Національний мультитест з математики - тести для підготовки до ЗНО

Національний мультитест. Тема «Національний мультитест з математики». Всі запитання починаючи з 0

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200 ▶

Завдання 1 з 744

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-2)x+4m-3=0$ на $4$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

\begin{gather*} x^2-(2m-2)x+4m-3=0;\\[7pt] x_1=x_2+4. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У завданні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=4m-3. \end{gather*}

За теоремою Вієта та умовою завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-2,\\ x_1=x_2+4,\\ x_1\cdot x_2=4m-3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $x_1=x_2+4$ у перше рівняння системи:

\begin{gather*} x_2+4+x_2=2m-2;\\[7pt] 2x_2=2m-2-4;\\[7pt] 2x_2=2m-6;\\[6pt] x_2=\frac{2m-6}{2}=\frac{2(m-3)}{2};\\[6pt] x_2=m-3. \end{gather*}

Тепер визначмо $x_1{:}$

\begin{gather*} x_1=x_2+4=m-3+4=m+1. \end{gather*}

Підставмо ці значення в рівняння $x_1\cdot x_2=4m-3{:}$

\begin{gather*} (m+1)\cdot (m-3)=4m-3;\\[7pt] m^2-3m+1m-3-4m+3=0;\\[7pt] m^2-6m=0;\\[7pt] m(m-6)=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m=0,\\ m=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки за умовою потрібне додатне значення, вибираємо $6.$

Відповідь: $6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37399

Завдання 2 з 744

Діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди – рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює $72\sqrt{3}.$ Визначте площу основи цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи $(d).$ За умовою трикутник рівносторонній.

\begin{gather*} S_\Delta=72\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною $d$ обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} \frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3};\\[6pt] d^2\cdot\sqrt{3}=72\sqrt{3}\cdot 4;\\[7pt] d^2\cdot \sqrt{3}=288\sqrt{3};\\[7pt] d^2=288. \end{gather*}

Основа піраміди – квадрат. Діагональ $d$ ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} a^2+a^2=d^2;\\[7pt] 2a^2=d^2;\\[6pt] a^2=\frac{d^2}{2};\\[6pt] a^2=\frac{288}{2}=144. \end{gather*}

Площа основи (квадрата):

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37398

Завдання 3 з 744

Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із $5$ різних книг, у якому $2$ збірники олімпіадних задач і $3$ науково-популярні книжки. Скільки всього є варіантів формування такого комплекту, якщо в наявності $8$ різних збірників і $10$ різних науково-популярних книжок?

Впишіть відповідь:

3360

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $2$ збірники з $8{:}$

\begin{gather*} C_{8}^2=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\frac{7\cdot 8}{1\cdot 2}=7\cdot 4=28. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $3$ науково-популярні книжки з $10{:}$

\begin{gather*} C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}=\\[6pt] =\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=4\cdot 3\cdot 10=120. \end{gather*}

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ – $m$ способами, то пару $A$ і $B$ можна вибрати $n\cdot m$ способами.

Відповідь: $3360.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37397

Завдання 4 з 744

Студент вивчав японську мову за такою методикою: першого дня він запам'ятав $6$ ієрогліфів, а кожного наступного дня – на $2$ ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав студент за $25$ днів від початку вивчення японської мови?

Впишіть відповідь:

750

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n$ перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
$a_1=6$ (кількість ієрогліфів у перший день);
$d=2$ (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
$n=25$ (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за $n$ днів використаймо формулу суми перших $n$ членів і формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] a_n=a_1+d(n-1).\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{25}=\frac{2\cdot 6+2(25-1)}{2}\cdot 25=\frac{12+2\cdot 24}{2}\cdot 25=\\[6pt] =\frac{12+48}{2}\cdot 25=\frac{60}{2}\cdot 25=30\cdot 25=750. \end{gather*}

Відповідь: $750.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37396

Завдання 5 з 744

На рисунку зображено коло із центром у точці $O$, $AB$ – діаметр кола. Пряма $a$ – дотична до кола й перетинає продовження діаметра $AB$ в точці $K$, а $C$ – точка дотику. Доберіть до величини (1–3) її значення (А – Д), якщо $\overset{\frown}{AC}=130^\circ.$

Величина

1$\overset{\frown}{CB}$

2$\angle CKA$

3$\angle ABC$

Значення величини

А$30^\circ$

Б$40^\circ$

В$50^\circ$

Г$65^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. $\overset{\frown}{CB}.$ Оскільки $AB$ – діаметр, він ділить коло навпіл. Тож уся дуга $ACB$ (півколо) дорівнює $180^\circ.$

\begin{gather*} \overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{ACB}-\overset{\frown}{AC}=180^\circ -130^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

2. $\angle CKA.$

Радіус $OC$, проведений у точку дотику $C$, завжди перпендикулярний до дотичної $CK.$

Тобто $\angle OCK=90^\circ.$ Кут $\angle COB$ центральний, спирається на дугу $\overset{\frown}{CB}.$

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: $\angle COB=\overset{\frown}{CB}=50^\circ.$ У прямокутному трикутнику $\Delta OCK$ сума гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

\begin{gather*} \angle CKA=90^\circ-\angle COK=90^\circ-50^\circ=40^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Б.

3. $\angle ABC.$

Кут $\angle ABC$ вписаний, спирається на дугу $\overset{\frown}{AC}.$ Градусна міра вписаного кута дорівнює половині дуги, на яку спирається.

\begin{gather*} \angle ABC=\frac 12\cdot \overset{\frown}{AC}=\frac 12\cdot 130^\circ=\frac{130^\circ}{2}=65^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37395

Завдання 6 з 744

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1$y=x^2-2$

2$y=3^x$

3$y=x^3$

Властивість

Апроходить через початок координат

Бне містить точок $(x_0; y_0)$ з від'ємною ординатою $y_0$

Вне має спільних точок із віссю $y$

Гдвічі перетинає графік прямої $y=3$

Дграфік функції розташований лише в І координатній чверті

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Побудуймо задані графіки функцій.

Оскільки графіком функції $y=x^2-2$ є парабола з вершиною в точці $(0; -2)$, вітки якої напрямлені вгору, то вона двічі перетинає графік прямої $y=3.$ Отже, правильна відповідь – Г.

$y=3^x.$ Показникова функція вигляду $a^x$ завжди набуває лише додатних значень $(y\gt 0)$ за будь-яких $x.$ Отже, правильна відповідь – Б.

$y=x^3$ – це кубічна парабола. Якщо $x=0$, $y=0^3=0$, то графік проходить через початок координат – точку $(0; 0).$ Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37394

Завдання 7 з 744

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1$\frac{\pi}{2}$

2$\sin \pi$

3$\log_{\pi} \frac{1}{\pi}$

Проміжок

А$[-2; -1)$

Б$[-1; 0)$

В$[0; 1)$

Г$[1; 2)$

Д$[2; 3)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. $\pi\approx 3{,}14$

\begin{gather*} \frac{\pi}{2}\approx \frac{3{,}14}{2}\approx 1{,}57. \end{gather*}

Число $1{,}57$ належить проміжку $[1; 2).$ Отже, правильна відповідь – Г.

2. $\sin \pi=0$

Число $0$ належить проміжку $[0; 1).$ Отже, правильна відповідь – В.

3. За властивістю степеня:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[6pt] \log_{\pi} \frac{1}{\pi}=\log_{\pi} \pi^{-1}=-1\cdot \log_{\pi} \pi=-1. \end{gather*}

Число $-1$ належить проміжку $[-1; 0).$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37393

Завдання 8 з 744

Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом $60^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього прямокутника, якщо менша з його сторін $4$ см завдовжки.

А$8$ см$^2$

Б$8\sqrt{3}$ см$^2$

В$16$ см$^2$

Г$16\sqrt{3}$ см$^2$

Д$32$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOB$ – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині $\angle AOB=60^\circ$, то кути при основі також по $60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).$ Отже, трикутник $ABO$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BO=AO=4\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $AO$ — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).$ Гіпотенуза $AC=8$ см і катет $AB=4$ см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони $BC{:}$

\begin{gather*} BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника $ABCD{:}$

\begin{gather*} S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37392

Завдання 9 з 744

Скільки всього коренів рівняння $\mathrm{tg}\ x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ належать проміжку $[0; \pi]$?

Ажодного

Бодин

Втри

Гдва

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\frac{\pi}6+\pi n,\ \text{де}\ n\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $n$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; \pi].$

Якщо $n=0$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо $n=1$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо $n=-1$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37391

Завдання 10 з 744

Визначте загальний вигляд первісних функції $f(x)=4x-\frac{3}{\cos^2 x}.$

А$F(x)=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Б$F(x)=4x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

В$F(x)=2x^2+3\mathrm{tg}\ x+C$

Г$F(x)=x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Д$F(x)=2x^2-\frac{3}{\mathrm{tg}\ x}+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} \frac{3}{\cos^2 x}=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

\begin{gather*} F(x)=4\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}-3\cdot \mathrm{tg}\ x+C=\frac 41\cdot \frac{x^2}{2}-3\mathrm{tg}\ x+C=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37390

Завдання 11 з 744

Визначте координати вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, якщо $\overrightarrow{a}(3; 1; -4)$ i $\overrightarrow{b}(-8; 0; 2).$

А$\overrightarrow{c}(11; 1; -6)$

Б$\overrightarrow{c}(-5; 1; -2)$

В$\overrightarrow{c}(-11; -1; 6)$

Г$\overrightarrow{c}(-24; 0; -8)$

Д$\overrightarrow{c}(-5; -1; 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів $\overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1)$ i $\overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2)$ є вектор $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}$

\begin{gather*} \overrightarrow{c}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1). \end{gather*}

Щоб визначити координати різниці двох векторів, треба від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}(-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}(-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}(-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}(-11; -1; 6) \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37389

Завдання 12 з 744

$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2 \alpha}=$

А$\frac{1}{\mathrm{tg}\ \alpha}$

Б$\mathrm{tg}\ \alpha$

В$\frac 12$

Г$\frac{1}{\sin \alpha}$

Д$\frac{\mathrm{tg}\ \alpha}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Розв'язання:

$$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}.$$

Під час розв'язання застосовано:

формулу подвійного аргумента: $\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha;$
означення тангенса та котангенса: $\mathrm{tg}\ \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37388

Завдання 13 з 744

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.

II. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.

III. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.

Алише IІ

Блише I та II

Влише I та III

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки. Твердження правильне.

ІІ.

$AB \perp CD.\ \Delta COD$ – рівнобедрений, $OC=OD.$ Отже, висота $OK$, проведена до основи, є медіаною. Отже, $K$ – середина хорди $CD.$ Твердження правильне.

ІІІ.

Діаметри кола проходять через центр кола, тобто завжди мають спільну точку. Твердження неправильне.

Правильні твердження лише І та II.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37387

Завдання 14 з 744

Розв'яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ 2x\lt 5. \end{array}\right. \end{gather*}

А$[-4; +\infty)$

Б$(2{,}5; +\infty)$

В$[-4; 2{,}5)$

Г$(-\infty; -4]$

Д$(-\infty; 2{,}5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ 2x\lt 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ x\lt 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in [-4; 2{,}5).$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37386

Завдання 15 з 744

Графік функції $y=x^2$ паралельно перенесли на $3$ одиниці ліворуч уздовж осі $x.$ Графік якої функції отримали в результаті цього перетворення?

А$y=(x-3)^2$

Б$y=x^2+3$

В$y=3x^2$

Г$y=x^2-3$

Д$y=(x+3)^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі $Ox$ – це перетворення виду: \begin{gather*} f(x)\Rightarrow f(x+A), \end{gather*} де $A$ – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо $A\gt 0$ – переносимо графік уліво, якщо $A\lt 0$ – переносимо вправо.

Отже, графік функції $y=x^2$ перенесли на $3$ одиниці ліворуч й отримали графік функції $y=(x+3)^2.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37385

Завдання 16 з 744

Протягом хокейного матчу команда господарів володіла шайбою $\frac 35$ від усього ігрового часу, а команда гостей – решту ігрового часу. Яку частку (%) від усього ігрового часу команда гостей володіла шайбою?

А$75\ \%$

Б$40\ \%$

В$60\ \%$

Г$25\ \%$

Д$20\ \%$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, працювати із частинами цілого та вивляти взаємозв’язок між звичайними дробами й відсотками.

Увесь ігровий час вважатимемо за $1$ (ціле). Команда господарів володіла шайбою $\dfrac 35$ часу, тому на частку гостей припадає решта:

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 55-\frac 35=\frac{5-3}{5}=\frac 25. \end{gather*}

Отже, команда гостей володіла шайбою $\dfrac 25$ ігрового часу.

Переведімо цей дріб у відсотки:

\begin{gather*} \frac 25\cdot 100\ \%=40\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37384

Завдання 17 з 744

Позначте формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює $a$, а висота – $2a.$

А$S=6a^2$

Б$S=8a^3$

В$S=12a^2$

Г$S=8a^2$

Д$S=2a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою: \begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною $a$, тож його периметр: \begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою задачі висота $H=2a.$

Отже,

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot 2a=8a^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37383

Завдання 18 з 744

На графіку відображено зміну кількості опадів (мм) протягом року в регіоні України. За графіком визначте місяці, у яких кількість опадів перевищувала $60$ мм.

А$5$; $8$

Б$6$; $7$

В$5$; $6$; $7$

Г$5$; $6$; $7$; $8$

Д$4$; $5$; $6$; $7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала $60$ мм у $5$, $6$ та $7\text{-му}$ місяцях.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37382

Завдання 19 з 744

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Визначте відстань між серединами відрізків $AM$ i $MB$, якщо $AM=12$ см, $MB=2AM.$

А$9$ см

Б$24$ см

В$12$ см

Г$18$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

За умовою $MB=2AM$, отже $MB=2\cdot 12=24$ см.

Нехай точка $K$ – середина $AM$, а точка $C$ – середина $MB.$

\begin{gather*} KC=KM+MC=\frac 12 AM+\frac 12 MB;\\[6pt] KC=\frac 12(AM+MB)=\frac 12(12+24)=\frac 12\cdot 36=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37381

Завдання 20 з 744

Розв'яжіть нерівність $3x+9\le 0.$

А$(-\infty; 6]$

Б$(-\infty; -3]$

В$[3; +\infty)$

Г$(-\infty; 3]$

Д$[-3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3x+9\le 0;\\[7pt] 3x\le -9;\\[7pt] x\le -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37380

Завдання 21 з 744

На діаграмі відображено розподіл $900$ занять, відвіданих студентами в Google Meet, Zoom i Teams. За діаграмою визначте, якою може бути загальна кількість занять у Zoom.

А$300$

Б$1000$

В$450$

Г$750$

Д$600$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Форми наведення статистичної інформації: графічна, таблична та текстова.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший відтінок сірого) – половина круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом – друга половина круга.

Оскільки сектор Zoom – половина круга, то він відображає $50\ \%$ від усієї кількості занять.

Щоб обчислити кількість занять у Zoom, треба загальну кількість занять поділити на $2{:}$

\begin{gather*} 900:2=450. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37379

Завдання 22 з 744

Обчисліть $(-2\sqrt{2})^2.$

А$-4$

Б$8$

В$4\sqrt{2}$

Г$-8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв’язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a;\\[7pt] (-2\sqrt{2})^2=(-2)^2\cdot (\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37378

Завдання 23 з 744

За якого від’ємного значення параметра $m$ один із коренів рівняння $x^2-(2m-2)x+21=0$ на $4$ більший від іншого?

Впишіть відповідь:

-4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-(2m-2)x+21=0;\\[7pt] x_2=x_1+4;\\[7pt] m\lt 0. \end{gather*}

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=21. \end{gather*}

Підставимо $x_2=x_1+4$ у рiвняння добутку:

\begin{gather*} x_1\cdot (x_1+4)=21;\\[7pt] x_1^2+4x_1-21=0. \end{gather*}

Розв’яжімо, це рівняння

\begin{gather*} D=4^2-4\cdot 1\cdot (-21)=16+84=100;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{100}=10;\\[6pt] x_1=\frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7,\ \text{або}\\[6pt] x_1=\frac{-4+10}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Для кожного варіанта $x_1$ знайдімо $x_2$ та параметр $m$, використовуючи суму коренів $x_1+x_2=2m-2.$

1. Для $x_1=-7.$

\begin{gather*} x_2=-7+4=-3;\\[7pt] -7+(-3)=2m-2;\\[7pt] 2m-2=-10;\\[7pt] 2m=-10+2;\\[7pt] 2m=-8;\\[7pt] m=-4. \end{gather*}

$-4\lt 0$ підходить.

2. Для $x_1=3.$

\begin{gather*} x_2=3+4=7;\\[7pt] 3+7=2m-2;\\[7pt] 2m-2=10;\\[7pt] 2m=10+2;\\[7pt] 2m=12;\\[7pt] m=6. \end{gather*}

$6\gt 0$ не підходить.

Відповідь: $-4.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37375

Завдання 24 з 744

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20.$ Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58.$ Обчисліть об'єм цієї призми, якщо її висота дорівнює $5.$

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба $(d)$ та висота призми $(H).$ Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

\begin{gather*} P_\text{пер}=2(d+H). \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ$ і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, де: $CD=20$ (сторона ромба), $OD=24:2 = 12$ (половина відомої діагоналі $(d_1)$ ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12\cdot d_1\cdot d_2=\frac 12\cdot 24\cdot 32=384;\\[6pt] V=S_\text{осн}\cdot H=384\cdot 5=1920. \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37374

Завдання 25 з 744

Інтернет-магазин пропонує флешнакопичувачі обсягом пам'яті $32$ Гб ($12$ видів) та обсягом пам'яті $64$ Гб ($10$ видів). Микола планує в цьому магазині купити $3$ різні флешнакопичувачі: $2$ – обсягом $32$ Гб і $1$ – обсягом $64$ Гб. Скільки всього в Миколи варіантів замовлення для купівлі флешнакопичувачів із заданими параметрами пам'яті?

Впишіть відповідь:

660

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Оскільки Микола купує «різні» флешки і нам не важливо, яку він покладе в кошик першою, а яку другою, скористаймося формулою комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Обираємо $2$ флешки по $32$ ГБ.

Миколі потрібно вибрати $2$ з $12$ наявних варіантів.

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{1\cdot 2}=11\cdot 6=66\ (\text{способів}). \end{gather*}

Обираємо $1$ флешку по $64$ ГБ.

Миколі потрібно вибрати $1$ варіант із $10.$ Це можна зробити $10$ способами.

\begin{gather*} C_{10}^1=10\ (\text{способів}). \end{gather*}

Оскільки Микола має купити і першу групу, і другу одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 66\cdot 10=660\ (\text{способів}). \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ — $m$ способами, то пару $A$ і $B$ можна вибрати $n\cdot m$ способами.

Відповідь: $660.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37373

Завдання 26 з 744

Обчисліть інтеграл $\displaystyle \int\limits_{\textstyle 1}^{\textstyle e^5} \dfrac{dx}{2x}$.

