Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо площу ромба за формулою:

Порівняймо \(20\) та \(8\sqrt{3}.\)

Отже, більша діагональ основи дорівнює \(20.\)

Більша діагональ \(A_1C\) призми утворює прямокутний трикутник \(CAA_1\ (\angle A=90^\circ)\) із більшою діагоналлю основи \((AC=20)\) і висотою призми \((H=AA_1).\)

Оскільки кут нахилу \(30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)\), то

Обчислімо об’єм призми:

Відповідь: \(1600.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

В Олега було \(5\) справ:

1. Купити продукти.
2. Прибрати.
3. Відвідати спортзал.
4. Підготувати доповідь.
5. Відповісти на лист.

Він має вибрати \(3\) справи, але з однією важливою умовою: прибирання має бути обов'язковим.

Оскільки прибрати – це вже зафіксований вибір (\(1\) справа), треба вибрати ще \(2\) справи з тих, що залишилися.

Тобто треба вибрати \(2\) справи із \(4\) навмання. Для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) справи із \(4{:}\)

Отже, Олег має \(6\) варіантів вибору трьох справ за умови, що одна з них – прибирання.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Отже, функцію \(y\) можна записати у вигляді:

\begin{gather*} y=-2x^3+10x^{-1}-14. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x_0=2\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(-26{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.
 

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

 

Отже, 2 – B.
 

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\cos x.\)

Функція парна \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\) Отже, 1 – B.
 

2. Функція \(y=-\frac 2x\) має графік гіперболу.

Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки \(x\ne 0\), то й \(y\ne 0.\)

Отже, 2 – Б.

3. Показникова функція \(y=2^x.\) Функція набуває лише додатних значень.

Оскільки показникова функція набуває лише додатних значень, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), графік обов'язково буде в I та II чвертях.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\in [2; 3].\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2.

Отже, правильна відповідь – В.

3.

Отже, правильна відповідь – Б.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка \(O\) – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} \(O\) – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(60^\circ.\) За формулою довжини дуги:

де \(L\) – довжина кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 30=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 30=\frac L6,\\[6pt] L=30\cdot 6=180\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії \((q)\), кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

Застосуймо формулу \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкція точки \(A\ (-2; 4; -3)\) на вісь \(z\) – точка, у якої абсциса (координата за віссю \(Ox\)) та ордината (координата за віссю \(Oy\)) дорівнюють \(0\), а апліката (координата за віссю \(Oz\)) збігається з аплікатою точки \(A.\)

З-поміж запропонованих варіантів лише точка з координатами \(\ (0; 0; -3)\) лежить на осі \(z.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(6{:}\)

Помножмо обидві частини нерівності на \(–1{:}\)

\begin{gather*} x\gt -6. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Найменше ціле число \(x\) з інтервалу \(x\in (-6; +\infty)\) \(-5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії над ними. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

І спосіб
Спершу з'ясуймо, скільки коштує сир. Для цього помножмо загальну суму витрачених грошей на дріб:

Для обчислення суми, яку Дарина витратила на фрукти, віднімімо від загальної суми витрачених грошей вартість сиру:

II спосіб
Визначмо, яку частину від загальної суми витрачених грошей становить вартість фруктів:

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 55-\frac 35=\frac{5-3}{5}=\frac 25. \end{gather*}

Обчислімо вартість фруктів:

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=\frac{240\cdot 2}{5}=48\cdot 2=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підставлення, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6y-y=30;\\[7pt] 5y=30;\\[7pt] y=6. \end{gather*}

Обчислімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=6\cdot 6;\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((36; 6).\)

\begin{gather*} x_0+y_0=36+6=42. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута \((\angle C)\) завжди лежить найдовша сторона \((AB).\) \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту \((AH)\) із вершини \(A\) до сторони \(BC.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(AHC\) (де \(\angle H=90^\circ\)). У цьому трикутнику сторона \(AC\) – гіпотенуза, а висота \(AH\) – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет \((AC\gt AH)\), то висота дійсно менша за сторону \(AC.\) Висота, проведена з вершини \(A\), менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди від'ємні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Оскільки функція визначена на \(x\in (-\infty; 0)\), графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\lt 0\) (це III чверть).

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивості степенів:

\begin{gather*} a^{\textstyle \frac mn}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання означення конуса як тіла обертання.

