Всі запитання ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 5

Математика. Всі запитання починаючи з 5

67891011121314151617181920 ▶

Завдання 6 з 1891

У прямокутній системі координат на площині зображено ламану \(ABCDA\) (див. рисунок). Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка з ламаною \(ABCDA.\)

Функція

1\(y=\frac{\pi}{2}\)

2\(y=\cos x\)

3\(y=x^2+1\)

Кількість спільних точок

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дбезліч

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. \(y=\frac{\pi}{2}.\) Це горизонтальна пряма, що проходить через значення \(y\approx \frac{3{,}14}{2}\approx 1{,}57.\) Оскільки \(1{,}57\gt 1\), пряма \(y=\frac{\pi}{2}\) пройде вище від прямокутника \(ABCD\) й не перетне його в жодній точці.

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(y=\cos x.\) Графік косинуса перетинає бічні сторони прямокутника та дотикається його верхньої межі в одній точці. Отже, графік і прямокутник мають три спільні точки.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=x^2+1.\) Оскільки графіком функції \(y=x^2+1\) є парабола з вершиною в точці \((0; 1)\), вітки якої спрямовані вгору, то вона має лише одну спільну точку з прямою (або межею прямокутника).

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37114

Завдання 7 з 1891

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо \(n\gt 0.\)

Початок речення

1Якщо \(|-n|=a\), то

2Якщо \((n-2)(n+1)-n^2=a\), то

3Якщо \(2^{-\lg n}=2^{\lg a}\), то

Закінчення речення

А\(a=-n-2.\)

Б\(a=\frac 1n.\)

В\(a=n.\)

Г\(a=-2.\)

Д\(a=-n.\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(|-n|=a\), то...

За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою \(n\gt 0\), тож \(|-n| =n\), тому \(a=n.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо \((n-2)(n+1)-n^2=a\), то...

\begin{gather*} (n-2)(n+1)-n^2=n^2+1n-2n-2-n^2=-n-2;\\[7pt] a=-n-2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

3. Якщо \(2^{-\lg n}=2^{\lg a}\), то...

Оскільки основи степенів однакові \((2)\), можна прирівняти показники:

\begin{gather*} -\lg n=\lg a. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \lg n^{-1}=\lg a;\\[7pt] n^{-1}=a. \end{gather*}

Оскільки \(n^{-1}=\frac 1n\), то \(\frac 1n=a.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37113

Завдання 8 з 1891

Визначте корінь рівняння \(2\sqrt{3}\cos x=3.\)

А\(-\frac{\pi}{6}\)

Б\(\frac{5\pi}{6}\)

В\(\frac{4\pi}{3}\)

Г\(-\frac{\pi}{3}\)

Д\(\frac{\pi}{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sqrt{3}\cos x=3;\\[6pt] \cos x=\frac{3}{2\sqrt{3}}. \end{gather*}

Усуньмо ірраціональність у знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо \(k=0\), \(x=\pm \frac{\pi}{6}.\)

Оскільки функція косинус парна, то

\begin{gather*} \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Отже, \(-\frac{\pi}{6}\) – корінь рівняння.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37112

Завдання 9 з 1891

Обчисліть \(0{,}25^{\log_{0{,}5}4}.\)

А\(16\)

Б\(0{,}5\)

В\(0{,}25\)

Г\(4\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

\begin{gather*} 0{,}25^{\log_{0{,}5} 4}=0{,}5^{2\log_{0{,}5} 4}=0{,}5^{\log_{0{,}5} 4^2}=0{,}5^{\log_{0{,}5} 16}=16. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37111

Завдання 10 з 1891

В арифметичній прогресії \((a_n){:}\ a_1=4\), \(a_3=9.\) Визначте різницю \(d\) прогресії.

А\(d=-2,5\)

Б\(d=6,5\)

В\(d=5\)

Г\(d=2,5\)

Д\(d=-5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_3=a_1+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+4=9;\\[7pt] 2d=9-4;\\[7pt] 2d=5;\\[7pt] d=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37110

Завдання 11 з 1891

Розкладіть на множники вираз \((7x-1)^2-9x^2.\)

А\((4x-1)(10x-1)\)

Б\((4x-1)(10x+1)\)

В\((10x-1)^2\)

Г\((4x-1)^2\)

Д\((-2x-1)(16x-1)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення різниця квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b).\\[7pt] (7x-1)^2-9x^2=(7x-1)^2-3^2x^2=(7x-1)^2-(3x)^2=\\[7pt] =(7x-1-3x)\cdot (7x-1+3x)=(4x-1)(10x-1). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37109

Завдання 12 з 1891

У прямокутній системі координат у просторі задано точки \(K\) та \(N\), що лежать на координатній осі \(y\) (див. рисунок). Визначте можливі координати вектора \(\overrightarrow{KN}.\)

А\((0; 0; 4)\)

Б\((4; 0; 0)\)

В\((0; 4; 0)\)

Г\((4; -4; 0)\)

