Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики

ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

Отже,

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) – табличне значення.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=-x^3\) набуває всіх значень із проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=\sqrt{x}\) має лише одну спільну точку з колом \(x^2+y^2=9\) (центра кола \((0; 0)\) і радіус \(3\)).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\cos x.\) З тригонометричних функцій \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\operatorname{tg}\ x\), \(y=\operatorname{ctg}\ x\) тільки одна функція парна – це \(y=\cos x\). Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція \(y=\cos(x)\) є парною, бо для неї виконується рівність \(\cos(-x)=\cos(x)\), її графік є симетричним відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція \(f(x)=e^x\) має первсну \(F(x)=e^x + C\), функція \(f(x)=1\) має первісну \(F(x)=x+C\), де \(C\) – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції \(f(x)=2e^x+1\mathord{:}\) $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Корені рівняння:

якщо \(n=0\), $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо \(n=-1\),

Відповідь: B.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

У \(\Delta ABC\ KO\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, \(BC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ OM\) – середня лінія, тому

Побудуймо \(CH\ \perp\ AD.\)

У \(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\)

Площа трапеції

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати формули скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислювати їхнє значення.

За основною тригонометричною тотожністю:

Обчислімо значення виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. \(AM\) – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони \(BC\), але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки \(A\) до прямої \(BC\) є довжина перпенидкуляра з точки \(A\) до \(BC.\)

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка \(M\) – середина сторони \(BC\), тож вона рівновіддалена від точок \(B\) i \(C.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих \(AB\ ||\ CD\), \(CD\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ A_1B_1\) (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій \(AB\), – три \((CD\), \(\ C_1D_1\), \(\ A_1B_1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з раціональними числами, використовувати властивості модуля.

Спростімо вираз

за формулою різниці квадратів $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Підставимо в умову:

За властивістю модуля числа:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функції.

На рисунку зображено графік функції на проміжку \([-5; 4].\)

Функція набуває додатних значень там, де графік проходить вище від осі \(Ox.\) Це відповідає \(x\) із проміжку \([-5; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

А

Рівняння має один корінь.

Б

Рівняння коренів не має.

В

Рівняння має два різні дійсні корені.

Г

Рівняння коренів не має.

Д

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати число за його частиною, розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Клієнт банку зняв \(0\mathord{,}2\) від суми, що була на рахунку. Залишилось \(0\mathord{,}8\) від цієї суми – \(4800\) грн.

– це сума, що була на рахунку.

Отже, $$ 6000-4800=1200\ \text{грн} $$ було знято з рахунку.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

\(ABCD\) – ромб, тому \(AB=BC=CD=DA.\)

Отже, \(\Delta ADC\) – рівнобедрений з основою \(AC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника:

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, \(AC\) – бісектриса кута \(A{:}\) $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює \(180^\circ.\) Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Диню розрізали на \(6\) рівних частин. Кожна із цих частин становить \(\frac 16\) від усієї дині.

Якщо з'їли \(2\) частини, то залишилося \(4.\) Вони становлять $$ \frac 46=\frac 23 $$ від усієї дині.

Відповідь: А.

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: \(\sqrt{5x-a}=t\ge 0\), тоді \(5x-a=t^2.\)

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно \(t{:}\)

Сума коренів:

Отже, за \(a=-0\mathord{,}875\) сума коренів рівняння дорівнює \(1\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з \(9\) учнів і \(12\) учениць першого класу (всього \(21\) особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з \(10\) учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з \(8\) учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати \(1\) учня й \(1\) ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: \(1680.\)

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

За умовою, дотична до графіка функції в точці \(x_0=3\) паралельна прямій \(y=1\mathord{,}5x+5.\) Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

Похідна

Відповідь: \(-3\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. \(\Delta ABD\) – прямокутний із катетами \(AB=6\) см і \(AD=8\) см.

Правильна відповідь – B.

2. \(OM\ \perp\ AD.\) За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \(OM\) – середня лінія, тому

Правильна відповідь – A.

3.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Дійсні числа. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення їх.

1. \(\frac{m}{4}=1\), \(m=4.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\log_{16}2+\log_{16}m=\log_{16}(2m)=1.\)

За властивістю логарифмів: $$ \log_ab+\log_ac=\log_a(bc). $$

За означенням логарифма:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=7x+4\) – графік функції перетинає вісь \(y\) у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=-\frac 7x\) – функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)\) – логарифмічна функція \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, уміння визначати їхні числові значення.