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac{dx}{2x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac{1}{2x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac 12\cdot \frac 1x\ dx=\frac 12\mathop{\int}\limits_1^{e^5}\frac 1x\ dx=\frac 12\left(\ln|x|\right)|_1^{e^5}=\\[6pt] =\frac 12\left(\ln (e^5)-\ln 1\right)=\frac 12(5-0)=\frac 12\cdot 5=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Використали властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37372

Завдання 27 з 744

Периметр рівнобедреного трикутника (див. рисунок) дорівнює $32$ см. $AB=BC=10$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AC$

2висота, проведена з вершини $B$

3радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

Довжина відрізка

А$6{,}25$ см

Б$7{,}5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$12{,}5$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони $AB=BC=10$ см.

\begin{gather*} P=AB+BC+AC;\\[7pt] 32=10+10+AC;\\[7pt] AC=32-20=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Г.

Проведемо висоту $BH$ до основи $AC.$ У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

\begin{gather*} AH=HC=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник $ABH\ (\angle H=90^\circ){:}$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BH^2+AH^2=AB^2;\\[7pt] BH^2+6^2=10^2;\\[7pt] BH^2+36=100;\\[7pt] BH^2=64;\\[7pt] BH=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

\begin{gather*} R=\frac{abc}{4S}. \end{gather*}

Площа трикутника $S{:}$

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BH=\frac 12\cdot 12\cdot 8=48\ \text{см}^2.\\[6pt] R=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{4\cdot 48}=\frac{1200}{192}=6{,}25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37371

Завдання 28 з 744

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1$y=x^2+4$

2$y=\log_4 x$

3$y=4-2x$

Властивість

Амає лише одну точку локального екстремуму

Бє зростаючою на всій області визначення

Вмає від'ємний нуль

Гє спадною на всій області визначення

Днепарна

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. $y=x^2+4$ квадратична функція, графіком якої є парабола.

Функція спочатку спадає, а потім зростає. Має лише одну точку локального екстремуму при $x=0$, $f_{min}(0)=4.$ Отже, правильна відповідь — A.

2. $y=\log_4 x$ логарифмічна функція з основою $a=4.$

Оскільки основа $4\gt 1$, функція є зростаючою на всій своїй області визначення $(x\gt 0).$ Отже, правильна відповідь — Б.

3. $y=4-2x$ лінійна функція вигляду $y=kx+b$, де $k=-2.$

Оскільки коефіцієнт $k$ від'ємний $(k\lt 0)$, пряма нахилена вниз, тобто функція спадає на всій області визначення. Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37370

Завдання 29 з 744

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо $a=-0{,}5.$

Вираз

1$|a|$

2$a^3$

3$\frac{1}{a}$

Проміжок

А$(-\infty; -2)$

Б$[-2; -1)$

В$[-1; 0)$

Г$[0; 1)$

Д$[1; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |a|=|-0{,}5|=0{,}5. \end{gather*}

Число $0{,}5$ належить проміжку $[0; 1).$ Отже, правильна відповідь – Г.

2. $a^3=(-0{,}5)^3=-0{,}125.$

Число $-0{,}125$ належить проміжку $[-1; 0).$ Отже, правильна відповідь – В.

3. $\dfrac 1a=\dfrac{1}{-0{,}5}=-\dfrac{1}{\frac{5}{10}}=-\dfrac{10}{5}=-2.$

Число $-2$ належить проміжку $[-2; -1).$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37369

Завдання 30 з 744

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$32{,}5$

Б$63$

В$29{,}5$

Г$27$

Д$31{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=7.$

Обчилімо площу трапеції за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 7=\frac 92\cdot \frac 71=\frac{63}{2}=31{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37368

Завдання 31 з 744

За якою формулою можна обчислити об'єм $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a$?

А$V=\frac{a^3}{4}$

Б$V=a^3$

В$V=\frac{a^3}{3}$

Г$V=\sqrt{5}a^2$

Д$V=\sqrt{3}a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac 13\cdot a^3=\frac{a^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37367

Завдання 32 з 744

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x(4-y)=14,\\ x(4-y)=3x-7. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $y_0=$

А$6$

Б$2$

В$-6$

Г$7$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки. Оскільки ліві частини обох рівнянь однакові $(x(4-y))$, ми можемо прирівняти їхні праві частини.

\begin{gather*} 14=3x-7;\\[7pt] 3x-7=14;\\[7pt] 3x=14+7;\\[7pt] 3x=21;\\[7pt] x=7. \end{gather*}

Підставимо значення $x=7$ у перше рівняння:

\begin{gather*} 7\cdot (4-y)=14;\\[7pt] 4-y=14:7;\\[7pt] 4-y=2;\\[7pt] -y=2-4;\\[7pt] -y=-2;\\[7pt] y=2. \end{gather*}

Отже, $y_0=2.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37366

Завдання 33 з 744

Визначте перший член геометричної прогресії $(b_n)$, у якої $b_4=3$, а знаменник $q=\dfrac 13.$

А$27$

Б$243$

В$81$

Г$\frac 19$

Д$\frac{1}{27}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

Застосуймо формулу $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=b_1\cdot q^{4-1};\\[7pt] b_4=b_1\cdot q^3;\\[6pt] 3=b_1\cdot \left(\frac 13\right)^3;\\[6pt] b_1\cdot\frac{1}{27}=3;\\[6pt] b_1=3\cdot 27=81. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37365

Завдання 34 з 744

Обчисліть $\left(4^{\frac 32}\right)^2.$

А$12$

Б$32$

В$3$

Г$16$

Д$64$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[6pt] \left(4^{\frac 32}\right)^2=4^{\frac 32\cdot 2}=4^{\frac 32\cdot \frac 21}=4^3=64. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37364

Завдання 35 з 744

Які з наведених тверджень правильні?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише IІІ

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чтирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердженння.

І. Середня лінія трапеції не проходить чирез точку перетину її діагоналей.

ІІ. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

\begin{gather*} \Delta ABD\ne \Delta DBC. \end{gather*}

ІІІ. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37363

Завдання 36 з 744

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac 15\right)^{\textstyle x}\gt \dfrac{1}{25}.$

А$(2; +\infty)$

Б$(0; 2)$

В$(-\infty; 5)$

Г$(5; +\infty)$

Д$(-\infty; 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} \left(\frac 15\right)^x\gt \frac{1}{25};\\[6pt] \left(\frac 15\right)^x\gt \left(\frac 15\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\dfrac 15\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)};\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x). \end{gather*}

Отже, $x\lt 2.$

\begin{gather*} x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37362

Завдання 37 з 744

$-2xy^2-(3xy^2-2x^2y)=$

А$-5xy^2+2x^2y$

Б$-5xy^2-2x^2y$

В$xy^2-2x^2y$

Г$-6xy^2+2x^2y$

Д$-3xy^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} -2xy^2-(3xy^2-2x^2y)=-2xy^2-3xy^2+2x^2y=-5xy^2+2x^2y. \end{gather*}

$-2xy^2$ і $-3xy^2$ подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37361

Завдання 38 з 744

Площа зафарбованої частини квадрата (див. рисунок) дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте площу всього квадрата.

А$96$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$108$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на $4$ рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного з цих трикутників, ділить його ще на $2$ рівновеликі частини.

Отже, зафарбована частина $\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18$ всієї площі.

Якщо $\dfrac 18\cdot S=12$ см$^2$, то $S=8\cdot 12=96$ см$^2.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37360

Завдання 39 з 744

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-2; 4].$ Графік перетинає вісь $x$ в одній із точок, координати яких наведено у варіантах відповіді. Визначте цю точку.

А$(4; 0)$

Б$(3; 4)$

В$(0; 3)$

Г$(3; 0)$

Д$(0; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь $x$ в точці $(3; 0).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37359

Завдання 40 з 744

$|2-\sqrt{7}|=$

А$2+\sqrt{7}$

Б$\sqrt{3}$

В$2-\sqrt{7}$

Г$\sqrt{7}-2$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \sqrt{7}\approx 2{,}6;\\[7pt] 2-\sqrt{7}\lt 0;\\[7pt] |2-\sqrt{7}|=-(2-\sqrt{7})=-2+\sqrt{7}=\sqrt{7}-2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37358

Завдання 41 з 744

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Сфера утворена обертанням...

Акруга навколо хорди, що не є діаметром».

Бкола навколо його діаметра».

Вкола навколо хорди, що не є діаметром».

Гкруга навколо прямої, що не проходить через його центр».

Дкола навколо його дотичної».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема сфери.

Сфера утворена обертанням кола навколо його діаметра.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37357

Завдання 42 з 744

Розв'яжіть рівняння $3(4x-2)=0.$

А$2$

Б$-0{,}5$

В$\frac 16$

Г$\frac 14$

Д$0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння

\begin{gather*} 3(4x-2)=0. \end{gather*}

Розділимо обидві частини рівняння на $3{:}$

\begin{gather*} 4x-2=0;\\[7pt] 4x=2;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37356

Завдання 43 з 744

Серед $100$ учнів музичного класу провели опитування щодо їхніх музичних уподобань. Результати наведено на діаграмі (див. рисунок). Визначте різницю між кількістю учнів, які обрали попмузику, та кількістю тих, хто віддав перевагу класичній музиці.

А$5$

Б$10$

В$15$

Г$20$

Д$25$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Аналізуючи результати опитування на поданій діаграмі бачимо, що: поп-музику вподобало — $30$ учнів, а класичну — $15$ учнів.

Обчислімо різницю:

\begin{gather*} 30-15=15\ \text{учнів}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37355

Завдання 44 з 744

$\sqrt{1\frac{11}{25}}=$

А$1\frac{\sqrt{11}}{5}$

Б$\frac{11}{25}$

В$1\frac 15$

Г$2\frac 15$

Д$\frac 56$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Перетворімо мішане число у неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac{11}{25}=\frac{1\cdot 15+11}{25}=\frac{36}{25};\\[6pt] \sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac 65=1\frac 15. \end{gather*}

Застосували властивість арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\gt 0. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37353

Завдання 45 з 744

Визначте найбільше ціле значення $a$, за якого корінь рівняння

$a^2x-a=x(a^2-a)-10$

є від'ємним числом.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки з $x$ в один бік, а числа та параметри — в інший.

\begin{gather*} a^2x-a=x(a^2-a)-10;\\[7pt] a^2x-a=a^2x-ax-10;\\[7pt] a^2x-a^2x+ax=a-10;\\[7pt] ax=a-10;\\[7pt] a\ne 0;\\[6pt] x=\frac{a-10}{a}. \end{gather*}

За умовою корінь рівняння має бути від’ємним числом $(x\lt 0){:}$

\begin{gather*} \frac{a-10}{a}\lt 0. \end{gather*}

Розв`яжемо нерівність методом інтервалів:

Отже, $x\lt 0$ при $a\in (0; 10).$

Найбільше ціле число $a$ з інтервалу $(0; 10)$ це $9.$

Відповідь: $9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37182

Завдання 46 з 744

Бічна грань правильної трикутної піраміди є прямокутним трикутником з гіпотенузою $6$ см. Визначте площу (у см$^2$) бічної поверхні цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). $AB=BC=CA=6$ см.

Апофема $(FK)$ — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} FK=\frac{AB}{2}=\frac 62=3\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи, $m$ – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot AB=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Апофема $m=FK=3$ см.

\begin{gather*} S_{біч}=\frac 12\cdot 18\cdot 3=9\cdot 3=27\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37181

Завдання 47 з 744

В інтернет-магазині пропонують футболки $10$ видів і шорти $15$ видів українського виробництва, а також $8$ видів імпортних готових комплектів (футболка та $2$ однакові пари шортів). Скільки всього є варіантів вибору в цьому магазині футболки та $2$ однакових пар шортів, якщо речі з комплекту не можна купити окремо?

Впишіть відповідь:

158

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило суми та добутку.

1. “Готовий комплект” (Імпортні).

Магазин пропонує $8$ видів готових імпортних комплектів (кожен з яких вже містить $1$ футболку та $2$ однакові пари шортів). Речі з комплекту не можна купити окремо. Отже маємо $8$ варіантів вибору.

2. “Збери сам” (Українське виробництво).

Магазин пропонує $10$ видів футболок і $15$ видів шортів українського виробництва. Оскільки нам потрібно $2$ однакові пари шортів, то ми обираємо один вид шортів із $15$ наявних (і беремо дві штуки цього виду). Тобто маємо $10$ варіантів вибору футболок і $15$ варіантів вибору шортів.

Згідно з правилом добутку, кількість способів скласти такий вибір:

\begin{gather*} 10\cdot 15=150\ \text{варіантів}. \end{gather*}

3. Тепер необхідно об'єднати результати. Ми можемо купити АБО готовий комплект, АБО скласти його самостійно.

Згідно з правилом суми, додаємо варіанти з першої та другої груп:

\begin{gather*} 8 + 150 = 158\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Правило суми: Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ — $m$ способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «$A$ або $B$» можна здійснити $n + m$ способами.

Відповідь: $158.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37180

Завдання 48 з 744

Відомо, що $\mathop{\int}\limits_1^5 f(x)\ dx=14.$ Обчисліть $\mathop{\int}\limits_1^5 \left(5-3\cdot f(x)\right)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-22

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} \left(f(x)+g(x)\right)\ dx=\mathop{\int} f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[6pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)dx \end{gather*}

та формулою Ньютона - Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\left|_a^b\right.=F(b)-F(a).\\[6pt] \mathop{\int}\limits_1^5 (5-3\cdot f(x))\ dx=\mathop{\int}\limits_1^5 5\ dx-\mathop{\int}\limits_1^5 3\cdot f(x)\ dx=\mathop{\int}\limits_1^5 5\ dx-3\cdot \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)\ dx=\\[6pt] =5x\left|_1^5\right.-3\cdot 14=5\cdot 5-5\cdot 1-3\cdot 14=25-5-42=-22. \end{gather*}

Відповідь: $-22.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37179

Завдання 49 з 744

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD$, у якої $AC=CD=15$ см, $BC=12$ см. $O$ – середина діагоналі $AC$ трапеції $ABCD.$

До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OB$

2$AB$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$7{,}5$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутних трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. У $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$, бо $ABCD$ — прямокутна трапеція. Відрізок $OB$ з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи $AC.$ Отже, $OB$ — медіана, проведена до гіпотенузи.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

\begin{gather*} OB=\frac{AC}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. У трикутнику $\Delta ABC\ (AC=15$ см і $BC=12$ см) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2+BC^2=AC^2;\\[7pt] AB^2+12^2=15^2;\\[7pt] AB^2+144=225;\\[7pt] AB^2=225-144=81;\\[7pt] AB=\sqrt{81}=9\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – В.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює: $L=\dfrac{BC+AD}{2}.$ Проведемо висоту $CH$ з вершини $C$ на основу $AD.$ Оскільки трапеція прямокутна, $ABCH$ — прямокутник. $CH=AB=9$ см, $AH=BC=12$ см. Розглянемо прямокутний трикутник $\Delta CHD.$ $CD=15$ см (за умовою) і $CH=9$ см за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 15^2=9^2+HD^2;\\[7pt] 225=81+HD^2;\\[7pt] HD^2=225-81=144;\\[7pt] HD=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо основу $AD{:}$

\begin{gather*} AD=AH+HD=12+12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо середню лінію:

\begin{gather*} L=\frac{12+24}{2}=\frac{36}{2}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37178

Завдання 50 з 744

До початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=\sqrt{x+3}$

2Функція $y=1-x^2$

3Функція $y=2^{-x}$

Закінчення речення

Амає точку локального максимуму.

Бмає точку локального мінімуму.

Вє непарною.

Гзростає на всій області визначення.

Днабуває лише додатних значень.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Побудуймо графіки заданих функцій.

1. $y=\sqrt{x+3}$ зростає на всій області визначення.

Отже, 1 – Г.

2. $y=1-x^2.$ Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, то вершина — це найвища точка графіка. Функція має точку локального максимуму.

Отже, 2 – A.

3. $y=2^{-x}$
$y=\left(\dfrac 12\right)^x.$

Показникова функція вигляду $a^x$ завжди набуває лише додатних значень $(y\gt 0)$ при будь-яких $x.$ Вона ніколи не перетинає вісь $Ox$ і не стає від'ємною. Оскільки основа $\dfrac 12\lt 1$, функція спадає. Функція набуває лише додатних значень

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37177

Завдання 51 з 744

До виразу (1–3) доберіть множину (А – Д), якій належить значення цього виразу, якщо $a=5.$

Вираз

1$\log_{0{,}2} a$

2$2^{-a}$

3$\frac{10}{a}$

Множина

Амножина ірраціональних чисел

Бмножина натуральних чисел

Вмножина цілих від'ємних чисел

Гмножина раціональних нецілих чисел

Дмножина ірраціональних від'ємних чисел

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з цілим показником та її властивості, тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. $\log_{0{,}2} a=\log_{0{,}2} 5=\log_{\frac 15} 5=\log_{5^{-1}} 5=-1\cdot \log_5 5=-1.$

$-1$ є цілим від'ємним числом. Отже, 1 – B.

Застосували властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[6pt] \log_{a^k} b=\frac 1k\log_a b. \end{gather*}

2. $2^{-a}=2^{-5}=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}.$

$\dfrac{1}{32}$ є раціональним числом, що не є цілим. Отже, 2 – Г.

Застосували властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

3. $\dfrac{10}{a}=\dfrac{10}{5}=2.$

$2$ є натуральним числом. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37176

Завдання 52 з 744

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього паралелограма.

А$10{,}5$

Б$1{,}5\sqrt{85}$

В$21$

Г$18$

Д$3\sqrt{85}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу паралелограма.

Площа паралелограма обчислюється за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot h_a, \end{gather*} де $a$ — сторона паралелограма, а $h_a$ — висота, проведена до цієї сторони.

Сторона $(a){:}\ CD = 3.$

Висота $(h_a){:}\ BH=7$ (висота паралелограма — це перпендикуляр між вертикальними прямими, на яких лежать сторони $AB$ та $CD$).

