ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей і формул площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

За формулою площі бічної поверхні конуса \(S_\text{біч. кон.}=\pi RL.\) За умовою \(S_\text{біч. кон.}=500\) см\(^2\) та твірна \(SP=L=25\) см.

\begin{gather*} 500\pi=\pi\cdot R\cdot 25;\\[6pt] R=\frac{500}{25}=20\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса:

\begin{gather*} DM=m=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

Піраміда \(DABC\) правильна, тому її основа \(\Delta ABC\) – рівносторонній трикутник, а бічна грань \(\Delta DAB\) – рівнобедрений \((DA=DB=25\) см\().\)

Апофема \(DM\!\perp\!AB\) є висотою і медіаною \((AM=MB).\) З прямокутного \(\Delta DMA\ (\angle DMA=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Звідси сторона основи:

\begin{gather*} AB=2\cdot AM=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки в основі правильної піраміди лежить рівносторонній трикутник \(\Delta ABC\), обчислімо периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot a=3\cdot 30=90\ \text{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди

\begin{gather*} S_\text{біч. пір.}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m;\\[6pt] S_\text{біч. пір.}=\frac 12\cdot 30\cdot 20=900\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити нелінійну систему рівнянь з параметром до лінійної за допомогою заміни змінних; досліджувати кількість розв'язків системи з урахуванням множини значень показникової і квадратичної функцій.

В обох рівняннях змінна \(y\) трапляється лише у квадраті \((y^2).\) Це означає: якщо пара чисел \((x; y)\) є розв'язком, то й пара \((x; -y)\) теж обов'язково є розв'язком. Щоб розв'язок був єдиним, ці дві пари мають збігатися:

\begin{gather*} y=-y;\\[7pt] y=0. \end{gather*}

Підставмо \(y=0\) у початкову систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 0{,}2^x=3a+12;\\ 0{,}2^{x-1}=7a+42. \end{cases} \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

Підставмо вираз для \(0{,}2^x\) з першого рівняння в друге:

\begin{gather*} 5\cdot (3a+12)=7a+42;\\[7pt] 15a+60=7a+42;\\[7pt] 15a-7a=42-60;\\[7pt] 8a=-18;\\[7pt] a=-2{,}25;\\[7pt] 0{,}2^x=3\cdot (-2{,}25)+12=5{,}25\gt 0. \end{gather*}

Оскільки \(5{,}25\gt 0\), рівняння має єдиний корінь \(x=\log_{0{,}2}(5{,}25).\) Отже, значення \(a=-2{,}25\) є відповіддю до завдання.

Відповідь: \(-2{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу.Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання властивостей дій із дійсними числами й уміння округлювати десяткові дроби.

Щоб округлити десятковий дріб до сотих, треба залишити дві цифри після коми, а всі наступні цифри відкинути. Якщо перша відкинута цифра дорівнює \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) або \(9\), то до попередньої цифри додають \(1\), а якщо \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) або \(4\) – залишають без змін.

Для округлення числа \(1{,}31499\) до сотих визначмо цифру в розряді сотих – це \(1.\)

Наступна за нею цифра в розряді тисячних – \(4.\) Оскільки \(4\lt 5\), цифру сотих залишаємо без змін, а всі наступні цифри відкидаємо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність випадкової події за класичним означенням, зчитувати й аналізувати дані з графічних зображень (схем, планів).

Для обчислення ймовірності скористаймося класичною формулою

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – кількість усіх доступних (вільних) місць, а \(m\) – кількість сприятливих місць за барною стійкою.

Усього в кав'ярні \(25\) місць, але зайняті ті, що розташовані за двома прямокутними столиками, тобто \(2\cdot 4=8\) місць. Отже, вільними залишаються \(n=25-8=17\) місць. Оскільки за барною стійкою розташовано \(m=5\) вільних місць, імовірність опинитися на одному з них для Матвія становить

\begin{gather*} P=\frac{5}{17}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє знання формули дискримінанта квадратного рівняння.

Для обчислення дискримінанта квадратного рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0\) використаймо формулу \(D=b^2-4ac.\)

Випишімо коефіцієнти рівняння \(3x^2-2x-4=0{:}\)

\(a=3\), \(b=-2\), \(c=-4\).

Підставмо коєфіцієнти у формулу:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість гострих кутів прямокутного трикутника.

У прямокутному трикутнику, утвореному перетином прямих \(OA\), \(CD\) та \(OD\), один із кутів дорівнює \(90^\circ\) (оскільки \(OA\!\perp\!CD\)).

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \alpha+51^\circ=90^\circ;\\[7pt] \beta=90^\circ-51^\circ=39^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння тотожньо перетворювати ірраціональні числові вирази.

Розкладімо підкореневі вирази на множники, один із яких є точним квадратом, використавши властивості арифметичного кореня \(\sqrt{a^2}=a\) i \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\) \((a\ge 0\), \(b\ge 0){:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі й площини у просторі.

Завдання перевіряє знання аксіом стереометрії і взаємного розміщення площин у просторі.

Щоб визначити пряму перетину двох площин, достатньо знайти дві спільні точки, які належать обом площинам.

Площина \((BB_1C_1)\) містить грань \(BB_1C_1C\), а площина \((CDD_1)\) – грань \(CDD_1C_1.\) Обидві площини проходять через спільні вершини \(C\) та \(C_1.\) Оскільки дві різні точки задають єдину пряму, то пряма \(CC_1\) є прямою перетину цих площин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі з практичним змістом.

Для обчислення максимальної кількості альбомів спочатку обчислімо вартість \(3\) зошитів:

\begin{gather*} 3\cdot 38=144\ \text{грн}. \end{gather*}

Віднімімо цю суму від загального бюджету, щоб дізнатися решту коштів на альбоми:

\begin{gather*} 390-114=276\ \text{грн}. \end{gather*}

Складімо нерівність для визначення кількості альбомів \(n{:}\)

\begin{gather*} 54n\le 276;\\[6pt] n\le\frac{276}{54};\\[6pt] n\le 5\frac 19. \end{gather*}

Кількість альбомів має бути цілим числом, тому найбільшим допустимим значенням є \(n=5.\)

Відповідь: Г.