Функція \(y=\sin x\) періодична з найменшим додатним періодом \(T=2\mathbf{\pi}.\) За означенням періодичної фукнції:

Застосували формулу \(\operatorname{tg}\ (180^\circ-\mathbf{\alpha})=-\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями \(x=a\), \(x=b\), графіком функції \(y=f(x)\) і віссю \(Ox\) визначаємо за формулою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв'яжімо систему лінійних нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-\infty; -2].\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання означення та властивостей логарифма.

За властивістю логарифма: $$ \log_ab^n=n\log_ab\mathord{;} $$ $$ \log_aa=1. $$

Спростімо вираз:

Відповідь: B.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, \(M\) – середина \(BC.\)

II. Твердження неправильне. \(AM\) – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою \(BC.\) Але в умові \(\Delta ABC\) – довільний.

III. Твердження правильне. \(S_{ABM}=S_{AMC}.\) За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

\(AC=8\) см, \(BD=6\) см, \(\cos \angle AOD=-\frac 14.\)

За властивістю паралелограма

У \(\Delta AOD\) за теоремою косинусів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

З \(1\) га насадження ялівцю виділяється \(30\) кг фітонцидів за \(1\) день.

З \(2000\) га виділяється \(30\ \text{кг/га}\cdot 2000\ \text{га}=60000\ \text{кг}\) фітонцидів за день.

Визначмо масу фітонцидів за \(30\) днів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Спростімо вираз:

Використали властивість кореня: \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\) де \(a\), \(b\gt 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі \(Ox\) – це перетворення виду: $$ f(x)\rightarrow f(x+A), $$ де \(A\) – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо \(A\gt 0\) – переносимо графік вліво, якщо \(A\lt 0\) – переносимо вправо.

Отже, графік функції \(y=x^3\) перенесли на \(4\) одиниці ліворуч й отримали графік функції \(y=(x+4)^3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення та вмінння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо спільний множник за дужки:

Використали розподільну властивість множення: $$ a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b). $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути \(\mathbf{\gamma}\) i \(\mathbf{\beta}\) – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів \(\mathbf{\beta} = \mathbf{\gamma}.\)

Кути \(\mathbf{\alpha}\) i \(\mathbf{\gamma}\) – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

Отже, \(\mathbf{\beta}=145^\circ.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD\mathord{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) – ребра основи. Отже, \(SA\) є бічним ребром.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання основної властивості пропорції.

Виразімо із цієї рівності \(m_1\mathord{:}\)

У перетворенні застосували основну властивість пропорції:

Відповідь: А.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів:
січень – \(250\);
лютий – \(100\);
березень – \(200\);
квітень – \(100\);
травень – \(150\).

Місяць, у якому продано планшетів на \(100\) більше, ніж у попередньому, – березень.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння, рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

Дріб дорівнює нулю за умови, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні.

За умовою корінь \(x\) має бути додатним і задовольняти ОДЗ. Тобто \(x\gt 0\) та \(x\lt 2.\) Отже, \(0\lt x\lt 2.\)

Підставмо \(x\) у нерівність:

Оскільки \(a\) – ціле число, то \(a=5\mathord{,}\ 6\mathord{,}\ 7\mathord{,}\ 8.\)

Сума значень \(a:\) $$ 5+6+7+8=26. $$

Відповідь: \(26.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

Площа бічної поверхні ціліндра

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ \(AC=30\) см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

Об'єм піраміди

Відповідь: \(3000.\)

ТЕМА: Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, всього в літаку \(6n\) місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)

За означенням імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

Відповідь: \(30.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2\ f(x)=10.\) Отже, \(f(-4)=10.\)

Якщо \(x\ge -2\), \(f(x)=4x^2+3x.\)

Обчислімо

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін \(BC\) i \(AD\), тому діаметр кола дорівнює стороні \(AB.\) Отже, довжина радіуса \(OK=\frac 12AB=6\) см.

Правильна відповідь – А.

2. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\), \(BK=AK.\) За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – B.

