Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричної прогресії, уміння застосовувати формулу \(n\text{-го}\) члена.

У геометричній прогресії \((b_n)\) за формулою \(n\text{-го}\) члена послідовності: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1}. $$ Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{b_5}{b_7}=\frac{b_1\cdot q^4}{b_1\cdot q^6}=\frac{q^4}{q^6}=\frac{1}{q^2},\\[6pt] b_2=b_1\cdot q,\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{8}{32}=\frac 14,\\[6pt] q^2=\left(\frac 14\right)^2=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Отже,

$$ \frac{b_5}{b_7}=\frac{1}{q^2}=1:\frac{1}{16}=1\cdot \frac{16}{1}=16. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні, показникові та раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння та їх системи.

Рівняння \(5^x=\sqrt{5}\) містить одну змінну. Розв'яжімо його, зводячи до однакової основи:

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\frac 12},\\[6pt] \text{тому}\ 5^x=5^{\frac 12},\\[6pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Підставмо значення \(x\) у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+1}{2\cdot \frac 12+3}=\frac{1-4\cdot \frac 12}{2},\\[6pt] \frac{y+1}{1+3}=\frac{1-2}{2},\\[6pt] \frac{y+1}{4}=\frac{-1}{2}. \end{gather*}

За основною властивістю пропорції: $$ \frac ab=\frac cd \rightarrow a\cdot d=b\cdot c. $$ Тому запишімо:

\begin{gather*} 2(y+1)=4\cdot (-1),\\[7pt] 2y+2=-4,\\[7pt] 2y=-4-2,\\[7pt] 2y=-6,\\[7pt] y=-6:2,\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Маємо розв'язок \((x_0; y_0)\) як \(\left(\frac 12; -3\right).\)

Підставмо його у вираз:

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб – паралелограм, тому всі властивості паралелограма є властивостями ромба.

Отже, у будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба не дорівнює сумі його діагоналей. Якби це твердження було правильним, то в \(\Delta ABC\) сума довжин двох сторін \((AB+BC)\) дорівнювала б довжині третьої сторони \(AC.\) А це суперечить нерівності трикутника.

III. Твердження правильне. Висота ромба \(BH\) удвічі більша за радіус \(OK\) вписаного кола.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті \(ABCD\) \(AB=BC=CD=DA=24\) см.

\(AM:MD=1:2\), \(KC=6\) см.

Нехай \(AM=x\) см, \(MD=2x\) см. \(AD=AM+MD\), \(x+2x=24\) см, \(x=8\) см.

Отже, \(AM=8\) см, \(MD=16\) см.

Побудуймо \(KH\ \perp\ AD.\) \(KCDH\) – прямокутник, тому \(KC=HD=6\) см, \(CD=KH=24\) см. \(MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10\) см.

Розгляньмо \(\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).\) Катети \(KH=24\) см і \(MH=10\) см. За теоремою Піфагора: \(a^2+b^2=c^2.\)

Визначмо довжину гіпотенузи:

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма: $$ 2=\lg 100. $$

За властивістю логарифмів:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

\begin{gather*} 25-x^2=5^2-x^2=(5-x)(5+x) \end{gather*}

за формулою різниці квадратів.

У виразі

$$ x^2+5x=x(x+5) $$

винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Скористаймося аксіомою паралельності: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, через точку \(S\), яка не лежить на прямій \(AB\), можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості кола для розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

Градусна міра повного кута дорівнює \(360^\circ.\) Якщо поділити його на \(12\) рівних частин, то кожна з них дорівнюватиме \(30^\circ.\)

Кут між хвилинною і годинниковою стрілками на циферблаті містить \(5\) таких кутів $$ 30^\circ\cdot 5=150^\circ. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій і похідну суми двох функцій.

За правилом визначення похідної суми:

$$ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) $$

і похідної степеневої функції:

$$ (x^n)'=n\cdot x^{n-1} $$

визначаємо похідну функції \(y=x^3-5.\)

Похідна сталої функції \(\mathrm{c}'=0.\) Отже, \(5'=0.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші лінійні нерівності.

\begin{gather*} 1\le 2x\\[7pt] x\ge \frac 12\\[7pt] x\ge 0\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі. Геометричні переміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати координати середини відрізка, знання основних видів геометричних переміщень, зокрема симетрії відносно точки.

Точка \(C\) симетрична точці \(A\) відносно точки \(B\), якщо точки лежать на одній прямій і \(AB=BC.\)

Скористаймося формулою визначення координат середини відрізка:

\begin{gather*} x=\frac{x_1+x_2}{2},\\[6pt] y=\frac{y_1+y_2}{2},\\[6pt] z=\frac{z_1+z_2}{2}, \end{gather*}

де кінці відрізка мають координати: \((x_1; y_1; z_1)\), \((x_2; y_2; z_2).\)

\(A(5; -4; 0)\), \(B(7; 2; -2)\), \(C(x_2; y_2; z_2).\)

Отже, правильна відповідь – \(C(9; 8; -4).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані в графічній і текстовій формі.

М'яч перебував на висоті не менше ніж \(3\) м з \(1\) с до \(5\) с. Тобто протягом \(4\) с.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Функція є непарною, тому що графік симетричний відносно початку координат, і неперервна. Отже, 1 – A.

2. Функція має дві точки локального екстремуму: максимум та мінімум. Отже, 2 – Д.

3. Функція має три нулі – точки перетину з віссю абсцис. Отже, 3 – Г.

4. Функція є парною, тому що графік симметричний відносно осі \(Oy\), та є неперервною. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – Г, 4 – B.