Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 5

Математика. Всі запитання починаючи з 5

67891011121314151617181920 ▶

Завдання 6 з 2199

У трикутнику $ABC{:}$ $\angle A=65^\circ$, $BD$ – бісектриса кута $B$ (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута $BCA$, якщо $\angle ABD=35^\circ.$

А$35^\circ$

Б$45^\circ$

В$50^\circ$

Г$55^\circ$

Д$80^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання означення бісектриси кута, теореми про суму кутів трикутника.

$BD$ – бісектриса $\angle B$, тому $$ \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 70^\circ. $$

У $\Delta ABC$

\begin{gather*} \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ,\\[7pt] \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (65^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ,\\[7pt] \angle BCA = 45^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4306

Завдання 7 з 2199

В арифметичній прогресії $(a_n)$ задано $a_1=4$, $a_2=-1.$ Укажіть формулу для знаходження $n\text{-го}$ члена цієї прогресії.

А$a_n=-1+5n$

Б$a_n=7-3n$

В$a_n=5-n$

Г$a_n=1+3n$

Д$a_n=9-5n$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, означення арифметичної прогресії.

\begin{gather*} a_1 = 4,\\[7pt] a_2 = -1,\\[7pt] d = a_2 - a_1 = -1 - 4 = -5. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} a_n = a_1 + d(n - 1) = 4 - 5(n - 1) = 4 - 5n + 5 = 9 - 5n. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4307

Завдання 8 з 2199

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-5; 3].$ Укажіть проміжок, на якому функція $y=f(x)$ зростає.

А$[0; 3]$

Б$[-1; 2]$

В$[1; 3]$

Г$[-3; 3]$

Д$[-5; 1]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція $y = f(x)$ зростає при $x \in [-5; 1].$ Більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4308

Завдання 9 з 2199

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5,\\ x-2y=7. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ системи знайдіть суму $(x_0+y_0).$

А$-18$

Б$3$

В$4$

Г$8$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння та їхні системи.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x + 5y = 5, \\ x - 2y = 7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2(7 + 2y) + 5y = 5, \\ x = 7 + 2y, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 14 + 4y + 5y = 5, \\ x = 7 + 2y, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 9y = -9, \\ x = 7 + 2y, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y = -1, \\ x = 7 + 2(-1), \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y = -1, \\ x = 5. \end{array}\right. \end{gather*}

Одержали розв’язок $(5; -1)$. Його сума $5 + (-1) = 4.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4309

Завдання 10 з 2199

На діаграмі відображено нараховану фірмою загальну суму заробітної плати усім своїм працівникам у січні, лютому та березні $2011$ року. У січні на фірмі працювали $15$ співробітників, у лютому – $18$, а в березні – $25.$ Як змінилася середня нарахована заробітна плата в цій фірмі в березні порівняно з січнем?

Азменшилась більше ніж на $1000$ грн

Бзменшилась менше ніж на $1000$ грн

Вне змінилась

Гзбільшилась менше ніж на $1000$ грн

Дзбільшилась більше ніж на $1000$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розуміти табличну, текстову та графічну форми подання статистичної інформації.

Загальна сума заробітної плати в січні була $30000$ грн. На фірмі в січні працювало $15$ робітників. Отже, середня заробітна плата становила $$ 30000 : 15 = 2000\ \text{грн}. $$

У березні середня заробітна плата становила $$ 70000 : 25 = 2800\ \text{грн}. $$

Отже, середня заробітна плата збільшилась у березні порівняно з січнем менше ніж на $1000$ грн: $$ 2800 - 2000 = 800\ \text{грн}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4311

Завдання 11 з 2199

Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює $2\sqrt{3}$ см.

А$8$ см$^2$

Б$16$ см$^2$

В$20$ см$^2$

Г$24$ см$^2$

Д$36\sqrt{2}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання теореми Піфагора.

$B_1D = 2\sqrt{3}$ см.

Нехай ребро куба дорівнює $a.$

$AB = AD = a$ см, $BD = a\sqrt{2}$ см.

У $\Delta BB_1D$ $(\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} B_1D^2 = BB_1^2 + BD^2,\\[7pt] a^2 + (a\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2,\\[7pt] a^2 + 2a^2 = 12,\\[7pt] 3a^2 = 12,\\[7pt] a^2 = 4. \end{gather*}

Площа повної поверхні куба

$$ S_{\text{поверхні}} = 6a^2 = 6 \cdot 4 = 24\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4312

Завдання 12 з 2199

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{1-x}=4.$

А$(-20; -10)$

Б$(-10; -5)$

В$(-5; 5)$

Г$(5; 10)$

Д$(10; 20)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{1 - x})^2 = 4^2,\\[7pt] 1 - x = 16,\\[7pt] -x = 16 - 1,\\[7pt] -x = 15,\\[7pt] x = -15. \end{gather*}

Корінь належить проміжку $(-20; -10).$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4313

Завдання 13 з 2199

У координатній площині $xy$ зображено п'ять точок: $O$, $L$, $N$, $M$, $K$ (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці $M.$ У якій точці знаходиться центр цього кола?

Ау точці $L$

Бу точці $N$

Ву точці $M$

Гу точці $O$

Ду точці $K$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат, координати точки, кола на площині.

Центр кола знаходиться у точці $N.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4314

Завдання 14 з 2199

Укажіть парну функцію.

А$y=4^x$

Б$y=x$

В$y=\sqrt{x}$

Г$y=\mathrm{tg}\ x$

Д$y=|x|$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій, заданих формулою, парності та непарності функцій.

Для того, щоб функція була парна, необхідно виконання двох умов:
1) $D(y)$ – симетрична відносно $(0; 0){;}$
2) $f(-x) = f(x)$.

