ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=\sin x.\)

Функція \(y=\sin x\) є непарною за означенням, оскільки для всіх дійсних \(x\) виконується рівність \(\sin(-x)=-\sin x.\) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(y=-\sqrt{x}.\)

Графік функції \(y=-\sqrt{x}\) має з графіком рівняння \(x^2+y^2=4\) лише одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(y=(x-1)^3.\)

Областю значень кубічної функції є вся числова пряма, тобто \(E(y)=(-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника.

1. \(KM.\)

У трикутнику \(\Delta ADC\) відрізок \(KM\) є середньою лінією, оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(AD\) і \(DC.\)

За властивістю середньої лінії трикутника:

\begin{gather*} KM=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 32=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(BO.\)

Нехай \(P\) – точка перетину діагоналей ромба \(AC\) і \(BD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл, тому \(BP=DP.\) Оскільки \(KM\!\parallel\!AC\) є середньою лінією \(\Delta ADC\), відрізок \(KM\) ділить висоту \(DP\) навпіл у точці \(O{:}\)

\begin{gather*} DP=2\cdot DO=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси \(BP=DP=12\) см. Оскільки \(PO=DO=6\) см, маємо:

\begin{gather*} BO=BP+PO=12+6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta APB\ (\angle APB=90^\circ):\)

\begin{gather*} AB=\frac 12 AC=\frac{32}{2}=16\ \text{см};\\[6pt] BP=12\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну функції, обчислювати значення функції та її похідної в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення функції \(f(-2){:}\)

Запишімо функцію у вигляді многочлена й визначмо її похідну \(f'(x){:}\)

\begin{gather*} f(x)=x(5-x)=5x-x^2;\\[7pt] f'(x)=(5x-x^2)'=5-2x. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної в точці \(x=4{:}\)

\begin{gather*} f'(4)=5-2\cdot 4=5-8=-3. \end{gather*}

Обчислімо значення шуканого виразу:

\begin{gather*} f(-2)\cdot f'(4)=(-14)\cdot (-3)=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}

де \(N=8n\) – загальна кількість місць у залі (у залі \(n\) рядів по \(8\) місць у кожному), а \(k=3\cdot 8=24\) – кількість сприятливих місць (у перших \(3\) рядах). Ймовірність вибору місця в перших трьох рядах дорівнює \(\dfrac{24}{8n}\), за умовою задачі ця ймовірність дорівнює \(\dfrac{1}{16}.\) Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{24}{8n}=\frac{1}{16};\\[6pt] \frac 3n=\frac{1}{16};\\[6pt] 1\cdot n=3\cdot 16;\\[7pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей призми й циліндра, уміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб із діагоналями \(6\) см і \(8\) см.

\(AO=OC=4\) см, \(BO=OD=3\) см. \(AC\!\perp\!BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора

2. Радіус основи циліндра \(R=AD=5\) см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\pi RH;\\[7pt] 2\pi\cdot 5\cdot H=100\pi;\\[7pt] H=10\ \text{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=10\) см.

5. Площа бічної поверхні призми:

Відповідь: 200.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Перше рівняння \((x-1)^2+(y+2)^2=16\) задає коло із центром у точці \(C(1; -2)\) радіуса \(R=4.\) Друге рівняння \(y=3a-(x-1)^2\) задає параболу, вітки якої напрямлені вниз, а вершина – у точці \((1; 3a).\)

Обидва графіки симетричні відносно вертикальної прямої \(x=1.\)

Щоб система мала єдиний розв'язок, єдина точка перетину графіків обов'язково повинна лежати на осі симетрії \(x=1\) (будь-яка точка поза віссю \(x=1\) через симетрію давала б парну кількість точок перетину).

Підставмо \(x=1\) у перше рівняння:

\begin{gather*} (x-1)^2+(y+2)^2=16;\\[7pt] (y+2)^2=16. \end{gather*}

Отримуємо дві точки кола, що лежать на осі симетрії:

1. \(y+2=4.\)

\(y_1=2\) (найвища точка кола).

2. \(y+2=-4.\)

\(y_2=-6\) (найнижча точка кола).

Оскільки ордината вершини параболи дорівнює \(y=3a\), вона має збігатися з однією із цих точок:

\begin{gather*} 1.\ 3a=2;\\[6pt] a=\frac 23. \end{gather*}

Вершина параболи розташована в найвищій точці кола \((1; 2).\) Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, вона перетинає коло ще у двох точках нижче. Усього система матиме \(3\) розв'язки (не підходить).

\begin{gather*} 2.\ 3a=-6;\\[6pt] a=-2. \end{gather*}

Вершина параболи розташована в найнижчій точці кола \((1; -6).\) Оскільки вітки напрямлені вниз, а все коло лежить у півплощині \(y\ge -6\), інших точок перетину немає. Система має єдиний розв'язок \((1; -6).\)

Відповідь: \(-2.\)