Всі запитання ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 315

Математика. Всі запитання починаючи з 315

316317318319320321322323324325326327328329330 ▶

Завдання 316 з 1583

Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280°. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.

А100°

Б80°

В140°

Г40°

Д120°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.

Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $$ 360^\circ-280^\circ=80^\circ $$

Якщо гострі кути паралелограма $\angle A=\angle C=80^\circ$, то $\angle B=\angle D=180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23665

Завдання 317 з 1583

Укажіть з-поміж наведених ескіз графіка функції $y=-2x+3$.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дано: лінійна функція $y=-2x+3$.

$k=-2$, отже, функція спадна
$b=3$, отже, точка перетину графіка з віссю $Oy$ (0; 3).

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23664

Завдання 318 з 1583

Укажіть корінь рівняння $1-5x=0$.

А$5$

Б$-\frac 15$

В$\frac 15$

Г$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 1-5x=0\\[7pt] -5x=-1\\[6pt] x=\frac{-1}{-5}\\[6pt] x=\frac 15 \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23661

Завдання 319 з 1583

Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота $h$ цієї шухлядки?

А3 см

Б6 см

В10 см

Г13 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23660

Завдання 320 з 1583

На графіку відображено зміну робочої температури двигуна легкового автомобіля протягом 10 хвилин з моменту його запуску. Визначте за графіком кількість хвилин, протягом яких робоча температура двигуна була не більшою за 50 °С.

А7

Б4

В3

Г2

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

Температура двигуна була не більшою за 50 °C протягом 3 хвилин.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23659

Завдання 321 з 1583

За 6 однакових конвертів заплатили 3 грн. Скільки всього таких конвертів можна купити за 12 грн?

А6

Б24

В30

Г36

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

3 грн – 6 конвертів, 12 грн – $x$ конвертів. Прямо пропорційна залежність між величинами. $$ \frac{3}{12}=\frac 6x,\ \ x=\frac{12\cdot 6}{3}=24\ (\text{конверти}). $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23658

Завдання 322 з 1583

Довжина кола основи конуса дорівнює $36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).

Відрізок

1радіус основи конуса

2висота конуса

3радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}$

Б$18$

В$12\sqrt{3}$

Г$6$

Д$36$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.

1. $C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ =>\ R=18$, отже 1 - Б.

$\angle ABO=30^\circ\ (AB\ -\ \text{твірна})$
$\triangle AOB\ (\angle O=90^\circ),\ AO=BOtg 30^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$,

отже 2 - А.

3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна $AB$.

$$ AB=\frac{OB}{\cos 30^\circ}=\frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{18\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot 2\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}, $$

отже 3 - В.

Відповідь: 1Б, 2А, 3В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22996

Завдання 323 з 1583

Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо $a=4,5$.

Вираз

1$a-2,7$

2$\sqrt[3]{3,5-a}$

3$log_5 a$

Проміжок

А$(-2; 0)$

Б$(0; 1)$

В$(1; 2)$

Г$(2; 3)$

Д$(3; 5)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $(a-2,7)=4,5-2,7=1,8\in\ (1;\ 2)$, отже 1 - В.

2. $\sqrt[3]{3,5-4,5}=\sqrt[3]{-1}=-1\in\ (-2;\ 0)$, отже 2 - A.

3. \begin{gather*} \log_5 a=\log_5 4,5;\\[7pt] \log_5 1\lt\log_5 4,5\lt \log_5 5.\\[7pt] y=\log_5 x\ \text{зростаюча функція}\\[7pt] 0\lt\log_5 4,5\lt 1, \end{gather*} отже, 3 - Б

Відповідь: 1В, 2А, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22995

Завдання 324 з 1583

Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на

2Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30°, зображено на

3Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22994

Завдання 325 з 1583

Установіть відповідність між початком речення (1 3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Графік функції $y=-x^3$

2Графік функції $y=\sqrt{x}$

3Графік функції $y=\cos x$

Закінчення речення

Арозміщено лише в першій і другій координатних чвертях.

Бмає з графіком рівняння $x^2+y^2=9$ лише одну спільну точку.

Всиметричний відносно осі $y$.

Гсиметричний відносно початку координат.

Дне має спільних точок із графіком рівняння $x=0$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність) функції.

Симетричний відносно початку координат. Отже, 1 - Г.

Має з графіком рівняння $x^2+y^2=9$ лише одну спільну точку. Отже, 2 - Б.

