ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2+2a}{2a+4}=\frac{a(a+2)}{2(a+2)}=\frac a2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника, уміння визначати площу ромба.

Оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(BC\) і \(CD\), відрізок \(KM\) є середньою лінією трикутника \(BCD.\) За властивістю середньої лінії: \(KM\!\parallel\!BD\) та \(KM=\dfrac 12 BD.\) Довжина \(KM=m\), тому діагональ ромба \(BD=2m.\)

Нехай \(O\) – точка перетину діагоналей ромба. Діагоналі ромба перпендикулярні \((AC\!\perp\!BD)\), тому висота трикутника \(BCD\), проведена з вершини \(C\), лежить на прямій \(AC\) (відрізок \(CO\)).  Якщо \(KM\!\parallel\!BD\) і ділить сторони навпіл, то пряма \(KM\) також ділить висоту \(CO\) навпіл. Отже, відстань від точки \(C\) до лінії \(KM\) (яка дорівнює \(6\)) – це половина відрізка \(CO.\)

\begin{gather*} CO=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Площа ромба складається з площ двох рівних трикутників \((BCD\) і \(ABD){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена послідовності й уміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=(-1)^n\cdot n. \end{gather*}

Обчислімо сьомий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_7=(-1)^7\cdot 7=(-1)\cdot 7=-7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(m\cos x\cdot \mathrm{tg}\ x=2\sin x\), то...

Оскільки \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), то

\begin{gather*} m\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=2n\sin x. \end{gather*}

Скоротімо \(\cos x{:}\)

\begin{gather*} m\sin x=2n\sin x. \end{gather*}

Оскільки рівність має виконуватися для всіх можливих допустимих \(x\), прирівняймо коефіцієнти:

\begin{gather*} m=2n. \end{gather*}

Тоді \(n=\dfrac m2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Якщо \(\sqrt{2m^2}=n\), то…

\begin{gather*} \sqrt{2m^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{m^2}=\sqrt{2}\cdot |m|. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(m\gt 0\), то \(|m|=m.\)

Звідси \(n=\sqrt{2}\cdot m=m\sqrt{2}.\)

Використали властивості:

\begin{gather*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\ge 0;\\[7pt] \sqrt{a^2}=|a|;\\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо \(4^{\textstyle \log_2 m}=n\), то...

Тоді \(n=m^2.\)

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Функція \(y=\lg x.\)

Це десятковий логарифм. Основа логарифма дорівнює \(10\), що є більшим за \(1\ (10\gt 1).\) Властивість: якщо основа логарифмічної функції більша за одиницю, то функція зростає на всій своїй області визначення \((0; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=\dfrac 1x.\)

Це обернена пропорційність (гіпербола). Знаменник не може дорівнювати нулю, тому \(x\ne 0.\) Тобто функція не визначена лише в одній точці \((x=0).\) Отже, правильна відповідь – Г.

3. Функція \(y=(x+1)^2.\)

Це квадратична функція (парабола). Оскільки коефіцієнт перед квадратом додатний \((a=1\gt 0)\), вітки параболи напрямлені вгору. Вершина параболи міститься в точці \(x=-1.\) Оскільки вітки напрямлені вгору, вершина є точкою екстремуму, а саме – має точку мінімуму. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції і прямокутних трикутників.

1. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Середня лінія трапеції \(KBCD.\)

Основи трапеції \(KBCD\) – це паралельні сторони \(BC\) і \(KD\ (BC=12\) см, \(KD=4\) см\().\) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

Отже, правильна відповідь – В.

3. Відстань від точки \(B\) до сторони \(CD.\)

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного на цю пряму (тобто інша висота \((BH)\) паралелограма, проведена до сторони \(CD\)).

Площу паралелограма \(ABCD\) можна визначити двома способами \((S=a\cdot h){:}\)

Через основу \(AD\) й висоту \(BK{:}\)

\begin{gather*} S=AD\cdot BK=12\cdot 6=72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Через основу \(CD\) й висоту \(BH\) (шукана відстань):

\begin{gather*} S=CD\cdot BH. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони рівні, то \(CD=AB=10\) см. Підставмо значення у формулу площі:

\begin{gather*} 72=10\cdot BH;\\[7pt] BH=72:10=7{,}2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

За означенням (формула Ньютона – Лейбніца), визначений інтеграл від функції \(f(x)\) дорівнює приросту її первісної \(F(x)\) на заданому проміжку:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a). \end{gather*}

За умовою первісна для функції \(f(x)\) дорівнює:

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Обчислімо

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності: \(P(A)=\dfrac km\), де \(k\) – кількість потрібних місць (сприятливих подій), а \(m\) – загальна кількість місць у літаку (усіх можливих подій).

Загальна кількість місць у літаку \((m){:}\)

У літаку всього \(n\) рядів, і в кожному ряду по \(6\) крісел. Отже, загальна кількість місць:

\begin{gather*} m=6\cdot n. \end{gather*}

Кількість потрібних місць \((k){:}\)

Нам потрібні місця в перших трьох рядах. Оскільки в кожному ряду – \(6\) крісел, то в цих рядах загалом:

\begin{gather*} k=3\cdot 6=18. \end{gather*}

За умовою імовірність отримати таке місце дорівнює \(\dfrac{1}{14}.\) Підставмо обчислені значення у формулу ймовірності:

\begin{gather*} \frac{18}{6n}=\frac{1}{14}, \end{gather*}

cкоротімо дріб у лівій частині на \(6{:}\)

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14}. \end{gather*}

Скористаймося основною властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} n\cdot 1=3\cdot 14;\\[7pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної трикутної піраміди за відомими медіаною основи піраміди та твірною конуса.

Висоти конуса \((H_\text{К})\) та піраміди \((H_\text{П})\) рівні: \(H_\text{К}=H_\text{П}=H.\) Радіус основи конуса \((R)\) дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди: \(R_\text{К}=R_\text{П}=R.\) Твірна конуса \(L=12\) см.

В основі піраміди лежить правильний (рівносторонній) трикутник, медіана якого \(m=9\) см. Оскільки трикутник правильний, медіана є також і висотою (\(h=9\) см).

У правильному трикутнику точка перетину медіан (центр описаного кола) ділить медіану у відношенні \(2:1\), починаючи відлік від вершини. Тому радіус описаного кола становить \(\dfrac 23\) від довжини медіани:

\begin{gather*} R=\frac 23\cdot m=\frac 23\cdot 9=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса також \(R=6\) см. Сторона правильного трикутника:

\begin{gather*} a=R\sqrt{3}.\\[7pt] a=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника:

Розгляньмо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса \(H\), радіусом основи \(R\) і твірною \(L.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} H^2+R^2=L^2;\\[7pt] H^2+6^2=12^2;\\[7pt] H^2+36=144;\\[7pt] H^2=144-36;\\[7pt] H^2=108;\\[7pt] H=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди:

Відповідь: \(162.\)