ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння досліджувати дробово-раціональні рівняння з модулем і параметром на кількість розв'язків, зважаючи на область допустимих значень.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |4x+5a-3|-3=0,\\ (x+2)(x^2+9)\ne 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Вираз \(x^2+9\gt 0\) за будь-яких \(x\in R\), тому єдине обмеження з ОДЗ: \(x\ne -2.\)

Рівняння з модулем зведімо до сукупності двох лінійних рівнянь.

Оскільки \(x_1-x_2=\dfrac 64=1{,}5\ne 0\), корені \(x_1\) та \(x_2\) за жодного \(a\) не збігаються.

Отже, чисельник завжди має два різні значення.

Випадок 1 \((x_1=-2){:}\)

\begin{gather*} \frac{6-5a}{4}=-2;\\[6pt] 6-5a=-8;\\[7pt] 5a=14;\\[7pt] a_1=2{,}8. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_2=-3{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Випадок 2 \((x_2=-2){:}\)

\begin{gather*} -\frac{5a}{4}=-2;\\[6pt] -5a=-8;\\[7pt] 5a=8;\\[7pt] a_2=1{,}6. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_1=-0{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Обчислімо суму:

\begin{gather*} a_1+a_2=2{,}8+1{,}6=4{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}4.\)