Симетричний відносно осі $y$. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22993

Завдання 326 з 1583

Задано рівняння $$ \frac{(x-2)\cdot (x^2-3(a-1)x+2a^2-3a)}{\log_{0,5}(3-2x)+2}=0, $$ де $x$ – змінна, $a$ – стала.

1. Запишіть множину допустимих значень змінної $x$.

2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Знайдемо множину допустимих значень змінної $x$:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3-2x\gt 0 & \\ \log_{0,5}(3-2x)+2\ne 0 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ \log_{0,5}(3-2x)\ne -2 & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ 3-2x\ne 4 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ 2x\ne -1 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 1,5 & \\ x\ne -0,5 & \end{array}\right. \end{gather*} $$ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) $$

2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень $a$: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} \left[ \begin{array}{l l} x-2=0 & \\ x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0& \end{array}\right. &\\ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) & \end{array}\right. \end{gather*}

1) $x-2=0,\ \ x=2\ \notin$ ОДЗ.

2) $x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0$.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} D=\left(-3(a-1)\right)^2-4(2a^2-3a)=\\[7pt] =9(a^2-2a+1)-8a^2+12a=(a-3)^2\\[6pt] x_1=\frac{3(a-1)+(a-3)}{2}=2a-3;\\[6pt] x_2=\frac{3(a-1)-(a-3)}{2}=a. \end{gather*}

Знайдемо значення переметра $a$, при яких $x_1=2a-3$ належить ОДЗ: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} 2a-3\lt -0,5 & \\ -0,5\lt 2a-3\lt 1,5& \end{array}\right. \left[ \begin{array}{l l} a\lt 1,25 & \\ 1,25\lt a\lt 2,25& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ 1,25)\cup (1,25;\ 2,25). \end{gather*} Для кореня $x_2=a$ \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} a\lt -0,5 & \\ a\in (-0,5;\ 1,5)& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5). \end{gather*}

Відповідь:
якщо

$a\in(-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,25)\cup (1,25;\ 1,5)\ x\in \left\{a;\ 2a-3\right\}$,

якщо $a\in \left\{-0,5\right\}\cup [1,5;\ 2,25)\ x=2a-3$,
якщо $a=1,25\ x=a$,
якщо $a\in [2,25;\ +\infty)\ x\in \varnothing$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 455. Запитання: 22933

Завдання 327 з 1583

Доведіть тотожність
$1-8\sin^2x\cos^2x-2\cos^22x=\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність

\begin{gather*} 1-8\sin^2x\cos^2x-2\cos^2 2x=\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x\\[6pt] 1-2\cdot\sin^2 2x-2\cos^2 2x=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1}-x\\[6pt] 1-2\left(\sin^2 2x+\cos^2 2x\right)=x-1-x\\[6pt] 1-2=-1\\[6pt] -1=-1, \end{gather*}

що й вимогалось довести.

При доведенні використали формули: \begin{gather*} \sin2x=2\sin x\cos x\\[6pt] \sin^2x+\cos^2x=1\\[6pt] x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \end{gather*}

Тест 455. Запитання: 22932

Завдання 328 з 1583

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ плоский кут при вершині $S$ піраміди дорівнює $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. $\triangle DSC=\triangle BSC$ ($SABCD$ - правильна піраміда), $DM\perp SC$, $BM\perp SC$ - відповідні висоти в рівних трикутниках. $(DSC)\cap(BSC)=SC$. \begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} SC\perp MD & \\ SC\perp MB & \\ BM\cap DM& \end{array}\right| \rightarrow (BMD)\perp SC\rightarrow \end{gather*} $\angle BMD$ - лінійний кут відповідного двогранного між $(BSC)$ та $(DSC)$.
$\angle BMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$.

2. 1) $\triangle SOD\ (\angle O=90^\circ)$

\begin{gather*} SO=\frac{6}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}},\\[6pt] OD=\frac{DC\sqrt{2}}{2}=\frac{12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}.\\[6pt] SD=\sqrt{SO^2+OD^2}=\sqrt{\frac{36\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}+72\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}+2\sin^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\sqrt{\cos^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}-\sin^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}+2\sin^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\frac{6}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}. \end{gather*}

2) $\triangle BMD$ - рівнобедрений ($BM=MD)$ $MO$ - бісектриса, висота та медіана. $$ \angle BMD=\angle OMD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}. $$

3) \begin{gather*} \triangle SMD\ (\angle M=90^\circ)\\[6pt] MD=SD\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\frac{6\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6\cdot 2\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=12\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}

\begin{gather*} \triangle OMD\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] \sin\angle OMD=\frac{OD}{MD}=\frac{6\sqrt{2}\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{12\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}.\\[6pt] \sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}},\\[6pt] \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right)\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right) \end{gather*}

Відповідь: $2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right)$.

