ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки й середнє арифметичне, складаючи лінійні рівняння.

Оскільки середня місячна кількість відвідувачів становить \(18000\) осіб, то за літо кінотеатр відвідало:

\begin{gather*} N_\text{заг}=18000\cdot 3=54000\ (\text{осіб}). \end{gather*}

Нехай у липні кількість відвідувачів становила \(x\) осіб.

У червні (на \(40\ \%\) більше, ніж у липні):

\begin{gather*} x+0{,}4x=1{,}4x\ \text{осіб}. \end{gather*}

У серпні (на \(20\ \%\) більше, ніж у липні):

\begin{gather*} x+0{,}2x=1{,}2x\ \text{осіб}. \end{gather*}

Сума відвідувачів за три місяці дорівнює \(54000.\)

Складімо рівняння:

\begin{gather*} 1{,}4x+x+1{,}2x=54000;\\[7pt] 3{,}6x=54000;\\[6pt] x=\frac{54000}{3{,}6}=15000\ (\text{осіб у липні}). \end{gather*}

Обчислімо кількість відвідувачів у червні:

\begin{gather*} 1{,}4\cdot 15000=21000\ (\text{осіб}). \end{gather*}

Відповідь: \(21000.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Комбінації геометричних тіл (конус і призма).

Завдання перевіряє знання формул бічної поверхні конуса, зв’язку між стороною правильного трикутника й радіусом описаного навколо нього кола, а також уміння обчислювати об’єм призми.

Площу бічної поверхні конуса обчислімо за формулою

\begin{gather*} S_\text{біч}=\pi RL, \end{gather*}

де \(L=12\) см – твірна.

\begin{gather*} 48\pi=\pi\cdot R\cdot 12;\\[7pt] 12R=48;\\[7pt] R=4\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, радіус основи конуса є радіусом кола, описаного навколо правильного трикутника (основи призми).

Зв'язок між стороною правильного трикутника \(a\) й радіусом описаного кола \(R{:}\)

\begin{gather*} R=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки бічні грані призми є квадратами, висота призми дорівнює стороні основи:

\begin{gather*} h=a=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника в основі:

Відповідь: 144.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння й системи рівнянь. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні, ірраціональні й логарифмічні рівняння з параметром, а також аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник має зміст і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \sqrt{3x+4}-x+12=0;\\[7pt] \sqrt{3x+4}=x-12. \end{gather*}

Арифметичний квадратний корінь не може бути від'ємним, тому маємо обов'язкову умову:

\begin{gather*} x-12\ge 0;\\[7pt] x\ge 12. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини до квадрата:

\begin{gather*} 3x+4=(x-12)^2;\\[7pt] 3x+4=x^2-24x+144;\\[7pt] x^2-27x+140=0. \end{gather*}

Застосуймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=27;\\ x_1\cdot x_2=140. \end{array}\right. \end{gather*}

Розклавши \(140\) на множники \((7\cdot 20=140\) та \(7+20=27)\), отримуємо корені: \(x_1=7\); \(x_2=20.\)

Зважаючи на умову \(x\ge 12\), значення \(x=7\) є стороннім коренем.

Отже, чисельник перетворюється на нуль лише при \(x=20.\)

Початкове рівняння не матиме коренів, якщо потенційний корінь \(x=20\) не входить до області допустимих значень знаменника \(log_5(x−2a).\)

Це відбувається у двох випадках.

1. Знаменник не існує (вираз під логарифмом недодатний):

\begin{gather*} x-2a\le 0;\\[7pt] 20-2a\le 0;\\[7pt] 2a\ge 20;\\[7pt] a\ge 10. \end{gather*}

2. Знаменник дорівнює нулю (ділення на нуль неможливе):

\begin{gather*} \log_5(x-2a)=0;\\[7pt] x-2a=1;\\[7pt] 20-2a=1;\\[7pt] 2a=19;\\[7pt] a=9{,}5. \end{gather*}

Рівняння не має коренів за \(a\in \{9{,}5\}\cup [10; +\infty).\)

Найменшим значенням \(a\) із цієї множини є \(9{,}5.\)

Відповідь: \(9{,}5.\)