ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність події.

Для розв'язання скористаймося класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – загальна кількість усіх рівноможливих подій, а \(m\) – кількість сприятливих подій.

Усього існує \(10\) цифр: від \(0\) до \(9\), тому \(n=10\) (загальна кількість наслідків). Оскільки правильною є лише одна цифра, кількість сприятливих наслідків

\(m=1.\)

Отже, імовірність правильно визначити цифру

\begin{gather*} P=\frac{1}{10}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[6pt] 7^x\le \frac{1}{49};\\[6pt] 7^x\le 49^{-1};\\[7pt] 7x\le (7^2)^{-1};\\[7pt] 7^x\le 7^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((7)\) більша за одиницю \((7\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} x\le -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -2].\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, уміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Використали властивості степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y};\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей кутів паралелограма.

I. Існує паралелограм, у якого всі кути прямі.

Прямокутник – це окремий випадок паралелограма, у якого всі чотири кути прямі \((90^\circ).\) Твердження правильне.

II. Існує паралелограм, сума двох протилежних кутів якого дорівнює \(300^\circ.\)

Протилежні кути паралелограма рівні \((\angle A=\angle C\) та \(\angle B=\angle D).\)

Сума двох тупих протилежних кутів може дорівнювати \(300^\circ.\)

\begin{gather*} \angle B+\angle D=300^\circ,\end{gather*}

тоді

 \begin{gather*} \angle B=\angle D=300^\circ:2=150^\circ. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Існує паралелограм, у якого сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює \(200^\circ.\)

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони (наприклад, \(\angle A+\angle B\)), є сумою внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих, тому вона завжди дорівнює \(180^\circ.\) Тобто не може дорівнювати \(200^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння працювати зі стандартним виглядом числа та властивостями степенів.

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), а \(m\) – ціле число.

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

А частина графіка лежить нижче від осі \(Ox\), тобто функція набуває і від’ємних значень.

Б графік не є симетричним відносно осі \(Oy\), тому функція не є парною.

В функція має дві точки екстремуму – одну точку максимуму (за \(x\approx -2\)) й одну точку мінімуму (за \(x\approx 1\)).

Г графік не є симетричним відносно початку координат \((0; 0)\), тому функція не є парною.

Д функція не лише зростає, а й спадає на проміжку між точками екстремуму.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

\begin{gather*} x\in [1; 5). \end{gather*}

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

Обчислiмо їх суму:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(2{:}\)

\begin{gather*} 2a=(b+c)\cdot d. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(d{:}\)

\begin{gather*} \frac{2a}{d}=\frac{(b+c)\cdot d}{d};\\[6pt] b+c=\frac{2a}{d}. \end{gather*}

Віднімімо \(b\) від обох частин рівності:

\begin{gather*} c=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}

Відповідь: Г.