3. У \(\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB\) і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

У \(\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)\), \(OM=6\) см, \(AM=OH=12\) см. За теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати перетворення графіків функцій.

1. На проміжку \([-4; 0]\) зображено графік функції \(y=\sqrt{-x}.\)

Елементарним перетворенням \(f(x)\rightarrow f(-x)\) графік відображено симетрично відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. На проміжку \((0; 2]\) зображено графік функції \(y=x^3.\) Отже, правильна відповідь – A.

3. На проміжку \((2; 6)\) зображено графік лінійної функції \(y=12-2x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1\) є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7\) є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Вираз \((e-1)^2\) спростили за формулою квадрата різниці: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

Підставмо значення \(y=0\mathord{,}5\) у перше рівняння:

Розв'язком системи є пара чисел \((9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу \(\frac 3x\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}\) $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних \((u+v)'=u'+v'\) визначимо похідну функції:

За таблицею похідних

Відповідь: A.

ТЕМА: Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислення їхнього значення за заданих значень змінних.

Застосуймо формулу подвійного аргумента $$ \sin 2\mathbf{\alpha}=2\sin \mathbf{\alpha}\cos \mathbf{\alpha} $$ для спрощення виразу:

Значення виразу належить проміжку \([1; 2).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

\(BC=2x\), \(AD=5x=b\), \(x=\frac b5.\)

Побудуймо висоти \(BH\) i \(CK.\) \(HBCK\) – прямокутник, тому

Точка \(O\) – середина \(AD\), а тому \(HO=OK=x.\)

У \(\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)\), \(O=45^\circ.\) Отже, \(\Delta BHO\) – рівнобедрений. \(HO=BH=x.\)

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Застосуймо властивості алгоритмів:

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

Функція \(y=\left(\frac 14\right)^x\) – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

$$ x\in (-\infty; 4). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння додавати і віднімати вектори, визначати модуль вектора.

Визначмо різницю векторів за формулами:

Визначимо модуль вектора \(\overrightarrow{c}\) за формулою:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\(12a\) i \(5a\) – подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Аналогічно спрощують \((1a-17a).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Показникова функція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості перетворення графіків функцій, знання властивостей показникової функції.

Графік функції \(y=3^x\) перенесли на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(y.\)

За властивістю елементарних перетворень переміщення вздовж осі \(y\) $$ f(x)\rightarrow f(x)+A, $$ де \(A\) – кількість одиниць, на які переміщують графік. Якщо \(A\gt 0\), то графік переміщують угору, а якщо \(A\lt 0\) – униз.

Запис \(y=3^x \rightarrow y=3^x-2\) означає, що графік функції перемістили вниз на \(2\) одиниці, бо \(A=-2.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути \(\mathbf{\beta}\) i \(\mathbf{\varphi}\) – вертикальні. За їхньою властивістю \(\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.\)

За умовою \(\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ\), тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути \(\mathbf{\alpha}\) i \(\mathbf{\beta}\) – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за розміром його відсотка.

Ціна акції зросла на \(10\ \text{%}\) від початкової ціни.

Ціна тепер становить \(990\) грн і це \(110\ \text{%}\) від початкової ціни.

Визначмо \(x\) – початкову ціну акцій, яка становить \(100\ \text{%}.\) Складімо пропорцію:

Відповідь: A.

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі \(SO\) i \(SB\) лежать в одній площині, бо мають спільну точку \(S.\)

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа

Отже, \(|2\sqrt{2}-3|=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Марко купив \(4\) набори з \(2\) ручок по \(25\) грн кожний і \(3\) набори з \(5\) ручок по \(40\) грн кожний.

За покупку Марко заплатив:

Відповідь: В.

ТЕМА: Координати і вектори на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння кола, властивостей прямокутної системи координат на площині, уміння застосовувати координати для розв’язання планіметричних задач.

За умовою:

Рівняння кола: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.\)

Дано коло із центром у точці \((11+3a; -2)\) i радіусом \(7.\)

Унаслідок зміни параметра \(a\) коло переміщується вздовж прямої \(y=-2.\)

Для того, щоб коло дотикалося до осі \(Oy\), центр кола повинен бути в точці \((7; -2)\) або \((-7; -2).\)

Щоб коло перетинало двічі вісь ординат, абсциса \(a\) центра кола повинна бути цілим числом – розв'язком нерівності:

Найменше ціле значення \(a=-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

\(S=64\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(AA_1=AC\), \(OK=O_1D.\)

Площа поверхні сфери \(S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}\), \(R^2=16\ \textit{см}^2,\) \(R=4\) см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, \(OK=O_1D=4\) см.