Підставляємо значення у формулу:

\begin{gather*} S=3\cdot 7=21. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37175

Завдання 53 з 744

Визначте похідну функції $f(x)=\dfrac{x^2-5}{3x}.$

А$f'(x)=\frac{x^2}{6}-\frac 53\ln |x|$

Б$f'(x)=\frac{x^2-5}{3x^2}$

В$f'(x)=\frac{x^2+5}{9x^2}$

Г$f'(x)=\frac{x^2+5}{3x^2}$

Д$f'(x)=\frac{2x}{9}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

\begin{gather*} \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\\[6pt] f'(x)=\frac{(x^2-5)'\cdot 3x-(3x)'\cdot (x^2-5)}{(3x)^2}=\frac{2x\cdot 3x-3\cdot (x^2-5)}{9x^2}=\\[6pt] =\frac{6x^2-3x^2+15}{9x^2}=\frac{3x^2+15}{9x^2}=\frac{3(x^2+5)}{9x^2}=\frac{x^2+5}{3x^2}. \end{gather*}

Застосували формули для знаходження похідних ($C$, $\alpha$ - сталі):

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] x'=1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37174

Завдання 54 з 744

Визначте корінь рівняння $4\sqrt{3}\sin x=6.$

А$-\frac{\pi}{6}$

Б$\frac{5\pi}{6}$

В$\frac{4\pi}{3}$

Г$-\frac{\pi}{3}$

Д$\frac{\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{3}\sin x=6;\\[6pt] \sin x=\frac{6}{4\sqrt{3}}. \end{gather*}

Позбудимося ірраціональності в знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\[6pt] \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\pi}{3}=\pi^2n,\ n\in Z;\\[6pt] n=0\Rightarrow x= (-1)^0\frac{\pi}{3}+\pi\cdot 0=\frac{\pi}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37173

Завдання 55 з 744

Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ конуса, висота якого дорівнює радіусу $R.$

А$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\sqrt{2\pi R^3}$

Г$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Д$V=\pi R^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота конуса дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти конуса $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m+a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\frac 13\pi R^2\cdot R=\frac 13\pi R^3=\frac{\pi R^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37172

Завдання 56 з 744

$\dfrac{a^2-25b^2}{10b+2a}=$

А$\frac{a-5b}{2}$

Б$2a-10b$

В$\frac{a+5b}{2}$

Г$2a+10b$

Д$\frac{a-5b}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

\begin{gather*} a^2-25b^2=a^2-5^2b^2=a^2-(5b)^2=(a-5b)(a+5b). \end{gather*}

за формулою різниці квадратів.

У виразі $10b+2a=2(5b+a)$ винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2-25b^2}{10b+2a}=\frac{(a-5b)(a+5b)}{2(5b+a)}=\frac{a-5b}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37171

Завдання 57 з 744

Гончар протягом $60$ хвилин проводить для школярів відеоурок із виготовлення горняток. Він пояснює навчальний матеріал за $12$ хвилин, а решту часу виготовляє горнятка. Скільки всього горняток виготовив гончар за цей відеоурок, якщо одне горнятко він виготовляє за $3$ хвилини?

А$12$

Б$14$

В$10$

Г$18$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо час, протягом якого гончар працював безпосередньо руками. Для цього від загального часу уроку віднімемо час, витрачений на теоретичну частину (пояснення).

\begin{gather*} t=60-12=48\ \text{хв}. \end{gather*}

Щоб знайти загальну кількість виготовлених горняток $(n)$, потрібно час, протягом якого гончар безпосередньо працював ($48$ хв), поділити на час виготовлення одного горнятка ($3$ хв).

\begin{gather*} n=48:3=16\ (\text{горняток}). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37170

Завдання 58 з 744

Визначте число, яке задовольняє систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\gt -2,\\ x\le 9. \end{array}\right. \end{gather*}

А$-3$

Б$-10$

В$10$

Г$6$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\gt -2,\\[7pt] x\le 9. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in (-2; 9].$ З наведених чисел, лише число $6$ належить даному проміжку.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37169

Завдання 59 з 744

Функція $y=f(x)$ визначена на проміжку $(-\infty; +\infty)$ і набуває лише від'ємних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише III та IV

Блише IV

Влише III

Глише I та IV

Длише I

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скероване на вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення $y$ завжди від'ємні, графік функції може перебувати лише там, де $y\lt 0.$ Це нижня частина координатної площини (під віссю $Ox$).

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, $x\in (-\infty; +\infty)$, графік обов'язково буде і в тій зоні, де $x\lt 0$ (це III чверть), і в тій зоні, де $x\gt 0$ (це IV чверть).

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37168

Завдання 60 з 744

$\dfrac{2^5\cdot 5^7}{10^8}=$

А$10^4$

Б$\frac{1}{25}$

В$\frac{1}{40}$

Г$\frac 18$

Д$\frac 58$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{2^5\cdot 5^7}{10^8}=\frac{2^5\cdot 5^7}{(2\cdot 5)^8}=\frac{2^5\cdot 5^7}{2^8\cdot 5^8}=\frac{1}{2^3\cdot 5}=\frac{1}{8\cdot 5}=\frac{1}{40}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником.

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37167

Завдання 61 з 744

Які з наведених тверджень правильні?

I. Точкою перетину довільних хорд одного кола є його центр.

II. Паралельні хорди одного кола мають однакову довжину.

III. Рівні хорди одного кола рівновіддалені від його центра.

Алише IІ

Б лише IІІ

Влише I та II

Глише I та III

Длише IІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Хорда — це відрізок, що сполучає дві будь-які точки кола. Хорди можуть перетинатися в будь-якій точці всередині кола.

Тільки якщо обидві хорди є діаметрами, вони обов'язково перетнуться в центрі. Твердження неправильне.

ІI. Паралельність не гарантує рівність довжин.

Паралельні хорди будуть рівними тільки тоді, коли вони розташовані на однаковій відстані від центра. У загальному випадку це не так. Твердження неправильне.

ІII. Якщо довжини хорд рівні, то перпендикуляри, проведені з центра кола до цих хорд (відстані), також будуть рівними.

Це випливає з рівності трикутників, утворених радіусами та хордами. Твердження правильне.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37166

Завдання 62 з 744

$\log_3 \dfrac{1}{27}=$

А$\frac 19$

Б$\frac 13$

В$-\frac 13$

Г$-3$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N \end{gather*}

і логарифмічні тотожності:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1.\\[6pt] \log_3 \frac{1}{27}=\log_3 \frac{1}{3^3}=\log_3 3^{-3}=-3\cdot \log_3 3=-3\cdot 1=-3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37165

Завдання 63 з 744

Розв'яжіть рівняння $3^x=81\cdot 9^x.$

А$-2$

Б$-4$

В$3$

Г$-3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведемо все до однієї основи: $81=3^4$ та $9=3^2.$

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Тоді $(3^2)^x=3^{2\cdot x}.$

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $3$), можемо прирівняти iз показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37164

Завдання 64 з 744

На діаграмі відображено розподіл $900$ занять, відвіданих студентами в Google Meet, Zoom i Teams. Скориставшись діаграмою, продовжте речення так, щоб утворилось правильне твердження: «Кількість відвіданих занять у Google meet...

Аналежить проміжку $[500; 700]$».

Бменша за $400$».

Вменша, ніж кількість занять у Teams».

Гстановить половину від загальної кількості».

Дудвічі менша за кількість занять у Zoom».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: $900 : 2 = 450.$ Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить $450$ занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom $(450).$ Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet $\approx 300$ занять.

Teams $\approx 150$ занять.

Перевіряємо твердження про Google Meet:

А належить проміжку $[500; 700].$ $300$ не належить заданому проміжку - твердження неправильне.

Б менша за $400.\ 300 \lt 400$ - твердження правильне.

В менша, ніж кількість занять у Teams. $300\lt 150$ - нерівність не виконується, тому твердження неправильне.

Г становить половину від загальної кількості. $300\ne 450$ - твердження неправильне.

Д удвічі менша за кількість занять у Zoom. $450 : 2 = 225 \ne 300$ - твердження неправильне.

Отже, лише твердження «менше від $400$» задовольняє умову.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37163

Завдання 65 з 744

Яке тіло утвориться внаслідок обертання прямокутника навколо однієї зі сторін (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Взрізаний конус

Гпіраміда

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутник навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37162

Завдання 66 з 744

На відрізку $AB$ вибрано точку $C$ так, що $AC:CB=2:3.$ Визначте довжину відрізка $AC$, якщо $CB=12$ см.

А$4$ см

Б$18$ см

В$6$ см

Г$12$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відрізок $AC$ складається з $2$ частин, отже: $AC=2x.$

Відрізок $CB$ складається з $3$ частин, отже: $CB=3x.$

За умовою $CB=12$ см. Тоді

\begin{gather*} 3x=12;\\[7pt] x=4\ \text{см}. \end{gather*}

Підставимо це значення у вираз для $AC{:}$

\begin{gather*} AC=2x=2\cdot 4=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37161

Завдання 67 з 744

За якого значення $a$ сума коренів рівняння $x^2+(a-2)x+28-4a=0$ на $1$ більша від їхнього добутку?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати їхні властивості та досліджувати рівняння з параметрами.

\begin{gather*} x^2+(a-2)x+28-4a=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У цьому завданні $x_1+x_2=-(a-2)$ та $x_1\cdot x_2=28-4a.$

За умовою:

\begin{gather*} x_1+x_2=x_1\cdot x_2+1;\\[7pt] -(a-2)=28-4a+1;\\[7pt] -a+2=29-4a;\\[7pt] -a+4a=29-2;\\[7pt] 3a=27;\\[7pt] a=27:3;\\[7pt] a=9. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути $D\ge 0.$

\begin{gather*} D=(a-2)^2-4\cdot 1\cdot (28-4a). \end{gather*}

Якщо $a=9$, то

\begin{gather*} D=(9-2)^2-4\cdot 1\cdot (28-4\cdot 9)=7^2-4\cdot 1\cdot (28-36);\\[7pt] D=49-4\cdot (-8)=49+32=81. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, корені існують.

Відповідь: $9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37119

Завдання 68 з 744

Осьовий переріз циліндра – прямокутник, діагональ якого дорівнює $24$ та утворює з площиною основи кут $30^\circ.$ Визначте об'єм $V$ цього циліндра. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

1296

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу $(AC)$ ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута $30^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} CD=AC:2=24:2=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, висота циліндра $H=CD=12$ см.

2. $\cos A=\frac{AD}{AC}$;

\begin{gather*} \cos 30^\circ=\frac{AD}{24};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{24};\\[6pt] AD=\frac{\sqrt{3}\cdot 24}{2}=12\sqrt{3}\ \text{см}\ (\text{діаметр основи}\ d=AD);\\[6pt] d=2R;\\[6pt] R=\frac d2=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра визначмо за формулою $V=\pi R^2H{:}$

\begin{gather*} V=\pi\cdot (6\sqrt{3})^2\cdot 12=\pi\cdot 6^2\cdot 3\cdot 12=36\cdot 36\cdot \pi=1296\pi\ \text{см}^3.\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{1296\pi}{\pi}=1296\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1296.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37118

Завдання 69 з 744

З трьох хлопців і трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі за допомогою комбінацій (сполук).

Формуючи музичний квартет (групу виконавців), ми зважаємо лише на склад учасників. Оскільки порядок вибору не має значення, використовуємо формулу для обчислення кількості комбінацій із $n$ елементів по $k{:}$

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Треба обрати $4$ учасників із $6$ можливих ($3$ дівчини та $3$ хлопці) без урахування порядку. Отже:

\begin{gather*} C_6^4=\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\cdot (1\cdot 2)}=\frac{5\cdot 6}{1\cdot 2}=5\cdot 3=15. \end{gather*}

Відповідь: $15.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37117

Завдання 70 з 744

Задано функцію $f(x)=6\sqrt{x}-\frac{16}{x}+\ln 2.$ Обчисліть $f'(4).$

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію $f(x)$ у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\ a\gt 0, m\in Z, n\in N, n\ge 2;\\[6pt] \sqrt{x}=x^{\frac 12};\\[6pt] \frac 1x=x^{-1}. \end{gather*}

Зауважмо, що $\ln 2$ – це стале число (константа), оскільки вираз не містить змінної $x.$

Отже, функцію $f(x)$ можна записати у вигляді:

\begin{gather*} f(x)=6x^{\frac 12}-16x^{-1}+\ln 2. \end{gather*}

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^{\alpha})'=\alpha x^{a-1};\\[6pt] f'(x)=6\cdot \frac 12x^{\frac 12-1}-16\cdot (-1)x^{-1-1}+0;\\[6pt] f'(x)=3x^{-\frac 12}+16x^{-2};\\[6pt] f'(x)=3\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+16\cdot \frac{1}{x^2};\\[6pt] f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної, підставивши $x=4$ в отриманий вираз:

\begin{gather*} f'(4)=\frac{3}{\sqrt{4}}+\frac{16}{4^2}=\frac 32+\frac{16}{16}=1{,}5+1=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37116

Завдання 71 з 744

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точку $O$ так, що $BO\ ||\ CD$ (див. рисунок). $CO$ – висота трапеції, $BC=6$ см, $CD=10$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OD$

2$CO$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. $BC\ ||\ AD$ (за означенням трапеції), а за умовою $BO\ ||\ CD.$ Чотирикутник $BODC$ – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

\begin{gather*} OD=BC=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$ ($\angle COD=90^\circ$, оскільки $CO$ – висота).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CO^2+OD^2=CD^2;\\[7pt] CO^2+6^2=10^2;\\[7pt] CO^2=100-36=64;\\[7pt] CO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин $B$ і $C$, відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту $BK$ з точки $B$, то $AK=OD=6$ см.

Також $KO=BC=6$ см. Отже, довжина основи

\begin{gather*} AD=AK+KO+OD=6\ \text{см} + 6\ \text{см} + 6\ \text{см} = 18\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} L=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6\ \text{см}+18\ \text{см}}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37115

Завдання 72 з 744

У прямокутній системі координат на площині зображено ламану $ABCDA$ (див. рисунок). Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка з ламаною $ABCDA.$

Функція

1$y=\frac{\pi}{2}$

2$y=\cos x$

3$y=x^2+1$

Кількість спільних точок

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дбезліч

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. $y=\frac{\pi}{2}.$ Це горизонтальна пряма, що проходить через значення $y\approx \frac{3{,}14}{2}\approx 1{,}57.$ Оскільки $1{,}57\gt 1$, пряма $y=\frac{\pi}{2}$ пройде вище від прямокутника $ABCD$ й не перетне його в жодній точці.

Отже, правильна відповідь – A.

2. $y=\cos x.$ Графік косинуса перетинає бічні сторони прямокутника та дотикається його верхньої межі в одній точці. Отже, графік і прямокутник мають три спільні точки.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=x^2+1.$ Оскільки графіком функції $y=x^2+1$ є парабола з вершиною в точці $(0; 1)$, вітки якої спрямовані вгору, то вона має лише одну спільну точку з прямою (або межею прямокутника).

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37114

Завдання 73 з 744

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n\gt 0.$

Початок речення

1Якщо $|-n|=a$, то

2Якщо $(n-2)(n+1)-n^2=a$, то

3Якщо $2^{-\lg n}=2^{\lg a}$, то

Закінчення речення

А$a=-n-2.$

Б$a=\frac 1n.$

В$a=n.$

Г$a=-2.$

Д$a=-n.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо $|-n|=a$, то...

За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою $n\gt 0$, тож $|-n| =n$, тому $a=n.$

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо $(n-2)(n+1)-n^2=a$, то...

\begin{gather*} (n-2)(n+1)-n^2=n^2+1n-2n-2-n^2=-n-2;\\[7pt] a=-n-2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

3. Якщо $2^{-\lg n}=2^{\lg a}$, то...

Оскільки основи степенів однакові $(2)$, можна прирівняти показники:

\begin{gather*} -\lg n=\lg a. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \lg n^{-1}=\lg a;\\[7pt] n^{-1}=a. \end{gather*}

Оскільки $n^{-1}=\frac 1n$, то $\frac 1n=a.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37113

Завдання 74 з 744

Визначте корінь рівняння $2\sqrt{3}\cos x=3.$

А$-\frac{\pi}{6}$

Б$\frac{5\pi}{6}$

В$\frac{4\pi}{3}$

Г$-\frac{\pi}{3}$

Д$\frac{\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sqrt{3}\cos x=3;\\[6pt] \cos x=\frac{3}{2\sqrt{3}}. \end{gather*}

Усуньмо ірраціональність у знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0$, $x=\pm \frac{\pi}{6}.$

Оскільки функція косинус парна, то

\begin{gather*} \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Отже, $-\frac{\pi}{6}$ – корінь рівняння.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37112

Завдання 75 з 744

Обчисліть $0{,}25^{\log_{0{,}5}4}.$

А$16$

Б$0{,}5$

В$0{,}25$

Г$4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

\begin{gather*} 0{,}25^{\log_{0{,}5} 4}=0{,}5^{2\log_{0{,}5} 4}=0{,}5^{\log_{0{,}5} 4^2}=0{,}5^{\log_{0{,}5} 16}=16. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37111

Завдання 76 з 744

В арифметичній прогресії $(a_n){:}\ a_1=4$, $a_3=9.$ Визначте різницю $d$ прогресії.

А$d=-2,5$

Б$d=6,5$

В$d=5$

Г$d=2,5$

Д$d=-5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$-перших членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_3=a_1+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+4=9;\\[7pt] 2d=9-4;\\[7pt] 2d=5;\\[7pt] d=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37110

Завдання 77 з 744

Розкладіть на множники вираз $(7x-1)^2-9x^2.$

А$(4x-1)(10x-1)$

Б$(4x-1)(10x+1)$

В$(10x-1)^2$

Г$(4x-1)^2$

Д$(-2x-1)(16x-1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення різниця квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b).\\[7pt] (7x-1)^2-9x^2=(7x-1)^2-3^2x^2=(7x-1)^2-(3x)^2=\\[7pt] =(7x-1-3x)\cdot (7x-1+3x)=(4x-1)(10x-1). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37109

Завдання 78 з 744

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $K$ та $N$, що лежать на координатній осі $y$ (див. рисунок). Визначте можливі координати вектора $\overrightarrow{KN}.$

А$(0; 0; 4)$

Б$(4; 0; 0)$

В$(0; 4; 0)$

Г$(4; -4; 0)$

Д$(0; -4; 0)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки $K$ та $N$ лежать на осі $y.$ Це означає, що їхні координати по осях $x$ та $z$ дорівнюють нулю:

\begin{gather*} K(0; y_K; 0);\\[7pt] N(0; y_N; 0). \end{gather*}

Координати векторa $\overrightarrow{KN}$, який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця $(N)$ і початку $(K){:}$

\begin{gather*} \overrightarrow{KN}(0-0; y_N-y_K; 0-0);\\[7pt] \overrightarrow{KN}(0; y_N-y_K; 0). \end{gather*}

У вектора, що лежить на осі $y$, перша та третя координати мають бути нулями.

Вектор напрямлений від $K$ до $N$, тобто в додатному напрямку осі $y.$ Це означає, що ордината y вектора має бути додатною $(y_N-y_K\gt 0).$

Серед запропонованих варіантів лише вектор $(0; 4; 0)$ лежить на осі $Oy$ і має додатний напрямок.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37108

Завдання 79 з 744

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0=$

А$-2$

Б$2$

В$4$

Г$12$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння, їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо обидві частини першого рівняння на $2y$, щоб позбутися знаменника:

\begin{gather*} x=-3\cdot 2y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо $x=-6y$ у друге рівняння:

\begin{gather*} -6y+y=10;\\[7pt] -5y=10;\\[7pt] y=-2. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=-6y=-6\cdot (-2)=12. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел $(12; -2).$

$x_0=12.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37107

Завдання 80 з 744

Які твердження правильні?

