Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв'яжімо систему лінійних нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-\infty; -2].\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

\begin{gather*} a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d=-30. \end{gather*}

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання означення та властивостей логарифма.

За властивістю логарифма: $$ \log_ab^n=n\log_ab\mathord{;} $$ $$ \log_aa=1. $$

Спростімо вираз:

\begin{gather*} \log_5 5^{10}=10\log_5 5=10\cdot 1=10. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, \(M\) – середина \(BC.\)

II. Твердження неправильне. \(AM\) – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою \(BC.\) Але в умові \(\Delta ABC\) – довільний.

III. Твердження правильне. \(S_{ABM}=S_{AMC}.\) За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

\(AC=8\) см, \(BD=6\) см, \(\cos \angle AOD=-\frac 14.\)

За властивістю паралелограма

\begin{gather*} AO=OC=\frac 12AC=4\ \text{см},\\[6pt] BO=OD=\frac 12BD=3\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta AOD\) за теоремою косинусів:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

З \(1\) га насадження ялівцю виділяється \(30\) кг фітонцидів за \(1\) день.

З \(2000\) га виділяється \(30\ \text{кг/га}\cdot 2000\ \text{га}=60000\ \text{кг}\) фітонцидів за день.

Визначмо масу фітонцидів за \(30\) днів:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Спростімо вираз:

Використали властивість кореня: \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\) де \(a\), \(b\gt 0.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі \(Ox\) – це перетворення виду: $$ f(x)\rightarrow f(x+A), $$ де \(A\) – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо \(A\gt 0\) – переносимо графік вліво, якщо \(A\lt 0\) – переносимо вправо.

Отже, графік функції \(y=x^3\) перенесли на \(4\) одиниці ліворуч й отримали графік функції \(y=(x+4)^3.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення та вмінння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо спільний множник за дужки:

Використали розподільну властивість множення: $$ a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b). $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) i \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta} = \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}.\)

Кути \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) i \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=180^\circ,\\[7pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=35^\circ,\\[7pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=180^\circ - 35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Отже, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=145^\circ.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD\mathord{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) – ребра основи. Отже, \(SA\) є бічним ребром.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання основної властивості пропорції.

Виразімо із цієї рівності \(m_1\mathord{:}\)

\begin{gather*} w=\frac{m_1}{m_2},\\[6pt] \frac w1=\frac{m_1}{m_2},\\[6pt] m_1\cdot 1=m_2\cdot w,\\[7pt] m_1=m_2\cdot w. \end{gather*}

У перетворенні застосували основну властивість пропорції:

$$ \text{якщо}\ \frac ab=\frac cd,\ \text{то}\ ad=bc. $$

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів:
січень – \(250\);
лютий – \(100\);
березень – \(200\);
квітень – \(100\);
травень – \(150\).

Місяць, у якому продано планшетів на \(100\) більше, ніж у попередньому, – березень.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння, рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 2-x\gt 0,\\[7pt] x\lt 2,\\[7pt] x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю за умови, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні.

\begin{gather*} 2^{4x+2a-15}-2\sqrt{2}=0\\[7pt] 2^{4x+2a-15}=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^{4x+2a-15}=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] 4x+2a-15=1\mathord{,}5\\[7pt] 4x=1\mathord{,}5+15-2a\\[7pt] 4x=16\mathord{,}5-2a\\[6pt] x=\frac{33}{8}-\frac a2. \end{gather*}

За умовою корінь \(x\) має бути додатним і задовольняти ОДЗ. Тобто \(x\gt 0\) та \(x\lt 2.\) Отже, \(0\lt x\lt 2.\)

Підставмо \(x\) у нерівність:

\begin{gather*} 0\lt \frac{33}{8}-\frac a2\lt 2,\ |\cdot 8\\[6pt] 0\lt 33-4a\lt 16,\\[7pt] -33\lt -4a\lt 17,\ |:(-4)\\[6pt] \frac{17}{4}\lt a\lt \frac{33}{4},\\[6pt] 4\frac 14\lt a\lt 8\frac 14. \end{gather*}

Оскільки \(a\) – ціле число, то \(a=5\mathord{,}\ 6\mathord{,}\ 7\mathord{,}\ 8.\)

Сума значень \(a:\) $$ 5+6+7+8=26. $$

Відповідь: \(26.\)