У салоні пасажирського літака \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано по \(6\) крісел (по \(3\) крісла обабіч проходу) (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в першому ряду біля проходу, дорівнює \(\dfrac{1}{102}.\) Обчисліть \(n.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.
Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:
\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}
де: \(N\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)
Усього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, усього в літаку \(N=6n\) місць.
У будь-якому ряду лише \(2\) місця біля проходу (по одному з кожного боку від проходу). Отже, у першому ряду таких місць \(k=2.\)
За означенням, імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(2\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому
\begin{gather*} \frac{2}{6n}=\frac{1}{102};\\[6pt] \frac{1}{3n}=\frac{1}{102};\\[6pt] 3n=102;\\[7pt] n=34. \end{gather*}
Відповідь: \(34.\)
Конус і правильна чотирикутна призма мають рівні висоти. Радіус описаного навколо основи призми дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть об’єм (см\(^3\)) призми, якщо діагональ її основи дорівнює \(16\) см, а твірна конуса – \(17\) см.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної чотирикутної призми для обчислення об’єму призми.
Об'єм призми обчислімо за формулою:
\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}
де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.
В основі правильної чотирикутної призми квадрат з діагоналлю \(d=16\) см.
Радіус \(R\) кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі:
\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \end{gather*}
За умовою це також радіус основи конуса: \(R_\text{конуса}=8\) см.
Висота призми дорівнює висоті конуса:
\begin{gather*} H_\text{призми}=H_\text{конуса}=H. \end{gather*}
У конусі розгляньмо прямокутний трикутник, утворений твірною \(L=17\) см, радіусом основи \(R=8\) см і висотою \(H{:}\)
Основою правильної призми є квадрат. Площу квадрата через його діагональ \(d\) обчислімо за формулою:
Відповідь: \(1920.\)
Знайдіть найменше ціле значення \(a\), за якого коло \((x-11-3a)^2+(y+2)^2=49\) двічі перетинає вісь ординат.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(M\ (x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)
Перепишемо рівняння так:
\begin{gather*} (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}
Це коло з центром в точці \(M\ (11+3a; -2)\) і радіусом \(R=7.\)
Центр кола може рухатися ліворуч або праворуч залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(x_0\)), але по осі \(y\) він завжди зафіксований на позначці \(-2.\)
Графік перетинає вісь ординат у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.
Вісь \(y\) – це пряма \(x=0.\) Відстань від центра \(O\ (x_0; -2)\) до осі \(y\) – це просто модуль координати \(x_0{:}\)
\begin{gather*} |x_0|\lt R;\\[7pt] |11+3a|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 11+3a\lt 7,\\ 11+3a\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3a\lt 7-11,\\ 3a\gt -7-11, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3a\lt -4,\\ 3a\gt -18, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt -\dfrac 43,\\ a\gt -6, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\lt -1\dfrac 13,\\ a\gt -6. \end{array}\right. \end{gather*}
Тобто \(a\in \left(-6; -1\dfrac 13\right).\)
Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\}\).
Найменше ціле значення: \(-5.\)
Відповідь: \(-5.\)