Зрізаний конус – це геометричне тіло, утворене частиною конуса, яку отримують, коли відсікають верхню частину конуса, перетнувши його площиною, що паралельна основі.

На малюнку зображено прямокутну трапецію, що обертається навколо осі, яка проходить через бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Під час обертання:

• кожна точка трапеції описує коло;
• радіус змінюється від більшого (внизу) до меншого (вгорі);
• утворюється тіло з двома круговими основами різного радіуса.

Отже, унаслідок обертання прямокутної трапеції навколо цієї сторони утворюється зрізаний конус.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.\)

Підставмо відомі значення:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на \(4\) рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного із цих трикутників, ділить його ще на \(2\) рівновеликі частини.

Отже, площа зафарбованої частини становить \(\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18\) від усієї площі квадрата.

Якщо \(S=96\ \text{см}^2\), то

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Треба брати до уваги лише вищі за \(8\) балів оцінки, тобто \(9\) і \(10.\) За діаграмою оцінку \(9\) поставили \(75\) опитуваних, а оцінку \(10\) – \(25\) опитуваних.

Обчислімо суму: \(75 + 25 = 100.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння та їхні системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола із центром у точці \(M(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишімо рівняння так:

Це коло із центром у точці \(M\ (2; 2a-3)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися вгору або вниз залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(y_0\)), але за віссю \(x\) він завжди зафіксований на позначці \(2.\)

Графік перетинає вісь \(x\) у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(x\) – пряма, \(y=0.\) Відстань від центра \(O\ (2; y_0)\) до осі \(x\) – модуль координати \(y_0{:}\)

\begin{gather*} |y_0|\lt R;\\[7pt] |2a-3|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a-3\lt 7,\\ 2a-3\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 7+3,\\ 2a\gt -7+3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 10,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 5,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in (-2; 5).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\}\).

Усього таких значень шість.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо меншу діагональ \((BD)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=DD_1=7\sqrt{3}).\) Оскільки переріз менший, він проходить через меншу діагональ ромба \((BD).\)

Формула для обчислення площі перерізу:

Звідси обчислімо меншу діагональ:

\begin{gather*} BD=\frac{ S_{BB_1D_1D}}{DD_1}=\frac{140\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=20. \end{gather*}

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. Отже, сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(AD=BD=20\) см (оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній).

Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

Площу ромба обчислімо за формулою через сторону \((a)\) та синус кута між ними:

Об'єм призми обчислімо за формулою:

Відповідь: \(4200.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння застосовувати правило добутку в розв’язуванні комбінаторних задач.

На кожному з 5 перехресть автомобіль має лише \(2\) варіанти дії:

• зупинитися;
• проїхати без зупинки.

Щоб обчислити загальну кількість способів, треба перемножити кількість варіантів для кожного перехрестя:

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(32.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє навички інтерпретування геометричного змісту визначеного інтеграла та вміння обчислювати площі фігур, обмежених графіками функцій.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Обчислімо \(\displaystyle \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx.\)

Згідно з геометричним змістом, визначений інтеграл дорівнює алгебричній сумі площ фігур, обмежених графіком функції та віссю \(Ox:\)

• якщо фігура лежить над віссю (як \(A\) та \(C\)), її площу додають;
• якщо фігура лежить під віссю (як \(B\)), її площу віднімають.

Отже,

Обчислімо:

Додамо отримані значення:

Відповідь: \(24{,}9.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. \(KC.\) У паралелограмі протилежні сторони рівні:

\(AD=BC;\)

Отже, \(BC=26\) см.

Оскільки точка \(K\) – середина \(BC{:}\)

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції \(KCDP.\)

Розгляньмо чотирикутник \(KCDP.\) Сторони \(KC\!\parallel\!PD\) (як частини основ паралелограма), а \(KP\!\nparallel\!PD.\) Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. \(KP.\) Розгляньмо трикутник \(AKD.\) За умовою він прямокутний \((\angle AKD=90^\circ)\), а \(KP\) – його висота, проведена до гіпотенузи \(AD.\) За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\log_2 x\) логарифмічна функція з основою \(a=2.\)

Функція визначена лише за \(x\gt 0\), отже, вона не визначена за \(x=-2.\) Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2-4x-4\) квадратична функція, графік якої – парабола.

