.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

2. Використаймо формулу зведення:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Запишімо ділення у вигляді множення на обернений дріб і використаймо формулу різниці квадратів \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції \(y=f(x)\) на заданих проміжках, визначати монотонність, точки екстремуму, знаки координат точок, упізнавати елементарні функції.

1. Проміжок \([-4; -2].\)

На проміжку від \(x=-4\) до \(x=-2\), якщо рухатися зліва направо, лінія графіка йде вгору, тобто значення функції зростають. Отже, 1 – А.

2. Проміжок \([-2; 2].\)

На цій ділянці графік є параболою з вершиною в точці \((0; 1)\) гілки якої напрямлені вниз. Її задано рівнянням \(y=1-x^2.\) Перевірмо ключові точки фрагмента: \((0; 1)\), \((-1; 0)\) й \((1; 0)\) належать йому. Отже, 2 – Г.

3. Проміжок \([2; 5].\)

За \(x=3\) функція змінює характер монотонності: зі спадання переходить до зростання. Отже, точка \(x=3\) є точкою локального мінімуму. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, визначати довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. Висота трапеції \(ABCD.\)

Оскільки \(ABCK\) – квадрат, то трикутник \(\Delta ABC\) – прямокутний і рівнобедрений \((AB=BC=x).\) За теоремою Піфагора для \(\Delta ABC{:}\)

\begin{gather*} AB^2+BC^2=AC^2;\\[7pt] x^2+x^2=(12\sqrt{2})^2;\\[7pt] 2x^2=144\cdot 2;\\[7pt] x^2=144;\\[7pt] x=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висотою трапеції є сторона \(AB\) (або \(CK\)), тому \(h=12\) см.

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(AD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta CKD\ (\angle CKD=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Основа \(AD=AK+KD=12+5=17\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Середня лінія трапеції \(ABCD.\)

За означенням, середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ \((BC\) й \(AD){:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

Відповідь: \(16{,}5.\)