Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 5

Математика. Всі запитання починаючи з 5

67891011121314151617181920 ▶

Завдання 6 з 2111

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція \(y=-(x-2)^2\)

2Функція \(y=\cos x+1\)

3Функція \(y=\frac{1}{2x-2}\)

Закінчення речення

Ає парною.

Бмає лише одну точку локального екстремуму.

Вне визначена за \(x=1.\)

Гнабуває від'ємного значення за \(x=2.\)

Дзростає на проміжку \((0; +\infty).\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=-(x-2)^2\) це квадратична функція (парабола, гілки вниз). Графік має одну точку екстремуму (тут – максимуму) – вершина параболи.

Отже, 1 – Б.

2. \(y=\cos x+1.\)

Оскільки косинус є парною функцією \(\cos(-x)=\cos x\), отримуємо:

\begin{gather*} y(-x)=\cos x+1=y(x). \end{gather*}

Якщо \(y(-x)=y(x)\) то функція за означенням є парною. Графік парної функції симетричний відносно вісі \(Oy.\)

Отже, 2 – A.

3. \(y=\dfrac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо

\begin{gather*} 2x-2\ne 0;\\[7pt] 2x\ne 2;\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38060

Завдання 7 з 2111

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д), якщо \(a\ne 8.\)

Вираз

1\(\frac{64-a^2}{8-a}\)

2\(2^{3a}\)

3\(\log_{\scriptstyle \sqrt[\scriptstyle 8]{2}} 2^a\)

Тотожно рівний вираз

А\(8^a\)

Б\(8+a\)

В\(8a\)

Г\(8-a\)

Д\(\frac a8\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

1. \(\dfrac{64-a^2}{8-a}=\dfrac{8^2-a^2}{8-a}=\dfrac{(8-a)(8+a)}{8-a}=8+a.\)

Скористаймося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(2^{3a}=(2^3)^a=8^a.\)

Застосуймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(\log_{\textstyle \sqrt[\scriptstyle 8]{2}} 2^a=\log_{\textstyle 2^{\textstyle \frac 18}} 2^a=\dfrac{1}{\frac 18}\log_2 2^a=8\log_2 2^a=\log_2 (2^a)^8=\log_2 2^{8a}=8a\cdot\log_22=8a.\)

Використаймо властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] \log_{\textstyle a}a=1;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_{\textstyle a} b;\\[6pt] \log_{\textstyle a} b^k=k\cdot\log_{\textstyle a} b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38059

Завдання 8 з 2111

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) проведено висоту \(CK\) так, що \(AK=16\) см, \(KD=9\) см (див. рисунок). Діагональ \(AC\) перпендикулярна до бічної сторони \(CD.\) Обчисліть площу цієї трапеції.

А\(384\) см\(^2\)

Б\(288\) см\(^2\)

В\(240\) см\(^2\)

Г\(144\) см\(^2\)

Д\(192\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота \(CK\) ділить основу \(AD\) на два відрізки: \(AK=16\) см і \(KD=9\) см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\) \((\angle ACD=90^\circ\) за умовою). Відрізок \(CK\) – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи \(AD.\)

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38058

Завдання 9 з 2111

Обчисліть інтеграл \(\mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx\), якщо \(\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=8.\)

А\(20\)

Б\(14\)

В\(2\)

Г\(28\)

Д\(48\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} (f(x)+g(x))\ dx=\mathop{\int}f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[7pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)\ dx \end{gather*}

та формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x) \Big|_a^b=F(b)-F(a).\\[7pt] \mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^2 6\ dx=8+6x \Big|_0^2=\\[6pt] =8+6\cdot 2-6\cdot 0=8+12=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38057

Завдання 10 з 2111

Якому проміжку належить корінь рівняння \(\dfrac{x}{18-2x}=\dfrac 14\)?

А\((-\infty; -3)\)

Б\([-3; 0)\)

В\([0; 4)\)

Г\([4; 8)\)

Д\([8; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=3\) належить проміжку \([0; 4).\)

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38056

Завдання 11 з 2111

\(\dfrac{3a-b}{18a^2-2b^2}=\)

А\(6a+2b\)

Б\(6a-2b\)

В\(\dfrac{1}{6a+2b}\)

Г\(\dfrac 12\)

Д\(\dfrac{1}{6a-2b}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{3a-b}{18a^2-2b^2}=\frac{3a-b}{2(9a^2-b^2)}=\frac{3a-b}{2((3a)^2-b^2)}=\frac{3a-b}{2(3a-b)(3a+b)}=\\[6pt] =\frac{1}{2(3a+b)}=\frac{1}{6a+2b}. \end{gather*}

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38055

Завдання 12 з 2111

За якою формулою можна обчислити площу \(S\) бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й апофема якої дорівнюють \(a\)?

А\(S=a^4\)

Б\(S=2a^2\)

В\(S=4a^2\)

Г\(S=\dfrac{a^2}{2}\)

Д\(S=6a^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, а \(m\) – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a\). Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(m=a.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38054

Завдання 13 з 2111

\(\left(\dfrac 17\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{7}\right)^3=\)

А\(\dfrac{1}{49}\)

Б\(1\)

В\(\dfrac{1}{7}\)

Г\(49\)

Д\(7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня з натуральним показником.