Д\((0; -4; 0)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) та \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати по осях \(x\) та \(z\) дорівнюють нулю:

\begin{gather*} K(0; y_K; 0);\\[7pt] N(0; y_N; 0). \end{gather*}

Координати векторa \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{KN}(0-0; y_N-y_K; 0-0);\\[7pt] \overrightarrow{KN}(0; y_N-y_K; 0). \end{gather*}

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають бути нулями.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 4; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37108

Завдання 13 з 1891

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0=\)

А\(-2\)

Б\(2\)

В\(4\)

Г\(12\)

Д\(-12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння, їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо обидві частини першого рівняння на \(2y\), щоб позбутися знаменника:

\begin{gather*} x=-3\cdot 2y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо \(x=-6y\) у друге рівняння:

\begin{gather*} -6y+y=10;\\[7pt] -5y=10;\\[7pt] y=-2. \end{gather*}

Обчислімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=-6y=-6\cdot (-2)=12. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел \((12; -2).\)

\(x_0=12.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37107

Завдання 14 з 1891

Які твердження правильні?

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює \(120^\circ.\)

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за \(60^\circ.\)

А лише I та III

Блише IІ

В лише I та ІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута \(180^\circ.\) Його половина – це \(90^\circ.\) У прямокутному трикутнику один кут прямий \((90^\circ)\), а сума двох гострих кутів також дорівнює \(90^\circ.\) Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника \(180^\circ\), то градусна міра кожного кута дорівнює: \(180^\circ : 3 = 60^\circ.\) Сума будь-яких двох кутів: \(60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за \(60^\circ\), то їхня сума більша за \(180^\circ\) (наприклад, \(61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ\)). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює \(180^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37106

Завдання 15 з 1891

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-5; 5].\)

Множину точок локального максимуму цієї функції наведено у варіанті відповіді

А\(-2; 1\)

Б\(7\)

В\(5\)

Г\(6\)

Д\(-2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначимо найвищу точку на локальному згині графіка (у місці, де зростання функції змінюється на спадання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі .

Отже, \(x_0=-2\) – точка локального максимуму заданої функції.

Важливо: точка \(x=1\) – це точка локального мінімуму, а не максимуму. Точки на кінцях проміжку \(( x=-5\) та \(x=5)\) не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання).

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37105

Завдання 16 з 1891

Позначте формулу для обчислення об'єму \(V\) правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює \(a\), а висота – \(3a.\)

А\(V=a^3\)

Б\(V=3a^3\)

В\(V=4a^3\)

Г\(V=\frac{a^3}{3}\)

Д\(V=9a^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей призми.

Об'єм призми визначаємо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його площа:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

За умовою задачі висота \(H=3a.\)

Отже,

\begin{gather*} V=a^2\cdot 3a=3a^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37104

Завдання 17 з 1891

\(\dfrac{5^3\cdot 2^4}{4^3\cdot 5^2}=\)

А\(\frac 12\)

Б\(\frac{2}{5}\)

В\(\frac 52\)

Г\(1\)

Д\(\frac 54\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення і властивостей степеня з натуральним показником.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] \frac{5^3\cdot 2^4}{4^3\cdot 5^2}=\frac{5^3\cdot 2^4}{(2^2)^3\cdot 5^2}=\frac{5^3\cdot 2^4}{2^6\cdot 5^2}=\frac{5^1}{2^2}=\frac 54. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37103

Завдання 18 з 1891

Два кола із центрами в точках \(O\) i \(O_1\) мають зовнішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань \(OO_1\), якщо радіуси кіл дорівнюють \(2\) см і \(10\) см.

А\(6\) см

Б\(4\) см

В\(12\) см

Г\(9\) см

Д\(8\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів.

За умовою:

\begin{gather*} r=2\ \text{см};\\[7pt] R=10\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів цих кіл:

\begin{gather*} OO_1=r+R=2\ \text{см}+10\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37102

Завдання 19 з 1891

Якому проміжку належить корінь рівняння \(2^x=\dfrac 18\)?

А\((-6; -4]\)

Б\((-4; -2]\)

В\((-2; 0]\)

Г\((0; 2]\)

Д\((2; 4]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \end{gather*}

Перетворімо дріб:

\begin{gather*} \frac 18=\frac{1}{2^3}=2^{-3}. \end{gather*}

Маємо рівняння:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3}. \end{gather*}

Оскільки основи степенів однакові \((2)\), прирівнюємо показники:

\begin{gather*} x=-3 \end{gather*}

Корінь рівняння \(-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37101

Завдання 20 з 1891

У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло \(145\) дзвінків, а за другу годину – на \(17\) дзвінків більше. Скільки всього надійшло дзвінків на телефон гарячої лінії за дві години роботи?

А\(307\)

Б\(287\)

В\(273\)

Г\(290\)

Д\(162\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо, скільки дзвінків надійшло за другу годину.

За умовою, це на \(17\) більше, ніж за першу:

\begin{gather*} 145+17=162\ (\text{дзвінки}). \end{gather*}

Тепер знайдемо загальну кількість дзвінків за дві години:

\begin{gather*} 145+162=307\ (\text{дзвінків}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37100

Facebook

Twitter