ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їхні значення.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення заданої функції, визначати формулу прямої пропорційності й обчислювати значення алгебричного виразу.

За умовою \(f(x)=3\), якщо \(x\gt 0\), і \(f(x)=1\), якщо \(x\lt 0.\)

Для \(x=2\ (2\gt 0){:}\)

\(f(2)=3.\)

Для \(x=-1\ (-1\lt 0){:}\)

\(f(-1)=1.\)

Визначмо функцію \(g(x)\) та обчислімо її значення в точці \(x=-1{:}\)

Пряму пропорційність задано формулою \(g(x)=kx.\) Підставмо координати точки \((1; 0{,}5)\), через яку проходить графік:

\begin{gather*} 0{,}5=k\cdot 1;\\[7pt] k=0{,}5. \end{gather*}

Отже, \(g(x)=0{,}5x.\) Обчислімо значення \(g(-1){:}\)

\begin{gather*} g(-1)=0{,}5\cdot (-1)=-0{,}5. \end{gather*}

Підставмо всі знайдені значення у початковий вираз:

Відповідь: \(6{,}5.\)

ТЕМА: Математика. Задачі на відсотки й аналізування кругових діаграм.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кругові діаграми, обчислювати відсоткову частку й число за його відсотком.

Повний круг відповідає \(100\ \%\) всіх опитаних.

Різниця у відсотках між футболом і баскетболом:

\begin{gather*} 35\ \%-15\ \%=20\ \%. \end{gather*}

За умовою задачі ця різниця у \(20\ \%\) відповідає \(60\) учням.

Щоб визначити ціле число за його відсотком, поділімо значення на відповідний десятковий дріб \(\left(20\ \%=\dfrac{20}{100}=0{,}2\right){:}\)

\begin{gather*} N=\frac{60}{0{,}2}=300\ \text{учнів}. \end{gather*}

Відповідь: \(300.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Призма та циліндр.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи й об'єми комбінованих геометричних тіл (призми й циліндра), а також використовувати властивості ромба.

Площу основи циліндра обчислюють за формулою \(S=\pi R^2.\)

\begin{gather*} \pi R^2=9\pi;\\[7pt] R^2=9;\\[7pt] R=3\ \text{см}. \end{gather*}

Основою призми є ромб зі стороною \(a=10\) см.

Радіус вписаного в ромб кола дорівнює радіусу основи циліндра \((r=R=3\) см\().\)

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола (удвічі більша за радіус):

\begin{gather*} h=2r=2\cdot 3=6\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба через сторону й висоту:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^2. \end{gather*}

Твірна прямого циліндра є його висотою, тому \(H=25\) см. За умовою висота призми дорівнює висоті циліндра \((H_\text{призми}=H_\text{циліндра}=25\) см\().\) Обчислімо об'єм прямої призми за формулою \(V=S_\text{осн}\cdot H{:}\)

\begin{gather*} V=60\cdot 25=1500\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1500.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння з параметром та раціональні нерівності .

Завдання перевіряє вміння знаходити корені лінійного рівняння з параметром і розв'язувати дробово-раціональні нерівності методом інтервалів.

Перенесімо доданки зі змінною \(x\) у ліву частину, а сталі – у праву:

\begin{gather*} ax-2x=a+5;\\[7pt] (a-2)x=a+5. \end{gather*}

За умови \(a\ne 2\), виразімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=\frac{a+5}{a-2}. \end{gather*}

Для \(a=2\) отримуємо \(0\cdot x=7\), тобто рівняння коренів не має.

Корінь рівняння від’ємний \((x\lt 0)\), якщо:

\begin{gather*} \frac{a+5}{a-2}\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо дробово-раціональну нерівність методом інтервалів. Нулі чисельника й знаменника: \(a=-5\) та \(a=2.\)

Отже, \(a\in (-5; 2).\)

Випишімо всі цілі числа із цього проміжку: \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1.\) Кількість таких чисел дорівнює \(6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє розуміння статистичної інформації, наведеної в табличній, текстовій і графічній формах. 

Визначмо за діаграмою суми заробітної плати за кожен місяць:

Обчислімо загальну суму за весь квартал:

Обчислімо частку січневої заробітної плати від загальної суми:

\begin{gather*} \frac{300}{1200}=\frac{3}{12}=\frac 14. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число \(1\dfrac 23\) на неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac 23=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac 53. \end{gather*}

Запишімо пропорцію:

\begin{gather*} \frac 2x=\frac 53. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c.\\[6pt] 5\cdot x=2\cdot 3;\\[6pt] 5x=6;\\[7pt] x=\frac 65. \end{gather*}

Виділімо цілу частину:

\begin{gather*} x=1\frac 15. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини, а також властивостей призми.

Пряма \(AB_1\) є діагоналлю лівої грані куба \(ABB_1A_1.\)

Протилежна й паралельна їй грань – це \(DCC_1D_1.\) Відповідна паралельна діагональ у цій грані – пряма \(DC_1\) (чотирикутник \(ADC_1B_1\) є паралелограмом, тому \(AB_1\!\parallel\!DC_1\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її кутів і сторін, а також вміння застосовувати умови існування чотирикутників і вписаних у них кіл.

I. Існує трапеція, у якій сума довжин основ дорівнює довжині її висоти.

Не існує геометричних обмежень щодо співвідношення між сумою основ і висотою. Наприклад, якщо основи трапеції дорівнюють \(a=1\) та \(b=2\), а висота \(h=3\), то \(a+b=h=3.\) Така трапеція існує. Твердження правильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у якій суми градусних мір протилежних кутів рівні.

Сума кутів чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\) Якщо суми протилежних кутів рівні, то кожна з них дорівнює \(180^\circ.\) У прямокутній трапеції два кути вже дорівнюють \(90^\circ\), тому для виконання умови інші два кути також мають бути по \(90^\circ.\) Проте фігура, у якої всі чотири кути прямі, є прямокутником, а не трапецією. Твердження неправильне.

III. Існує прямокутна трапеція, у якій сума довжин бічних сторін дорівнює сумі довжин її основ.

Рівність суми бічних сторін і суми основ – умова існування вписаного в чотирикутник кола. Прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло, існує. Наприклад, якщо основи \(a=3\) і \(b=6\), а висота (перша бічна сторона) \(h=4\), то друга бічна сторона \(c=\sqrt{4^2+(6-3)^2}=5.\) Сума основ: \(3+6=9\), сума бічних сторін: \(4+5=9.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.