Обчислімо значення функції за \(x=2{:}\)

Оскільки \(-8\lt 0\), функція набуває від'ємного значення за \(x=2.\) Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\dfrac 4x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня із цілим показником, а також уміння здійснювати тотожні перетворення раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(\dfrac na=3\), то

Отже, 1 – Д.

2. Якщо \(1+\log_3 n=\log_3 a\), то

\begin{gather*} \log_3 3+\log_3 n=\log_3 a;\\[7pt] \log_3 3n=\log_3 a;\\[7pt] a=3n. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a\), то

\begin{gather*} 3^n\cdot 3^1=3^a;\\[7pt] 3^{n+1}=3^a;\\[7pt] a=n+1. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^1=a;\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Якщо \(n=0\), то \(x=0.\)

Якщо \(n=1\), то \(x=3\pi.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії \((d){:}\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії \(n=5.\)

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі та вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=80^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

З першого рівняння виразімо добуток \(xy{:}\)

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння:

\begin{gather*} 2x+3=2x-y+11;\\[7pt] 2x-2x+y=11-3;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставмо \(y=8\) в перше рівняння:

\begin{gather*} 8x=2x+3;\\[7pt] 8x-2x=3;\\[7pt] 6x=3;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

\((0{,}5; 8)\) – розв'язок системи.

Обчислімо добуток:

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=0{,}5\cdot 8=4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

А також властивість степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник \(AOK\) прямокутний.

Точка \(K\) – це точка дотику кола до сторони \(AB.\) За властивістю дотичної радіус \(OK\), проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної \((OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(\angle OKA=90^\circ\), трикутник \(AOK\) прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник \(BKL\) рівнобедрений.

Відрізки \(BK\) та \(BL\) – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки \(B\). За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою \((BK=BL).\) Оскільки дві сторони трикутника рівні, то \(\Delta BKL\) рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники \(MOK\) і \(LOC\) рівні.

У трикутнику \(MOK\) сторони \(OM\) та \(OK\) – це радіуси кола \((OM=OK).\) У трикутнику \(LOC\) одна зі сторін – радіус \(OL\), а сторона \(OC\) з'єднує центр із вершиною трикутника.

\(\Delta MOK\) завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а \(\Delta LOC\) – прямокутний \((\angle OLC=90^\circ).\) Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати розташування графіка функції в координатних чвертях.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатне, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), тож графік обов'язково буде і в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це I чверть), і в тій зоні, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння піднести до квадрата вираз, що містить ірраціональне число.

Для розв’язання завдання треба знати властивість арифметичного квадратного кореня й означення модуля:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|; \\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a, \quad \text{якщо } a \ge 0; \\ -a, \quad \text{якщо } a < 0; \end{array}\right. \\[7pt] 3 \cdot \sqrt{(-3)^2} = 3 \cdot |-3| = 3 \cdot 3 = 9. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками у просторі та властивостей сфери.

Сфера – це множина точок, віддалених від центра на однакову відстань – радіус \((R).\)

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

\(R=OA.\)

За формулою відстані між двома точками \(M_1\ (x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2\ (x_2; y_2; z_2)\) простору:

Підставмо координати точок \(O\ (-2; -4; 3)\) та \(A\ (3; -1; 2){:}\)

Отже, радіус сфери \(R=\sqrt{35}.\)

Щоб обчислити діаметр (\(D\)), треба помножити радіус на \(2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання формули середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

За властивістю середньої лінії трапеції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Квадратні нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Для розв’язання квадратної нерівності використаймо ескіз графіка квадратичної функції \(y=ax^2+bx+c.\) Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи – вгору \((a\gt 0)\) чи вниз \((a\lt 0)\), та абсциси точок перетину з віссю \(Ox:\)

Отже, вітки параболи напрямлені вгору.

Розв’яжімо рівняння \(x^2-9=0.\)

Розкладімо на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (x-3)(x+3)=0;\\[7pt] x_1=3\ \text{та}\ x_2=-3.\end{gather*}

Це – нулі функції \(y=x^2-9.\)

Побудуймо ескіз графіка функції.

\begin{gather*} x\in\ (-3; 3). \end{gather*}

З наведених чисел лише число \(2\in (-3; 3).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Треба знайти залу, яку відвідало найбільше глядачів, тобто відшукати найвищий стовпчик на графіку.

А Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\)
Б Блакитна зала: стовпчик сягає позначки \(40.\)
В Жовта зала: стовпчик сягає позначки \(35.\)
Г Зелена зала: стовпчик сягає позначки \(20.\)
Д Фіолетова зала: стовпчик сягає позначки \(45.\)

Отже, найбільше глядачів відвідало білу залу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Покупець хоче якнайдешевше придбати \(80\) ручок. Має два варіанти:

• \(1\) ручка – \(5\) грн;
• набір із \(3\) ручок – \(10\) грн.

Що вигідніше?

Якщо купити \(3\) ручки окремо:

А набір із \(3\) ручок коштує \(10\) грн, тобто дешевше на \(5\) грн.

Отже, вигідніше максимально купувати наборами, а не по одній ручці.

Обчислімо кількість повних наборів, які можна придбати в межах потрібної кількості ручок:

\begin{gather*} 80:3=26\ (\text{остача}\ 2). \end{gather*}

Отже, покупець може купити \(26\) наборів, а ще \(2\) ручки йому доведеться докупити окремо.

Обчислімо вартість:

\(26\) наборів: \(26\cdot 10=260\) грн.

\(2\) ручки окремо: \(2\cdot 5=10\) грн.

\begin{gather*} 260+10=270\ \text{грн}. \end{gather*}

Чому невигідно купувати всі ручки по \(5\) грн?

Бо вартість покупки буде більшою:

\begin{gather*} 80\cdot 5=400\ \text{грн}. \end{gather*}

А купівля наборами коштуватиме покупцеві \(270\) грн, що значно дешевше.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степеня та вміння виконувати множення одночленів.

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами. Основу залишмо без змін, а показники додамо:

де \(a\) – будь-яке число, \(n\) і \(m\) – натуральні числа.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У завданні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=4m-3. \end{gather*}

За теоремою Вієта та умовою завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-2,\\ x_1=x_2+4,\\ x_1\cdot x_2=4m-3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо \(x_1=x_2+4\) у перше рівняння системи:

\begin{gather*} x_2+4+x_2=2m-2;\\[7pt] 2x_2=2m-2-4;\\[7pt] 2x_2=2m-6;\\[6pt] x_2=\frac{2m-6}{2}=\frac{2(m-3)}{2};\\[6pt] x_2=m-3. \end{gather*}

Тепер визначмо \(x_1{:}\)

\begin{gather*} x_1=x_2+4=m-3+4=m+1. \end{gather*}

Підставмо ці значення в рівняння \(x_1\cdot x_2=4m-3{:}\)

\begin{gather*} (m+1)\cdot (m-3)=4m-3;\\[7pt] m^2-3m+1m-3-4m+3=0;\\[7pt] m^2-6m=0;\\[7pt] m(m-6)=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m=0,\\ m=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки за умовою потрібне додатне значення, вибираємо \(6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи \((d).\) За умовою трикутник рівносторонній.

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(d\) обчислімо за формулою:

Підставмо значення:

Основа піраміди – квадрат. Діагональ \(d\) ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

Площа основи (квадрата):

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) збірники з \(8{:}\)

Кількість способів вибрати \(3\) науково-популярні книжки з \(10{:}\)

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(3360.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
\(a_1=6\) (кількість ієрогліфів у перший день);
\(d=2\) (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
\(n=25\) (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за \(n\) днів використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(750.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. \(\overset{\smile}{CB}.\) Оскільки \(AB\) — це діаметр, він ділить коло навпіл. Отже, вся дуга \(ACB\) (півколо) дорівнює \(180^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — B.

2. \(\angle CKA.\)

Радіус \(OC\), проведений у точку дотику \(C\), завжди перпендикулярний до дотичної \(CK.\)

Тобто \(\angle OCK=90^\circ.\) Кут \(\angle COB\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{CB}.\)

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: \(\angle COB=\overset{\smile}{CB}=50^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(\Delta OCK\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — Б.

3. \(\angle ABC.\)

Кут \(\angle ABC\) є вписаним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{AC}.\) Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.

Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Побудуймо задані графіки функцій.

1.

Оскільки графіком функції \(y=x^2-2\) є парабола з вершиною в точці \((0; -2)\), вітки якої напрямлені вгору, то вона двічі перетинає графік прямої \(y=3.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

\(y=3^x.\) Показникова функція вигляду \(a^x\) завжди набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\) за будь-яких \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

3.

