ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Визначмо корені квадратного рівняння \(x^2+2x-24=0.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac{:}\)

Обчислімо значення \(x{:}\)

Оскільки знак нерівності нестрогий \((\le)\), точки \(-6\) та \(4\) входять до розв'язку (включені в інтервал квадратними дужками).

Коефіцієнт за \(x^2\) додатний \((a=1\gt 0)\), тому вітки параболи напрямлені вгору.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -6]\cup [4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Застосуймо властивості кореня:

(оскільки \(3^4=81\), а \(2^4=16\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом і записувати числа в стандартному вигляді.

Оскільки \(1\) карат \(=\ 0{,}2\) г, то маса алмаза становить:

\begin{gather*} 3106\cdot 0{,}2=621{,}2\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=\ 10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 621{,}2\ \text{г}=\frac{621{,}2}{1000}\ \text{кг}=0{,}6212\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(1\) знак праворуч:

\begin{gather*} 0{,}6212\ \text{кг}=6{,}212\cdot 10^{-1}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), а \(m\) – ціле число.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ): \(x\gt 0.\)

Застосуймо властивість різниці логарифмів \((\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac bc){:}\)

\begin{gather*} \log_6 x-\log_6 2=1;\\[6pt] \log_6 \frac x2=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \frac x2=6^1;\\[6pt] \frac x2=6;\\[6pt] x=12. \end{gather*}

Число \(12\) задовольняє ОДЗ \((12\gt 0)\) і належить проміжку \((10; +\infty).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, симетричної відносно початку координат, й обчислювати довжину (модуль) вектора.

Оскільки точка \(B\) симетрична точці \(A(-6; -3; 6)\) відносно початку координат, її координати є протилежними за знаком: \(B(6; 3; -6).\)

Обчислімо довжину (модуль) вектора \(|\overrightarrow{AB}|\) за формулою:

Підставмо координати точок \(A(-6; -3; 6)\) та \(B(6; 3; -6){:}\)

Властивість симетрії: точки \(A(x; y; z)\) та \(B(-x; -y; -z)\) є симетричними відносно початку координат \(O(0; 0; 0).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічна функція.

Завдання перевіряє вміння з'ясовувати область визначення логарифмічної функції.

Для логарифмічної функції \(y=\log_a f(x)\) (де \(a\gt 0\), \(a\ne 1\)) область визначення задано умовою \(f(x)\gt 0.\)

Розв'яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} x+9\gt 0;\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-9; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб і прямокутник.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи прямокутного трикутника, використовувати властивості подібності трикутників й обчислювати площу ромба.

У прямокутному трикутнику \(KNM\ (\angle N=90^\circ){:}\)

Отже, \(KL=NM=6\sqrt{3}\) см й \(LM=KN=6\) см.

Сторони прямокутника паралельні діагоналям ромба \((KL || AC\), \(KN || BD).\) Оскільки \(AK:KB=1:3\), сторона \(AB\) ділиться у відношенні \(1:3\), тобто

\(KB=\dfrac 34 AB\), а \(AK=\dfrac 14 AB.\)

З подібності трикутників \(\Delta BKL\sim \Delta BAC{:}\)

\begin{gather*} \frac{KL}{AC}=\frac{KB}{AB}=\frac 34;\\[6pt] AC=\frac 43 KL=\frac 43\cdot 6\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З подібності трикутників \(\Delta AKN\sim \Delta ABD{:}\)

\begin{gather*} \frac{KN}{BD}=\frac{AK}{AB}=\frac 14;\\[6pt] BD=4\cdot KN=4\cdot 6=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Обчислення значень виразів.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення логарифмічних, степеневих і тригонометричних виразів.

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^n}(b^m)=\frac mn\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Застосували властивість степеня \(\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

\(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

За формулою різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їх властивості.

Завдання перевіряє вміння аналізувати властивості основних елементарних функцій.

1. \(f(x)=x^2+2.\)

Спосіб 1

Область визначення \(D(f)=(-\infty; +\infty).\) Перевірмо функцію на парність:

Оскільки \(f(-x)=f(x)\), за означенням функція парна.

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Спосіб 2

Графіком є парабола, вісь симетрії якої збігається з віссю ординат \(Oy.\) Симетрія графіка відносно осі \(Oy\) за означенням означає, що функція є парною, тобто виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(f(x)=\sin x.\)

Спосіб 1

Визначмо нулі функції, розв'язавши рівняння

\begin{gather*} \sin x=0;\\[7pt] x=\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Функція має безліч нулів \((0\); \(\pm\pi\); \(\pm 2\pi\); \(\text{...})\), тобто більше ніж два нулі.

Нуль функції – це значення аргумента \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\)

Спосіб 2

Графіком є синусоїда. Точки перетину графіка з віссю абсцис \(Ox\) є нулями функції. На зображенні позначено точки перетину \(x=\text{...}\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), \(2\pi\), \(\text{...}\), що доводить наявність безлічі нулів, тобто більше ніж двох.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(f(x)=x^3.\)

Спосіб 1

Степенева функція з непарним показником \(n=3\) є строго висхідною на всій своїй області визначення \((-\infty; +\infty).\)

Висхідна функція – це функція, для якої більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції \((x_1\lt x_2\Leftrightarrow f(x_1)\lt f(x_2)).\)

Спосіб 2

Графіком є кубічна парабола. Унаслідок руху вздовж осі \(Ox\) зліва направо значення функції постійно зростають на всій області визначення \((-\infty; +\infty)\), що є властивістю висхідної функції.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – A.