Для розв'язання використаймо властивості:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (\sqrt[\scriptstyle n]{x})^n=x.\\[6pt] \left(\frac 17\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{7}\right)^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[\scriptstyle 3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38053

Завдання 14 з 2111

На рисунку, зображено прямокутник \(ABCD\), периметр якого дорівнює \(46\) см. Визначте довжину сторони \(BC\), якщо \(AB+CD=18\) см.

А\(9\) см

Б\(12\) см

В\(13\) см

Г\(16\) см

Д\(14\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника.

Периметр прямокутника – це сума всіх його сторін:

\begin{gather*} P=(AB+CD)+(BC+AD). \end{gather*}

За умовою \(P=46\) см, а сума \(AB+CD=18\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} 46=18+(BC+AD);\\[7pt] BC+AD=46-18=28\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутнику протилежні сторони рівні: \(BC=AD\). Тому

\begin{gather*} BC=28:2=14\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38052

Завдання 15 з 2111

Кількість столів, які виготовило підприємство за рік, відноситься до кількості виготовлених ним стільців як \(3:4.\) Якою може бути загальна кількість столів і стільців, вироблених цим підприємством протягом року?

А\(101\)

Б\(91\)

В\(87\)

Г\(72\)

Д\(95\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості столів до стільців становить \(3 : 4.\)

Якщо столів \(3x\), а стільців \(4x\), то разом їх:

\begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Загальна кількість столів і стільців – число, кратне \(7.\)

Варіант відповіді	Число	Чи ділиться на \(7\)
A	\(101\)	не ділиться
Б	\(91\)	ділиться
В	\(87\)	не ділиться
Г	\(72\)	не ділиться
Д	\(95\)	не ділиться

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38051

Завдання 16 з 2111

Графік функції \(y=\dfrac 1x\) паралельно перенесли на \(4\) одиниці праворуч уздовж осі \(x.\) Графік якої функції отримали внаслідок цього перетворення?

А\(y=\dfrac 1x -4\)

Б\(y=\dfrac{1}{x+4}\)

В\(y=\dfrac 4x\)

Г\(y=\dfrac 1x +4\)

Д\(y=\dfrac{1}{x-4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

\(y=\dfrac 1x\) графік перенесли на \(4\) одиниці праворуч. Згідно з правилом замінімо змінну \(x\) у знаменнику на вираз \((x-4).\) Маємо нову функцію: \(y=\dfrac{1}{x-4}.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38050

Завдання 17 з 2111

Розв'яжіть систему нерівностей \(\begin{cases} x+1\lt 9,\\ -2x\lt 6. \end{cases}\)

А\((4; 8)\)

Б\((-3; 8)\)

В\((-\infty; -3)\)

Г\((-\infty; 8)\)

Д\((-3; 10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+1\lt 9,\\ -2x\lt 6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 9-1,\\ x\gt 6:(-2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 8,\\ x\gt -3. \end{array}\right. \end{gather*}

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-3; 8).\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38049

Завдання 18 з 2111

Які твердження правильні?

I. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Алише І та ІІ

Блише I

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Це одна з основних властивостей паралелограма. У довільному паралелограмі \(ABCD\) проведімо діагональ \(AC.\) За ознакою рівності трикутників за трьома сторонами: \(AB=CD\), \(BC=AD\) як протилежні сторони паралелограма, \(AC\) – спільна, \(\Delta ABC=\Delta CDA.\) Твердження правильне.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

Ця властивість притаманна лише ромбу (а також квадрату як окремому виду ромба). У довільному паралелограмі діагоналі не ділять кути навпіл. Твердження неправильне.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Трикутники можуть бути прямокутними або тупокутними. Ця властивість не є загальною для паралелограмів. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38048

Завдання 19 з 2111

На діаграмі відображено розподіл \(600\) занять, відвіданих студентами у Google Meet, Zoom i Teams. За діаграмою визначте, якою може бути кількість проведених занять у Google Meet.

А\(500\)

Б\(100\)

В\(450\)

Г\(200\)

Д\(300\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічні, табличні, текстові та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший на діаграмі) займає половину круга. Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(600:2=300\). Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять іншу половину – \(300\) занять.

З діаграми видно, що сектор Google Meet (світло-сірий) більший за сектор Teams, але він обов'язково менший за половину круга \((300)\) і більший за чверть круга \((150).\)

Запишімо це у вигляді нерівності для кількості занять у Google Meet \((x){:}\)

\begin{gather*} 150\lt x\lt 300. \end{gather*}

Отже, лише число \(200\) задовольняє умову, оскільки \(150\lt 200\lt 300.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38047

Завдання 20 з 2111

Яке геометричне тіло утвориться внаслідок обертання прямокутного трикутника з меншим катетом \(10\) см навколо прямої \(a\) (див. рисунок)?

Ациліндр із твірною \(10\) см

Бциліндр із радіусом основи \(10\) см

Вконус із твірною \(10\) см

Гконус із радіусом основи \(10\) см

Дконус із висотою \(10\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38046