ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей і формул площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

За формулою площі бічної поверхні конуса \(S_\text{біч. кон.}=\pi RL.\) За умовою \(S_\text{біч. кон.}=500\) см\(^2\) та твірна \(SP=L=25\) см.

\begin{gather*} 500\pi=\pi\cdot R\cdot 25;\\[6pt] R=\frac{500}{25}=20\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса:

\begin{gather*} DM=m=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

Піраміда \(DABC\) правильна, тому її основа \(\Delta ABC\) – рівносторонній трикутник, а бічна грань \(\Delta DAB\) – рівнобедрений \((DA=DB=25\) см\().\)

Апофема \(DM\!\perp\!AB\) є висотою і медіаною \((AM=MB).\) З прямокутного \(\Delta DMA\ (\angle DMA=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Звідси сторона основи:

\begin{gather*} AB=2\cdot AM=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки в основі правильної піраміди лежить рівносторонній трикутник \(\Delta ABC\), обчислімо периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot a=3\cdot 30=90\ \text{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди

\begin{gather*} S_\text{біч. пір.}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m;\\[6pt] S_\text{біч. пір.}=\frac 12\cdot 30\cdot 20=900\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити нелінійну систему рівнянь з параметром до лінійної за допомогою заміни змінних; досліджувати кількість розв'язків системи з урахуванням множини значень показникової і квадратичної функцій.

В обох рівняннях змінна \(y\) трапляється лише у квадраті \((y^2).\) Це означає: якщо пара чисел \((x; y)\) є розв'язком, то й пара \((x; -y)\) теж обов'язково є розв'язком. Щоб розв'язок був єдиним, ці дві пари мають збігатися:

\begin{gather*} y=-y;\\[7pt] y=0. \end{gather*}

Підставмо \(y=0\) у початкову систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 0{,}2^x=3a+12;\\ 0{,}2^{x-1}=7a+42. \end{cases} \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

Підставмо вираз для \(0{,}2^x\) з першого рівняння в друге:

\begin{gather*} 5\cdot (3a+12)=7a+42;\\[7pt] 15a+60=7a+42;\\[7pt] 15a-7a=42-60;\\[7pt] 8a=-18;\\[7pt] a=-2{,}25;\\[7pt] 0{,}2^x=3\cdot (-2{,}25)+12=5{,}25\gt 0. \end{gather*}

Оскільки \(5{,}25\gt 0\), рівняння має єдиний корінь \(x=\log_{0{,}2}(5{,}25).\) Отже, значення \(a=-2{,}25\) є відповіддю до завдання.

Відповідь: \(-2{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння перетворювати ірраціональні вирази, розуміння змісту подвійної нерівності та вміння визначати її цілі розв’язки.

За властивістю коренів: \(\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}=\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}\) спростімо праву частину подвійної нерівності:

\begin{gather*} \frac{\sqrt[\scriptstyle 5]{64}}{\sqrt[\scriptstyle 5]{2}}=\sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{64}{2}}. \end{gather*}

Під коренем скоротімо чисельник і знаменник утвореного дробу на \(2\) й добудемо корінь п’ятого степеня з отриманого числа:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 5]{32}=\sqrt[\scriptstyle 5]{2^5}=2. \end{gather*}

Унаслідок спрощення правої частини нерівності маємо подвійну нерівність

\begin{gather*} -3\lt x\le 2. \end{gather*}

Зобразімо множину розв’язків подвійної нерівності на координатній прямій, зважаючи на строгий знак \((\lt)\) після \(-3\) і нестрогий знак \((\le)\) перед \(2.\)

Розв’язком нерівності є проміжок \((−3; 2].\) Випишімо всі цілі числа, які входять до цього проміжку: \(−2\); \(−1\); \(0\); \(1\); \(2.\) Усього таких чисел пʼять.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Статистика.

Завдання перевіряє вміння розуміти дані, відображені на стовпчиковій діаграмі, обчислювати середнє арифметичне значення й визначати відношення двох величин.

Визначмо ціну поділки на вертикальній осі діаграми. Для цьогообчислімо різницю між двома сусідніми великими поділками й поділімо її на кількість проміжків між ними:

\begin{gather*} \frac{1500-1000}{5}=\frac{500}{5}=100. \end{gather*}

За діаграмою з'ясуймо кількість тестових завдань, виконаних учнями в кожному місяці:

• у січні – \(1200\) завдань;
• у лютому – \(1800\) завдань;
• у березні – \(3000\) завдань.