\(y=x^3\) – це кубічна парабола. Якщо \(x=0\), \(y=0^3=0\), то графік проходить через початок координат – точку \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\pi\approx 3{,}14\)

Число \(1{,}57\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin \pi=0\)

Число \(0\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

3. За властивістю степеня:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

За властивістю логарифма:

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOB\) – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині \(\angle AOB=60^\circ\), то кути при основі також по \(60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).\) Отже, трикутник \(ABO\) – рівносторонній.

Оскільки \(AO\) — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Гіпотенуза \(AC=8\) см і катет \(AB=4\) см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони \(BC{:}\)

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) має загальний розв’язок:

Розгляньмо значення \(n\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(n=0\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=-1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Розв'язання:

$$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}.$$

Під час розв'язання застосовано:

• формулу подвійного аргумента: \(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha;\)

• означення тангенса та котангенса: \(\mathrm{tg}\ \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки. Твердження правильне.

ІІ.

\(AB \perp CD.\ \Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK\), проведена до основи, є медіаною. Отже, \(K\) – середина хорди \(CD.\) Твердження правильне.

ІІІ.

Діаметри кола проходять через центр кола, тобто завжди мають спільну точку. Твердження неправильне.

Правильні твердження лише І та II.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in [-4; 2{,}5).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі \(Ox\) – це перетворення виду: \begin{gather*} f(x)\Rightarrow f(x+A), \end{gather*} де \(A\) – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо \(A\gt 0\) – переносимо графік уліво, якщо \(A\lt 0\) – переносимо вправо.

Отже, графік функції \(y=x^2\) перенесли на \(3\) одиниці ліворуч й отримали графік функції \(y=(x+3)^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, працювати із частинами цілого та вивляти взаємозв’язок між звичайними дробами й відсотками.

Увесь ігровий час вважатимемо за \(1\) (ціле). Команда господарів володіла шайбою \(\dfrac 35\) часу, тому на частку гостей припадає решта:

Отже, команда гостей володіла шайбою \(\dfrac 25\) ігрового часу.

Переведімо цей дріб у відсотки:

\begin{gather*} \frac 25\cdot 100\ \%=40\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою: \begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр: \begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою задачі висота \(H=2a.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(60\) мм у \(5\), \(6\) та \(7\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

За умовою \(MB=2AM\), отже \(MB=2\cdot 12=24\) см.

Нехай точка \(K\) – середина \(AM\), а точка \(C\) – середина \(MB.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Форми наведення статистичної інформації: графічна, таблична та текстова.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший відтінок сірого) – половина круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом – друга половина круга.

Оскільки сектор Zoom – половина круга, то він відображає \(50\ \%\) від усієї кількості занять.

Щоб обчислити кількість занять у Zoom, треба загальну кількість занять поділити на \(2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв’язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

• степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}  

• арифметичного квадратного кореня

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У заданому рівнянні:

Підставимо \(x_2=x_1+4\) у рiвняння добутку:

Розв’яжімо, це рівняння

Для кожного варіанта \(x_1\) знайдімо \(x_2\) та параметр \(m\), використовуючи суму коренів \(x_1+x_2=2m-2.\)

1. Для \(x_1=-7.\)

\(-4\lt 0\) підходить.

2. Для \(x_1=3.\)

\(6\gt 0\) не підходить.

Відповідь: \(-4.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба \((d)\) та висота призми \((H).\) Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\), де: \(CD=20\) (сторона ромба), \(OD=24:2 = 12\) (половина відомої діагоналі \((d_1)\) ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Оскільки Микола купує «різні» флешки і нам не важливо, яку він покладе в кошик першою, а яку другою, скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Обираємо \(2\) флешки по \(32\) ГБ.

Миколі потрібно вибрати \(2\) з \(12\) наявних варіантів.

Обираємо \(1\) флешку по \(64\) ГБ.

Миколі потрібно вибрати \(1\) варіант із \(10.\) Це можна зробити \(10\) способами.

Оскільки Микола має купити і першу групу, і другу одночасно, застосуймо правило добутку:

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(660.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

Використали властивості логарифма:

Відповідь: \(2{,}5.\)