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює $120^\circ.$

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за $60^\circ.$

А лише I та III

Блише IІ

В лише I та ІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута $180^\circ.$ Його половина – це $90^\circ.$ У прямокутному трикутнику один кут прямий $(90^\circ)$, а сума двох гострих кутів також дорівнює $90^\circ.$ Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника $180^\circ$, то градусна міра кожного кута дорівнює: $180^\circ : 3 = 60^\circ.$ Сума будь-яких двох кутів: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.$ Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за $60^\circ$, то їхня сума більша за $180^\circ$ (наприклад, $61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ$). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює $180^\circ.$ Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37106

Завдання 81 з 744

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-5; 5].$

Множину точок локального максимуму цієї функції наведено у варіанті відповіді

А$-2; 1$

Б$7$

В$5$

Г$6$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента $x$, за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначимо найвищу точку на локальному згині графіка (у місці, де зростання функції змінюється на спадання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі .

Отже, $x_0=-2$ – точка локального максимуму заданої функції.

Важливо: точка $x=1$ – це точка локального мінімуму, а не максимуму. Точки на кінцях проміжку $( x=-5$ та $x=5)$ не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання).

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37105

Завдання 82 з 744

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює $a$, а висота – $3a.$

А$V=a^3$

Б$V=3a^3$

В$V=4a^3$

Г$V=\frac{a^3}{3}$

Д$V=9a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей призми.

Об'єм призми визначаємо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною $a$, тож його площа:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

За умовою задачі висота $H=3a.$

Отже,

\begin{gather*} V=a^2\cdot 3a=3a^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37104

Завдання 83 з 744

$\dfrac{5^3\cdot 2^4}{4^3\cdot 5^2}=$

А$\frac 12$

Б$\frac{2}{5}$

В$\frac 52$

Г$1$

Д$\frac 54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення і властивостей степеня з натуральним показником.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] \frac{5^3\cdot 2^4}{4^3\cdot 5^2}=\frac{5^3\cdot 2^4}{(2^2)^3\cdot 5^2}=\frac{5^3\cdot 2^4}{2^6\cdot 5^2}=\frac{5^1}{2^2}=\frac 54. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37103

Завдання 84 з 744

Два кола із центрами в точках $O$ i $O_1$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють $2$ см і $10$ см.

А$6$ см

Б$4$ см

В$12$ см

Г$9$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів.

За умовою:

\begin{gather*} r=2\ \text{см};\\[7pt] R=10\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів цих кіл:

\begin{gather*} OO_1=r+R=2\ \text{см}+10\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37102

Завдання 85 з 744

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^x=\dfrac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \end{gather*}

Перетворімо дріб:

\begin{gather*} \frac 18=\frac{1}{2^3}=2^{-3}. \end{gather*}

Маємо рівняння:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3}. \end{gather*}

Оскільки основи степенів однакові $(2)$, прирівнюємо показники:

\begin{gather*} x=-3 \end{gather*}

Корінь рівняння $-3$ належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37101

Завдання 86 з 744

У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло $145$ дзвінків, а за другу годину – на $17$ дзвінків більше. Скільки всього надійшло дзвінків на телефон гарячої лінії за дві години роботи?

А$307$

Б$287$

В$273$

Г$290$

Д$162$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо, скільки дзвінків надійшло за другу годину.

За умовою, це на $17$ більше, ніж за першу:

\begin{gather*} 145+17=162\ (\text{дзвінки}). \end{gather*}

Тепер знайдемо загальну кількість дзвінків за дві години:

\begin{gather*} 145+162=307\ (\text{дзвінків}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37100

Завдання 87 з 744

На рисунку зображено прямі, що перетинаються. Визначте градусну міру кута $\beta$, якщо $\alpha=25^\circ.$

А$145^\circ$

Б$155^\circ$

В$115^\circ$

Г$65^\circ$

Д$165^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Суміжні кути.

Завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення і властивість суміжних кутів.

Кути $\alpha$ та $\beta$ суміжні, оскільки мають спільну сторону, а інші їхні сторони є доповняльними променями. Сума суміжних кутів завжди дорівнює $180^\circ.$ Тому

\begin{gather*} \beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37099

Завдання 88 з 744

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте загальну кількість глядачів, які відвідали білу і зелену зали кінотеатру.

А$80$

Б$65$

В$70$

Г$90$

Д$75$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній та текстовій формах.

Згідно з діаграмою стовпчик «біла» досягає позначки $55$ на вертикальній осі «Кількість глядачів», стовпчик «зелена» – позначки $20.$

Обчислімо суму:

\begin{gather*} 55+20=75. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37098

Завдання 89 з 744

Обчисліть суму всіх цілих значень параметра $a$, за яких один корінь рівняння $2x^2-(4a+9)x+6a+9=0$ належить проміжку $(-8; 0)$, а другий – проміжку $(1; 5).$

Впишіть відповідь:

-14

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

$ax^2+bx+c=0$, де $a$, $b$, $c$ – коефіцієнти квадратного рівняння.

$D=b^2-4ac$ – дискримінант.

Якщо $D\gt 0$, то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні $2x^2-(4a+9)x+6a+9=0$ маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a+9);\\[7pt] c_\text{коеф.}=6a+9. \end{gather*}

Обчислімо дискримінат заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a+9))^2-4\cdot 2\cdot (6a+9);\\[7pt] D=(16a^2+72a+81)-8(6a+9);\\[7pt] D=16a^2+72a+81-48a-72;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} x_1=\frac{(4a+9)-(4a+3)}{4}=\frac{4a+9-4a-3}{4}=\frac 64=1{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{(4a+9)+(4a+3)}{4}=\frac{8a+12}{4}=\frac{4(2a+3)}{4}=2a+3. \end{gather*}

За умовою задачі перший корінь належить проміжку $(-8; 0)$, а другий – проміжку $(1; 5).$

$x_1=1{,}5$ належить проміжку $(1; 5).$

Отже, $x_2=2a+3$ має належати проміжку $(-8; 0).$

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -8\lt 2a+3\lt 0;\\[7pt] -8-3\lt 2a\lt 0-3;\\[7pt] -11\lt 2a\lt -3;\\[6pt] \frac{-11}{2}\lt a\lt \frac{-3}{2};\\[6pt] -5{,}5\lt a\lt -1{,}5. \end{gather*}

Тобто $a\in (-5{,}5; -1{,}5).$

Цілі числа, які належать цьому проміжку: $\{-5$, $-4$, $-3$, $-2\}.$

У відповіді запишімо їхню суму:

\begin{gather*} -5+(-4)+(-3)+(-2)=-14. \end{gather*}

Відповідь: $-14.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36923

Завдання 90 з 744

Основою прямої призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $6$ і $6\sqrt{3}.$ Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Обчисліть площу бічної поверхні призми.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, катетами якого є половини діагоналей:

\begin{gather*} CO=3\sqrt{3};\\[7pt] DO=3. \end{gather*}

За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу (сторону ромба):

\begin{gather*} CD=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6. \end{gather*}

Більша діагональ $A_1C$ призми утворює прямокутний трикутник $CAA_1$ $(\angle A=90^\circ)$ з більшою діагоналлю основи $(AC=6\sqrt{3})$ і висотою призми.

Оскільки кут нахилу $30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)$, то

\begin{gather*} H=AC\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6. \end{gather*}

Формула бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4\cdot CD=4\cdot 6=24;\\[7pt] S_\text{біч}=24\cdot 6=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36922

Завдання 91 з 744

У магазині електроніки можна придбати оптичні диски $20$ різних брендів. Юлія планує купити в цьому магазині по одному диску трьох різних брендів. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1140

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Оскільки Юля купує диски різних брендів і порядок, у якому вона кладе їх у кошик, не має значення, скористаймося формулою комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!},\ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n=n!\\[6pt] C_{20}^3=\frac{20!}{3!\cdot (20-3)!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1}=20\cdot 19\cdot 3=1140. \end{gather*}

Відповідь: $1140.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36921

Завдання 92 з 744

Графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $(-\infty; +\infty)$, паралельний осі $x$ (див. рисунок). Площа зафарбованої фігури дорівнює $8$ кв. од. Обчисліть $\mathop{\int}\limits_{-3}^{3} f(x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-16

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Зафарбована фігура – прямокутник. Його основа лежить на осі $Ox$ від $-3$ до $0.$

Довжина основи $a=3$

Площа прямокутника \begin{gather*} S=a\cdot b, \end{gather*} де $a$ - ширина, $b$ - висота.

За умовою $S = 8.$

Звідси висота (відстань від осі $Ox$ до графіка) дорівнює $\frac 83.$

Оскільки графік розташований нижче від осі $Ox$, значення функції від'ємне: \begin{gather*} f(x)=-\frac 83. \end{gather*}

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він дорівнює різниці площі фігури над віссю $Ox$ і площі фігури під віссю $Ox.$ Весь проміжок інтегрування — від $-3$ до $3.$

Оскільки функція $f(x)=-\frac 83$ є сталою на всьому проміжку, шукаймо інтеграл від сталої:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-3}^3 \left(-\frac 83\right)\ dx=-\frac 83\cdot x\left|_{-3}^3\right.=-\frac 83\cdot 3-\left(-\frac 83\right)\cdot (-3)=\\[6pt] =-\frac{8\cdot 3}{3}-\frac{8\cdot 3}{3}=-8-8=-16. \end{gather*}

Відповідь: $-16.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36920

Завдання 93 з 744

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $AB=BC=CD=6$ см, діагональ $AC$ утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1основа $AD$

2висота трапеції $ABCD$

3діагональ $AC$

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$6\ \text{см}$

В$3\sqrt{3}\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$3\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа $AD{:}$ оскільки $BC\ ||\ AD$, то внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$ $\Delta ABC$ — рівнобедрений $(AB=BC=6)$, тому $\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.$

Отже, у трапеції

\begin{gather*} \angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож $\angle D=60^\circ.$

Розгляньмо $\Delta ACD{:}$

\begin{gather*} \angle CAD=30^\circ;\\[7pt] \angle D=60^\circ \Rightarrow \angle ACD=90^\circ. \end{gather*}

У прямокутному $\Delta ACD$ катет $CD=6$ і лежить навпроти кута $30^\circ$, тому гіпотенуза

\begin{gather*} AD=2\cdot CD=2\cdot 6\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту $CH.$ У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ$, $\angle D=60^\circ){:}$

\begin{gather*} CH=CD\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. Діагональ $AC{:}$ у прямокутному $\Delta ACD$

\begin{gather*} AC=AD\cdot \cos 30^\circ=12\ \text{см}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36919

Завдання 94 з 744

Доберіть до функції (1–3) властивість (А – Д) її графіка.

Функція

1$y=\frac 4x$

2$y=\sin x$

3$y=\log_{0{,}5} x$

Властивість графіка функції

Ане перетинає осі $x$

Бперетинає вісь $x$ у точці з абсцисою $1$

Вдвічі перетинає графік функції $y=(x-1)^2$

Гсиметричний відносно осі $y$

Дрозміщений лише в першій і другій координатних чвертях

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція $y=\frac 4x$ має графік гіперболу. Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки $x\ne 0$, то й $y\ne 0.$

Отже, 1 – A.

2. Для функції $y=\sin x$ область значень $[-1; 1].$ Її рафік симетричний відносно початку координат (непарна функція). Графік $y=(x-1)^2$ – парабола з вершиною в $(1; 0).$ Синусоїда перетинає її двічі.

Отже, 2 – B.

3. Функція $y=\log_{0{,}5} x$ логарифмічна. Якщо $x=1$, то $y=\log_{0{,}5} 1=0.$

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36918

Завдання 95 з 744

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д).

Вираз

1$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$

2$|3-\sqrt{10}|$

3$\log_5 125$

Тотожно рівний вираз

А$\sqrt{10}-3$

Б$3-\sqrt{10}$

В$\sqrt{10}+3$

Г$3$

Д$25$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних виразів, уміння використовувати властивості модуля числа.

Спростимо вирази:

1. – В.

\begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3. \end{gather*}

2. – A.

\begin{gather*} |3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3. \end{gather*}

Вираз $3-\sqrt{10}\lt 0,$ тому

\begin{gather*} |3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}. \end{gather*}

3. – Г.

\begin{gather*} \log_5125=\log_55^3=3\log_55=3. \end{gather*}

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36917

Завдання 96 з 744

За якою формулою визначають площу $S$ повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої та апофема дорівнюють $a$?

А$S=a^3$

Б$S=6a^2$

В$S=3a^2$

Г$S=5a^2$

Д$S=2a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=S_\text{біч}+S_\text{осн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot a+S_\text{осн}. \end{gather*}

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2;\\[7pt] P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює $a$ за умовою.

Отже,

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot 4a\cdot a+a^2=\frac 42a^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36916

Завдання 97 з 744

Який вираз тотожно рівний виразу $(\cos x-\sin x)^2$?

А$\cos 2x$

Б$1$

В$\cos 2x-\sin 2x$

Г$\cos 2x-1$

Д$1-\sin 2x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростiмо вираз за формулою квадрата різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] (\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=\\[7pt] =(cos^2 x+\sin^2 x)-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x. \end{gather*}

Застосували основну тригонометричну тотожність $\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1$ і формулу подвійного кута $\sin 2x=2\sin x\cos x.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36915

Завдання 98 з 744

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{3}{x+y}=-\frac 12,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$16$

Б$2$

В$-10$

Г$-8$

Д$-16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додаванням отриману систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=12. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6+12;\\[7pt] 3x=6;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо $x=2$ у перше рівняння:

\begin{gather*} 2+y=-6;\\[7pt] y=-8. \end{gather*}

$(2; -8)$ – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-8)=-16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36914

Завдання 99 з 744

Визначте вираз для похідної функції $f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4.$

А$f'(x)=x^3-\frac 1x$

Б$f'(x)=6x+\frac 1x+4$

В$f'(x)=6x+\frac{2}{x^3}$

Г$f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}$

Д$f'(x)=x^3-\frac 1x+4x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз $\frac{2}{x^2}$ за властивістю степенів $a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}$

\begin{gather*} \frac{2}{x^2}=2\cdot \frac{1}{x^2}=2x^{-2}. \end{gather*}

Скористаймося правилом диференціювання суми $(u + v)'=u'+v'$ і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36913

Завдання 100 з 744

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, у якого менша діагональ дорівнює стороні.

II. Висота будь-якого ромба більша за його сторону.

III. Діагональ будь-якого ромба ділить ромб на два рівні трикутники.

Алише I

Блише IІІ

Влише II та ІІІ

Глише I та III

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює $60^\circ$, то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36912

Завдання 101 з 744

У під'їзді дев'ятиповерхового будинку на кожному поверсі розташовано по $4$ квартири. На якому поверсі квартира № 27, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А$5$

Б$6$

В$7$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Поділімо номер квартири на кількість квартир на поверсі:

\begin{gather*} 27:4=6\ (\text{остача}\ 3). \end{gather*}

Це означає, що $6$ поверхів повністю заповнені (це $6\cdot 4 = 24$ квартири), а квартира №27 розташована на наступному, сьомому поверсі.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36911

Завдання 102 з 744

Розв'яжіть нерівність $\log_{0{,}7} x\gt 1.$

А$(0{,}7; +\infty)$

Б$(-\infty; 0{,}7)$

В$(1; +\infty)$

Г$(0{,}7; 1)$

Д$(0; 0{,}7)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_{0{,}7}\gt 1. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} \log_{0{,}7}x\gt \log_{0{,}7} 0{,}7. \end{gather*}

Функція $y=\log_{0{,}7}x$ спадна, тому $x\lt 0{,}7.$

Логарифмічна функція має область визначення $x\gt 0.$

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt 0{,}7\\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $x\in (0; 0{,}7).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36910

Завдання 103 з 744

У прямокутній системі координат на площині задано точки $A$ та $B$ (див. рисунок). Визначте відстань між цими точками.

А$\sqrt{5}$

Б$25$

В$\sqrt{13}$

Г$5$

Д$\sqrt{17}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

Визначмо координати точок за рисунком: $A(-1; -1)$ і $B(3; 2).$

Обчислімо відстань між цими точками за формулою:

\begin{gather*} \left |AB\right |=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\\[7pt] \left |AB\right |=\sqrt{(3-(-1))^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(3+1)^2+(2+1)^2}=\\[7pt] =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36909

Завдання 104 з 744

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ У яких чвертях розташований графік функції $y=f(x+3)$?

Алише в І та ІІ

Бв усіх чвертях

Влише в ІI та IІІ

Глише в І, ІІ та ІІІ

Длише в І та IV

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції $f(x + a)$ треба графік функції $f(x)$ перенести вздовж осі $Ox$ на $a$ одиниць вправо, якщо $a\lt 0$, і на $a$ одиниць вліво, якщо $a\gt 0.$

Отже, для побудови графіка функції $f(x+3)$ треба перемістити графік функції $f(x)$ на $3$ одиничні відрізки вліво вздовж осі $Ox.$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36908

Завдання 105 з 744

Обчисліть $\left|2\cdot \left(-\frac 56\right)\right|.$

А$-\frac 53$

Б$\frac{12}{5}$

В$\frac 12$

Г$\frac 53$

Д$-\frac 12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left |2\cdot\left(-\frac 56\right)\right |=\left |\frac 21\cdot \left(-\frac 56\right)\right |=\left |-\frac{2\cdot 5}{1\cdot 6}\right |=\left |-\frac{10}{6}\right |=\left |-\frac 53\right |=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36907

Завдання 106 з 744

Розв'яжіть рівняння $3\sqrt{x}=12.$

А$2$

Б$4$

В$-2; 2$

Г$16$

Д$8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 3\sqrt{x}=12;\\[6pt] \sqrt{x}=\frac{12}{3};\\[6pt] \sqrt{x}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=4^2;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36906

Завдання 107 з 744

Основа трикутної піраміди – рівнобедрений прямокутний трикутник із катетом $a.$ Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ цієї піраміди, якщо її висота дорівнює катету основи.

А$V=\frac{a^3}{3}$

Б$V=\frac{a^3}{2}$

В$V=\frac{a^3}{4}$

Г$V=\frac{a^3}{6}$

Д$V=a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \frac 12a^2\cdot a=\frac 16\cdot \frac{a^3}{1}=\frac{a^3}{6}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36905

Завдання 108 з 744

З точки $O$, яка лежить на прямій $AB$, проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM=30^\circ$, $\angle MOK=80^\circ$. Визначте градусну міру кута $AOK$. Уважайте, що промені $OK$, $OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.

А$50^\circ$

Б$60^\circ$

В$80^\circ$

Г$70^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\begin{gather*} \angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ;\\[7pt] \angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36904

Завдання 109 з 744

Залежність заряду акумуляторної батареї смартфона від часу заряджання відображено на графіку (див. рисунок). За графіком визначте заряд акумуляторної батареї через $20$ хв після початку заряджання.

А$40\ \%$

Б$20\ \%$

В$30\ \%$

Г$80\ \%$

Д$100\ \%$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

Аналізуючи графік бачимо, що через $20$ хв після початку заряджання рівень заряду акумулятора становитиме $30\ \%.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36903

Завдання 110 з 744

Скільки всього цілих чисел містить інтервал $(-2{,}07; 15{,}9)$?

