ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції та визначати значення аргумента x, за яких функція набуває додатних значень.

Вираз функція набуває додатних значень означає, що \(f(x)\gt 0.\)

Нерівність \(f(x)\gt 0\) виконується для тих значень аргумента, за яких графік функції розташований у верхній півплощині (вище від осі \(Ox\)). Функція набуває додатних значень на проміжку \(x\in [-2; 1).\)

Серед запропонованих варіантів лише значення \(x=0\) входить у цей проміжок. У точці \(x=1\) функція дорівнює нулю \(f(1)=0\), що не задовольняє строгу нерівність.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаймо властивість логарифмів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(6{:}\)

\begin{gather*} 6\cdot \frac x3\lt 6\cdot \frac x2+6\cdot 3;\\[6pt] 2x\lt 3x+18. \end{gather*}

Перенесімо доданок \(3x\) у ліву частину зі зміною знака:

\begin{gather*} 2x-3x\lt 18;\\[7pt] -x\lt 18. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} x\gt -18. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Отже, \(x\in (-18; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Завдання перевіряє вміння обчислювати градусну міру центрального кута кола.

Повний оберт навколо центра кола становить \(360^\circ.\)

Оскільки точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) ділять коло на п'ять рівних частин, градусна міра кожної утвореної дуги дорівнює:

\begin{gather*} \frac{360^\circ}{5}=72^\circ. \end{gather*}

Кут \(AOE\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(AE.\) За властивістю центрального кута його градусна міра дорівнює градусній мірі відповідної дуги:

\begin{gather*} \angle AOE=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Застосуймо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), звідки \(\sin^2 x=1-\cos^2 x.\)

Підставмо відоме значення \(\cos^2 x=0{,}4{:}\)

\begin{gather*} -2\cdot 0{,}4=-0{,}8. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Оскільки \(O(0; 0; 0)\) – початок координат, то координати векторів \(\overrightarrow{OA}\) і \(\overrightarrow{OB}\) збігаються з координатами точок \(A\) і \(B{:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{OA}(1; -2; 5);\\[7pt] \overrightarrow{OB}(-9; -7; 7). \end{gather*}

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB};\\[7pt] \vec c(1+(-9); -2+(-7); 5+7);\\[7pt] \vec c(-8; -9; 12). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Завдання перевіряє вміння визначати різницю арифметичної прогресії, заданої формулою її \(n\)-го члена.

Обчислімо перші два члени прогресії:

\begin{gather*} a_1=3-9\cdot 1=-6;\\[7pt] a_2=3-9\cdot 2=-15. \end{gather*}

За визначенням різниці \(d=a_2-a_1{:}\)

\begin{gather*} d=-15-(-6)=-15+6=-9. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості подібних трикутників, утворених перетином діагоналей трапеції, для обчислення довжин її невідомої основи й середньої лінії.

Оскільки основи трапеції паралельні \((BC\!\parallel\!AD)\), трикутники \(BOC\) та \(AOD\) подібні \((\Delta BOC\sim \Delta AOD)\) за двома кутами.

Відношення відповідних висот подібних трикутників дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін (коефіцієнту подібності):

\begin{gather*} \frac{h_1}{h_2}=\frac{BC}{AD}=\frac 25. \end{gather*}

Підставмо \(BC=14\) см:

\begin{gather*} \frac{14}{AD}=\frac 25;\\[6pt] AD=\frac{14\cdot 5}{2}=35\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} \frac{(a+5)^2}{13}=\frac{1}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(13{:}\)

\begin{gather*} (a+5)^2=1. \end{gather*}

Звідси \(a+5=1\), або \(a+5=-1\), отже, отримаємо корені \(a_1=1-5=-4\) й \(a_2=-1-5=-6.\)

Відповідь: Б.