Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо нерівність: \begin{gather*} 4\cdot 3^x\lt 3^x + 6,\\[7pt] 4\cdot 3^x-3^x\lt 6,\\[7pt] 3\cdot 3^3 \lt 6,\\[7pt] 3^x \lt 2,\\[7pt] x\lt \log_3 2,\\[7pt] x\in (-\infty;\ \log_3 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 6(x+5)+10y=3 & \\ 2x=y+4& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+30+10y=3 & \\ 2x-y=4& \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ 2x-y=4\ \ |\cdot (-3)& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ -6x+3y=-12& \end{array}\right. \\[7pt] 13y=-39,\ \ y=-3. \end{gather*}

Підставимо значення \(y=-3\) у друге рівняння: \begin{gather*} 2x-(-3)=4;\ \ 2x+3=4; \\[6pt] 2x=1;\ \ x=\frac 12\\[6pt] x_0=\frac 12;\ \ y_0=-3. \end{gather*}

У відповідь запишемо суму $$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2,5. $$

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак паралелограма.

З наведених тверджень привильними є твердження II i III.

Протилежні кути паралелограма рівні (властивість).

Відстані від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні. $$ \triangle BEO=\triangle DKO $$ за гіпотенузою та гострим кутом.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником.

Спростимо вираз:

Використали властивості степенів: $$ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \text{та}\ a^m:a^n=a^{m-n} $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

З формули \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}\) визначимо \(L\). \begin{gather*} T^2=(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC})^2,\\[7pt] T^2=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2LC,\\[6pt] L=\frac{T^2}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2C}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття екстремуму функції, знання геометричного змісту похідної.

На рисунку функція зростає при \(x \in [-2;-1]\), а спадає – при \(x\in [-1;4]\). Отже, \(x_0=-1\) – точка максимуму цієї функції (точка екстремуму).

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.

І спосіб:
\(\angle ADB=\angle CBD=35^\circ\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(BD\). $$ \triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ, $$ отже $$ \angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

ІІ спосіб:

За властивістю трапеції

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи.

\begin{gather*} AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\\[7pt] AB=CD=C_1D_1=A_1B_1\\[7pt] AD=BC=B_1C_1=A_1D_1. \end{gather*} Сума усіх ребер дорівнює $$ 4(AA_1+AB+AD)=4\cdot 60=240\ (\text{см}) $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

А неправильно, бо зупинка тривала 1 годину, а не 4.

Б неправильно, бо туристи не пройшли 20 км.

В неправильно, бо туристи пройшли до зупинки більшу відстань, ніж після зупинки.

Г правильна відповідь. Туристи зробили зупинку через 4 години.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Вартість вхідного квитка в заповідник становить 20 грн для школяра й 50 грн – для дорослого. Отже, за вхідні квитки для групи з 15 школярів та 3 дорослих необхідно $$ 20\cdot 15+3\cdot 50=300+150=450\ (\text{грн}) $$

Для провдення екскурсії необхідно орендувати автобус за 800 грн.

Отже, мінімальна сума грошей для проведення екскурсії: $$ 450+800=1250\ (\text{грн}) $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо показникове рівняння:

\begin{gather*} 3^{x+1}+3^{x+3}-10=0,\\[7pt] 3^x\cdot 3^1+3^x\cdot 3^3-10=0,\\[7pt] 3\cdot 3^x+27\cdot 3^x-10=0,\\[7pt] 30\cdot 3^x=10,\\[6pt] 3^x=\frac 13,\\[6pt] 3^x=3^{-1},\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

2. \((3^{x+1}+3^{x+3}-10)\cdot (\sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2})=0.\) \begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 3^{x+1}+3^{x+3}-10=0,\\ \sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2}=0, \end{array}\right. \\[7pt] \ \ \left[\begin{array}{l} x_1=-1,\\ \sqrt{x^2+a}=\sqrt{3a-6-x^2}. \end{array}\right. \end{gather*}

ОДЗ: \(3a-6-x^2\ge 0.\)

\(x_1=-1\) буде коренем рівняння, якщо буде належати ОДЗ.

\begin{gather*} 3a-6-(-1)^2\ge 0,\\[7pt] 3a-6-1\ge 0,\\[7pt] 3a\ge 7,\\[6pt] a\ge 2\frac 13. \end{gather*}

Розв'яжемо друге рівняння:

\begin{gather*} \sqrt{x^2+a}=\sqrt{3a-6-x^2},\\[7pt] x^2+a=3a-6-x^2,\\[7pt] 2x^2=3a-6-a,\\[7pt] 2x^2=2a-6,\\[7pt] x^2=a-x. \end{gather*}

Рівняння має корені, якщо \(a-3\ge 0\), \(a\ge 3.\)

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_2=\sqrt{a-3},\\ x_3=-\sqrt{a-3}. \end{array}\right. \end{gather*}

Розглянемо параметричну пряму

при \(a=3\ \ x_2=x_3=0.\)

Відповідь: 1. \(x=-1\)

                   2. якщо \(a\in \left(-\infty; 2\frac 12\right)\), то \(x\in\varnothing\)
                       якщо \(a\in \left[2\frac 13; 3\right)\), то \(x=-1\)
                       якщо \(a\in [3; +\infty)\), то \(x\in\{-1; \sqrt{a-3}; -\sqrt{a-3}\}.\)