А$19$

Б$15$

В$13$

Г$17$

Д$18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишімо подвійною нерівністю: \begin{gather*} -2{,}07\lt x\lt 15{,}9. \end{gather*}

Першим цілим числом, яке більше за $-2{,}07$, є $-2.$ Останнім цілим числом, яке менше за $15{,}9$, є $15.$

Кількість цілих чисел:

від $1$ до $15$ – це п`ятнадцять чисел;
число $0$ – це ще одне число;
числа $-1$ та $-2$ – це ще два числа.

Всього: $15 + 1 + 2 = 18.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36902

Завдання 111 з 744

За якого значення параметра $a$ сума квадратів коренів рівняння $x^2-8x+4a-1=0$ дорівнює $38$?

Впишіть відповідь:

3.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У цьому завданні $x_1+x_2=8$ та $x_1\cdot x_2=4a-1.$

Треба визначити $x_1^2+x_2^2.$ Використаймо формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2. \end{gather*}

Звідси:

\begin{gather*} x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \end{gather*}

За умовою сума квадратів дорівнює $38{:}$

\begin{gather*} 8^2-2(4a-1)=38;\\[7pt] 64-8a+2=38;\\[7pt] 66-8a=38;\\[7pt] -8a=38-66;\\[7pt] -8a=-28;\\[6pt] a=\frac{28}{8}=3{,}5. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути $D\ge 0.$

\begin{gather*} D=(-8)^2-4(4a-1)=64-16a+4=68-16a. \end{gather*}

Якщо $a=3{,}5$, то

\begin{gather*} D=68-16\cdot (-3{,}5)=68-56=12. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, корені існують.

Відповідь: $3{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36611

Завдання 112 з 744

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $260.$ Обчисліть об'єм $V$ призми. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\sqrt{3}}.$

Впишіть відповідь:

1200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot 0{,}5;\\[7pt] BD^2=64+225-12=169;\\[7pt] BD=13\ (\text{см}). \end{gather*}

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами $BB_1D_1D.$ Сторона $BD=13$ см, а висота $DD_1=H.$ Його площа за умовою дорівнює $260$ см$^2{:}$

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу основи призми (паралелограма $ABCD$) за формулою $S=ab\sin \gamma{:}$

\begin{gather*} S_\text{осн}=8\cdot 15\cdot \sin 60^\circ=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити $\frac{V}{\sqrt{3}}{:}$

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1200.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36610

Завдання 113 з 744

Софія бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $10$ різних листівок такої тематики. Для кожного із чотирьох адресатів Софія вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Софії способів такого вибору, якщо вона надсилатиме всі листівки в конвертах одного кольору?

Впишіть відповідь:

10080

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Софія має $10$ різних листівок, їй потрібно вибрати по одній для $4$ різних адресатів.

Оскільки адресати різні, порядок вибору має значення. Кількість способів вибрати $4$ листівки з $10$ листівок та розподілити їх між $4$ різними адресатам обчислюємо за формулою розміщення $m$ елементів з $n$ можливих:

\begin{gather*} A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}.\\[6pt] A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040. \end{gather*}

Всі листівки надсилаються в конвертах одного кольору: або всі жовті або всі сині. Тобто всього є два варіанти.

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 5040\cdot 2=10080. \end{gather*}

Відповідь: $10080.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36609

Завдання 114 з 744

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^{e^3} \frac{dx}{6x}.$

Впишіть відповідь:

0.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^3}\ \frac{dx}{6x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac{1}{6x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 16\cdot \frac 1x\ dx=\frac 16\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 1x\ dx=\frac 16(\ln|x|)|_1^{e^3}=\\[6pt] =\frac 16(\ln(e^3)-\ln 1)=\frac 16(3-0)=\frac 16\cdot 3=\frac 36=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: $0{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36608

Завдання 115 з 744

У рівнобічній трапеції $ABCD$ діагоналі $AC$ i $BD$ взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці $O$, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $BO=6\sqrt{2}$ см, $KM=12$ см (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2$AD$

3висота трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$12$ см

Б$15$ см

В$18$ см

Г$21$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники $AOD$ та $BOC$, утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки $AC=BD$, діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: $AO=OD$ та $BO=OC$). Отже, $BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.$

У прямокутному трикутнику $BOC$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BC^2=BO^2+OC^2;\\[7pt] BC^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2+36\cdot 2=72+72=144;\\[7pt] BC=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. За умовою, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $KM=12$ см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

\begin{gather*} AD=2\cdot KM=2\cdot 12\ \text{см}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Висота $h$ трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників $AOD$ та $BOC$).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота $\Delta BOC{:}$

\begin{gather*} h_1=\frac{BC}{2}=\frac{12\ \text{см}}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Висота $\Delta AOD{:}$

\begin{gather*} h_2=\frac{AD}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції:

\begin{gather*} h=h_1+h_2=6\ \text{см}+12\ \text{см}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36607

Завдання 116 з 744

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=x-2$

2Функція $y=x^3$

3Функція $y=\cos x$

Закінчення речення

Ає парною.

Бмає спільну точку з графіком функції $y=\log_{0{,}5}(x+1)$ у точці з абсцисою $x_0=0.$

Внабуває від'ємного значення за $x=1.$

Гмає область визначення $[-1; 1].$

Дспадає на проміжку $(-\infty; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. $y=x-2$

За $x=1$ маємо $y=1-2=-1.$

Оскільки $-1\lt 0$, функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. $y=x^3$

Обчислімо значення в точці $x=0.$

Для $y=x^3{:}$ \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для $y=\log_{0{,}5}(x+1){:}$

\begin{gather*} y(0)=\log_{0{,}5}(0+1)=\log_{0{,}5} 1=0. \end{gather*}

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку $(0; 0).$

Отже, 2 – Б.

3. $\cos x$

Функція є парною $\cos(-x)=\cos x$, тому її графік симетричний відносно осі $Oy.$

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36606

Завдання 117 з 744

Доберіть на координатній прямій (див. рисунок) до виразу (1–3) точку (А – Д), координатою якої є значення цього виразу за $a=0{,}5.$

Вираз

1$|a-2{,}5|$

2$a^0$

3$\log_2 a$

Точка

А$K$

Б$L$

В$M$

Г$N$

Д$P$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення (модуль, степінь, логарифм) математичних виразів і визначати положення отриманих чисел на координатній прямій.

1. За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |0{,}5-2{,}5|=|-2|=2. \end{gather*}

Числу $2$ на прямій відповідає точка $P.$

Отже, 1 – Д.

2. $0{,}5^0=1.$ Числу $1$ на прямій відповідає точка $N.$

Отже, 2 – Г.

3. За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_2 0{,}5=\log_2 \frac 12=\log_2 2^{-1}=-1\log_2 2=-1. \end{gather*}

Числу $-1$ на прямій відповідає точка $L.$

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36605

Завдання 118 з 744

У магазині канцтоварів ручка коштує $5$ грн, а набір із двох ручок – $9$ грн. Яку найбільшу кількість таких ручок можна купити в цьому магазині на суму до $61$ грн?

А$13$

Б$9$

В$10$

Г$11$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує $9$ гривень. На $61$ гривню можна купити $6$ наборів. На це буде витрачено $54$ гривні. На $7$ гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за $5$ гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити – $13.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36604

Завдання 119 з 744

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $O(0; 0; 0).$ Від якої точки відстань до точки $O$ найменша?

А$(0; 4; 0)$

Б$(0; 3; -4)$

В$(-5; 0; 0)$

Г$(1; 3; 0)$

Д$(3; 0; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань $d$ від точки з координатами $(x; y; z)$ до початку координат $(0; 0; 0)$ обчислюють за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \end{gather*}

A $(0; 4; 0){:}$

\begin{gather*} d^2=0^2+4^2+0^2=16;\\[7pt] d=\sqrt{16}=4. \end{gather*}

Б $(0; 3; -4){:}$

\begin{gather*} d^2=0^2+3^2+(-4)^2=9+16=25;\\[7pt] d=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

B $(-5; 0; 0){:}$

\begin{gather*} d^2=(-5)^2+0^2+0^2=25;\\[7pt] d=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Г $(1; 3; 0){:}$

\begin{gather*} d^2=1^2+3^2+0^2=1+9=10;\\[7pt] d=\sqrt{10}\approx 3{,}16\ -\ \text{найменша відстань}. \end{gather*}

Д $(3; 0; -3){:}$

\begin{gather*} d^2=3^2+0^2+(-3)^2=9+9=18;\\[7pt] d=\sqrt{18}\approx 4{,}24. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36603

Завдання 120 з 744

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2^{3x-y}=2^7,\\ 2x+y=3. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$2$

Б$-2$

В$-1$

Г$-3$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} 3x-y=7. \end{gather*}

Маємо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3x-y=7,\\ 2x+y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

\begin{gather*} (3x-y)+(2x+y)=7+3;\\[7pt] 5x=10;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо значення $x=2$ у друге рівняння системи й визначмо $y{:}$

\begin{gather*} 2\cdot 2+y=3;\\[7pt] 4+y=3;\\[7pt] y=3-4;\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Тобто $(2; -1)$ – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1)=-2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36602

Завдання 121 з 744

$\frac{a^2 - 4b^2}{3a + 6b}=$

А$\frac{a+2b}{3}$

Б$\frac{a-2b}{3}$

В$3a-6b$

Г$\frac{3}{a-2b}$

Д$\frac{3}{a+2b}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b). \end{gather*}

У виразі $3a+6b=3(a+2b)$ винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2-4b^2}{3a+6b}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{3(a+2b)}=\frac{a-2b}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36601

Завдання 122 з 744

У прямокутнику $ABCD$ бісектриса кута $A$ перетинає сторону $BC$ в точці $M$, $BM:MC=4:5$ (див. рисунок). Обчисліть площу прямокутника $ABCD$, якщо $BC=18$ см.

А$144$ см$^2$

Б$162$ см$^2$

В$90$ см$^2$

Г$120$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона $BC=18$ см, точка $M$ поділила її у відношенні $4:5.$ Тому загальна кількість частин дорівнює $9{:}$

\begin{gather*} 4x+5x=9x\ \text{частин};\\[7pt] x=18\ \text{см}:9=2\ \text{см (довжина однієї частини)}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} BM=4\cdot 2\ \text{см}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $AM$ – бісектриса прямого кута $A$, то

\begin{gather*} \angle BAM=\angle MAD=45^\circ. \end{gather*}

У прямокутнику сторони $BC$ та $AD$ паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник $ABM{:}$ у ньому два кути по $45^\circ{:}$ \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони $AB$ та $BM$ рівні:

\begin{gather*} AB=BM=8\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника:

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\ \text{см}\cdot 18\ \text{см}=144\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36600

Завдання 123 з 744

Визначте восьмий член $a_8$ арифметичної прогресії $(a_n)$, у якої $a_7=11$, $a_9=18.$

А$29$

Б$14{,}5$

В$15$

Г$3{,}5$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

\begin{gather*} a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} a_8=\frac{a_7+a_9}{2}=\frac{11+18}{2}=\frac{29}{2}=14{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36599

Завдання 124 з 744

Визначте корінь рівняння $\mathrm{tg}\ \pi x=1.$

А$\frac{\pi}{4}$

Б$0$

В$1$

Г$\frac{1}{4}$

Д$\frac{1}{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \pi x=1;\\[7pt] \pi x=\mathrm{arctg}\ 1+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $\pi{:}$

\begin{gather*} x=\frac{1}{4}+k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0$, то $x=\frac 14.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36598

Завдання 125 з 744

До кола із центром у точці $O$ проведено дотичну $AB$, яка дотикається кола в точці $A.$ Пряма $OB$ перетинає коло в точках $D$ i $C$, $\angle AOB=60^\circ.$

Які з наведених тверджень правильні?

I. $OA\ \perp\ AB.$

II. $OB=2OA.$

III. $OD=AC.$

Алише I та II

БІ, ІІ та ІІІ

Влише I та III

Глише III

Длише II та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. $OA\ \perp\ AB$ – правильно. Радіус кола, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної.

II. $OB=2OA$ – правильно.

Розгляньмо трикутник $\Delta OAB\ (\angle A=90^\circ).$

Сума його гострих кутів дорівнює $90^\circ$, отже $\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$

Катет $OA$ лежить навпроти кута $30^\circ$, тому він дорівнює половині гіпотенузи $OB.$ Тобто $OB=2OA.$

III. $OD=AC$ – правильно.

$OD$ та $OC$ – це радіуси кола, тому $OD=OC.$

Розгляньмо $\Delta OAC.$ Він рівнобедрений ($OA=OC$ як радіуси).

Оскільки кут при вершині $\angle AOC=60^\circ$, то градусна міра кутів при основі також $(180^\circ-60^\circ) : 2 = 60^\circ.$

Отже, $\Delta OAC$ – рівносторонній, тому $AC=OC.$

Оскільки $OD=OC$ й $AC=OC$, то $OD=AC.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36597

Завдання 126 з 744

Визначте $\sin(180^\circ+\alpha)$, якщо $\sin \alpha=0{,}8.$

А$0{,}6$

Б$0{,}2$

В$-0{,}8$

Г$-0{,}6$

Д$0{,}8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і застосовувати формули зведення.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin \alpha. \end{gather*}

Підставмо значення $\sin \alpha=0{,}8.$

Отже, $\sin(180^\circ+\alpha)=-0{,}8.$

Кут $(180^\circ+\alpha)$ розташований у III чверті тригонометричного кола.

У III чверті синус набуває від’ємного значення, тому поставлено знак мінус.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36596

Завдання 127 з 744

На рисунку зображено графік квадратичної функції.

Локальним екстремумом цієї функції є

А$x_0=4$

Б$x_0=0$

В$x_0=1$

Г$x_0=3$

Д$x_0=-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точку локального екстремуму функції за її графіком.

На рисунку зображено параболу – графік квадратичної функції. Гілки параболи напрямлені вниз, отже, функція має точку локального максимуму. Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргументу $x$, за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Точка максимуму відповідає вершині параболи.

Вершина параболи розташована в найвищій точці графіка. Опустімо перпендикуляр із цієї точки на вісь $Ox{:}$

\begin{gather*} x_0=1. \end{gather*}

Точка локального екстремуму заданої функції:

\begin{gather*} x_0=1. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36595

Завдання 128 з 744

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^x=\frac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Розв'яжімо показникове рівняння:

\begin{gather*} 2^x=\frac 18. \end{gather*}

Зведімо до однакової основи:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-3$ належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36594

Завдання 129 з 744

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Арівнобедреного трикутника навколо його основи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Врівностороннього трикутника навколо його висоти».

Гпрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника $APB$ навколо його висоти $PO$, проведеної до основи.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36593

Завдання 130 з 744

Якому проміжку належить значення виразу $\left(\frac 14\right)^{-2}?$

А$(-\infty; -10]$

Б$(-10; 0]$

В$(0; 1]$

Г$(1; 10]$

Д$(10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

Для розв’язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] \left(\frac 14\right)^{-2}=(4^{-1})^{-2}=4^{-1\cdot (-2)}=4^2=16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36592

Завдання 131 з 744

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте залу кінотеатру, яку відвідало більш як $20$, але менш як $38$ глядачів.

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 20\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 38. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку $20$, але нижчим за позначку $38.$

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки $55.$ ($55 \gt 38$ – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик на позначці $40.$ ($40 \gt 38$ – не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці $35.$ Число $35$ більше за $20$ і менше за $38$ $(20\lt 35\lt 38).$ Цей варіант відповідає умові завдання.

Зелена зала: стовпчик точно на рівні $20.$ (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці $45.$ ($45 \gt 38$ – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від $20$ до $38$, – жовта.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36591

Завдання 132 з 744

Обчисліть довжину основи рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює $12$ см, а периметр – $40$ см.

А$14$ см

Б$12$ см

В$8$ см

Г$28$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: $AB=BC=12$ см. Основа: $AC.$

Периметр $(P)$ – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де $a$ – бічна сторона, а $b$ – основа.

\begin{gather*} 40=2\cdot 12+b;\\[7pt] 40=24+b;\\[7pt] b=40-24;\\[6pt] b=16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36590

Завдання 133 з 744

За якого найменшого натурального значення $a$, рівняння \begin{gather*} (9^x-8\cdot 3^x-9)(5+\ln^2(4a-11x))=0 \end{gather*} має корінь.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

\begin{gather*} 4a-11x\gt 0. \end{gather*}

Перенесімо $-11x$ праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на $4{:}$ \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай $3^x=t$, тоді $3^{2x}=t^2{:}$

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $t_1=9$, $t_2=-1.$

Повернімося до заміни $3^x=t$ й замість $t$ підставмо обчислені значення.

