ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

Домножимо обидві частини рівняння на \(2{:}\)

При розв’язанні таких рівнянь треба враховувати ОДЗ (область допустимих значень) рівняння:

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ \((6\ne 2).\)

Оскільки \(\pi\approx 3{,}14\), то \(2\pi\approx 6{,}28.\)

Число \(6\) задовольняє нерівність \(5\lt 6\lt 6{,}28\), тому корінь належить саме цьому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. \((3\pi-1)^0=1.\)

Будь-яке відмінне від нуля число в нульовому степені дорівнює \(1\ (a^0=1.)\) Число \(1\) належить до множини натуральних чисел. Отже, правильна відповідь – A.

Застосували формули:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Число \(-3\) є цілим і від’ємним, тобто належить до цілих недодатних чисел. Отже, правильна відповідь – Б.

3. За табличним значенням тригонометричних функцій \(\mathrm{tg}\ \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}.\)

Число \(\sqrt{3}\) не подається у вигляді звичайного дробу (є ірраціональним) та є більшим за нуль (додатним). Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма \(y=-3x+4.\)

Для симетричного відображення прямої \(y=3x+4\) відносно осі \(y\) замінюємо \(x\) на \(-x{:}\) отримуємо \(y=3(-x)+4=-3x+4\), що збігається з третьою функцією.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Пряма \(y=3x+2.\)

У рівнянні \(y=3x+2\) кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0.\) Оскільки \(\mathrm{tg}\ \alpha=k\gt 0\), ця пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Пряма \(y=-3x.\)

У прямій \(y=-3x\) вільний член \(b=0\), тому за умови \(x=0\) отримуємо \(y=0\), що означає обов'язкове проходження графіка через початок координат.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметри геометричних фігур, застосовуючи спільну відстань між паралельними прямими, пропорційність відрізків, теорему Піфагора й властивості рівностороннього трикутника.

1. Прямокутник \(ABCD\)

З пропорції \(AB:BC=4:3\) й відомої сторони \(BC=6\) см:

Отже, правильна відповідь – B.

2. Паралелограм \(DKLM\)

Відстань між паралельними прямими \(m\) і \(n\) дорівнює висоті прямокутника \(AB=8\) см. Оскільки \(KM\!\perp\!n\), відрізок \(KM\) є перпендикуляром до прямих \(m\) і \(n\), тому \(KM=8\) см та \(\angle MKL=90^\circ.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta KML\) за теоремою Піфагора обчислюємо бічну сторону \(ML{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Трикутник \(LPQ\)

Оскільки \(LP=PQ\) і \(\angle LPQ=60^\circ\), рівнобедрений трикутник \(LPQ\) рівносторонній, тобто \(LP=PQ=LQ.\)

Відрізок \(LQ\!\perp\!n\), тому він дорівнює відстані між прямими \(m\) і \(n{:}\ LQ=8\) см.

\begin{gather*} P_{LPQ}=3\cdot LQ=3\cdot 8=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної, уміння обчислювати похідну функції.

За означенням первісної \(f(x)=F'(x).\) Обчислімо похідну:

Точка перетину з віссю ординат \((y)\) завжди має абсцису \(x=0.\) Підставмо \(x=0\) у функцію \(f(x){:}\)

\begin{gather*} f(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-7=-7. \end{gather*}

Відповідь: \(-7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, використовувати математичну модель у вигляді лінійного рівняння для розв'язування практичних завдань.

Оскільки в середньому щодня споживали \(79{,}2\) л води, то за \(5\) днів загальний об'єм становить:

\begin{gather*} V=79{,}2\cdot 5=396\ \text{л}. \end{gather*}

Нехай кількість пляшок місткістю \(6\) л дорівнює \(x.\) За умовою пляшок місткістю \(10\) л утричі більше, тобто \(3x.\)

Складімо рівняння для загального об'єму води:

Отже, було спожито \(6\) пляшок місткістю \(6\) л.

Для обчислення кількості пляшок місткістю \(10\) л помножмо обчислене значення на три:

\begin{gather*} 3\cdot 6=18. \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі.

\(A(3; \sqrt{8}; 2),\ M(-1; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора

Висота \(AA_1=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=10.\)

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=50;\\[7pt] V=50\cdot 10=500. \end{gather*}

Відповідь: \(500.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=3^x\) та \(v=y^2.\) Оскільки \(3^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=a+8,\\ 3u+2v=5a+6. \end{cases} \end{gather*}

Визначмо \(u\) та \(v\) через \(a.\)

З першого рівняння \(v=a+8-u.\)

Підставмо в друге рівняння:

\begin{gather*} 3u+2(a+8-u)=5a+6;\\[7pt] 3u+2a+16-2u=5a+6;\\[7pt] 3u-2u=5a+6-2a-16;\\[7pt] u=3a-10. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} v=a+8-(3a-10)=18-2a. \end{gather*}

Для існування дійсних розв'язків \((x; y)\) система повинна задовольняти обмеження замін:

1. \(u\gt 0.\)

\begin{gather*} 3a-10\gt 0;\\[6pt] a\gt 3\frac 13. \end{gather*}

2. \(v\ge 0.\)

\begin{gather*} 18-2a\ge 0;\\[7pt] a\le 9. \end{gather*}

Отже, \(a\in \left(3\dfrac 13; 9\right].\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} 4, 5, 6, 7, 8, 9. \end{gather*}

Обчислімо суму:

\begin{gather*} 4+5+6+7+8+9=39. \end{gather*}

Відповідь: \(39.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми наведення статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Для визначення загальної кількості автомобілів достатньо обчислити суму значень, що відповідають висоті кожного стовпчика діаграми.

Додамо ці значення:

\begin{gather*} 8 + 12 + 15 + 10 + 4 = 49. \end{gather*}

Отже, камера зафіксувала \(49\) автомобілів.

Відповідь: Г.