А $y = 4^x$, $y(-x) = 4^{-x} = \dfrac{1}{4^x} \ne y(x).$

Б $y = x$, $y(-x) = -x \ne y(x).$

В $y = \sqrt{x},$ $D(y)$ несиметрична відносно $(0; 0).$

Г $y = \mathrm{tg}\ x$, $y(-x) = \mathrm{tg}\ (-x) = -\mathrm{tg}\ x = -y(x).$

Д $y = |x|$, $ y(-x) = \lvert -x\rvert = |x| = y(x)$ – парна.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4315

Завдання 15 з 2199

Менша сторона прямокутника дорівнює $16$ м і утворює з його діагоналлю кут $60^\circ.$ Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.

А$64\sqrt{3}$ м$^2$

Б$128\sqrt{3}$ м$^2$

В$128$ м$^2$

Г$256$ м$^2$

Д$256\sqrt{3}$ м$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, ромба, середньої лінії трикутника; вміння знаходити площу ромба, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

$\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)$, $\angle A = 60^\circ$, $AB = 16\ \text{м}.$

$$ BC = AB\cdot \mathrm{tg}\ A = 16\cdot \mathrm{tg}\ 60^\circ = 16\sqrt{3}\ \text{м}. $$

За властивістю прямокутника $AC = BD.$

$\Delta ABC\ EF$ – середня лінія. Отже, $EF = \dfrac{1}{2}AC.$

$$ KM = \frac{1}{2}AC\ (\Delta ACD). $$

Аналогічно,

$$ FK = EM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC. $$

$EFKM$ – ромб.

\begin{gather*} S_{EFKM} = \frac{1}{2}EK\cdot FM = \frac{1}{2}BC\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot 16\cdot \sqrt{3}\cdot 16 = 128\sqrt{3}\ \text{см}^2,\\[6pt] EK = BC,\\[6pt] FM = AB. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4316

Завдання 16 з 2199

Розв'яжіть нерівність $2^{\textstyle x}\le 3.$

А$\left(-\infty; \log_23\right]$

Б$\left(0; \log_23\right]$

В$\left(-\infty; \frac 32\right]$

Г$\left(-\infty; \log_32\right]$

Д$\left[\log_23; +\infty\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, знання основної логарифмічної тотожності.

\begin{gather*} 2^x \le 3,\\[7pt] 2^x \le 2^{\log_2 3},\\[7pt] \end{gather*}

($3 = 2^{\log_2 3}$ за основною логарифмічною тотожністю).

Функція $y = 2^x$ – зростаюча, тому $$ x \le \log_2 3. $$ Отже, $x \in (-\infty; \log_2 3].$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4317

Завдання 17 з 2199

Переріз кулі площиною має площу $81\pi$ см$^2.$ Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює $15$ см.

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\begin{gather*} S_{\text{перерізу}} = 81\pi\ \text{см}^2,\\[7pt] S_{\text{перерізу}} = \pi\cdot O_1A^2 = 81\pi,\\[7pt] O_1A^2 = 81,\\[7pt] O_1A = 9\ \text{см},\\[7pt] OA = 15\ \text{см}. \end{gather*}

$OO_1$ – відстань від центра кулі точки $O$ до перерізу, тому $OO_1\ \perp\ O_1A.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = OA^2 - O_1A^2 = 225 - 81 = 144,\\[7pt] OO_1 = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4318

Завдання 18 з 2199

$\log_5 49+2\log_5\dfrac 57=$

А$25$

Б$\log_5 70$

В$\log_5 49\dfrac 57$

Г$\log_5 35$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_{5}49 + 2\log_{5}\frac{5}{7} = \log_{5}7^2 + 2(\log_{5}5 - \log_{5}7) =\\[7pt] = 2\log_{5}7 + 2\log_{5}5 - 2\log_{5}7 = 2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4319

Завдання 19 з 2199

Укажіть нерівність, що виконується для $\alpha\in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right).$

А$1-\sin^2 \alpha\lt 0$

Б$\cos \alpha\cdot \mathrm{tg}\ \alpha\lt 0$

В$\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\lt 0$

Г$1-\cos^2 \alpha\lt 0$

Д$\sin \alpha\cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Спростимо вираз зліва:

А $1 - \sin^2 \alpha \lt 0$, $\cos^2 \alpha \lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Б \begin{gather*} \cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \alpha \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} не виконується.

В $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \lt 0$, $1\lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Г $1 - \cos^2 \alpha \lt 0$, $\sin^2 \alpha \lt 0$ не виконується ні при якому значенні $\alpha.$

Д \begin{gather*} \sin \alpha \cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} виконується.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4320

Завдання 20 з 2199

У трикутник $ABC$ вписано квадрат $KLMN$ (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони $AC$, дорівнює $6$ см. Знайдіть периметр квадрата, якщо $AC=10$ см.

А$7{,}5$ см

Б$12{,}5$ см

В$17{,}5$ см

Г$15$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

$KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC$ подібний $\Delta KBL.$

$$ \frac{KL}{AC}=\frac{BE}{BH}. $$

Нехай сторона квадрата $KL=KN=NM=ML=x$ см.

Тоді,

\begin{gather*} BE=BH-EH=6-x\ \text{см},\\[7pt] KL=x\ \text{см},\\[7pt] AC=10\ \text{см},\\[6pt] \frac{x}{10}=\frac{6-x}{6},\\[6pt] 10(6-x)=6x,\\[7pt] 60-10x=6x,\\[7pt] 16x=60,\\[7pt] x=60:16,\\[7pt] x=3{,}75\ \text{см},\\[7pt] P_{KLMN}=4x=4\cdot 3{,}75=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 1. Запитання: 4321