ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число \(-3\) належить проміжку \([-3; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

За таблицею первісних для степеневої функції

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати площу прямокутної трапеції, застосовуючи властивості дотичної до кола й тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Позначмо \(M\) точку дотику кола зі стороною \(AD.\) Тоді \(OM\!\perp\!AD\), а \(OM=R.\)

Проведімо радіус \(OM\!\perp\!AD\) в точку дотику \(M.\) У прямокутному трикутнику \(OMD\ (\angle OMD=90^\circ){:}\)

Коло дотикається двох паралельних сторін \(AD\) і \(BC\), тому сторона \(CD=2R=24\) см.

Радіус \(OK\!\perp\!BC\), тому \(OK\!\parallel\!CD.\) Чотирикутник \(OKCD\) – це прямокутна трапеція з основами \(OK=12\) см і \(CD=24\) см.

Оскільки \(BK=AM=R\), отримуємо \(KC=MD=12\sqrt{3}\) см (висота трапеції).

Обчислімо площу \(OKCD{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Синус – непарна функція \((\sin(-x)=-\sin x)\), тому

\begin{gather*} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \end{gather*}

Косинус має період \(2\pi\), тому

\begin{gather*} \cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення у вираз:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Перше рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є логарифмічним. Розв'яжімо це рівняння. За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=a^b\Leftrightarrow \log_a x=b. \end{gather*}

Оскільки \(\log_2 x=2\), то \(x=2^2=4.\)

(Оскільки \(x=4\gt 0\) і знаменник другого рівняння \(x+1=5\ne 0\), це число належить до області допустимих значень).

Обчислімо \(y\), підставивши \(x=4\) у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+10}{4+1}=\frac{4+2}{2};\\[6pt] \frac{y+10}{5}=3;\\[6pt] y+10=15;\\[7pt] y=5. \end{gather*}

Обчислімо суму \(x_0+y_0{:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=4+5=9. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Прямі \(y=2x-3\) та \(y=x+1.\)

Спосіб 1

Прирівняймо праві частини рівнянь:

\begin{gather*} 2x-3=x+1;\\[7pt] 2x-x=1+3;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

За \(x=4\) \(y=5.\) Система має один розв'язок, а графіки – єдину спільну точку \((4; 5).\)

Спосіб 2

Це дві лінійні функції, графіки яких – прямі з кутовими коефіцієнтами \(k_1=2\) та \(k_2=1.\) Оскільки \(k_1\ne k_2\), прямі не паралельні й перетинаються в єдиній точці.

Отже, 1 – Б.

2. Параболи \(y=x^2\) та \(y=x^2-2.\)

Спосіб 1.

Прирівняємо праві частини рівнянь:

Рівняння не має розв'язків. Графіки не мають жодної спільної точки.

Спосіб 2.

Графік \(y=x^2-2\) утворюється шляхом паралельного перенесення параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\) Параболи мають однакову форму та напрямок віток, але зміщені одна відносно одної, тому вони не мають жодної спільної точки.

Отже, 2 – A.

3. Гіпербола \(y=\dfrac 2x\) та коло \(x^2+y^2=4.\)

Спосіб 1

Підставмо \(y=\dfrac 2x\) у рівняння кола:

\begin{gather*} x^2+\left(\frac 2x\right)^2=4;\\[6pt] x^2+\frac{4}{x^2}=4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(x^2\ne 0{:}\)

\begin{gather*} x^4-4x^2+4=0;\\[7pt] (x^2-2)^2=0;\\[7pt] x^2-2=0;\\[7pt] x^2=2. \end{gather*}

Отримуємо два значення: \(x_1=\sqrt{2}\) та \(x_2=-\sqrt{2}.\) Отже, графіки мають лише дві спільні точки.

Спосіб 2

Рівняння \(x^2+y^2=4\) задає коло із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=2.\)

\(y=\dfrac 2x\) – гіпербола з вітками в I та III координатних чвертях. Вітки гіперболи дотикаються кола у двох точках. Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння тотожно перетворювати й спрощувати алгебраїчні вирази, застосовуючи формули скороченого множення, властивості степенів, коренів \(n\)-го степеня та правила обчислення логарифмів.

1. \(\sqrt[\scriptstyle 3]{\dfrac{27}{a^3}}.\)

Застосуймо властивість кореня із частки \(\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\), де \(b\ne 0.\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{27}{a^3}}=\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{27}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}}=\frac 3a. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(a^{-2}\cdot a^3\cdot \log_{27} 3.\)

За властивістю степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}{:}\)

\begin{gather*} a^{-2}\cdot a^3=a^{-2+3}=a^1=a. \end{gather*}

Оскільки \(27=3^3\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Перемножмо результати:

\begin{gather*} a\cdot \frac 13=\frac a3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\dfrac{(a-3)^2-a^2-9}{2}.\)

Застосуймо формулу квадрата різниці в чисельнику:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника й рівнобедреного трикутника, теореми Піфагора та подібності прямокутних трикутників для обчислення довжин відрізків і відстаней.

1. Довжина відрізка \(AM\)

За умовою \(AD=12\) см, а \(DM=2AD=2\cdot 12=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Bідстань від точки \(K\) до прямої \(AM\)

Відстань від \(K\) до прямої \(AM\) – це довжина перпендикуляра \(KH\!\perp\!AM.\)

Оскільки \(\Delta DKM\) рівнобедрений \((DK=KM)\), висота \(KH\) є також медіаною, тому

\begin{gather*} DH=\frac{DM}{2}=\frac{24}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси

Оскільки \(CD\!\perp\!AM\) та \(KH\!\perp\!AM\), трикутники \(\Delta ADC\) та \(\Delta AHK\) є подібними \((\Delta ADC\sim \Delta AHK).\)

Коефіцієнт подібності:

\begin{gather*} k=\frac{AH}{AD}=\frac{24}{12}=2. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} KH=k\cdot CD=2\cdot 16=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина відрізка \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(ADC\) за теоремою Піфагора:

З подібності трикутників \(\Delta ADC\sim \Delta AHK\) маємо

\begin{gather*} AK=k\cdot AC=2\cdot 20=40\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найменше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2-42x-90=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-7x-15=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-1{,}5\) та \(x=5.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

На \((-\infty; -1{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-1{,}5; 5){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((5; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=5\) знак похідної змінюється з мінуса на плюс \((-\) на \(+)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою мінімуму.

Критичні точки: \(-1{,}5\) та \(5.\) Точка мінімуму: \(x_\text{min}=5.\)

Відповідь: \(5.\)