ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції \(y=f(x)\) на заданих проміжках, визначати монотонність, точки екстремуму, знаки координат точок і перетин із горизонтальними прямими.

1. Проміжок \([-4; -2].\)

Початкова точка графіка має координати \((-4; -6)\), а в точці \(x=-2\) значення \(y=-3.\) Оскільки на цьому проміжку функція зростає від \(-6\) до \(-3\), її графік обов'язково перетинає пряму \(y=-4{,}5.\) Отже, 1 – В.

2. Проміжок \([-2; 2].\)

У точці \(x=0\) функція змінює зростання на спадання, отже, точка \(x=0\) є точкою максимуму \((y_{max}=1)\), яка належить цьому проміжку. Отже, 2 – Б.

3. Проміжок \([2; 5].\)

На цьому проміжку всі значення \(x\) додатні \((x_0\gt 0)\), а відповідні значення функції \(y\) від’ємні \((y_0\lt 0).\) Отже, добуток їхніх координат завжди від’ємний: \(x_0\cdot y_0\lt 0.\) Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

1. \(BK.\)

Оскільки периметр квадрата \(P_{ABCD}=120\) см, то сторона квадрата:

\begin{gather*} AB=BC=AD=120:4=30\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) – середина \(BC\ (BK=KC)\), тому

\begin{gather*} BK=\frac{30}{2}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(BD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(MD.\)

Оскільки \(BK\!\parallel\!AD\), трикутники \(\Delta BKM\) і \(\Delta DAM\) подібні за двома кутами (\(\angle KBM=\angle ADM\), \(\angle BKM=\angle DAM\) як внутрішні різносторонні).

З подібності трикутників випливає співвідношення відповідних сторін:

\begin{gather*} \frac{BM}{MD}=\frac{BK}{AD}=\frac{15}{30}=\frac 12. \end{gather*}

Отже, діагональ \(BD\) ділиться точкою \(M\) у відношенні \(1:2\), тобто складається з \(1+2=3\) рівних частин. На відрізок \(M\) припадає \(2\) частини з \(3{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

Відповідь: \(50.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне зображення статистичної інформації. Статистичні характеристики рядів даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм, обчислювати середнє арифметичне кількох чисел.

Випишімо з графіка відповідні значення для \(2010\text{–}2014\) років:

Обчислімо середнє арифметичне цих п'яти значень:

З-поміж значень на графіку виберімо найближче до середнього \((\overline{x}=4{,}5){:}\) найближчим є значення \(4{,}6\) (для \(2010\) року).

Обчислімо модуль різниці між середнім і найближчим до нього значенням:

\begin{gather*} |4{,}5-4{,}6|=|-0{,}1|=0{,}1. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}1.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи циліндра та правильної чотирикутної піраміди для обчислення об’єму піраміди.

Формула площі основи циліндра (круга):

\begin{gather*} S_\text{осн}=\pi R^2=81\pi;\\[7pt] R^2=81;\\[7pt] R=9\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо основи піраміди, також дорівнює \(R=9\) см.

Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Радіус описаного навколо квадрата кола дорівнює половині її діагоналі \(\left(R=\dfrac d2\right)\), отже, діагональ

\begin{gather*} d=2R=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа квадрата (основи піраміди) через її діагональ:

Висота піраміди падає в центр описаного кола, утворюючи прямокутний трикутник із бічним ребром і радіусом \(R.\) Оскільки кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює \(45^\circ\), цей трикутник рівнобедрений, тобто: \(H=R=9\) см.

Обчислімо об'єм піраміди:

Відповідь: \(486.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні й показникові рівняння, аналізувати й досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком логарифма має бути додатним:

\begin{gather*} 3a-17x\gt 0;\\[7pt] 17x\lt 3a;\\[7pt] x\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Добуток двох виразів дорівнює нулю, коли хоча б один із них дорівнює нулю.

Оскільки \(\lg^2(3a - 17x)\ge 0\), оцінімо другий множник:

\begin{gather*} 3+\lg^2(3a-17x)\ge 3\gt 0. \end{gather*}

Отже, другий множник завжди більший за нуль, тому відповідне рівняння не має коренів.

Прирівнюємо перший множник до нуля:

\begin{gather*} 4^{x+1}+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot 4^x+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot (2^x)^2+15\cdot 2^x-4=0. \end{gather*}

Зробімо заміну \(t=2^x\ (t\gt 0){:}\)

Рівняння матиме корінь \(x=-2\), якщо він задовольняє ОДЗ:

\begin{gather*} -2\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(17{:}\)

\begin{gather*} -34\lt 3a;\\[7pt] 3a\gt -34. \end{gather*}

Поділімо на \(3{:}\)

\begin{gather*} a\gt -\frac{34}{3};\\[6pt] a\gt -11\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення \(a\), що задовольняє цю нерівність, дорівнює \(-11.\)

Відповідь: \(-11.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де \(n=20\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (усього запитань, з яких учень може витягнути одне), \(k=4\) – кількість сприятливих варіантів для події \(A\) (запитань про властивості кислот).

\begin{gather*} P(A)=\frac{4}{20}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів і паралелограма.

Оскільки \(ABCD\) – паралелограм, то протилежні сторони \(AB\) і \(CD\) паралельні \((AB\!\parallel\!CD).\) Унаслідок перетинання цих паралельних прямих січною \(MD\) утворюються рівні відповідні кути:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle NDC=55^\circ. \end{gather*}

Кути \(\angle MAB\) та \(\angle DAB\) суміжні, тому їхня сума дорівнює \(180^\circ{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння підносити числа до степеня з від'ємним цілим показником і перетворювати мішані числа на неправильні дроби.

Перетворімо мішане число на неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac 23=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac 53. \end{gather*}

Застосуймо властивість степеня з від'ємним показником:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \left(1\frac 23\right)^{-1}=\left(\frac 53\right)^{-1}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: A.