Обчислімо середню кількість тестових завдань, виконаних за три місяці. Для цього використаймо формулу середнього арифметичного значення:

\begin{gather*} \overline{X}=\frac{x_1+x_2+\text{...}+x_n}{n}, \end{gather*}

(де \(n\) – кількість значень, яких набула величина \(X\); \(x_1\), \(x_2\), \(\text{...}\), \(x_n\) – значення, яких набула величина \(X\)).

Визначмо, яку частину становить кількість завдань, виконаних учнями в січні, від середнього значення кількості завдань, виконаних за три місяці. Для цього складімо відношення кількості виконаних завдань у січні до обчисленого середнього значення й скоротімо на \(400{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200}{2000}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати градусну міру вертикальних кутів і зовнішнього кута трикутника.

Розгляньмо трикутник \(ABC.\)

Визначмо градусну міру \(\angle ABC\), який вертикальний до кута \(56^\circ.\) Вертикальні кути рівні, тобто \(\angle ABC=56^\circ.\)

Кут із градусною мірою \(144^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABC\) при вершині \(C.\) Обчислімо градусну міру кута \(BAC\) (кута \(\alpha\)). Зовнішній кут при вершині трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів цього трикутника, що не суміжні з ним:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння обчислювати дискримінант квадратного рівняння.

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0 \end{gather*}

\(a=-3\) (множник біля \(x^2\));
\(b=−4\) (множник біля \(x\));
\(c=5\) (вільний член).

Обчислімо дискримінант за формулою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати прямі, паралельні площині.

Зазначмо всі ребра наведеної піраміди. Бічні ребра: \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD.\) Ребра основи: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD.\)

Оскільки пряма, яка паралельна площині, не повинна мати із нею спільних точок, визначмо, які з-поміж зазначених ребер не мають спільних точок із площиною \(SBD{:}\)

• ребра \(SB\), \(SD\) належать площині \(SBD\);
• ребра \(SA\), \(SC\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(S\);
• ребра \(AB\), \(BC\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(B\);
• ребра \(CD\), \(AD\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(D.\)

Отже, кожна пряма, що містить ребро піраміди \(SABCD\), має принаймні одну спільну точку з площиною \(SBD.\) Тобто прямих, які містять ребра піраміди й паралельні площині \(SBD\), немає.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння аналітично визначати парну функцію.

Підставмо в кожний варіант \(−x\) замість \(x\) і перевірмо виконання наведеної умови:

Отже, лише для функції \(y=\cos(x)−3\) виконується умова парності \(f(−x)=f(x).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, вписаних й описаних чотирикутників і прямокутного трикутника.

І. Існує рівнобічна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник \(ABCD\) можна вписати коло тоді, коли суми його протилежних сторін рівні: \(AB+CD=BC+AD.\)

Існують рівнобічні трапеції, для яких ця умова виконується, наприклад, трапеція зі сторонами: \(AB=CD=5\), \(AD=7\), \(BC=3.\) Твердження правильне.

II. Існує прямокутна трапеція, висота якої менша за коротшу бічну сторону.

Розгляньмо прямокутну трапецію \(ABCD\), у якій проведено висоту \(CH.\)

У прямокутному трикутнику \(CHD{:}\ CD\) – гіпотенуза; \(CH\), \(HD\) – катети. Довжина катета завжди менша за довжину гіпотенузи, отже, \(CH\lt CD.\) У чотирикутнику \(ABCH\) всі кути по \(90^\circ.\) Отже, цей чотирикутник – прямокутник.

У прямокутника протилежні сторони рівні, отже, \(AB=CH.\) Тобто менша бічна сторона трапеції \(ABCD\) – \(AB\), а її довжина дорівнює висоті \(CH.\) Твердження неправильне.

III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює \(180^\circ.\)

Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, тоді сума його протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Навколо трапеції можна описати коло лише тоді, коли вона рівнобічна. Отже, не в будь-якій трапеції сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ\), а лише в рівнобічній. Твердження неправильне.

Відповідь: A.