Підставимо $9{:}$

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо $-1{:}$

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

$3^x$ не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції $y=a^x$ завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені $2$ не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь $x=2$ в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, $a=6.$

Відповідь: $6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36568

Завдання 134 з 744

Задано сферу, площа поверхні якої $768\pi$ см$^2$, і циліндр, основу якого вписано у квадрат $ABCD.$ Радіус сфери дорівнює стороні квадрата $ABCD$, а діаметр сфери – діагоналі осьового перерізу циліндра. Визначте об’єм $V$ цього циліндра. У відповіді запишіть $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

1152

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

\begin{gather*} S=768\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] 4\pi R^2=768\pi;\\[7pt] R^2=192\ \text{см}^2;\\[7pt] R=\sqrt{192\ \text{см}^2}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата $ABCD{:}$

\begin{gather*} AD=R=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою завдання, у квадрат $ABCD$ вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

\begin{gather*} d_\text{цил}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на $2{:}$

\begin{gather*} R_\text{цил}=\frac{8\sqrt{3}\ \text{см}}{2}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній $GH$, яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника $GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}$

\begin{gather*} GH=\sqrt{(EG)^2-(EH)^2}=\sqrt{(16\sqrt{3}\ \text{см})^2-(8\sqrt{3}\ \text{см})^2}=\sqrt{16^2\cdot 3\ \text{см}^2-8^2\cdot 3\ \text{см}^2};\\[7pt] GH=\sqrt{3\cdot 8\cdot 24\ \text{см}^2}=24\ \text{см};\\[7pt] h=GH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо об’єм циліндра:

\begin{gather*} V=\pi\cdot (4\sqrt{3})^2\cdot 24=\pi\cdot 16\cdot 3\cdot 24=48\cdot 24\pi=1152\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Поділімо знайдений об’єм на $\pi$, як зазначено в умові завдання:

\begin{gather*} \frac{V}{\pi}=\frac{1152\pi\ \text{см}^3}{\pi}=1152 \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36567

Завдання 135 з 744

На паркувальному майданчику бізнес-центру n рядів для автомобілів (див. рисунок). У кожному ряду $8$ паркомісць (по $4$ місця обабіч проїзду). Коли водій під’їжджає до шлагбаума, автоматична система видає йому талон із випадково вибраним вільним місцем. Імовірність того, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному із чотирьох перших рядів, дорівнює $\frac 19.$ Визначте загальну кількість рядів $(n)$ на цьому паркувальному майданчику.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події $A$ можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де $m$ – кількість сприятливих подій, $n$ – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є $32$ місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику $n$ рядів, місць в одному ряді – $8$, отже, усього $8n$ місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на $8{:}$ \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість $n$ рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36566

Завдання 136 з 744

Задано функцію $f(x)=x^2\cdot (2x-1)^3$, $f'(x)$ – її похідна. Обчисліть значення виразу $f(2)+f'(1).$

Впишіть відповідь:

116

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці $x=2$, для цього у функцію замість $x$ підставмо $2{:}$

\begin{gather*} f(2)=2^2\cdot (2\cdot 2-1)^3=4\cdot (4-1)^3=4\cdot 27=108. \end{gather*}

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

\begin{gather*} (uv)'=u'\cdot v+u\cdot v'. \end{gather*}

Звернімо увагу, що $g(x)=(2x-1)^3$ – складена функція:

\begin{gather*} f'(x)=(x^2)'\cdot (2x-1)^3+((2x-1)^3)'\cdot x^2=2x\cdot (2x-1)^3+3\cdot (2x-1)^2\cdot 2\cdot x^2. \end{gather*}

Обчислімо значення знайденої похідної в точці $x=1$, для цього в похідну замість $x$ підставмо $1.$

\begin{gather*} f'(1)=2\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)^3+3\cdot (2\cdot 1-1)^2\cdot 2\cdot 1^2=2\cdot 1+3\cdot 2=2+6=8. \end{gather*}

Обчислімо суму $f(2)+f'(1){:}$

\begin{gather*} f(2)+f'(1)=108+8=116. \end{gather*}

Відповідь: $116.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36565

Завдання 137 з 744

На паралельних прямих $n$ і $m$ розміщено півкруг діаметра $AB$, рівносторонній трикутник $ACD$, ромб $DCKL$ (див. рисунок). Висота трикутника $ACD$ дорівнює $4\sqrt{3}.$ Доберіть до фігури (1–3) її площу (А – Д). Уважайте, що $\pi=3{,}14.$

Фігура

1половина півкруга діаметра $AB$

2трикутник $ACD$

3ромб $DCKL$

Площа

А$9{,}42$

Б$12\sqrt{3}$

В$16\sqrt{3}$

Г$37{,}68$

Д$32\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника $ACD$, задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. \end{gather*}

Визначмо площу круга радіуса $2\sqrt{3}{:}$

\begin{gather*} S=\pi R^2=\pi\cdot (2\sqrt{3})^2=4\cdot 3\cdot \pi=12\pi. \end{gather*}

Обчислімо площу половини півкруга радіуса $2\sqrt{3}$, для цього поділімо обчислену площу круга на $4{:}$

\begin{gather*} \frac S4=\frac{12\pi}{4}=3\pi=3\cdot 3{,}14=9{,}42. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника $ACD{:}$

\begin{gather*} 2\cdot h=a\sqrt{3};\\[6pt] a=\frac{2\cdot h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8. \end{gather*}

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

\begin{gather*} S_\Delta=\frac 12 a\cdot h_a=\frac 12\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба $DCKL$ дорівнює довжині сторони трикутника $ACD.$ Висота ромба $DCKL$ дорівнює довжині висоти трикутника $ACD.$ Обчислімо площу ромба $DCKL$ через висоту:

\begin{gather*} S=a\cdot h_a=8\cdot 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36564

Завдання 138 з 744

Узгодьте вираз (1–3) зі значенням $a$ (А – Д), за якого значення цього виразу дорівнює 2.

Вираз

1$\frac 2a$

2$16^a$

3$(a-1)^2-a^2$

Значення $a$

А$\frac 14$

Б$\frac 12$

В$1$

Г$-\frac 12$

Д$-\frac 14$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні, показникові вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати вирази й виконувати обчислення після підставлення значення.

Підставмо $2$ в значення кожного виразу.

1. $\frac 2a=2.$

Представмо у вигляді дробу праву частину виразу, для цього допишімо в знаменнику $1{:}$ \begin{gather*} \frac 2a=\frac 21. \end{gather*}

Визначмо $a{:}$ оскільки чисельники дробів однакові, то, щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими і їхні знаменники: \begin{gather*} a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

2. $16^a=2.$

Перепишімо ліву частину виразу: \begin{gather*} 16^a=(2^4)^a=2^{4a};\\[7pt] 2^{4a}=2^1. \end{gather*}

Оскільки основи однакові в обох частинах, можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} 4a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини утвореного рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} a=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

3. $(a-1)^2-a^2=2.$

Розкриймо дужку за формулою скороченого множення: \begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] a^2-2a+1-a^2=2. \end{gather*}

Зведімо подібні доданки: \begin{gather*} -2a+1=2. \end{gather*}

Перенесімо $1$ праворуч: \begin{gather*} -2a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини отриманого рівняння на $-2{:}$ \begin{gather*} a=\frac{1}{-2}=-\frac 12. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36562

Завдання 139 з 744

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А – Д), у яких лежить графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).

Функція

1$y=-\log_3 x$

2$y=-|x|+4$

3$y=-(x^2+2)$

Координатна чверть

Алише I та II

Блише I та III

Влише III та IV

Глише I та IV

ДI, II, III та IV

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, використовуючи перетворення графіків функцій.

1. Схематично зобразімо графік логарифмічної функції: $y=log_a x$, основа якої більша за одиницю, отже, графік зростаючий. За умовою, перед усією функцією $y=\log_3 x$ стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі $x.$ Отриманий графік лежить у першій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь Г.

2. Зобразімо функцію $y=|x|.$ За умовою, перед усією функцією $y=|x|$ стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі $|x|.$ Оскільки до всієї функції $y=-|x|$ додаємо $4$, то паралельно переносимо графік функції $y=-|x|$ на $4$ одиниці вгору відносно осі $y.$ Отриманий графік лежить в усіх чвертях. Отже, правильна відповідь Д.

3. Розкриймо дужки: $-(x^2+2)=-x^2-2.$ Зобразімо функцію $y=-x^2$ – це парабола вітками донизу. Оскільки від усієї функції $y=-x^2$ віднімаємо $2$, то паралельно переносимо графік функції $y=-x^2$ на $2$ одиниці вниз відносно осі $y.$ Отриманий графік лежить у третій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36560

Завдання 140 з 744

Розв’яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x-2}{x+3}\ge 0,\\ -x\le -2. \end{array}\right. \end{gather*}

А$[2; +\infty)$

Б$(2; +\infty)$

В$(-3; 2)$

Г$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Д$(-\infty; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи нерівностей, які містять дробово-раціональну і лінійну нерівності.

Розв’яжімо нерівності системи й визначмо перетин розв’язків.

$\frac{x-2}{x+3}\ge 0.$

Запишімо ОДЗ: знаменник не може дорівнювати нулю:

\begin{gather*} \text{ОДЗ:}\ x+3\ne 0;\\[7pt] x\ne -3. \end{gather*}

Використаймо метод інтервалів, для цього перенесімо знаменник у чисельник:

\begin{gather*} (x-2)(x+3)\ge 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності, для цього ліву частину прирівнюймо до нуля:

\begin{gather*} (x-2)(x+3)=0. \end{gather*}

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому прирівнюємо кожен множник до нуля:

\begin{gather*} x-2=0\ \text{або}\ x+3=0;\\[7pt] x=2\ \text{або}\ x=-3. \end{gather*}

Накреслімо числову пряму, на якій точками позначмо обчислені нулі лівої частини нерівності: $2$, $-3.$

Зауважмо: нерівність нестрога, тож точку, якою позначено на прямій значення $2$, зафарбовуємо. За ОДЗ $x$ не може дорівнювати значенню $-3$, тому точку, яка його позначає на прямій, буде виколото.

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Ліва частина нерівності була більшою за нуль, тому в розв’язку першої нерівності системи запишімо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

\begin{gather*} -x\le -2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на $-1.$ Зауважмо: якщо множимо нерівність на від’ємне число, то знак нерівності змінюємо на протилежний:

\begin{gather*} x\ge 2. \end{gather*}

Отже, розв’язком цієї нерівності буде проміжок $[2; +\infty).$

Позначмо на числовій прямій розв’язки обох нерівностей і визначмо їхній перетин:

\begin{gather*} x\in [2; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36559

Завдання 141 з 744

Якому проміжку належить значення виразу? \begin{gather*} 4\cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ+2\cos^2 17^\circ+2\sin^2 17^\circ. \end{gather*}

А$(-\infty; -2)$

Б$[-1; 0)$

В$[-1; 0]$

Г$[1; 2)$

Д$[2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати тригонометричні вирази й визначати належність результату до числового проміжку.

Запишімо $4$ як добуток: \begin{gather*} 2\cdot 2. \end{gather*}

З другого і третього доданка винесімо спільний множник 2 за дужку:

\begin{gather*} 2\cdot 2\cdot \cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ+2(\sin^2 17^\circ+\cos^2 17^\circ). \end{gather*}

Використаймо формулу синуса подвійного аргумента:

\begin{gather*} \sin (2a)=2\sin a\cdot \cos a;\\[7pt] 2\cdot \cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ=\sin (2\cdot 135^\circ). \end{gather*}

Використаймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 17^\circ+\cos^2 17^\circ=1;\\[7pt] 2\sin (2\cdot 135^\circ)+2\cdot 1=2\sin 270^\circ+2. \end{gather*}

За формулами зведення:

\begin{gather*} \sin 270^\circ=-1;\\[7pt] 2\cdot(-1)+2=-2+2=0. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36558

Завдання 142 з 744

Визначте загальний вигляд первісних для функції \begin{gather*} f(x)=\frac{2}{\cos^2 x}+\frac 3x+\cos x+2. \end{gather*}

А$\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C$

Б$\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C$

В$2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C$

Г$2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C$

Д$\mathrm{tg}\ x+\ln|x|+\sin x+2x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний вигляд первісних функції.

Перепишімо перші два доданки, винісши множники з їхніх чисельників: \begin{gather*} \frac{2}{\cos^2 x}=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x};\\[6pt] \frac 3x=3\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Тепер функція має такий вигляд:

\begin{gather*} f(x)=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}+3\cdot \frac 1x+\cos x+2. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції, проаналізувавши доданки:

1. Доданок $2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ – множник $2$ залишмо без змін, первісна для $\frac{1}{\cos^2 x}$ за таблицею первісних дорівнює $\mathrm{tg}\ x$, тож маємо $2\mathrm{tg}\ x.$

2. Доданок $3\cdot \frac 1x$ – множник $3$ залишмо без змін, первісна для $\frac 1x$ за таблицею первісних дорівнює $\ln |x|$, тож $3\ln |x|.$

3. Доданок $\cos x$ – первісна для $\cos x$ за таблицею первісних дорівнює $\sin x$ , тож маємо $\sin x.$

4. Доданок $2$ – первісна від сталої $2$ дорівнює $2x.$

Запишімо суму всіх доданків, які визначили в пунктах 1–4, у кінці додамо константу $C$, бо за умовою треба визначити загальний вигляд первісних функції:

\begin{gather*} F(x)=2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36557

Завдання 143 з 744

У трапеції $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Периметр трикутника $BOC$ відноситься до периметра трикутника $DOA$ як $2:7.$ Площа трапеції $ABCD$ дорівнює $405$ см$^2$, $AD=28$ см. Визначте висоту трикутника $AOD.$

А$6$ см

Б$8{,}5$ см

В$12{,}25$ см

Г$15{,}5$ см

Д$17{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати складники та площу трапеції, використовуючи властивості подібних трикутників.

Проведімо висоту $h_2$ трикутника $AOD$, розмір якої треба визначити, висоту $h_1$ трикутника $BOC$, висоту $h$ трапеції. Довжина останньої дорівнює сумі довжин висот трикутників:

\begin{gather*} h=h_1+h_2. \end{gather*}

За умовою завдання, $ABCD$ – трапеція, тож її основи $AD$ і $BC$ паралельні. Трикутники $BCO$ і $DAO$ подібні за двома кутами: $\angle AOD=\angle COB$ подібні як вертикальні, $\angle OBC=\angle ODA$ подібні як внутрішні різносторонні при двох паралельних прямих $AD$, $BC$ і січній $BD.$

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює їхньому коефіцієнту подібності $k{:}$

\begin{gather*} k=\frac{P_{\Delta BOC}}{P_{\Delta AOD}}=\frac 27. \end{gather*}

Відповідні сторони подібних трикутників відносяться одна до одної за обчисленим коефіцієнтом подібності: \begin{gather*} \frac{BC}{AD}=\frac 27. \end{gather*}

Довжина сторони $AD$ відома за умовою завдання й дорівнює $28$, підставмо її в знаменник правої частини:

\begin{gather*} \frac{BC}{28}=\frac 27;\\[6pt] BC=\frac{28\cdot 2}{7}=8. \end{gather*}

За умовою завдання площа трапеції $S_{ABCD}=405$ см$^2.$ Запишімо формулу для обчислення площі трапеції:

\begin{gather*} S_{ABCD}=mh. \end{gather*}

Визначмо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} m=\frac{BC+AD}{2}=\frac{8\ \text{см}+28\ \text{см}}{2}=18\ \text{см}. \end{gather*}

З площі трапеції обчислімо її висоту:

\begin{gather*} h=\frac Sm=\frac{405\ \text{см}^2}{18\ \text{см}}=22{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Висоти трикутників $BCO$ і $DAO$ пропорційні за коефіцієнтом подібності $k.$ Нехай коефіцієнтом відношення буде $x$ тоді $h_1=2x$, $h_2=7x.$ Сума довжин висот трикутників дорівнює довжині висоти трапеції, яку вже обчислено:

\begin{gather*} 2x+7x=22{,}5\ \text{см};\\[7pt] 9x=22{,}5\ \text{см};\\[7pt] x=2{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трикутника $DAO$ дорівнює $7x$, тож маємо помножити $7$ на щойно обчислене значення $x{:}$

\begin{gather*} h_2=7\cdot 2{,}5\ \text{см}=17{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36556

Завдання 144 з 744

Розв’яжіть рівняння $|4x-1|=5.$ Якщо рівняння має кілька коренів, обчисліть їхню суму.

А$-1$

Б$1{,}5$

В$0{,}5$

Г$1$

Д$-1{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Оскільки у лівій частині рівняння \begin{gather*} |4x-1|=5 \end{gather*} є модуль, а в правій – додатне число, розкриймо модуль за схемою: рівняння вигляду $|f(x)|=a$, де $a\gt 0$, рівносильне сукупності двох рівнянь $f(x)=a$ або $f(x)=-a.$

Отже, рівняння $|4x-1|=5$ рівносильне сукупності рівнянь: \begin{gather*} 4x-1=5\ \text{або}\ 4x-1=-5. \end{gather*}

Розв’яжімо перше рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=5. \end{gather*}

Перенесімо $-1$ праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=5+1;\\[7pt] 4x=6. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} x=\frac 64;\\[6pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Розв’яжімо друге рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=-5. \end{gather*}

Перенесімо $-1$ праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=-5+1;\\[7pt] 4x=-4. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} x=\frac{-4}{4};\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

На вимогу завдання у відповіді треба зазначити суму всіх визначених коренів. Оскільки маємо два корені рівняння, додамо їх:

\begin{gather*} 1{,}5+(-1)=1{,}5-1=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36555

Завдання 145 з 744

У прямокутній системі координат у просторі зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$, одна з вершин якої збігається з початком координат – точкою $O$, а два ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $S(4; -4; 11)$ є вершиною піраміди. Визначте довжину апофеми цієї піраміди.

А$4\sqrt{2}$

Б$\sqrt{105}$

В$\sqrt{137}$

Г$12$

Д$\sqrt{151}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Многогранники. Координати та вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку просторової уяви, уміння визначати відстані між двома точками з відомими координатами, знання властивостей піраміди.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди.

Проведімо апофему $SK$, довжину якої треба визначити на вимогу задачі.

Побудуймо висоту піраміди $SO.$ Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то її основою є квадрат, а основа висоти піраміди (точка $O$) проєктується в центр квадрата (точку перетину його діагоналей).

За рисунком основа піраміди лежить у координатній площині $xy$, тож висота $SO$ піраміди дорівнюватиме модулю координати $z$ вершини $S$ піраміди \begin{gather*} SO=|z|=11. \end{gather*}

З’єднаймо основу висоти піраміди (точку $O$) з основою проведеної апофеми (точкою $K$). Відрізок $OK$ – перпендикуляр до ребра $CD$, на якому лежить точка $K.$ За умовою ребро $CD$ лежить на осі $x.$ Відстань від точки $O$ до осі $x$ дорівнюватиме модулю координати y точки $O$, яка збігається з координатою $y$ вершини $S{:}$ \begin{gather*} OK=|y|=|-4|=4. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $SOK$ $(\angle SOK=90^\circ)$, у якому: довжина катета $SO$ дорівнює $11$, довжина катета $OK$ дорівнює $4$, довжина гіпотенузи $SK$ невідома. Використаймо теорему Піфагора, щоб визначити довжину гіпотенузи $SK{:}$

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2;\\[7pt] SK=\sqrt{SO^2+OK^2};\\[7pt] SK=\sqrt{11^2+4^2}=\sqrt{121+16}=\sqrt{137}. \end{gather*}

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36554

Завдання 146 з 744

До зустрічі Нового року залишилося зовсім мало часу, а ще треба нарізати продукти для салату. Мама зможе самотужки нарізати їх за три години, а тато – за шість годин. За скільки годин вони зможуть нарізати всі продукти для салату, якщо працюватимуть разом?

А$5$ год

Б$4$ год

В$3$ год

Г$2$ год

Д$1$ год

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі.

Складімо таблицю.

Нехай уся робота $(A)$, яку треба виконати (нарізати всі продукти для салату), буде одиницею $(1).$

У стовпчик із часом запишімо відомий час, за який мама і тато окремо самотужки нарізають всі продукти. Час, за який мама і тато разом нарізають всі продукти, позначмо $x.$

Продуктивність $(N)$ – це відношення роботи, яку треба виконати, до часу, за який цю роботу виконано: \begin{gather*} N=\frac At. \end{gather*}

	$A$	$t$, год	$N$
Мама	$1$	$3$	$1/3$
Тато	$1$	$6$	$1/6$
Разом	$1$	$x$	$1/x$

Сума індивідуальної продуктивності мами й індивідуальної продуктивності тата дорівнюватиме їхній спільній продуктивності, тож складімо рівняння: \begin{gather*} \frac 13+\frac 16=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині зводимо дроби до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac 26+\frac 16=\frac 1x;\\[6pt] \frac 36=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на $2$, для цього і чисельник, і знаменник дробу розділімо на $2{:}$ \begin{gather*} \frac 12=\frac 1x. \end{gather*}

Чисельники дробів однакові. Щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими їхні знаменники: \begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36553

Завдання 147 з 744

$25^{\log_5 2+1}=$

А$1$

Б$10$

В$100$

Г$1000$

Д$10000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{m+n}=a^m\cdot a^n;\\[7pt] 25^{\log_5 2+1}=25^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо $25$ як $5^2{:}$ \begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, щоб розкрити дужки:

\begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25=5^{2\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо число $2$, на яке множимо логарифм, у степінь аргумента цього логарифма, використавши тотожність:

\begin{gather*} p\log_a x=\log_a x^p;\\[7pt] 5^{2\log_5 2}\cdot 25=5^{\log_5 2^2}\cdot 25=5^{\log_5 4}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] 5^{\log_5 4}\cdot 25=4\cdot 25=100. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36552

Завдання 148 з 744

Задано прямокутний рівнобедрений трикутник $ABC$ $(\angle C=90^\circ).$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Один із гострих кутів трикутника $ABC$ може дорівнювати $50^\circ.$

II. У трикутнику $ABC$ бісектриса кута $C$, проведена до гіпотенузи $AB$, дорівнює радіусу описаного навколо цього трикутника кола.