Призма – правильна, отже \(\Delta ABC\) – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де \(a\) – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

Об'єм призми

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

На діаграмі відображено відповіді учнів про те скільки вони витрачають годин на підготовку до контрольної роботи.

Не менш як дві години витратили:
\(2\) години – \(5\) учнів;
\(2\mathord{,}5\) години – \(4\) учні;
\(3\) години – \(2\) учні;
\(3\mathord{,}5\) та \(4\) години – по \(1\) учню.

Всього таких учнів – \(13.\)

Імовірність події \(A\) того, що навмання вибраний учень із цієї групи витратив не менш як дві години, визначмо за формулою: $$ P(A)=\frac kn, $$ де \(k\) – кількість сприятливих подій \((k=13)\), а \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій \((n=20).\)

Отже, $$ P(A)=\frac{13}{20}=0\mathord{,}65. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}65.\)

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Функція \(y=f(x)\) є прямою пропорційністю, це означає, що вона має вигляд \(f(x)=kx\), де \(k\) – коефіцієнт пропорційності.

Графік функції проходить через точку \((2; 7)\). Підставимо ці координати в рівняння функції, щоб визначити \(k\mathord{:}\) \begin{gather*} 7=k\cdot 2,\\[6pt] k=\frac 72. \end{gather*}

Отже, функція \(f(x)\) має вигляд: \begin{gather*} f(x)=\frac 72x,\\[6pt] g(x)=3f(x)+\frac{|x|}{8}. \end{gather*}

Підставимо \(f(x)\) у вираз для \(g(x)\mathord{:}\)

Треба обчислити значення функції \(g(x)\) у точці з абсцисою \(x_0=-2.\)

Відповідь: \(-20\mathord{,}75.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де \(a\), \(b\) – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. \(BK\ \perp\ AD.\) Проєкція \(AB\) на пряму \(AD\) – відрізок \(AK.\) \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, тому \(AB=CD.\)

Рівні похилі \(BA\) i \(CD\) мають рівні проєкції \(AK=HD.\)

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції \(ABCD\), це коло описане навколо \(\Delta ACD.\)

За наслідком з теореми синусів:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. \(\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}=-\frac 12.\)

Функція \(y=\sin x\) – непарна, тому \(\sin (-x)=-\sin (x).\) Отже, правильна відповідь – А.

За властивістю модуля числа: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$ \(\mathbf{\pi}+2\gt 0\), тому \(|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}+2.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{2})^2}=\frac 12.\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Лінійні, квадратичні та логарифмічні функції.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей лінійної, квадратичної та логарифмічної функцій, уміння визначати область визначення, області значень, властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=2x-5\) – лінійна функція, її графік – пряма.

Графік функції має лише дві точки перетину з осями координат. Отже, правильна відповідь – А.

2. \(y=\log_3(x-5)\) – логарифмічна функція. Графік функції \(y=\log_3x\) перенесено паралельно вздовж осі \(Ox\) на \(5\) одиниць управо.

Областю визначення функції є проміжок \((5; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=x^2-5\) – квадратична функція. Графік функції \(y=x^2\) перенесено вздовж осі \(Oy\) на \(5\) одиниць униз.

Областю значень функції є проміжок \([-5; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Щоб визначити корінь рівняння, треба підставити значення \(x\) у рівняння. Після цього з'ясувати, за якого значення \(x\) рівняння стає правильною рівністю.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\mathord{:}\)

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\) не є коренем рівняння.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\mathord{:}\)

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\) не є коренем рівняння.

Якщо \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\mathord{:}\)

Отже, \(x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\) – корінь рівняння.

Другий спосіб:

Якщо \(k=0\mathord{:}\)

Це – корінь рівняння.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

Первісну, яка проходить через точку \(A(0; 1)\), дізнаймося підставивши координати точки \(x=0\), \(F(0)=1\) у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої \(C\mathord{:}\)

$$ C=1. $$ Отже, \begin{gather*} F(x)=2x^2-3x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.