ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника.

У ромба всі сторони рівні: \(AB=BC=CD=AD.\)

\begin{gather*} AB=\frac P4=\frac{80}{4}=20\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Обчислімо довжину відрізка \(HC{:}\)

\begin{gather*} HC=BC-BH=20-16=4\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо довжину меншої діагоналі \(AC\) в прямокутному трикутнику \(AHC\ (\angle AHC=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо число \(3\) за дужки в чисельнику й скоротимо дріб:

\begin{gather*} \frac{6x+12}{3}=\frac{3(2x+4)}{3}=2x+4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми, ознаки паралельності прямої і площини.

За ознакою паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якійсь прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

Пряма \(AB\) належить граням \(ABCD\) й \(ABB_1A_1\) й перетинає грані \(ADD_1A_1\) і \(BCC_1B_1.\) За ознакою паралельності прямої і площини їй паралельні лише дві протилежні грані – \(DCC_1D_1\), бо \(AB\!\parallel\!CD\), і \(A_1B_1C_1D_1\), бо \(AB\!\parallel\!A_1B_1.\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Нуль функції – це значення аргументу \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\) На графіку це точка перетину з віссю абсцис \((Ox)\), тобто точка з координатами \((-4; 0).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I. Центр кола, вписаного в трапецію, лежить на середній лінії трапеції.

Центр вписаного кола рівновіддалений від паралельних основ трапеції на відстань радіуса \(r.\) Оскільки висота трапеції \(h=2r\), середня лінія віддалена від обох основ на відстань \(\dfrac h2=r.\) Отже, центр вписаного кола завжди лежить на середній лінії.

Твердження правильне.

II. Центр кола, вписаного в трапецію, збігається з точкою перетину її діагоналей.

Центр будь-якого кола, вписаного в многокутник, є точкою перетину бісектрис його внутрішніх кутів (оскільки ця точка має бути рівновіддаленою від усіх сторін многокутника).

Центр вписаного кола – це точка перетину бісектрис внутрішніх кутів трапеції. У довільній трапеції діагоналі не ділять кути навпіл (не є бісектрисами), тому точка перетину діагоналей не збігається з центром уписаного кола.

Твердження неправильне.

III. Центр кола, описаного навколо трапеції, обов’язково розташований на її більшій основі.

Центр описаного кола – це точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трапеції (описати коло можна тільки навколо рівнобічної трапеції). Тобто центр описаного кола може бути розташований усередині трапеції, поза нею або на більшій основі (лише в окремому випадку, коли діагональ перпендикулярна до бічної сторони).

Твердження неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння й порівнювати раціональні числа.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата:

\begin{gather*} (\sqrt{48-12x})^2=12^2;\\[7pt] 48-12x=144;\\[7pt] -12x=144-48;\\[7pt] -12x=96;\\[7pt] x=96:(-12);\\[7pt] x=-8. \end{gather*}

Корінь належить проміжку \((-16; 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, уміння визначати координати точки, яка належить одній із координатних осей, уміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(B\) лежить на осі \(x\), її ордината \((y)\) й апліката \((z)\) дорівнюють \(0.\) Оскільки абсциса \(x=5\), маємо: \(B(5; 0; 0).\)

Застосуймо формулу відстані між двома точками в просторі:

Підставмо координати \(A(-1; 2; 3)\) і \(B(5; 0; 0){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на пряму пропорційність і застосовувати математичні моделі до реальних процесів.

Щоб обчислити максимальний об'єм води \(V\), скористаймося формулою залежності об'єму від продуктивності помпи й часу:

\begin{gather*} V=v\cdot t, \end{gather*}

де \(v=5\) л/хв – це пропускна здатність помпи, а \(t=2\) хв – час миття рук.

Підставивши значення, отримуємо

\begin{gather*} V=5\cdot 2=10\ \text{л}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d. \end{gather*}

Оскільки \(a_6-a_1=-30\), складімо рівняння:

\begin{gather*} 5d=-30;\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу \(a_1-a_3.\) Оскільки \(a_3=a_1+2d\), то:

Підставмо \(d=-6{:}\)

\begin{gather*} -2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.