III. Висоти трикутника $ABC$, проведені з гострих кутів, рівні.

Алише II

Блише I та II

Влише I

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутних рівнобедрених трикутників.

I. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$, тож сума його гострих кутів дорівнює $90^\circ.$ Оскільки трикутник $ABC$ також рівнобедрений, то $\angle A=\angle B=45^\circ.$ Відповідно жоден кут цього трикутника не може дорівнювати $50^\circ.$ Твердження неправильне.

II. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$ і рівнобедрений $(AC=BC)$, тож бісектриса кута $C$, проведена до гіпотенузи, також є висотою і медіаною. Медіана, проведена до гіпотенузи в прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи й радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. Твердження правильне.

III. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$, тож висота, проведена з гострого кута $A$, дорівнює довжині сторони $AC$, висота, проведена з гострого кута $B$, дорівнює довжині сторони $BC.$ Трикутник $ABC$ також рівнобедрений $(AC=BC)$, тому висоти, проведені з його гострих кутів, теж рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36551

Завдання 149 з 744

Яка область визначення функції $y=\log_2(x^2-12x+11).$

А$(-\infty; 1)$

Б$(1; 11)$

В$[1; 11]$

Г$(11; +\infty)$

Д$(-\infty; 1)\cup (11; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні функції та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область визначення логарифмічної функції.

Розв’яжімо нерівність методом інтервалів: \begin{gather*} x^2-12x+11\gt 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності. Для цього ліву частину прирівняймо до нуля: \begin{gather*} x^2-12x+11=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-b,\\ x_1\cdot x_2=c. \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=12,\\ x_1\cdot x_2=11. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $x_1=11$, $x_2=1$, оскільки сума чисел $11$ й $1$ дорівнює $12$, а їхній добуток становить $11.$

Накреслімо числову пряму, на якій виколотими точками, оскільки нерівність строга, позначмо нулі лівої частини нерівності: $1$, $11.$

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Оскільки ліва частина нерівності за умовою завдання більша за нуль, то у відповіді запишемо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

\begin{gather*} x\in (-\infty; 1)\cup (11; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36550

Завдання 150 з 744

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у якому точки $M$, $K$, $N$, $L$ ділять навпіл ребра $AD$, $A_1D_1$, $D_1C_1$, $DC$ відповідно. Визначте площину, що паралельна площині $MKN.$

А$AA_1D_1$

Б$ABC$

В$B_1D_1D$

Г$AA_1B_1$

Д$AA_1C_1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати взаємне розміщення площин у просторі.

А Площини перетинаються по прямій $MK{:}$

\begin{gather*} AA_1D_1\cap MKN=MK. \end{gather*}

Б Площини перетинаються по прямій $ML{:}$

\begin{gather*} ABC\cap MKN=ML. \end{gather*}

B Площини перетинаються по прямій $PQ{:}$

\begin{gather*} B_1D_1D\cap MKN=PQ. \end{gather*}

Г Продовживши зображення площин, можна побачити, що вони перетинаються по прямій $GF{:}$

\begin{gather*} AA_1B_1\cap MKN=GF. \end{gather*}

Д Площини $AA_1C_1$ та $MKN$ паралельні:

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36549

Завдання 151 з 744

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\frac 12\right)^{x+3}=\sqrt[3]{4}$?

А$(-15; -10)$

Б$(-10; -5)$

В$(-5; 0)$

Г$(0; 5)$

Д$(5; 10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо $\left(\frac 12\right)^{x+3}$ на $(2^{-1})^{x+3}$, скориставшись формулою $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

За властивістю степеня:

\begin{gather*} \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn};\\[6pt] \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac 23};\\[6pt] (2^{-1})^{x+3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

У лівій частині за властивістю степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

\begin{gather*} 2^{-x-3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $2$), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо $-3$ праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на $-1{:}$ \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36548

Завдання 152 з 744

У чотирикутник $ABCD$ вписано коло. Визначте периметр цього чотирикутника, якщо відомо, що $AB=16$ см, $CD=11$ см.

А$18$ см

Б$27$ см

В$31$ см

Г$54$ см

Д$77$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості чотирикутника, у який можна вписати коло.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD. \end{gather*}

Обчислімо суму довжин двох відомих протилежних сторін заданого чотирикутника:

\begin{gather*} AB+CD=16+11=27\ \text{см}. \end{gather*}

Відомо, що в цей чотирикутник вписано коло. У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

\begin{gather*} AB+CD=AD+BC. \end{gather*}

Тоді сума двох інших протилежних сторін $BC$ й $AD$ заданого чотирикутника також дорівнюватиме $27$ см:

\begin{gather*} BC+AD=27\ \text{см}. \end{gather*}

Уже відомі суми протилежних сторін чотирикутника: $AB$, $CD$ і $BC$, $AD.$ Щоб обчислити його периметр, треба додати дві відомі суми:

\begin{gather*} P=AB+CD+BC+AD=27+27=54\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36547

Завдання 153 з 744

PIN-код складається із $4$ цифр (цифри можуть повторюватися). Відомо, що перша цифра – не нуль; друга – парна. Скількома способами можна скласти такий PIN-код?

А$4500$

Б$5000$

В$5500$

Г$5450$

Д$4000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати комбінаторне правило множення для розв’язання практичних задач.

Усього є $10$ цифр: $0$; $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9.$

Відомо, що на першому місці в числі може стояти будь-яка цифра, але не нуль. Є дев’ять цифр, які відповідають цій умові: $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9.$ Отже, маємо $9$ варіантів вибору першої цифри.

На другому місці може стояти парна цифра. Усього є п’ять парних цифр: $0$; $2$; $4$; $6$; $8.$ Отже, для вибору другої цифри є п’ять варіантів.

На третьому місці може стояти будь-яка цифра. Оскільки вже визначили, що всього є десять цифр, то маємо десять варіантів вибору третьої цифри.

На четвертому місці може стояти будь-яка цифра, тож маємо десять варіантів вибору четвертої цифри.

Треба вибрати цифру і для першого місця в числі, і для другого, і для третього, і для четвертого. Тому кількості варіантів маємо перемножити за правилом добутку, оскільки є сполучник і:

\begin{gather*} 9\cdot 5\cdot 10\cdot 10=4500. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36546

Завдання 154 з 744

Якщо $a=\frac{b^2}{2c}-b$, то $c=$

А$\frac{b}{2(a+b)}$

Б$\frac{b^2}{2a+2b}$

В$\frac{2(a+b)}{b}$

Г$\frac{2a+2b}{b^2}$

Д$\frac{a+b}{b^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо $\frac{b^2}{2c}$ ліворуч, $a$ – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на $-1{:}$ \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину $b+a$, для цього допишімо в знаменнику $1{:}$ \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на $2(a+b){:}$ \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього $2$ помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36545

Завдання 155 з 744

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $AD$ є

Аапофемою

Бребром основи

Ввисотою основи

Гбічним ребром

Двисотою

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – ребра основи.

Отже, $HD$ є ребром основи.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36407

Завдання 156 з 744

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-4)x+16=0$ на $6$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2-(2m-4)x+16=0;\\[7pt] x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6. \end{gather*}

Знайдемо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(2m-4)^2-4\cdot 1\cdot 16=\\[7pt] =4m^2-16m+16-64=4m^2-16m-48\gt 0;\\[7pt] 4(m^2-4m-12)\gt 0;\\[7pt] 4(m-6)(m+2)\gt 0. \end{gather*}

Додатне значення $m$, при якому рівняння має два різних кореня $m\gt 6.$

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array}\right.\\[7pt] 2x_2=2m-10;\\[7pt] x_2=m-5. \end{gather*}

Підставмо значення $x_2$ у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16;\\[7pt] (m+1)(m-5)=16;\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0;\\[7pt] m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ne m\gt 6. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, додатне значення $m=7.$

Відповідь: $7.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36406

Завдання 157 з 744

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $6$ см. Визначте площу $S$ (у см$^2$) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=6$ см.

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH,\ \text{де}\ R=\frac 12AD=3\ \text{см};\\[6pt] H=AB=6\ \text{см};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi\cdot 3\cdot 6=36\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S}{\pi}=\frac{36\pi}{\pi}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36405

Завдання 158 з 744

У квітковому магазині є $13$ білих і $8$ жовтих троянд. Покупець вибирає у цьому магазині чотири білі й одну жовту троянди. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

5720

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати задачі, використовуючи комбінацї та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $4$ білі троянди з $13$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{13}^4=\frac{13!}{4!\cdot (13-4)!}=\frac{13!}{4!\cdot 9!}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{2\cdot 3\cdot 4}=5\cdot 11\cdot 13=715\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ жовту троянду з $8$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об'єкт із $8$ наявних можна $8$ способами:

\begin{gather*} C_{8}^1=8. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $4$ білі й $1$ жовту троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{13}^4\cdot _8^1=715\cdot 8=5720. \end{gather*}

Відповідь: $5720.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36404

Завдання 159 з 744

Функція $F(x)=4x^3-3x^2+9$ є первісною для функції $y=f(x).$ Визначте $f(2).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$, то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції $F(x)=4x^3-3x^2+9{:}$

\begin{gather*} f(x)=12x^2-6x. \end{gather*}

Тепер підставмо число $2$ замість $x$ у цю формулу функції:

\begin{gather*} f(2)=12\cdot 2^2-6\cdot 2=12\cdot 4-12=48-12=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36403

Завдання 160 з 744

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ перпендикулярна до сторони $AB$ (див. рисунок). $\angle A=60^\circ$, $BD=12$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$

2Довжина сторони $AD$

3Довжина діагоналі $AC$

Закінчення речення

Адорівнює $4\sqrt{3}$ см.

Бдорівнює $8\sqrt{3}$ см.

Вдорівнює $2\sqrt{21}$ см.

Гдорівнює $4\sqrt{21}$ см.

Ддорівнює $24$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони $AB.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням тангенса:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\frac{BD}{AB};\\[6pt] AB=\frac{BD}{\mathrm{tg}\ 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони $AD.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням синуса:

\begin{gather*} \sin 60^\circ=\frac{BD}{AD};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{AD};\\[6pt] AD=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі $AC.$ Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника $ABC.$

У паралелограма сума сусідніх кутів становить $180^\circ$, тому

\begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ;\\[7pt] AB=4\sqrt{3};\\[7pt] BC=AD=8\sqrt{3}. \end{gather*}

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\cos 120^\circ=-\frac 12$,

\begin{gather*} AC^2=(4\sqrt{3})^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] AC^2=48+192+4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3};\\[6pt] AC^2=240+96=336;\\[7pt] AC=\sqrt{336}=\sqrt{16\cdot 21}=4\sqrt{21}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36402

Завдання 161 з 744

У прямокутній системі координат на площині зображено коло $x^2+y^2=4$. Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка із заданим колом.

Функція

1$y=x+4$

2$y=x^2-2$

3$y=4^x$

Кількість спільних точок

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбільш як три

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Графік функції $y=x+4$ не має жодної спільної точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – А.

Графік функції $y=x^2-2$ має три спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – Г.

Графік функції $y=4^x$ має дві спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36401

Завдання 162 з 744

Доберіть до виразу (1–3) проміжк (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1$\cos\frac{\pi}{2}$

2$|\pi -5|$

3$2^{\pi}$

Проміжок

А$(-\infty; 0]$

Б$(0; 2)$

В$[2; 4)$

Г$[4; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. $\cos \frac{\pi}{2}=0.$

Число $0$ належить проміжку $(-\infty; 0].$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $\pi\approx 3{,}14$

\begin{gather*} \pi-5\lt 0;\\[7pt] |\pi-5|=-(\pi-5)=-\pi+5=\\[7pt] =5-\pi\approx 5-3{,}14\approx 1{,}86. \end{gather*}

Число $1{,}86$ належить проміжку $(0; 2).$ Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки $\pi\gt 3$, то

\begin{gather*} 2^{\pi}\gt 2^3;\\[7pt] 2^{\pi}\gt 8. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36400

Завдання 163 з 744

Діагоналі прямокутника $ABCD$ перетинаються в точці $O$, $AB=6$, $\angle AOD=110^\circ$ (див. рисунок). Який периметр цього прямокутника?

А$6+6\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Б$12+12\sin 55^\circ$

В$12+\frac{12}{\mathrm{tg}\ 55^\circ}$

Г$12+12\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Д$12+12\cos 55^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOD$ – рівнобедрений. Проведімо висоту $OH$ до основи $AD.$ Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику $\Delta AOH{:}$

\begin{gather*} OH=AB:2=6:2=3;\\[7pt] \angle AOH=110^\circ:2=55^\circ.\\[6pt] \mathrm{tg}\ \angle AOH=\frac{AH}{OH};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 55^\circ=\frac{AH}{OH};\\[6pt] AH=OH\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ=3\mathrm{tg}\ 55^\circ;\\[7pt] AD=2\cdot AH=6\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутник $ABCD{:}$

\begin{gather*} P=2(AB+AD)=2(6+6\cdot\mathrm{tg}\ 55^\circ)=12+12\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36399

Завдання 164 з 744

Загальний член геометричної прогресії $(b_n)$ задано формулою $b_n=7\cdot 3^{n-2}.$ Визначте четвертий член $b_4$ цієї прогресії.

А$567$

Б$63$

В$7$

Г$21$

Д$189$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

\begin{gather*} b_n=7\cdot 3^{n-2}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_4=7\cdot 3^{4-2}=7\cdot 3^2=7\cdot 9=63. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36398

Завдання 165 з 744

Визначте координати вектора $\overrightarrow{KL}$, якщо $K(4; 3; 6)$, $L(-2; 3; 0).$

А$(6; 0; 6)$

Б$(-6; 0; -6)$

В$(-3; 0; -3)$

Г$(2; 3; 3)$

Д$(3; 6; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора на площині.

Якщо $K(x_1; y_1; z_1)$, $L(x_2; y_2; z_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).$

\begin{gather*} K(4; 3; 6),\\[7pt] L(-2; 3; 0),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-2-4; 3-3; 0-6),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-6; 0; -6). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36397

Завдання 166 з 744

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac x4=3y-1,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*} Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ системи обчисліть суму $x_0 + y_0.$

А$1{,}6$

Б$-2$

В$2{,}5$

Г$22$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac x4=3y-1,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на $4{:}$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x=12y-4,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $x=12y-4$ в друге рівняння:

\begin{gather*} 12y-4-2y=1;\\[7pt] 10y=1+4;\\[7pt] 10y=5;\\[7pt] y=5:10;\\[7pt] y=0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=12\cdot 0{,}5-4=6-4=2. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел $(2; 0{,}5){:}$

\begin{gather*} x_0+y_0=2+0{,}5=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36396

Завдання 167 з 744

Спростіть вираз $\frac{(a^2-1)(a+1)}{a^2+2a+1}.$

А$1-a$

Б$\frac{a+1}{a-1}$

В$\frac{a-1}{2}$

Г$a+1$

Д$a-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення – різницю квадратів і квадрат суми:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[6pt] \frac{(a^2-1)(a+1)}{a^2+2a+1}=\frac{(a-1)(a+1)(a+1)}{(a+1)^2}=a-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36395

Завдання 168 з 744

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ На якому з наведених проміжків ця функція зростає?

А$[-3; 3]$

Б$[1; 3]$

В$[-2; 4]$

Г$[-2; 3]$

Д$[-3; 1]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція $y=f(x)$ зростає на проміжку, якщо для будь-яких $x_1\lt x_2$ із цього проміжку виконується нерівність:

\begin{gather*} f(x_1)\lt f(x_2). \end{gather*}

Графічно це ділянка, що підіймається зліва направо, тобто графік «йде вгору» за руху вздовж осі $Ox$ у напрямку зростання $x.$

Отже, функція $y=f(x)$ зростає для $x\in [-3; 1].$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36394

Завдання 169 з 744

У рівнобедреному трикутнику $ABC\ (AB=BC)$ $BK$ – бісектриса кута $B$, точка $K$ належить стороні $AC.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $AB+BC=AC.$

II. $BK\ \perp\ AC.$

III. $AK=KC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. $AB+BC=AC$ – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. $BK\ \perp\ AC$ – правильно (бісектриса є висотою).

III. $AK=KC$ – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36393

Завдання 170 з 744

Розв'яжіть рівняння $35-x^2-x(x+9)=0.$ Якому проміжку належить більший корінь цього рівняння?

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; 0]$

В$(0; 3]$

Г$(3; 7]$

Д$(7; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 35-x^2-x(x+9)=0;\\[7pt] 35-x^2-x^2-9x=0;\\[7pt] -2x^2-9x+35=0;\\[7pt] D=(-9)^2-4\cdot (-2)\cdot 35=81+280=361;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{361}=19;\\[6pt] x_1=\frac{9+19}{2\cdot (-2)}=\frac{28}{-4}=-7;\\[6pt] x_2=\frac{9-19}{2\cdot (-2)}=\frac{-10}{-4}=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Більший корінь $2{,}5$ належить проміжку $(0; 3].$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36392

Завдання 171 з 744

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ циліндра, радіус основи якого $R$ дорівнює висоті.

А$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Г$V=\pi R^2$

Д$V=2\pi R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти циліндра $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\pi R^2\cdot R=\pi R^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36391

Завдання 172 з 744

Кількість виготовлених підприємством за рік диванів відноситься до кількості виготовлених ним крісел як $1:2.$ Якою може бути сумарна кількість диванів і крісел, виготовлених за рік цим підприємством?

А$72$

Б$95$

В$101$

Г$91$

Д$86$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості диванів і крісел: $1:2.$

Якщо диванів $x$, а крісел $2x$, то разом їх:

\begin{gather*} x+2x=3x. \end{gather*}

Загальна кількість диванів і крісел є числом, кратним $3.$

За ознакою подільності число ділиться на $3$ тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на $3.$

Варіант відповіді	Число	Сума цифр	Чи ділиться на три
А	$72$	$7+2=9$	ділиться
Б	$95$	$9+5=14$	не ділиться
B	$101$	$1+0+1=2$	не ділиться
Г	$91$	$9+1=10$	не ділиться
Д	$86$	$8+6=14$	не ділиться

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36390

Завдання 173 з 744

$|1-\lg 1000|=$

А$\lg 999$

Б$2$

В$4$

Г$-2$

Д$-\lg 999$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та перетворення їх.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_{10}a=\lg a;\\[7pt] 1=\lg 10. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} \log_a \frac bc=\log_a b-\log_a c;\\[6pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] |1-\lg 1000|=|\lg 10-\lg 1000|=\left|\lg\frac{10}{10000}\right|=\left|\lg\frac{1}{100}\right|=\\[6pt] =|\lg 10^{-2}|=|-2\cdot \lg 10|=|-2\cdot 1|=2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36389

Завдання 174 з 744

Для кафе виготовили столи та стільці у співвідношенні $1:3$ відповідно. На якій діаграмі правильно відображено розподіл виготовлених столів і стільців?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості столів до кількості стільців: $1:3.$

Це означає, що на $1$ стіл припадає $3$ стільці.