Тест 455. Запитання: 22931

Завдання 329 з 1583

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й позначте кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$.

2. Визначте довжину сторони основи піраміди $SABCD$.

3. Визначте об’єм піраміди $SABCD$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, знання основних властивостей піраміди.

1. $SABCD$ - правильна піраміда. $ABCD$ - квадрат, $SO$ - висота, $AC\cap BD=0$.

$SK\perp AB,\ SK=6$ - апофема.

$\angle BSA=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$ - плоский кут при вершині $S$.

2. $\triangle BSA$ - рівнобедрений $\rightarrow SK$ - висота, бісектриса та медіана. \begin{gather*} \angle KSA=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2},\ \ SK=6.\\[6pt] AK=SK\mathrm{tg} S=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}.\\[6pt] AB=2AK=12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}

3. $OK=AK=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}$ ($\triangle AOB$ - рівнобедрений прямокутний). $$ S_{ABCD}=AB^2=\left(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right)^2=144\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. $$ У $\triangle SOK\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2,\\[6pt] SO^2=6^2-6^2\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}=36\left(1-\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right).\\[6pt] SO=6\sqrt{1-\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=6\sqrt{1-\frac{\sin^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{\cos^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}}= 6\sqrt{\frac{\cos^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}-\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}=\\[6pt] =\frac{6}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}.\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 144\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cdot \frac{6}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}=\\[6pt] =\frac{288\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}. \end{gather*}

Відповідь: 2. $12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}$
3. $\frac{288\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}$

Тест 455. Запитання: 22930

Завдання 330 з 1583

Задано функцію $y=2x+8$.

1. Для наведених у таблиці значень аргументу $x$ і значень функції $y$ визначте відповідні їм значення $y$ та $x$.

$x$	$y$
$0$
	$0$
$9$

2. Запишіть координати точки $M$ перетину графіка заданої функції з віссю $x$.

3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції $f(x)=2x+8$.

4. Знайдіть первісну $F(x)$ функції $f$, графік якої проходить через точку $M$.

5. Побудуйте графік функції $F$.

6. Визначте область значень функції $G(x)=3\cdot F(x)+1$.

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область значень функції, будувати графіки квадратичних функцій, установлювати властивості числових функцій, заданих формулою, використання перетворення графіків функцій, знаходити первісну функції.

1. \begin{gather*} y(0)=2\cdot 0+8=8\\[7pt] y=0,\ \ 2x+8=0,\ \ x=-4\\[7pt] y(9)=2\cdot 9+8=26. \end{gather*}

$x$	$y$
$0$	$8$
$-4$	$0$
$9$	$26$

2. $M(-4;\ 0)$ – точка перетину графіка функції з віссю $x$.

\begin{gather*} F(x)=2\cdot \frac{x^2}{2}+8x+C,\\[6pt] F(x)=x^2+8x+C\ \ \text{загальний вигляд первісних.} \end{gather*}

4. Первісна функції $f$, яка проходить через точку $M(-4;\ 0)$ \begin{gather*} 0=(-4)^2+8\cdot (-4)+C,\\[7pt] 0=16-32+C,\ \ C=16\\[7pt] F(x)=x^2+8x+16. \end{gather*}

5. Побудуємо графік функції $F(x)=x^2+8x+16$, $F(x)=(x+4)^2$.

Використаємо елементарні перетворення графіків:

$F(x)=x^2 \rightarrow F(x)=(x+4)^2$ переносимо вліво на 4 одиниці вздовж осі $Ox$.

6. Область визначення функції $F(x)\ E(y)=[0;\ +\infty)$.

Функцію $G(x)=3F(x)+1$ отримаємо з функції $F(x)$ стисканням в 3 рази до осі $Oy$ та паралельним перенесенням на 1 одиницю вгору вздовж осі $Oy$.

Отже, $E(G)=[1;\ \infty)$.

Відповідь:

Тест 455. Запитання: 22929

Facebook

Twitter

\(x\)	\(y\)
\(0\)
	\(0\)
\(9\)

\(x\)	\(y\)
\(0\)	\(8\)
\(-4\)	\(0\)
\(9\)	\(26\)