ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної чотирикутної призми для обчислення об’єму призми.

Об'єм призми обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

В основі правильної чотирикутної призми квадрат з діагоналлю \(d=16\) см.

Радіус \(R\) кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою це також радіус основи конуса: \(R_\text{конуса}=8\) см.

Висота призми дорівнює висоті конуса:

\begin{gather*} H_\text{призми}=H_\text{конуса}=H. \end{gather*}

У конусі розгляньмо прямокутний трикутник, утворений твірною \(L=17\) см, радіусом основи \(R=8\) см і висотою \(H{:}\)

Основою правильної призми є квадрат. Площу квадрата через його діагональ \(d\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(M\ (x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишемо рівняння так:

\begin{gather*} (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Це коло з центром в точці \(M\ (11+3a; -2)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися ліворуч або праворуч залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(x_0\)), але по осі \(y\) він завжди зафіксований на позначці \(-2.\)

Графік перетинає вісь ординат у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(y\) – це пряма \(x=0.\) Відстань від центра \(O\ (x_0; -2)\) до осі \(y\) – це просто модуль координати \(x_0{:}\)

\begin{gather*} |x_0|\lt R;\\[7pt] |11+3a|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 11+3a\lt 7,\\ 11+3a\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3a\lt 7-11,\\ 3a\gt -7-11, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3a\lt -4,\\ 3a\gt -18, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt -\dfrac 43,\\ a\gt -6, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\lt -1\dfrac 13,\\ a\gt -6. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in \left(-6; -1\dfrac 13\right).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\}\).

Найменше ціле значення: \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему про зовнішній кут трикутника.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, які не суміжні з ним.

Обчислімо зовнішній кут при вершині \(A\):

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Потрібно визначити відношення кількості зелених стрічок до кількості коричневих стрічок влітку. За умовою період влітку відповідає білим стовпцям діаграми.

За даними з діаграми (білі стовпці):

• кількість зелених стрічок влітку – \(50.\)
• кількість коричневих стрічок влітку – \(20.\)

Обчислімо, у скільки разів кількість зелених стрічок більша за кількість коричневих:

\begin{gather*} \frac{50}{20}=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв'язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

• степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

• арифметичного кубічного кореня

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Будь-яка призма завжди має дві рівні основи (верхню і нижню). Кількість бічних граней призми дорівнює кількості сторін многокутника, що лежить у її основі. Оскільки призма трикутна, у її основі лежить трикутник (\(3\) сторони), тому вона має три бічні грані. Отже, трикутна призма має дві основи й три бічні грані.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3-x=2\frac 13;\\[6pt] x=3-2\frac 13. \end{gather*}

Запишімо ціле число \(3\) у вигляді мішаного числа зі знаменником \(3{:}\)

\begin{gather*} 3=2\frac 33;\\[6pt] x=2\frac 33-2\frac 13;\\[6pt] x=\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати множину значень функції за її графіком і застосовувати правила геометричних перетворень графіків функцій.

Графік функції \(y=f(x)\) визначений на проміжку \([-4; 3].\) Множину значень \(E(f)\) визначено проєкцією графіка на вісь \(Oy{:}\)

\begin{gather*} E(f)=[-1; 2]. \end{gather*}

Щоб побудувати графік функції \(y=f(x)-2\), треба перенести графік \(y=f(x)\) уздовж осі \(Oy\) на \(2\) одиниці вниз.

Віднімання числа \(2\) від усієї функції означає паралельне перенесення графіка на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(Oy.\) Отже, від кожного значення y потрібно відняти \(2.\)

Обчислення нової області значень:

\begin{gather*} E(f-2)=[-1-2; 2-2]=[-3; 0]. \end{gather*}

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

\begin{gather*} |1-0{,}5^{-3}|=|1-8|=|-7|=7. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.