Усього частин:

\begin{gather*} 1\ (\text{стіл})+3\ (\text{стільці})=4\ (\text{частини}). \end{gather*}

Частка столів: $\frac 14$ від усього кола.

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ : 4=90^\circ\ (\text{прямий кут}). \end{gather*}

Частка стільців: $\frac 34$ від усього кола (решта $270^\circ$).

Отже, вибираємо діаграму, де темний сектор (столи) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36388

Завдання 175 з 744

Коло радіуса $6$ уписано у квадрат (див. рисунок). Визначте периметр квадрата.

А$24$

Б$12$

В$36$

Г$48$

Д$60$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам $(d=2r)$, то сторона квадрата

\begin{gather*} a=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

\begin{gather*} P=4a=4\cdot 12=48. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36387

Завдання 176 з 744

$(-2x^4)^3=$

А$-6x^7$

Б$-8x^{12}$

В$-2x^{12}$

Г$-8x^7$

Д$-6x^{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n;\\[7pt] (a^n)^m=a^{nm};\\[7pt] (-2x^4)^3=(-2)^3\cdot (x^4)^3=-8x^{12}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36386

Завдання 177 з 744

Розв'яжіть нерівність $2-8x\gt 4.$

А$\left(-\infty; -\frac 14\right)$

Б$\left(-4; +\infty\right)$

В$\left(-\frac 34; +\infty\right)$

Г$\left(-\frac 14; +\infty\right)$

Д$\left(-\infty; -4\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} 2-8x\gt 4;\\[7pt] -8x\gt 4-2;\\[7pt] -8x\gt 2;\\[6pt] x\lt -\frac 28;\\[6pt] x\lt-\frac 14. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(-\infty; -\frac 14\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36385

Завдання 178 з 744

У прямокутник $ABCD$ вписано коло із центром у точці $O$, яке дотикається сторін $AB$, $BC$, i $AD$, і півколо діаметра $CD$ (див. рисунок). Коло й півколо мають лише одну спільну точку. $AB=8$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $BC$

2Довжина відрізка $OC$

3Відстань від середини відрізка $AO$ до прямої $CD$

Закінчення речення

Адорівнює $10$ см

Бдорівнює $12$ см

Вдорівнює $16$ см

Гдорівнює $4\sqrt{5}$ см

Ддорівнює $4\sqrt{3}$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні $AB=8$ см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола $(R){:}$ \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола $(r){:}$ \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Відстань між центром кола $O$ та центром півкола $O_1$ (середина $CD$) дорівнює $OO_1=R+r=4\ \text{см}+4\ \text{см}=8\ \text{см}.$ Відстань від сторони $AB$ до центра $O$ дорівнює $R=4\ \text{cм}.$

Тобто загальна довжина $BC=R+OO_1=4\ \text{см}+8\ \text{см}=12\ \text{см}.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}$

\begin{gather*} OO_1=8\ \text{см};\\[7pt] O_1C=r=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OC=\sqrt{OO_1^2+CO_1^2}=\sqrt{(4\ \text{см})^2+(8\ \text{см})^2}=\sqrt{16\ \text{см}^2+64\ \text{см}^2}=\\[7pt] =\sqrt{80\ \text{см}^2}=\sqrt{(16\cdot 5)\ \text{см}^2}=4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Розгляньмо чотирикутник $AOO_1D$ – прямокутну трапецію $(AD\ ||\ OO_1$, $O_1D\ \perp\ AD).$ Відстань від середини $AB$ до сторони $O_1D$ є середньою лінією трапеції $AOO_1D{:}$

\begin{gather*} MN=\frac{OO_1+AD}{2}=\frac{8\ \text{см}+12\ \text{см}}{2}=\frac{20\ \text{см}}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36369

Завдання 179 з 744

За якого значення $a$ корені рівняння $x^2+(a-1)^2x+6(a-1)x+a+2=0$ є протилежними числами? Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, $5$ і $-5$). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

\begin{gather*} x^2+(a-1)^2x+6(a-1)x+a+2=0 \end{gather*}

зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} x^2+\left((a-1)^2+6(a-1)\right)x+(a+2)=0. \end{gather*}

Коефіцієнт:

\begin{gather*} p=(a-1)^2+6(a-1). \end{gather*}

Отже, має виконуватися умова:

\begin{gather*} (a-1)^2+6(a-1)=0;\\[7pt] (a-1)(a-1+6)=0;\\[7pt] (a-1)(a+5)=0. \end{gather*}

Отримуємо два значення: $a=1$ та $a=-5.$

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант $D\ge 0.$

Оскільки за $x_1+x_2=0$ рівняння набуває вигляду $x^2+q=0$, то корені існують, якщо $q\le 0.$

Якщо $a=1{:}$ $q=a+2=1+2=3\gt 0.$ Рівняння $x^2+3=0$ не має дійсних коренів, тобто $a=1$ не підходить.

Якщо $a=-5{:}$ $q=a+2=-5+2=-3\lt 0.$ Рівняння $x^2-3=0$ має корені $\sqrt{3}$ та $-\sqrt{3}.$ Тож $a=-5$ підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення $a=-5$, то сума значень дорівнює самому числу $-5.$

Відповідь: $-5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36368

Завдання 180 з 744

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $20.$ Обчисліть площу меншого діагонального перерізу призми.

Впишіть відповідь:

260

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами $AB = 8$ і $AD = 15$, $\angle A = 60^\circ.$

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі $BD.$

Розгляньмо трикутник $ABD.$ За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos 60^\circ;\\[6pt] BD^2=64+225-2\cdot 120\cdot \frac 12;\\[6pt] BD^2=289-120=169;\\[7pt] BD=\sqrt{169}=13\ \text{(см)}. \end{gather*}

Меншим діагональним перерізом є прямокутник $DBB_1D_1$ зі сторонами $BD = 13$ см і висотою $BB_1 = 20$ см.

Обчислімо його площу $S{:}$

\begin{gather*} S=BD\cdot BB_1=13\ \text{см}\cdot 20\ \text{см}=260\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $260.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36367

Завдання 181 з 744

Для перевезення учасників симпозіуму треба замовити один автобус або два мікроавтобуси. Скільки всього існує варіантів вибору машин за такого замовлення, якщо у виконавця замовлення є $8$ різних автобусів і $6$ різних мікроавтобусів?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є $8$ різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є $6$ різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можлих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15. \end{gather*}

Отже, існує $15$ способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

\begin{gather*} N=N_1+N_2=8+15=23. \end{gather*}

Усього існує $23$ варіанти вибору машин.

Відповідь: $23.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36366

Завдання 182 з 744

На рисунку зображено графіки функцій $y=3\sqrt{x}$ i $y=\frac 32x.$ Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками цих функцій.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: $(0; 0)$ – точка початку координат; точка $(4; 6).$

Отже, межі інтегрування – від $0$ до $4.$

Графік функції $y=3\sqrt{x}$ проходить вище за пряму $y=\frac 32x.$

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

\begin{gather*} \mathop{\int} 3\sqrt{x}\ dx=3\mathop{\int} x^{\frac 12}\ dx=3\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}=3\cdot \frac 23\cdot x\sqrt{x}=2x\sqrt{x};\\[6pt] \mathop{\int} \frac 32x\ dx=\frac 32\cdot \frac{x^2}{2}=\frac 34x^2. \end{gather*}

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \left|_a^b\right.=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її перевісна.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx=\left(2x\sqrt{x}-\frac 34x^2\right)\left|_0^4\right.=\\[6pt] =\left(2\cdot 4\cdot \sqrt{4}-\frac 34\cdot 16\right)-2\cdot 0\cdot \sqrt{0}-\frac 34\cdot 0=(16-12)-0=4. \end{gather*}

Відповідь: $4.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36365

Завдання 183 з 744

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1$y=7x+4$

2$y=-\frac 7x$

3$y=\log_{0{,}5}(x-4)$

Властивість

Ає спадною на всій області визначення

Бграфік функції перетинає вісь $y$ в точці з ординатою $4$

Вє непарною

Гє парною

Добластю визначення є проміжок $(0; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції $y=7x+4$ перетинає вісь у точці з ординатою $4.$

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція $y=-\frac 7x$ непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. $y=\log_{0{,}5}(x-4)$ – логарифмічна функція, $y=\log_a x$ спадна на всій області визначення, якщо $a\in (0; 1).$

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36363

Завдання 184 з 744

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $m$ i $n$ – натуральні числа, $n\gt 1$, $m\gt 1.$

Початок речення

1Якщо $n\sin m\pi=a$, то

2Якщо $\frac{2^m}{2^n}=2^a$, то

3Якщо $\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}$, то

Закінчення речення

А$a=mn.$

Б$a=0.$

В$a=m-n.$

Г$a=n.$

Д$a=\frac mn.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, степеня з натуральним показником.

1. Якщо $n\sin m\pi=a$, то...

Для будь-якого цілого числа $k\ \sin k\pi=0.$ Оскільки $m$ – натуральне число, то $\sin m\pi$ завжди дорівнює нулю. Тоді $a=n\cdot 0=0.$

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Якщо $\frac{2^m}{2^n}=2^a$, то...

Скористаймося властивістю $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}{:}$

\begin{gather*} \frac{2^m}{2^n}=2^{m-n}=2^a. \end{gather*}

Звідси $a=m-n.$

Отже, правильна відповідь – B.

3. Якщо $\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}$, то...

Скористаймося властивістю $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\ \ {:}$

\begin{gather*} \sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[n\cdot m]{2}\ \ ;\\[7pt] \sqrt[n\cdot m]{2}=\sqrt[a]{2}. \end{gather*}

Звідси $a=n\cdot m=mn.$

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36362

Завдання 185 з 744

Визначте другий член $b_2$ геометричної прогресії $(b_n)$, у якій $b_1=5\sqrt{5}$, $b_6=\frac{b_5}{\sqrt{5}}.$

А$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Б$5$

В$25$

Г$\frac 15$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

\begin{gather*} b_n=b_{n-1}\cdot q;\\[6pt] q=\frac{b_n}{b_{n-1}};\\[6pt] q=\frac{b_6}{b_5}=\frac{\frac{b_5}{\sqrt{5}}}{b_5}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gather*}

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q;\\[6pt] b_2=5\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36361

Завдання 186 з 744

У паралелограмі $ABCD$ на стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ і відрізок $BK$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$16$ см

В$8$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники $\Delta AOK$ та $\Delta COB{:}$
$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC\ ||\ AD$ та січній $AC$;
$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні кути.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BC}{AK}=\frac{OB}{OK};\\[6pt] \frac{BC}{12\ \text{см}}=\frac{3\ \text{см}}{2\ \text{см}};\\[6pt] BC=\frac{3\ \text{см}\cdot 12\ \text{см}}{2\ \text{см}}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36360

Завдання 187 з 744

Скоротіть дріб $\frac{4b^2 + 20b}{25 + 10b + b^2}.$

А$\frac{4}{5 + b}$

Б$4b$

В$\frac{6}{25}$

Г$4b(5 + b)$

Д$\frac{4b}{5 + b}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[6pt] \frac{4b^2+20b}{25+10b+b^2}=\frac{4b(b+5)}{(5+b)^2}=\frac{4b}{5+b}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36359

Завдання 188 з 744

Розв'яжіть рівняння $\log_4(7-3x)=\frac 12.$

А$-\frac 35$

Б$\frac 53$

В$-3$

Г$-\frac 13$

Д$\frac 35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \log_4 (7-3x)=\frac 12;\\[6pt] 7-3x=4^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки $4^{\frac 12}=\sqrt{4}=2$, маємо:

\begin{gather*} 7-3x=2;\\[7pt] -3x=2-7;\\[7pt] -3x=-5;\\[7pt] x=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36358

Завдання 189 з 744

А$27$

Б$45$

В$24$

Г$25$

Д$54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=6.$

Обчислімо площу трапеції за формулою: \begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 6=\frac 92\cdot 6=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36357

Завдання 190 з 744

Обчисліть значення виразу $8y-6x$, якщо $3x-4y=2.$

А$4$

Б$0{,}5$

В$-4$

Г$2$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів й обчислювати їхні значення методом підставлення або методом винесення спільного множника.

Перетворімо вираз, винісши спільний множник $-2$ за дужки:

\begin{gather*} 8y-6x=-2(-4y+3x). \end{gather*}

Упорядкуймо доданки в дужках для зручності:

\begin{gather*} -2(3x-4y). \end{gather*}

Підставмо відоме значення (за умовою $3x-4y=2$):

\begin{gather*} -2\cdot 2=-4. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36356

Завдання 191 з 744

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-2y=-4. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$2$

Б$-10$

В$3$

Г$5$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-2y=-4, \end{array}\right.\\[7pt] x+2y+x-2y=8+(-4);\\[7pt] 2x=4;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо значення $x=2$ в перше рівняння:

\begin{gather*} 2+2y=8;\\[7pt] 2y=8-2;\\[7pt] 2y=6;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Розв'язком системи є пара чисел $(2; 3){:}$

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot 3=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36355

Завдання 192 з 744

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ У яких чвертях розташований графік функції $y=f(x)+3$?

Алише в ІІ та ІІІ

Бв усіх чвертях

Влише в І, ІІ та ІІІ

Глише в І та IV

Длише в І та II

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати геометричні перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції $y=f(x)+a$ треба графік функції перенести вздовж осі $Oy$ на $a$ одиниць угору, якщо $a$ – додатне число, і на $a$ одиниць униз, якщо $a$ – від’ємне число.

Отже, для побудови графіка $y=f(x)+3$ треба перемістити графік $y=f(x)$ на три одиниці вгору вздовж осі $Oy.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36354

Завдання 193 з 744

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень правильні?

I. $BM=MC.$

II. $\angle BAM=\angle MAC.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$

Алише I

Блише IІІ

Влише IІ та IIІ

Глише I та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. $BM = MC.$ За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки $AM$ – медіана, то точка $M$ є серединою сторони $BC.$ Отже, $BM = MC.$

II. Твердження неправильне. $\angle BAM=\angle MAC.$ Ця рівність означала б, що $AM$ є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$ Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні $(BM = MC)$, а проведена з вершини $A$ висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36353

Завдання 194 з 744

У прямокутній системі координат у просторі точка $N$ лежить на координатній осі $y$ (див. рисунок). Визначте можливі координати середини вектора $\overrightarrow{ON}.$

А$(6; -6; 0)$

Б$(0; 6; 0)$

В$(-6; 0; 0)$

Г$(6; 0; 0)$

Д$(0; 0; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка $N$ належить осі $Oy$ прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки $O(0; 0; 0)$ (див. рисунок), то її координати $x$ і $z$ дорівнюють нулю, а координата $y$ є додатною: $N(0; y_N; 0).$

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36352

Завдання 195 з 744

Розв'яжіть нерівність $(x+3)(x-2)\lt 0.$

А$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Б$(-3; 2)$

В$(2; +\infty)$

Г$(2; 3)$

Д$(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності другого степеня, наведені у вигляді добутку лінійних множників.

Визначмо корені рівняння, прирівнявши ліву частину до нуля: $(x+3)(x-2)=0.$

Звідси:
1) $x+3=0\Rightarrow x=-3;$
2) $x-2=0\Rightarrow x=2.$

Визначмо знаки виразу $(x+3)(x-2)$ на кожному з отриманих проміжків за допомогою методу інтервалів (див. рисунок).

Отже, $x\in(-3; 2)$ – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36351

Завдання 196 з 744

У магазині сухофруктів сушений лісовий горіх коштує $420$ гривень за кілограм. Скільки гривень заплатив Андрій, купивши 300 грамів таких горіхів?

А$120$

Б$126$

В$12{,}6$

Г$140$

Д$14$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

За допомогою цього завдання перевіряють вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Спершу переведімо масу з грамів у кілограми: оскільки $1$ кг = $1000$ г, то

\begin{gather*} 300\ \text{г}=\frac{300}{1000}\ \text{кг}=0{,}3\ \text{кг}. \end{gather*}

Для обчислення вартості покупки помножмо ціну за кілограм на масу придбаних горіхів:

\begin{gather*} 420\cdot 0{,}3=126\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36350

Завдання 197 з 744

$0{,}5x^2\cdot (-4x^4)=$

А$-2x^6$

Б$-0{,}2x^8$

В$2x^6$

Г$-0{,}2x^6$

Д$-2x^8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

\begin{gather*} 0{,}5x^2\cdot (-4x^4)=0{,}5\cdot (-4)\cdot x^2\cdot x^4=-2\cdot x^{2+4}=-2x^6. \end{gather*}

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де $a$ – будь-яке число, $n$ i $m$ – натуральні числа).

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36349

Завдання 198 з 744

Яке тіло утвориться внаслідок обертання рівнобедреного трикутника навколо прямої $a$ (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Вкуля

Гзрізаний конус

Дпівкуля

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма $a$ є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36348

Завдання 199 з 744

На діаграмі відображено розподіл 900 занять, відвіданих студентами у Google Meet, Zoom і Teams. Скориставшись діаграмою, доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Кількість відвіданих занять у Zoom...

Аменша від $400$».

Бстановить половину від загальної кількості».

Встановить третину від загальної кількості».

Гменша за кількість занять у Google Meet».

Дналежить проміжку $[550; 700]$».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

На круговій діаграмі показано розподіл $900$ занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину.

Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36347

Завдання 200 з 744

Визначте кількість цілих значень $a$, за яких корені $x_1$ i $x_2$ квадратного рівняння $x^2-4ax+4a^2-25=0$ задовольняють умову $x_1\lt 1\lt x_2.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2-4ax+4a^2-25=0;\\[7pt] x_1\lt 1\lt x_2. \end{gather*}

Визначмо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(4a)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-25)=16a^2-16a^2+100=100;\\[7pt] \sqrt{D}=10;\\[6pt] x_1=\frac{4a-10}{2}=2a-5;\\[6pt] x_2=\frac{4a+10}{2}=2a+5. \end{gather*}

Підставмо вирази для коренів у подвійну нерівність:

\begin{gather*} 2a-5\lt 1\lt 2a+5. \end{gather*}

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2a-5\lt 1\\ 2a+5\gt 1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 1+5,\\ 2a\gt 1-5, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 6,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 3,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, значення $a$ має перебувати в межах $-2\lt a\lt 3.$

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: $-1$, $0$, $1$, $2.$

Усього таких значень чотири.

Відповідь: $4.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36346

Facebook

Twitter

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

	\(A\)	\(t\), год	\(N\)
Мама	\(1\)	\(3\)	\(1/3\)
Тато	\(1\)	\(6\)	\(1/6\)
Разом	\(1\)	\(x\)	\(1/x\)

Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики