Національний мультитест з математики - тести для підготовки до ЗНО, починаючи з 400

Національний мультитест. Тема «Національний мультитест з математики». Всі запитання починаючи з 400

401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600 ▶

Завдання 401 з 1206

Розв’яжіть нерівність $$ \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16}. $$

А$(-\infty; 2)$

Б$(4; +\infty)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-2; +\infty)$

Д$(-\infty; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16},\\[6pt] \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\left(\frac{1}{4}\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\frac 14\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)},\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x),\\[7pt] 2x-6\lt 2,\\[7pt] 2x\lt 2+6,\\[7pt] 2x\lt 8,\\[7pt] x\lt 4. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; 4). $$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35329

Завдання 402 з 1206

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівну площу.

III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише I та IIІ

Длише ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35330

Завдання 403 з 1206

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_5x+1=\log_512.$

А$[0; 2)$

Б$[2; 4)$

В$[4; 6)$

Г$[6; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_5x+1=\log_5 12,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-1,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-\log_5 5,\\[6pt] \log_5x=\log_5\left(\frac{12}{5}\right). \end{gather*}

Застосуймо властивості алгоритмів:

\begin{gather*} \log_a=1,\\[6pt] \log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right). \end{gather*}

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

\begin{gather*} x=\frac{12}{5},\\[6pt] x=2\frac 25\in [2; 4). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35331

Завдання 404 з 1206

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $(AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ.$ $AD:BC=5:2$, $AD=b.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$\frac{7b^2}{25}$

Б$\frac{7b^2\sqrt{2}}{50}$

В$\frac{21b^2}{100}$

Г$\frac{7b^2}{50}$

Д$\frac{7b^2}{45}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

$BC=2x$, $AD=5x=b$, $x=\frac b5.$

Побудуймо висоти $BH$ i $CK.$ $HBCK$ – прямокутник, тому

\begin{gather*} BC=HK=2x,\\[7pt] AH=KD=(5x-2x):2=1\mathord{,}5x. \end{gather*}

Точка $O$ – середина $AD$, а тому $HO=OK=x.$

У $\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)$, $O=45^\circ.$ Отже, $\Delta BHO$ – рівнобедрений. $HO=BH=x.$

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{2x+5x}{2}\cdot x=\frac 72 x^2. \end{gather*}

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

$$ S=\frac 72\cdot \left(\frac b5\right)^2=\frac{7b^2}{2\cdot 25}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35332

Завдання 405 з 1206

Якому проміжку належить значення виразу $6\sin 15^\circ\cos 15^\circ$?

А$[0; 1)$

Б$[1; 2)$

В$[2; 3)$

Г$[3; 5)$

Д$[5; 6]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислення їхнього значення за заданих значень змінних.

Застосуймо формулу подвійного аргумента $$ \sin 2\mathbf{\alpha}=2\sin \mathbf{\alpha}\cos \mathbf{\alpha} $$ для спрощення виразу:

\begin{gather*} 6\sin 15^\circ\cos 15^\circ=3\cdot (2\sin 15^\circ\cos 15^\circ)=\\[6pt] =3\sin 30^\circ=3\cdot \frac 12=1\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення виразу належить проміжку $[1; 2).$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35333

Завдання 406 з 1206

Знайдіть похідну функції $f(x)=2+\frac 3x.$

А$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$

Б$f'(x)=3$

В$f'(x)=3\ln|x|$

Г$f'(x)=2x+3\ln|x|$

Д$f'(x)=\frac{3}{x^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу $\frac 3x$ за властивістю степенів $a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}$ $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних $(u+v)'=u'+v'$ визначимо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=2+\frac 3x,\\[6pt] f(x)=2+3x^{-1},\\[6pt] f'(x)=0+3\cdot (-1\cdot x^{-2})=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^2}. \end{gather*}

За таблицею похідних

$$ (x^{\mathbf{\alpha}})'=\mathbf{\alpha}x^{\mathbf{\alpha}-1}. $$

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35334

Завдання 407 з 1206

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} x-\frac 3y=3,\\ x+\frac 1y=11. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$5$

Б$-2\mathord{,}5$

В$6\mathord{,}5$

Г$9\mathord{,}5$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x-\frac 3y=3\ |\cdot (-1),\\ x+\frac 1y=11. \end{array}\right.\\[7pt] + \left\{\begin{array}{l} -x+\frac 3y=-3,\\ \underline{x+\frac 1y=11,} \end{array}\right.\\[6pt] \frac 3y+\frac 1y=8,\\[6pt] \frac 4y=8,\\[6pt] y=\frac 12. \end{gather*}

Підставмо значення $y=0\mathord{,}5$ у перше рівняння:

\begin{gather*} x-\frac{3}{0\mathord{,}5}=3,\\[6pt] x-6=3,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Розв'язком системи є пара чисел $(9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}$

$$ x_0+y_0=9+0\mathord{,}5=9\mathord{,}5. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35335

Завдання 408 з 1206

Узгодьте вираз (1–3) і твердження про його значення (А – Д), яке є правильним для цього виразу, де $e\approx 2\mathord{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

1$\ln \frac 1e$

2$e+1$

3$(e-1)^2-e^2+2e$

Ає натуральним числом

Бє від’ємним цілим числом

Вє від’ємним нецілим числом

Гдорівнює $0$

Дє ірраціональним числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. $\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1$ є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7$ є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

3. $(e-1)^2-e^2+2e=e^2-2e+1-e^2+2e=1$ є натуральним числом. Отже, правильна відповідь – А.

Вираз $(e-1)^2$ спростили за формулою квадрата різниці: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35336

Завдання 409 з 1206

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-4; 6].$ Узгодьте проміжок (1–3) із функцією (А – Д), що описує графік функції $y=f(x)$ на цьому проміжку.

1$[-4; 0]$

2$(0; 2]$

3$(2; 6]$

А$y=x^3$

Б$y=12-2x$

В$y=-\sqrt{x}$

Г$y=2^x$

Д$y=\sqrt{-x}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати перетворення графіків функцій.

1. На проміжку $[-4; 0]$ зображено графік функції $y=\sqrt{-x}.$

Елементарним перетворенням $f(x)\rightarrow f(-x)$ графік відображено симетрично відносно осі $Oy.$ Отже, правильна відповідь – Д.

2. На проміжку $(0; 2]$ зображено графік функції $y=x^3.$ Отже, правильна відповідь – A.

3. На проміжку $(2; 6)$ зображено графік лінійної функції $y=12-2x.$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35337

Завдання 410 з 1206

Коло із центром у точці $O$ дотикається трьох сторін прямокутника $ABCD.$ Вершина $K$ прямокутного рівнобедреного трикутника $AKB$ належить колу. $AB=12$ см. Доберіть до кожного початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина радіуса $OK$ кола дорівнює

2Довжина відрізка $BK$ дорівнює

3Відстань від точки $O$ до вершини $A$ дорівнює

А$6$ см

Б$8$ см

В$6\sqrt{2}$ см

Г$6\sqrt{5}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. Коло дотикається до сторін $BC$ i $AD$, тому діаметр кола дорівнює стороні $AB.$ Отже, довжина радіуса $OK=\frac 12AB=6$ см.

Правильна відповідь – А.

2. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $BK=AK.$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BK^2+KA^2=2BK^2,\\[7pt] 2BK^2=12^2\ \textit{см},\\[7pt] BK^2=144\ \textit{см}:2=72\ \textit{см},\\[7pt] BK=\sqrt{72}\ \textit{см}=\sqrt{2\cdot 36}\ \textit{см}=6\sqrt{2}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

3. У $\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB$ і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

\begin{gather*} KH=\frac 12AB=6\ \textit{см},\\[7pt] OH=OK+KH=6\ \textit{см}+6\ \textit{см}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)$, $OM=6$ см, $AM=OH=12$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AO^2=AM^2+OM^2,\\[7pt] AO=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\\[7pt] =\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35338

Завдання 411 з 1206

Задано функцію $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$ Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Якщо $x\lt -2\ f(x)=10.$ Отже, $f(-4)=10.$

Якщо $x\ge -2$, $f(x)=4x^2+3x.$

\begin{gather*} f'(x)=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19. \end{gather*}

Обчислімо

$$ f(-4)-f'(2)=10-19=-9. $$

Відповідь: $-9.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35339

Завдання 412 з 1206

У салоні пасажирського літака $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (по $3$ з кожного боку від проходу). Реєструючи першого пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу в першому або останньому ряду, дорівнює $\frac{1}{45}.$ Знайдіть $n.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього в салоні літака $n$ рядів по $6$ місць у кожному. Отже, всього в літаку $6n$ місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду $4.$ Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – $\frac{1}{45}.$

За означенням імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події ($4$ місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів ($6n$ – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{1}{45}=\frac{4}{6n},\\[6pt] 6n=4\cdot 45,\\[7pt] n=30. \end{gather*}

Відповідь: $30.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35340

Завдання 413 з 1206

Правильна чотирикутна піраміда й циліндр мають рівні висоти. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди дорівнює радіусу кола основи циліндра. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $600\mathbf{\pi}$ см$^2$, а площа його основи – $225\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

3000

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

\begin{gather*} S=225\mathbf{\pi}=\mathbf{\pi}R^2,\\[7pt] R^2=225\ \textit{см}^2,\\[7pt] R=15\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні ціліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 15H=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$, дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ $AC=30$ см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

\begin{gather*} S=\frac 12 d^2=\frac 12\cdot (30\ \textit{см})^2=450\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 450\ \textit{см}^2\cdot 20\ \textit{см}=3000\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $3000.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35341

Завдання 414 з 1206

Визначте суму всіх цілих значень $a$, за кожного з яких рівняння $$ \frac{2^{4x+2a-15}-2\sqrt{2}}{\sqrt{2-x}}=0 $$ має додатний корінь.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння, рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 2-x\gt 0,\\[7pt] x\lt 2,\\[7pt] x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю за умови, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні.

\begin{gather*} 2^{4x+2a-15}-2\sqrt{2}=0\\[7pt] 2^{4x+2a-15}=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^{4x+2a-15}=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] 4x+2a-15=1\mathord{,}5\\[7pt] 4x=1\mathord{,}5+15-2a\\[7pt] 4x=16\mathord{,}5-2a\\[6pt] x=\frac{33}{8}-\frac a2. \end{gather*}

За умовою корінь $x$ має бути додатним і задовольняти ОДЗ. Тобто $x\gt 0$ та $x\lt 2.$ Отже, $0\lt x\lt 2.$

Підставмо $x$ у нерівність:

\begin{gather*} 0\lt \frac{33}{8}-\frac a2\lt 2,\ |\cdot 8\\[6pt] 0\lt 33-4a\lt 16,\\[7pt] -33\lt -4a\lt 17,\ |:(-4)\\[6pt] \frac{17}{4}\lt a\lt \frac{33}{4},\\[6pt] 4\frac 14\lt a\lt 8\frac 14. \end{gather*}

Оскільки $a$ – ціле число, то $a=5\mathord{,}\ 6\mathord{,}\ 7\mathord{,}\ 8.$

Сума значень $a:$ $$ 5+6+7+8=26. $$

Відповідь: $26.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35342

Завдання 415 з 1206

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів у магазині електроніки протягом перших п'яти місяців року. Укажіть місяць, у якому продано на $100$ планшетів більше ніж у попередньому.

Алютий

Бберезень

Вквітень

Гтравень

Дсічень

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів:
січень – $250$;
лютий – $100$;
березень – $200$;
квітень – $100$;
травень – $150$.

Місяць, у якому продано планшетів на $100$ більше, ніж у попередньому, – березень.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35343

Завдання 416 з 1206

Масова частка $w$ розчиненої речовини дорівнює відношенню її маси $m_1$ до маси $m_2$ всього розчину. Виразіть $m_1$ через $m_2$ й $w.$

А$m_1=m_2\cdot w$

Б$m_1=\frac{m_2}{w}$

В$m_1=\frac{w}{m_2}$

Г$m_1=m_2-w$

Д$m_1=m_2+w$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання основної властивості пропорції.

Виразімо із цієї рівності $m_1\mathord{:}$

\begin{gather*} w=\frac{m_1}{m_2},\\[6pt] \frac w1=\frac{m_1}{m_2},\\[6pt] m_1\cdot 1=m_2\cdot w,\\[7pt] m_1=m_2\cdot w. \end{gather*}

У перетворенні застосували основну властивість пропорції:

$$ \text{якщо}\ \frac ab=\frac cd,\ \text{то}\ ad=bc. $$

Відповідь: А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35344

Завдання 417 з 1206

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $SA$ є

Аребром основи

Бапофемою

Ввисотою

Гбічним ребром

Двисотою основи

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD\mathord{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ – ребра основи. Отже, $SA$ є бічним ребром.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35345

Завдання 418 з 1206

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ і $n.$ Визначте градусну міру кута $\mathbf{\beta}$, якщо $\mathbf{\alpha}=35^\circ.$

А$135^\circ$

Б$125^\circ$

В$155^\circ$

Г$55^\circ$

Д$145^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути $\mathbf{\gamma}$ i $\mathbf{\beta}$ – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів $\mathbf{\beta} = \mathbf{\gamma}.$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\gamma}$ – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+ \mathbf{\gamma}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=35^\circ,\\[7pt] \mathbf{\gamma}=180^\circ - 35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\beta}=145^\circ.$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35346

Завдання 419 з 1206

$12x^3-x=$

А$x(12x^2-1)$

Б$12x(x^2-1)$

В$x(12x^3-1)$

Г$12x(x^3-1)$

Д$x(12x^2-x)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення та вмінння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо спільний множник за дужки:

$$ 12x^3-x=12\cdot x^2\cdot x-1\cdot x=x\cdot (12x^2-1). $$

Використали розподільну властивість множення: $$ a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b). $$

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35347

Завдання 420 з 1206

Графік функції $y=x^3$ паралельно перенесли на $4$ одиниці ліворуч уздовж осі $x.$ Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

А$y=x^3-4$

Б$y=(x-4)^3$

В$y=4x^3$

Г$y=(x+4)^3$

Д$y=x^3+4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі $Ox$ – це перетворення виду: $$ f(x)\rightarrow f(x+A), $$ де $A$ – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо $A\gt 0$ – переносимо графік вліво, якщо $A\lt 0$ – переносимо вправо.

Отже, графік функції $y=x^3$ перенесли на $4$ одиниці ліворуч й отримали графік функції $y=(x+4)^3.$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35348

Завдання 421 з 1206

$\frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=$

А$4$

Б$3$

В$2$

Г$2\sqrt{2}$

Д$\sqrt{\frac 73}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2. \end{gather*}

Використали властивість кореня: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},$ де $a$, $b\gt 0.$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35349

Завдання 422 з 1206

Насадження ялівцю, що займають площу $1$ га, за день виділяють в атмосферу фітонциди масою $30$ кг. Яку масу фітонцидів виділять насадження ялівцю, що ростуть на $2000$ га, за $30$ днів?

А$1\mathord{,}1\cdot 10^5$ кг

Б$1\mathord{,}8\cdot 10^6$ кг

В$1\mathord{,}8\cdot 10^5$ кг

Г$1\mathord{,}8\cdot 10^7$ кг

Д$2\cdot 10^3$ кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

З $1$ га насадження ялівцю виділяється $30$ кг фітонцидів за $1$ день.

З $2000$ га виділяється $30\ \text{кг/га}\cdot 2000\ \text{га}=60000\ \text{кг}$ фітонцидів за день.

Визначмо масу фітонцидів за $30$ днів:

$$ 60000\ \text{кг/день}\cdot 30\ \text{днів}=1800000\ \text{кг}=1\mathord{,}8\ \text{кг}\cdot 1000000=1\mathord{,}8\cdot 10^6\ \text{кг}. $$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35350

Завдання 423 з 1206

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O.$ Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=–\frac{1}{4}.$

А$\sqrt{31}$ см

Б$2\sqrt{7}$ см

В$\sqrt{22}$ см

Г$5$ см

Д$\sqrt{19}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

$AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=-\frac 14.$

За властивістю паралелограма

\begin{gather*} AO=OC=\frac 12AC=4\ \text{см},\\[6pt] BO=OD=\frac 12BD=3\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOD$ за теоремою косинусів:

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2-2\cdot AO\cdot OD\cdot \cos \angle AOD,\\[6pt] AD^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \left(-\frac 14\right)=16+9+6=31\ \text{см}^2,\\[6pt] AD=\sqrt{31}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35351

Завдання 424 з 1206

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Точка $M$ є серединою $BC.$

II. Промінь $AM$ є бісектрисою $\angle A.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $AMC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише ІІ та ІІІ

ДI, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, $M$ – середина $BC.$

II. Твердження неправильне. $AM$ – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою $BC.$ Але в умові $\Delta ABC$ – довільний.

III. Твердження правильне. $S_{ABM}=S_{AMC}.$ За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35352

Завдання 425 з 1206

$\log_55^{10}=$

А$1$

Б$2$

В$10$

Г$50$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання означення та властивостей логарифма.

За властивістю логарифма: $$ \log_ab^n=n\log_ab\mathord{;} $$ $$ \log_aa=1. $$

Спростімо вираз:

\begin{gather*} \log_5 5^{10}=10\log_5 5=10\cdot 1=10. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35353

Завдання 426 з 1206

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=–30.$ Знайдіть значення виразу $a_1-a_3.$

А$-12$

Б$6$

В$-6$

Г$30$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

\begin{gather*} a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d=-30. \end{gather*}

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=a_1-a_1-2d=-2d=-2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35354

Завдання 427 з 1206

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 3x-2\ge 5x-6,\\ 7x+1\le 4x-5. \end{array}\right. $$

А$(-\infty; 2]$

Б$[2; +\infty)$

В$[-2; 2]$

Г$(-\infty; -2]$

Д$[-2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв'яжімо систему лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3x-2\ge 5x-6,\\ 7x+1\le 4x-5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3x-5x\ge -6+2,\\ 7x-4x\le -5-1, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} -2x\ge -4,\\ 3x\le -6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\le -4:(-2),\\ x\le -6:3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\le 2,\\ x\le -2. \end{array}\right. \end{gather*}

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок $x\in (-\infty; -2].$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35355

Завдання 428 з 1206

Обчисліть площу $S$ заштрихованої фігури, обмеженої графіком функції $y=e^x$, віссю абсцис і прямою $x=1.$

А$S=e+1$

Б$S=e$

В$S=1$

Г$S=1-e$

Д$S=e-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями $x=a$, $x=b$, графіком функції $y=f(x)$ і віссю $Ox$ визначаємо за формулою:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),\\[6pt] S=\mathop{\int}\limits_0^1 e^x dx=\left.e^x\right|_0^1=e^1-e^0=e-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35356

Завдання 429 з 1206

$4\sin 450^\circ+\operatorname{tg} 135^\circ=$

А$-3$

Б$-5$

В$3$

Г$-1$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, уміння визначати їхні числові значення.

Функція $y=\sin x$ періодична з найменшим додатним періодом $T=2\mathbf{\pi}.$ За означенням періодичної фукнції:

\begin{gather*} f(x)=f(x\pm T),\\[7pt] 2\mathbf{\pi}=360^\circ,\\[7pt] \sin 450^\circ=\sin(360^\circ+90^\circ)=\sin 90^\circ=1,\\[7pt] \operatorname{tg}\ 135^\circ=\operatorname{tg} (180^\circ-45^\circ)=-\operatorname{tg} 45^\circ=-1. \end{gather*}

Застосували формулу $\operatorname{tg}\ (180^\circ-\mathbf{\alpha})=-\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Отже,

$$ 4\sin 450^\circ+\operatorname{tg}\ 135^\circ=4\cdot 1+(-1)=4-1=3. $$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35357

Завдання 430 з 1206

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).

1$y=7x+4$

2$y=-\frac 7x$

3$y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)$

Апарна

Бнепарна

Вобласть визначення функції є проміжок $(0; +\infty)$

Гграфік функції перетинає вісь $y$ в точці з ординатою $4$

Дспадає на всій області визначення

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=7x+4$ – графік функції перетинає вісь $y$ у точці з ординатою $4.$

Отже, правильна відповідь – Г.

2. $y=-\frac 7x$ – функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)$ – логарифмічна функція $y=\log_a x$ спадна на всій області визначення, якщо $a\in (0; 1).$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35358

Завдання 431 з 1206

Узгодьте вираз (1–3) із значенням $m$ (А – Д), за якого значення цього виразу дорівнює $1.$

1$\frac m4$

2$4^6:4^{-m}$

3$\log_{16}2+\log_{16}m$

А$\frac 14$

Б$6$

В$4$

Г$-6$

Д$8$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення їх.

1. $\frac{m}{4}=1$, $m=4.$

Отже, правильна відповідь – B.

\begin{gather*} 4^6:4^{-m}=4^{6-(-m)}=4^{6\ +\ m}=1,\\[7pt] 4^0=1,\ \text{тому}\ 4^{6\ +\ m}=4^0,\\[7pt] 6+m=0,\\[7pt] m=-6. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $\log_{16}2+\log_{16}m=\log_{16}(2m)=1.$

За властивістю логарифмів: $$ \log_ab+\log_ac=\log_a(bc). $$

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_{16}(2m)=1,\\[7pt] 2m=16^1,\\[7pt] 2m=16,\\[7pt] m=8. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35359

Завдання 432 з 1206

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$, $O$ – точка перетину його діагоналей. $AB=6$ см, $AD=8$ см, $OM$ – перпендикуляр, проведений з точки $O$ до сторони $AD$. Доберіть до геометричної фігури (1–3) її площу (А – Д).

1трикутник $ABD$

2трикутник $AOD$

3п’ятикутник $ABCOM$

А$12$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. $\Delta ABD$ – прямокутний із катетами $AB=6$ см і $AD=8$ см.

$$ S_{ABD}=\frac 12 AB\cdot AD=\frac 12\cdot 6\ \text{см}\cdot 8\ \text{см}=24\ \text{см}^2. $$

Правильна відповідь – B.

2. $OM\ \perp\ AD.$ За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12\cdot AB=3\ \text{см},\\[6pt] S_{AOD}=\frac 12 \cdot AD\cdot OM=\frac 12\cdot 8\cdot 3=12\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

\begin{gather*} S_{ABCOM}=S_{ABC}+S_{AOM},\\[7pt] S_{ABC}=S_{ABD}=24\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{AOM}=\frac 12S_{AOD}=\frac 12\cdot 12\ \text{см}^2=6\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{ABCOM}=24\ \text{см}^2+6\ \text{см}^2=30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35360

Завдання 433 з 1206

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$, є паралельною до прямої $y=1\mathord{,}5x + 5.$

Знайдіть значення похідної функції $g(x)=\frac{18}{x}–f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

-3.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, $f'(x_0)=k.$

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці $x_0.$

За умовою, дотична до графіка функції в точці $x_0=3$ паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$ Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}

Похідна

\begin{gather*} \left(\frac{18}{x}\right)'=(18\cdot x^{-1})'=-18\cdot x^{-2}=-\frac{18}{x^2},\\[6pt] g'(x_0)=g'(3)=-\frac{18}{3^2}-1\mathord{,}5=-2-1\mathord{,}5=-3\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-3\mathord{,}5.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35361

Завдання 434 з 1206

У першому класі школи навчаються $9$ учнів і $12$ учениць, а в одинадцятому – $10$ учнів і $8$ учениць. Для проведення свята першого дзвоника потрібно вибрати трьох учнів: двох одинадцятикласників (учня й ученицю) та одного першокласника (учня або ученицю). Скільки всього існує варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1680

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з $9$ учнів і $12$ учениць першого класу (всього $21$ особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з $10$ учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з $8$ учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати $1$ учня й $1$ ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: $1680.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35362

Завдання 435 з 1206

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює $648\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

972

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$ – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\mathbf{\pi}R^2=648\mathbf{\pi},\\[7pt] 4R^2=648,\\[7pt] R^2=162,\\[7pt] R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABCD}=\frac 12d^2=\frac 12\cdot (2\cdot 9\sqrt{2})^2=\frac 12\cdot 4\cdot 81\ \text{см}^2\cdot 2=324\ \text{см}^2\\[6pt] H=KO. \end{gather*}

$KP\ \perp\ DC$ – апофема піраміди (висота бічної грані). $KO\ \perp\ (ABC)$, $KP$ – похила на площину основи, $OP$ – проєкція похилої $KP.$ Звідси, $\angle KPO=45^\circ$ – це кут між прямою $KP$ і площиною основи.

У $\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)$, $\angle P=45^\circ$, тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

$\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).$ $AD=DC$, $AC=18\sqrt{2}$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+DC^2=AC^2,\\[7pt] 2AD^2=(18\sqrt{2}\ \text{см})^2,\\[7pt] AD=18\ \text{см},\\[6pt] OK=OP=\frac 12AD=9\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 324\ \text{см}^2\cdot 9\ \text{см}=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35363

Завдання 436 з 1206

Знайдіть значення $a$, за якого сума коренів рівняння $$ 10x-2a-7\sqrt{5x-a}+3=0 $$ дорівнює $1\mathord{,}5.$

Впишіть відповідь:

-0.875

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: $\sqrt{5x-a}=t\ge 0$, тоді $5x-a=t^2.$

\begin{gather*} 10x-2a-7\sqrt{5x-a}+3=0,\\[7pt] 2(5x-a)-7\sqrt{5x-a}+3=0,\\[7pt] 2t^2-7t+3=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно $t{:}$

\begin{gather*} D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25,\\[6pt] t_1=\frac{7-5}{4}=\frac 12,\\[6pt] t_2=\frac{7+5}{4}=3,\\[6pt] \left[\begin{array}{l} \sqrt{5x-a}=\frac 12,\\ \sqrt{5x-a}=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 5x-a=\frac 14,\\ 5x-a=9, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 5x=a+\frac 14,\\ 5x=a+9, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_1=\frac 15a+\frac{1}{20},\\ x_2=\frac 15a+\frac 95. \end{array}\right. \end{gather*}

Сума коренів:

\begin{gather*} x_1+x_2=\frac 15a+\frac{1}{20}+\frac 15a+\frac 95=1\mathord{,}5,\\[6pt] \frac 25a+\frac{1}{20}+\frac{36}{20}=1\mathord{,}5\ |\cdot 20,\\[6pt] 8a+1+36=30,\\[7pt] 8a=-7,\\[6pt] a=-\frac 78=-0\mathord{,}875. \end{gather*}

Отже, за $a=-0\mathord{,}875$ сума коренів рівняння дорівнює $1\mathord{,}5.$

Відповідь: $-0\mathord{,}875.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35364

Завдання 437 з 1206

Диню розрізали на $6$ рівних частин і дві з них з'їли. Яка частина дині залишилася?

А$\frac 23$

Б$\frac 13$

В$\frac 56$

Г$\frac 12$

Д$\frac 32$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Диню розрізали на $6$ рівних частин. Кожна із цих частин становить $\frac 16$ від усієї дині.

Якщо з'їли $2$ частини, то залишилося $4.$ Вони становлять $$ \frac 46=\frac 23 $$ від усієї дині.

Відповідь: А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35365

Завдання 438 з 1206

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC.$ $\angle CAD=23^\circ.$ Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

А$67^\circ$

Б$136^\circ$

В$134^\circ$

Г$124^\circ$

Д$144^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

$ABCD$ – ромб, тому $AB=BC=CD=DA.$

Отже, $\Delta ADC$ – рівнобедрений з основою $AC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника:

\begin{gather*} \angle A=\angle C=23^\circ,\\[7pt] \angle D=180^\circ-2\cdot 23^\circ=180^\circ-46^\circ=134^\circ. \end{gather*}

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, $AC$ – бісектриса кута $A{:}$ $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює $180^\circ.$ Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35366

Завдання 439 з 1206

Клієнт банку зняв $0\mathord{,}2$ від суми, що була на рахунку. Після цього на рахунку залишилося $4800$ грн. Скільки грошей було знято?

А$960\ \text{грн}$

Б$1200\ \text{грн}$

В$1600\ \text{грн}$

Г$600\ \text{грн}$

Д$800\ \text{грн}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати число за його частиною, розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Клієнт банку зняв $0\mathord{,}2$ від суми, що була на рахунку. Залишилось $0\mathord{,}8$ від цієї суми – $4800$ грн.

$$ 4800\ \text{грн}:0\mathord{,}8=48000\ \text{грн}:8=6000\ \text{грн} $$

– це сума, що була на рахунку.

Отже, $$ 6000-4800=1200\ \text{грн} $$ було знято з рахунку.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35367

Завдання 440 з 1206

Яке з наведених рівнянь має два різні дійсні корені?

А$x^2+2x+1=0$

Б$x^2+2x+3=0$

В$x^2+2x=0$

Г$x^2+4=0$

Д$-x^2-2x-1=0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2+2x+1=0,\\[7pt] (x+1)^2=0,\\[7pt] x=-1 \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

\begin{gather*} x^2+2x+3=0,\\[7pt] x^2+2x+1+2=0,\\[7pt] x^2+2x+1=-2,\\[7pt] (x+1)^2=-2,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} x^2+2x=0,\\[7pt] x(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=-2 \end{gather*}

Рівняння має два різні дійсні корені.

\begin{gather*} x^2+4=0,\\[7pt] x^2=-4,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} -x^2-2x-1=0,\\[7pt] x^2+2x+1=0,\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35368

Завдання 441 з 1206

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з п’яти довгих і чотирьох коротких стрілок, які виходять з вершини розгорнутого кута та поділяють його на рівні частини. Знайдіть градусну міру кута між двома довгими сусідніми стрілками.

А$18^\circ$

Б$20^\circ$

В$30^\circ$

Г$36^\circ$

Д$40^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на $10$ рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

$$ 18^\circ\cdot 2=36^\circ. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35369

Завдання 442 з 1206

На рисунку зображено графік функції, визначеної на проміжку $[–5; 4].$ Укажіть проміжок, на якому функція набуває лише додатних значень.

А$[-5; 2)$

Б$[-5; -1)$

В$[2; 4)$

Г$(0; 3]$

Д$(0; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функції.

На рисунку зображено графік функції на проміжку $[-5; 4].$

Функція набуває додатних значень там, де графік проходить вище від осі $Ox.$ Це відповідає $x$ із проміжку $[-5; -1).$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35370

Завдання 443 з 1206

$ \left|\frac{2\mathord{,}5^2-7\mathord{,}5^2}{3\mathord{,}5+6\mathord{,}5}\right|= $

А$-5$

Б$-1$

В$0\mathord{,}5$

Г$1$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з раціональними числами, використовувати властивості модуля.

Спростімо вираз

\begin{gather*} 2\mathord{,}5^2-7\mathord{,}5^2=(2\mathord{,}5-7\mathord{,}5)(2\mathord{,}5+7\mathord{,}5)=-5\cdot 10=-50 \end{gather*}

за формулою різниці квадратів $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Підставимо в умову:

$$ \left|\frac{-50}{3\mathord{,}5+6\mathord{,}5}\right|=\left|\frac{-50}{10}\right|=|-5|=5. $$

За властивістю модуля числа:

$$ |a|=\left[\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35371

Завдання 444 з 1206

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Укажіть кількість прямих, що проходять через ребра куба, і є паралельними до прямої $AB.$

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих $AB\ ||\ CD$, $CD\ ||\ C_1D_1$, $AB\ ||\ C_1D_1$, $AB\ ||\ A_1B_1$ (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій $AB$, – три $(CD$, $\ C_1D_1$, $\ A_1B_1).$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35372

Завдання 445 з 1206

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Довжина $AM$ дорівнює довжині сторони $BC.$

II. Довжина $AM$ дорівнює відстані від точки $A$ до сторони $BC.$

III. Точка $M$ рівновіддалена від точок $B$ і $C.$

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І та ІІ

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. $AM$ – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони $BC$, але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки $A$ до прямої $BC$ є довжина перпенидкуляра з точки $A$ до $BC.$

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка $M$ – середина сторони $BC$, тож вона рівновіддалена від точок $B$ i $C.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35373

Завдання 446 з 1206

Обчисліть значення виразу $5(1-\cos^2 \mathbf{\beta})$, якщо $\sin \mathbf{\beta}=0\mathord{,}8.$

А$3\mathord{,}2$

Б$1$

В$2$

Г$1\mathord{,}8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислювати їхнє значення.

За основною тригонометричною тотожністю:

\begin{gather*} \sin^2 \mathbf{\beta}+\cos^2 \mathbf{\beta}=1,\\[7pt] 1-\cos^2 \mathbf{\beta}=\sin^2 \mathbf{\beta}=0\mathord{,}8^2=0\mathord{,}64. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу:

\begin{gather*} 5(1-\cos^2 \mathbf{\beta})=5\cdot 0\mathord{,}64=3\mathord{,}2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35374

Завдання 447 з 1206

Спростіть вираз $x(x-2y)-(x-y)^2.$

А$-2xy$

Б$-4xy$

В$-y^2$

Г$-4xy-y^2$

Д$y^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати формули скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2{:}$

\begin{gather*} x(x-2y)-(x-y)^2=x^2-2xy-(x^2-2xy+y^2)=x^2-2xy-x^2+2xy-y^2=-y^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35375

Завдання 448 з 1206

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ $(AB=CD)$, точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції, діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO=5$ см, $OM=7$ см, $\angle CAD=30^\circ.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$144$ см$^2$

Б$144\sqrt{3}$ см$^2$

В$288$ см$^2$

Г$48\sqrt{3}$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

\begin{gather*} KM=\frac 12(BC+AD). \end{gather*}

У $\Delta ABC\ KO$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, $BC=10$ см.

У $\Delta ACD\ OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12AD,\\[6pt] AD=14\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуймо $CH\ \perp\ AD.$

\begin{gather*} HD=(AD-BC):2=(14-10):2=2\ \text{см}.\\[7pt] AH=AD-HD=14-2=12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$

\begin{gather*} \operatorname{tg}\ A=\frac{CH}{AH},\\[6pt] CH=AH\cdot \operatorname{tg}\ A=12\cdot \operatorname{tg}\ 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа трапеції

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=KM\cdot CH=12\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35376

Завдання 449 з 1206

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $1-\log_{0\mathord{,}5}x=3.$

А$(-\infty; 0)$

Б$[0; 1)$

В$[1; 3)$

Г$[3; 10)$

Д$[10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} 1-\log_{0\mathord{,}5}x=3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}x=1-3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}=-2. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=0\mathord{,}5^{-2},\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2},\\[6pt] x=2^2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння $4\in [3; 10).$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35377

Завдання 450 з 1206

Укажіть корінь рівняння $\sin \frac x2=1.$

А$-\mathbf{\pi}$

Б$-\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

В$-3\mathbf{\pi}$

Г$\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Д$3\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac{x}{2}=1,\\[6pt] \frac x2=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in Z,\\[6pt] x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}n,\ n\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння:

якщо $n=0$, $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо $n=-1$,

$$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot (-1)=\mathbf{\pi}-4\mathbf{\pi}=-3\mathbf{\pi}. $$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35378

Завдання 451 з 1206

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1.$

А$F(x)=2e^x+C$

Б$F(x)=2e^x+x+C$

В$F(x)=e^{x^2}+C$

Г$F(x)=e^{x^2}+x+C$

Д $F(x)=\frac{2e^{x+1}}{x+1}+x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція $f(x)=e^x$ має первсну $F(x)=e^x + C$, функція $f(x)=1$ має первісну $F(x)=x+C$, де $C$ – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1\mathord{:}$ $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35379

Завдання 452 з 1206

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).

1$y=-x^3$

2$y=\sqrt{x}$

3$y=\cos x$

Ає парною

Бмає лише одну спільну точку з колом $x^2+y^2=9$

Внемає спільних точок з прямою $x=0$

Гграфік функції розташований лише в другій координатній чверті

Днабуває всіх значень з проміжку $(-\infty; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=-x^3$ набуває всіх значень із проміжку $(-\infty; +\infty).$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. $y=\sqrt{x}$ має лише одну спільну точку з колом $x^2+y^2=9$ (центра кола $(0; 0)$ і радіус $3$).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $y=\cos x.$ З тригонометричних функцій $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\operatorname{tg}\ x$, $y=\operatorname{ctg}\ x$ тільки одна функція парна – це $y=\cos x$. Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція $y=\cos(x)$ є парною, бо для неї виконується рівність $\cos(-x)=\cos(x)$, її графік є симетричним відносно осі $Oy.$ Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35380

Завдання 453 з 1206

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).

1$\frac{3}{3^{-3}}$

2$\log_8\sqrt[3]{2}$

3$2(\cos 30^\circ-0\mathord{,}5)(\cos 30^\circ+0\mathord{,}5)$

А$1$

Б$\frac 19$

В$\sqrt{3}$

Г$3$

Д$81$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

$$ \frac{3}{3^{-3}}=3\cdot 3^{3}=3^{1+3}=3^4=81. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} \log_{a^m}b=\frac 1m\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_ab^n=n\cdot \log_ab. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \log_8\sqrt[3]{2}=\log_{2^3}2^{\frac 13}=\frac 13\cdot \frac 13\cdot\log_2 2=\frac 19\cdot 1=\frac 19. \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ – табличне значення.

\begin{gather*} 2(\cos 30^\circ-0\mathord{,}5)(\cos 30^\circ+0\mathord{,}5)=2(\cos^2 30^\circ-0\mathord{,}5^2)=\\[6pt] =2\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\frac 14\right)=2\left(\frac 34-\frac 14\right)=2\cdot \frac 24=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35381

Завдання 454 з 1206

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола. Перше коло з центром у точці $O_1$ описано навколо цього прямокутника. Площа круга, обмеженого колом з центром у точці $O_1$, дорівнює $625\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Друге коло з центром у точці $O_2$ дотикається до сторін $AB$, $BC$ та $AD.$ $AB=30$ см. Узгодьте початок речення (1–3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Відстань від $O_2$ до сторони $BC$

2Довжина сторони $AD$ дорівнює

3Довжина відрізка $O_1O_2$ дорівнює

А$5$ см

Б$10$ см

В$15$ см

Г$25$ см

Д$40$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці $O_1$ дорівнює $625\mathbf{\pi}$ см$^2.$

\begin{gather*} S=\mathbf{\pi}R^2=625\mathbf{\pi},\\[7pt] R^2=625,\\[7pt] R=25\ \text{см},\\[7pt] O_1A=O_1B=O_1C=O_1D=25\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань від $O_2$ до сторони $BC{:}$ $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

$O_2K\ \perp\ BC$, а $KP$ – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола $O_1$, описаного навколо прямокутника $ABCD$, лежить на середині діагоналі $BD.$

\begin{gather*} O_1B=O_1D=25\ \text{см},\\[7pt] BD=50\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $(\angle A=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=(50\ \text{см})^2-(30\ \text{см})^2=1600\ \text{см}^2,\\[7pt] AD=40\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де $FO_2$ – радіус кола із центром у точці $O_2.$

\begin{gather*} FO_2=15\ \text{см}.\\[7pt] OO_1=20\ \text{см}-15\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35382

Завдання 455 з 1206

Графіки функцій $y=f(x)$ й $y=x^2-2x+3$ перетинаються в точках з абсцисами $x_1=0$ й $x_2=3.$ Обчисліть площу зафарбованої фігури, якщо $$ \mathop{\int}\limits_0^3 f(x)dx=14\mathord{,}1. $$

Впишіть відповідь:

5.1

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбница для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b \left(f(x)-g(x)\right) dx, $$ де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^3 \left(f(x)-y\right) dx=\mathop{\int}\limits_0^3 f(x) dx-\mathop{\int}\limits_0^3(x^2-2x+3)dx=\\[6pt] =14\mathord{,}1-\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+3x\right)\right|_0^3=14\mathord{,}1-\left(\frac{27}{3}-\frac{2\cdot 9}{2}+3\cdot 3-0\right)=\\[6pt] =14\mathord{,}1-9+9-9=5\mathord{,}1. \end{gather*}

Відповідь: $5\mathord{,}1.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35383

Завдання 456 з 1206

Підприємство планує закупити два різні кольорові й три різні монохромні принтери. На ринку є $10$ моделей кольорових й $8$ моделей монохромних принтерів із відповідними характеристиками. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

2520

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є $10$ моделей кольорових принтерів. Вибрати $2$ з них можна $\mathrm{C}_{10}^2$ варіантами.

Вибрати $3$ принтери з $8$ монохромних моделей можна $\mathrm{C}_8^3$ варіантами.

Підприємство планує купити і $2$ кольорові, і $3$ монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} \mathrm{C}_{10}^2\cdot \mathrm{C}_8^3=\frac{10!}{2!\ 8!}\cdot \frac{8!}{3!\ 5!}=\frac{9\cdot 10\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =3\cdot 10\cdot 6\cdot 7\cdot 2=2520. \end{gather*}

Відповідь: $2520.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35384

Завдання 457 з 1206

Площа поверхні сфери дорівнює $300\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Радіус основи конуса дорівнює радіусу сфери. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Визначте об’єм (у см$^3$) конуса $V.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\mathbf{\pi}}.$

Впишіть відповідь:

125

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

\begin{gather*} S=4\mathbf{\pi}R^2=300\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] 4R^2=300\ \text{см}^2,\\[7pt] R^2=75\ \text{см}^2,\\[7pt] R=OC=5\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус основи конуса $O_1B=CO$ – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У $\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)$.

$$ AO_1=BO_1\operatorname{tg}\ B=5\sqrt{3}\ \text{см}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=5\ \text{см}. $$

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

\begin{gather*} R=O_1B,\\[7pt] H=AO_1,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot (5\sqrt{3}\ \text{см})^2\cdot 5=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot 25\ \text{см}\cdot 3\ \text{см}\cdot 5\ \text{см}=125\mathbf{\pi}\ \text{см}^3,\\[6pt] \frac{V}{\mathbf{\pi}}=125\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $125.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35385

Завдання 458 з 1206

Визначте кількість цілих значень $a$, що належать проміжку $[–9; 9]$, за кожного з яких корінь рівняння $ax-5=a+2x$ є додатним.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} ax-5=a+2x,\\[7pt] ax-2x=a+5,\\[7pt] x(a-2)=a+5. \end{gather*}

Якщо $a=2$, рівняння не має коренів $(x\cdot 0=7).$

Якщо $a\ne 2$, корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку $a\in [-9; 9]$ рівняння має розв'язок, якщо $a\in [-9; -5)\cup (2; 9].$

Цілі значення $a$ із цього проміжку: $-9$, $-8$, $-7$, $-6$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9.$ Тобто цілих значень $a$ $11.$

Відповідь: $11.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35386

Завдання 459 з 1206

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, синю, жовту, зелену та чорну. За діаграмою визначте різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали кінотеатру.

А$20$

Б$25$

В$30$

Г$35$

Д$55$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

На діаграмі наведено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру.

Біла зала – $55$,
синя зала – $40$,
жовта зала – $35$,
зелена зала – $20$,
чорна зала – $45.$

Знаходимо різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали:

\begin{gather*} 55-20=35. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35423

Завдання 460 з 1206

Драбина $BC$ приставлена до вертикальної стіни $AB$ й спирається на горизонтальну поверхню $AC$ (див. рисунок). За наведеними на рисунку даними визначте градусну міру кута $BCA$ нахилу драбини до поверхні $AC.$

А$18^\circ$

Б$82^\circ$

В$72^\circ$

Г$12^\circ$

Д$78^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: \begin{gather*} \angle KBC=\angle A+\angle C,\\[7pt] \angle C=\angle KBC-\angle A,\\[7pt] \angle C=162^\circ-90^\circ,\\[7pt] \angle C=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35424

Завдання 461 з 1206

Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як $3 : 4.$ Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців?

А$72$

Б$87$

В$91$

Г$95$

Д$101$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. Підприємство за рік виготовляє
$3x$ столів,
$4x$ стільців.

Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців була \begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Кількість виробів може бути числом, кратним $7.$ З наведених чисел це може бути $91.$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35425

Завдання 462 з 1206

Визначте корінь рівняння $\log_3x=2.$

А$\sqrt{3}$

Б$5$

В$6$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_3x=2. \end{gather*} За означенням логарифма: \begin{gather*} x=3^2,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35426

Завдання 463 з 1206

Висота конуса та його твірна лежать на прямих, що

Апаралельні

Бне мають спільних точок

Вперпендикулярні

Гмимобіжні

Дналежать одній площині

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса $(H)$ – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса $(L)$ – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35428

Завдання 464 з 1206

На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Якщо функція набуває лише додатних значень $(y\gt 0)$, її графік має повністю лежати вище від осі $Ox$ і не дотикатися її.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35429

Завдання 465 з 1206

Першого разу з банківської картки зняли $40\ \text{%}$ усіх грошей, а другого – $500$ грн. Після цього на ній залишилася половина від початкової суми. Скільки гривень залишилося на картці?

А$2500$

Б$2000$

В$5000$

Г$4000$

Д$1500$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

Нехай початкова сума грошей на картці $x$ грн. Тоді першого разу зняли $40\ \%$ від $x$, або $0{,}4x.$ Другий раз зняли $500$ грн, після цього залишилася половина від початкової суми, тобто $0{,}5x.$

Складімо рівняння:

\begin{gather*} x-0{,}4x-500=0{,}5x,\\[7pt] 0{,}6x-500=0{,}5x,\\[7pt] 0{,}6x-0{,}5x=500,\\[7pt] 0{,}1x=500,\\[7pt] x=5000. \end{gather*}

Початкова сума на картці була $5000$ грн. На картці залишилася половина від початкової суми: \begin{gather*} 5000:2=2500\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35430

Завдання 466 з 1206

Визначте координати вектора $\overrightarrow{KL}$ якщо $K(3; 2; 4)$, $L(– 1; 2; 0).$

А$(4; 0; 4)$

Б$(2; 4; 4)$

В$(2; 0; -2)$

Г$(1; 2; 2)$

Д$(-4; 0; -4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо $K(x_1; y_1; z_1)$, $L(x_2; y_2; z_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).$

\begin{gather*} K(3; 2; 4),\\[7pt] L(-1; 2; 0),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-1-3; 2-2; 0-4),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-4; 0; -4). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35431

Завдання 467 з 1206

$\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt{36}=$

А$12$

Б$6\cdot \sqrt[9]{2}$

В$6\cdot \sqrt[6]{2}$

Г$72$

Д$6\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt{36}=2\cdot \sqrt{6^2}=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Застосували властивість: $\sqrt[3]{a^3}=a.$

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35432

Завдання 468 з 1206

У довільному трикутнику $ABC$ проведено медіану $AM$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. $BM=MC.$

II. Промінь $AM$ ділить кут $A$ навпіл.

III. Площі трикутників $ABM$ і $ACM$ рівні.

Алише I

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки $AM$ – медіана, точка $M$ ділить сторону $CB$ навпіл. Отже, $BM=MC.$ Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників $\Delta ABM$ і $\Delta ACM$ рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: $S=ah_a.$

У трикутників $ABM$ та $ACM$ основи рівні $(BM = MC)$, а висота $AH$, проведена з вершини $A$ до прямої $CB$, у них спільна.

Отже, $S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35433

Завдання 469 з 1206

Скільки всього коренів рівняння $\cos x=0$ належать проміжку $[0; 2\pi]$?

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше за три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\cos x=0$ має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $k$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; 2\pi].$

Якщо $k=0$, то $x=\frac{\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=1$, то $x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=2$, то $x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=-1$, то $x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; 2\pi].$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35434

Завдання 470 з 1206

Позначте формулу для визначення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ та прямою $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^2 2^x\ dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x\ dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2)\ dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_0^2 (2-2^x)\ dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігури згори, а $g(x)$ – функція графік якої обмежує фігуру знизу.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35435

Завдання 471 з 1206

Розв’яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+4\ge 0,\\ 2(3x-5)-6\lt x+8. \end{array}\right. \end{gather*}

А$\varnothing$

Б$[-4; 4{,}8)$

В$[2; 4{,}8)$

Г$(-\infty; 4{,}8)$

Д$(-\infty; -2]\cup [2; 4{,}8)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Розв’яжімо першу нерівність:

\begin{gather*} x^2+4\ge 0,\\[7pt] x^2\ge -4. \end{gather*}

Ця нерівність справедлива для всіх дійсних чисел $x\in R.$

Розв’яжімо другу нерівність:

\begin{gather*} 2(3x-5)-6\lt x+8,\\[7pt] 6x-10-6\lt x+8,\\[7pt] 6x-16\lt x+8,\\[7pt] 6x-x\lt 8+16,\\[7pt] 5x\lt 24,\\[7pt] x\lt 4{,}8,\\[7pt] x\in (-\infty; 4{,}8). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35437

Завдання 472 з 1206

$\dfrac{4x^2-25}{(2x-5)^2}=$

А$\dfrac{2x+5}{2x-5}$

Б$1$

В$2x+5$

Г$\dfrac{1}{2x-5}$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різниця квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b),\\[7pt] \frac{4x^2-25}{(2x-5)^2}=\frac{(2x-5)(2x+5)}{(2x-5)^2}=\frac{2x+5}{2x-5}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35438

Завдання 473 з 1206

На колі вибрано точки $A$, $B$ і $C$ так, що $\angle ACB=30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги $AB$ дорівнює $25$ см.

А$150$

Б$300$

В$250$

Г$200$

Д$360$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка $O$ – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} $O$ – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $60^\circ.$ За формулою довжини дуги

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де $L$ – довжина кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 25=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 25=\frac L6,\\[6pt] L=25\cdot 6=150\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35439

Завдання 474 з 1206

Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=\log_{0{,}5}x$

2Функція $y=\sin x$

3Функція $y=\frac{1}{2x-2}$

Закінчення речення

Ане визначена в точці $x=1.$

Бнабуває від’ємного значення в точці $x=2.$

Вє непарною.

Гмає лише одну точку екстремуму.

Дзростає на проміжку $(0; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. $y=\log_{0{,}5}x$ набуває від’ємного значення в точці $x=2.$ \begin{gather*} \log_{0{,}5} 2=\log_{2^{-1}} 2=-1\cdot \log_2 2=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $y=\sin x$ непарна функція.

Функція $y=\sin x$ є непарною, бо для неї виконується рівність $\sin (-x)=\sin (x)$, її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. $y=\frac{1}{2x-2}$ не визначена в точці $x=1$, бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35440

Завдання 475 з 1206

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо $m=-\frac 43.$

Вираз

1$|m-4|$

2$4m^{-1}$

3$(3m+1)^0$

Значення виразу

А$-3$

Б$1$

В$0$

Г$3$

Д$\frac{16}{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня із цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left|-\frac 43-4\right|= \left|-\frac 43-\frac{12}{3}\right|= \left|-\frac{16}{3}\right|=\frac{16}{3}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} 4\cdot \left(-\frac 43\right)^{-1}=4\cdot \left(-\frac 34\right)=-3. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

\begin{gather*} a^0=1,\ \text{де}\ a\ne 0,\\[7pt] \left(3\cdot \left(-\frac 43\right)+1\right)^0=1. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35441

Завдання 476 з 1206

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка $O$ – середина діагоналі $AC$, то

\begin{gather*} AO=\frac 12AC,\\[7pt] AO=40:2=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+CD^2=AC^2,\\[7pt] AD^2=40^2-24^2=1600-576=1024,\\[7pt] AD=\sqrt{1024}=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

Нехай $BC=x.$

Оскільки $AB=BC$, то $AB=x.$

Проведімо висоту з точки $B$ на основу $AD.$ Нехай це буде $BK$. У прямокутній трапеції висота $BK=CD=24$ см. Відрізок $AK=AD-KD.$

Оскільки $BCDK$ – прямокутник, то $KD=BC=x.$ Отже, $AK=32-x.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] x^2=(32-x)^2+24^2,\\[7pt] x^2=1024-64x+x^2+576,\\[7pt] 64x=1600,\\[7pt] x=25\ \text{см},\\[7pt] AB=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35442

Завдання 477 з 1206

Задано функцію \begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30, x\lt -2,\\ 2x^4+x,\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*} Обчисліть значення виразу $f(-3)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-35

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

\begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30,\ \text{якщо}\ x\lt -2, \\ 2x^4+x,\ \text{якщо}\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Якщо $x\lt -2,\ f(x)=30.$ Отже, $f(-3)=30.$

Якщо $x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.$

\begin{gather*} f'(x)=2\cdot 4x^3+1=8x^3+1,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2^3+1=64+1=65. \end{gather*}

Обчислимо

\begin{gather*} f(-3)-f'(2)=30-65=-35. \end{gather*}

Відповідь: $-35.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35443

Завдання 478 з 1206

У квітковому магазині є $12$ білих та $25$ червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1650

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $2$ білі троянди з $12$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ червону троянду з $25$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об’єкт із $25$ можна $25$ способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $2$ білі й $1$ червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{12}^2\cdot C_{25}^1=66\cdot 25=1650. \end{gather*}

Відповідь: $1650.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35444

Завдання 479 з 1206

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює $240\sqrt{3}.$ Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює $8\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

3600

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи $(AC).$

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=AA_1=8\sqrt{3}).$ Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба $(AC).$

Формула площі перерізу: $S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.$

Звідси визначмо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ ромба $(BD).$

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $CD=BD$ (бо трикутник $\Delta BCD$ рівносторонній). Визначмо сторону $CD$ ромба:

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15,\\[6pt] \Delta COD{:}\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD},\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos\ 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}).$

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} $d_1$, $d_2$ – діагоналі ромба.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AC\cdot BD=30\cdot 10\sqrt{3}=150\sqrt{3}. \end{gather*}

4. Обчислімо об'єм $(V)$ призми за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H,\\[7pt] V=150\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=150\cdot 8\cdot 3=3600. \end{gather*}

Відповідь: $3600.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35445

Завдання 480 з 1206

За якого найбільшого значення $a$ рівняння \begin{gather*} 3^x+(4a^2+10a)\cdot 3^{-x}=4a+5 \end{gather*} не має коренів?

Впишіть відповідь:

-2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай $3^x=t.$ Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: $t\gt 0.$ Рівняння набуває вигляду:

\begin{gather*} t+\frac{4a^2+10a}{t}=4a+5. \end{gather*}

Помножмо все на $t\ (t\ne 0){:}$

\begin{gather*} t^2-(4a+5)t+(4a^2+10a)=0,\\[7pt] D=(4a+5)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2+10a)=16a^2+40a+25-16a^2-40a=25,\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, маємо два корені:

\begin{gather*} t_1=\frac{(4a+5)+5}{2}=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5,\\[6pt] t_2=\frac{(4a+5)-5}{2}=\frac{4a}{2}=2a. \end{gather*}

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб $t_1\le 0$ i $t_2\le 0{:}$

\begin{gather*} 1.\ 2a+5\le 0,\\[7pt] 2a\le -5,\\[7pt] a\le -2{,}5.\\[7pt] 2.\ 2a\le 0,\\[7pt] a\le 0. \end{gather*}

Спільна умова: $a\le -2{,}5.$

Найбільше значення $a$ з проміжку $(-\infty; -2{,}5]$ це $-2{,}5.$

Відповідь: $-2{,}5.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35446

Завдання 481 з 1206

На рисунку відображено зміну густини (у мкг/м$^3$) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в певному районі міста. Упродовж скількох годин густина такого пилу в повітрі перевищувала допустимий середньодобовий рівень, що становить $25$ мкг/м$^3$?

А$3$

Б$6$

В$12$

Г$8$

Д$10$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

\begin{gather*} 18-12=6\ \text{год}. \end{gather*} Отже, густина пилу перевищувала рівень $25$ мкг/м$^3$ протягом $6$ годин.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35769

Завдання 482 з 1206

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола із центром у точці $O.$ Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини.

А$180^\circ$

Б$100^\circ$

В$60^\circ$

Г$120^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знань про коло та його елементи.

Якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини, то

\begin{gather*} \angle AOC+\angle COB+\angle AOB=360^\circ. \end{gather*}

Звідси

$$ \angle AOB=360^\circ : 3=120^\circ. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35770

Завдання 483 з 1206

Довжина сторони ромба $ABCD$ – ціле число. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А$38$

Б$42$

В$56$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою, довжина сторони $(a)$ є цілим числом (наприклад $1$, $2$, $3$, $4\ \text{...}$). Тому, периметр $(P)$ буде завжди добутком цілого числа на $4$, що дає числа, які кратні $4{:}$

\begin{gather*} 4\cdot 1=4,\\[7pt] 4\cdot 2=8,\\[7pt] 4\cdot 3=12\ \text{і так далі}. \end{gather*}

З запропонованих чисел лише $56$ – кратне $4.$

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35771

Завдання 484 з 1206

Сирні кульки фасують по $4$ штуки в коробку. Яке з наведених чисел може бути загальною кількістю виготовлених кульок, щоб всі вони були повністю розфасовані по таких коробках?

А$102$

Б$106$

В$112$

Г$123$

Д$134$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати ознаки подільності чисел, розв’язувати текстові задачі.

Сирні кульки фасують по $4$ штуки в коробку. Щоб усі вони були повністю розфасовані по таких коробках, кількість кульок повинна бути кратна $4.$

З наведених варіантів чисел – це $112.$

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35772

Завдання 485 з 1206

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на відрізку $[-3; 5].$ Позначте $x_0$, для якого $f(x_0)$ є від'ємним числом.

А$x_0=-2$

Б$x_0=-1$

В$x_0=5$

Г$x_0=4$

Д$x_0=3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За $x_0=-2$, $x_0=-1$, $x_0=5$ та $x_0=4$ функція набуває додатного значення.

І лише за $x_0=3$ від'ємного: $f(3)=-1.$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35773

Завдання 486 з 1206

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD.$ Скільки прямих, перпендикулярних до висоти $SO$, лежать у площині основи $ABCD$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди $SO$ перпендикулярна до основи $ABCD.$ За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо $SO\ \perp\ (ABC)$, то $SO$ перпендикулярна до будь-якої прямої в площині $(ABC)$, а площина $(ABC)$ містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35774

Завдання 487 з 1206

Спростіть вираз $p^2\cdot \left(\sqrt[3]{p^6}\right)^4.$

А$p^{16}$

Б$p^{14}$

В$p^{10}$

Г$p^{8}$

Д$p^{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів та коренів, дії з ними.

\begin{gather*} p^2\cdot (\sqrt[3]{p^6})^4=p^2\cdot \left(p^{\frac 63}\right)^4=p^2\cdot (p^2)^4=p^2\cdot p^8=p^{10}. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\\[7pt] (a^x)^y=a^{xy},\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35775

Завдання 488 з 1206

Розв’яжіть нерівність $2x-3\lt 15+4x.$

А$(-3; +\infty)$

Б$(-\infty; -9)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-\infty; -3)$

Д$(-9; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} 2x-3\lt 15+4x,\\[7pt] 2x-4x\lt 15+3,\\[7pt] -2x\lt 18,\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

$$ x\in (-9; +\infty). $$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35776

Завдання 489 з 1206

У травні заробітна плата працівника зросла на $2\ \text{%}$ порівняно з квітнем. Якою була заробітна плата цього працівника в квітні, якщо вона була меншою на $605$ грн, ніж у травні?

А$60 500$ грн

Б$1210$ грн

В$121 000$ грн

Г$3250$ грн

Д$30 250$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за значенням його відсотка.

$2\ \text{%}$ від заробітної плати становлять $605$ грн. Складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2\ \text{%} - 605\ \text{грн},\\[7pt] 100\ \text{%} - x\ \text{грн},\\[6pt] \frac{2}{100}=\frac{605\ \text{грн}}{x},\\[6pt] x=\frac{605\ \text{грн}\cdot 100}{2}=30250\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35777

Завдання 490 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $O(0; 0; 0).$ Позначте координати точки, відстань від якої до точки $O$ дорівнює $10.$

А$(10; 10; 10)$

Б$(-10; 10; 0)$

В$(5; 5; 0)$

Г$(0; -6; 8)$

Д$(0; 4; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань між точками з координатами $(x_1; y_1; z_1)$ i $(x_2; y_2; z_2)$ можна визначити за формулою

$$ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. $$

Відстань між точками $(0; 0; 0)$ i $(0; -6; 8)\mathord{:}$

$$ \sqrt{(0-0)^2+(-6-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{0+36+64}=\sqrt{100}=10. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35778

Завдання 491 з 1206

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I. Медіана трикутника ділить його кут навпіл.

II. Бісектриса трикутника ділить його протилежну сторону навпіл.

III. Бісектриса трикутника проходить через центр уписаного в нього кола.

Алише I

Блише І та II

Влише І та III

Глише ІІI

Длише ІІ та III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр уписаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35779

Завдання 492 з 1206

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{x-2}=4.$

А$10$

Б$18$

В$4$

Г$14$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} \sqrt{x-2}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{x-2})^2=4^2,\\[7pt] x-2=16,\\[7pt] x=16+2,\\[7pt] x=18. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35780

Завдання 493 з 1206

У геометричній прогресії $(b_n)$ $b_1=5$, $b_3=\frac{b_4}{10}.$ Визначте $b_3.$

А$50$

Б$2$

В$0\mathord{,}05$

Г$500$

Д$0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_kq^{n-k},\ n\gt k,\\[7pt] b_4=b_3\cdot q^{4-3}=b_3q,\\[6pt] b_3=\frac{b_4}{q},\ \text{за умовою}\ b_3=\frac{b_4}{10}.\\[6pt] \text{Отже},\ q=10. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^2=5\cdot 10^2=500. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35781

Завдання 494 з 1206

Обчисліть $0\mathord{,}25^{\log_{0\mathord{,}5}4}.$

А$16$

Б$0\mathord{,}5$

В$0\mathord{,}25$

Г$4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

\begin{gather*} 0\mathord{,}25^{\log_{0\mathord{,}5}4}=0\mathord{,}5^{2\log_{0\mathord{,}5}4}=0\mathord{,}5^{\log_{0\mathord{,}5}4^2}=0\mathord{,}5^{\log_{0\mathord{,}5}16}=16. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b,\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35782

Завдання 495 з 1206

$\mathrm{tg}^2\ \alpha\cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=$

А$\sin^2 \alpha$

Б$\cos 2\alpha$

В$\cos^2 \alpha$

Г$1$

Д$\mathrm{tg}^2\ \alpha$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулами:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\\[6pt] \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,\\[6pt] \mathrm{tg}^2\ \alpha\cdot \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\cdot \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35783

Завдання 496 з 1206

Узгодьте вираз (1–3) із твердженням про його значення (А – Д), що є правильним для цього виразу.

1$\sqrt[3]{-27}$

2$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}$

3$(\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}$

Ає цілим від’ємним числом

Бє ірраціональним додатним числом

Вє ірраціональним від’ємним числом

Гє натуральним числом

Дє раціональним нецілим числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. $\sqrt[3]{-27}=-3.$
$-3$ – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. $ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. $
$\frac 15$ є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

3. $ (\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}=3+1=4. $
$4$ є натуральним числом. Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35784

Завдання 497 з 1206

Поєднайте функцію (1–3) з її найменшим значенням (А – Д) на проміжку $[–2; 6].$

1$y=4x+7$

2$y=x^2+1$

3$y=2^{x+5}$

А$6$

Б$8$

В$3$

Г$1$

Д$-1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=4x+7$ – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

$y=kx+b$, якщо $k\gt 0$ функція зростає, а якщо $k\lt 0$ – спадає.

На проміжку $[-2; 6]$ найменше значення функції за $x=-2.$

$$ y(-2)=4\cdot (-2)+7=-8+7=-1. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. $y=x^2+1$ – квадратична функція. Найменшого значення функція набуває за $x=0.$ $$ y(0)=0^2+1=1. $$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=2^{x+5}$ – показникова функція. Вона зростає на всій області визначення.

На проміжку $[-2; 6]$ найменшого значення функція набуває за $x=-2.$ $$ y(-2)=2^{-2+5}=2^3=8. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35785

Завдання 498 з 1206

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й рівносторонній трикутник $DCK$ зі стороною $8.$ Точка $D$ належить відрізку $AK$, точка $M$ i $N$ є серединами сторін $AB$ i $CK$ відповідно. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1висота ромба $ABCD$

2менша діагональ ромба $ABCD$

3$MN$

А$8\sqrt{3}$

Б$8$

В$12$

Г$4\sqrt{3}$

Д$4$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

$ABCD$ – ромб, $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CD=DK=CK=8.$ $MN$ – середня лінія.

1. Висота $CH$ трикутника $CDK$ – це висота ромба $ABCD.$

\begin{gather*} CK=8,\\[6pt] HK=\frac 12DK=4. \end{gather*}

У $\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CH^2=CK^2-HK^2=8^2-4^2=64-16=48,\\[7pt] CH=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CK=CD=DK=8$, $\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.$

$BC\ ||\ DK$, $CD$ – січна. $\angle KDC=\angle DCB=60^\circ$ як внутрішні різносторонні.

У ромбі $ABCD$ гострий кут $C$ дорівнює $60^\circ.$ $\Delta CBD$ – рівносторонній, тому $BC=CD=BD=8.$ Менша діагональ ромба $BD=8.$

Правильна відповідь – Б.

3.$BC=8$, $AK=AD+DK=8+8=16.$

Середнія лінія

\begin{gather*} MN=\frac{BC+AK}{2}=\frac{8+16}{2}=12. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35786

Завдання 499 з 1206

Задано функцію

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

$f(-4)=10$, тому що $x=-4\lt-2.$

$$ f'(x)=(4x^2+3x)'=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3. $$

При $x=2\mathord{:}$

\begin{gather*} f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19.\\[7pt] f(-4)-f'(2)=10-19=-9. \end{gather*}

Відповідь: $-9.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35787

Завдання 500 з 1206

Дарина бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $4$ різні листівки такої тематики й конверти жовтого й синього кольорів. Для кожного із чотирьох адресатів Дарина вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Дарини є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

384

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має $4$ різні листівки і $2$ кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього $4$ штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати $4$ листівки $4$ різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

\begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(4)=4!=24. \end{gather*}

Для кожного з $4$ адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо $2^4=16.$

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 24\cdot 16=384. \end{gather*}

Відповідь: $384.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35788

Завдання 501 з 1206

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$ Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорівнює $13.$ Визначте об’єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

800

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

У прямокутному $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).$ $MO$ – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: $MO=\frac 12AB.$ $MO=13$, тому $AB=26.$

\begin{gather*} \pi RL=\pi\cdot OB\cdot AB=26\pi\cdot OB=260\pi,\\[7pt] OB=10. \end{gather*}

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту $AO=H$ визначаємо з $\Delta AOB$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AO^2+OB^2,\\[7pt] AO^2=AB^2-OB^2=26^2-10^2=676-100=576,\\[7pt] AO=24,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \pi\cdot OB^2\cdot OA=\frac 13\pi\cdot 10^2\cdot 24=800\pi. \end{gather*}

Відповідь: $800.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35789

Завдання 502 з 1206

Визначте всі значення $a$, за кожного з яких рівняння $$ \frac{x^2-4x+3}{3x-a}=\frac{42+3x-x^2}{3x-a} $$ має один корінь. Якщо таке значення $a$ одне, запишіть його у відповіді. Якщо таких значень $a$ кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

10.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 3x-a\ne 0,\\[7pt] 3x\ne a,\\[6pt] x\ne \frac a3. \end{gather*}

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\begin{gather*} x^2-4x+3=42+3x-x^2,\\[7pt] x^2-4x+3-42-3x+x^2=0,\\[7pt] 2x^2-7x-39=0,\\[7pt] D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-39)=49+312=361,\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+19}{2\cdot 2}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}=6\mathord{,}5\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-19}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3. \end{gather*}

$x_1=6\mathord{,}5$ не буде коренем рівняння за умови:

\begin{gather*} x_1=\frac a3=6\mathord{,}5\\[6pt] a=19\mathord{,}5. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_2=-3.$

$x_2=-3$ не буде коренем рівняння за умови, що

\begin{gather*} x_2=\frac a3=-3,\\[7pt] a=-9. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_1=6{,}5.$

Отже, рівняння має один корінь за $a=19\mathord{,}5$ або $a=-9.$

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: $10\mathord{,}5.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35790

Завдання 503 з 1206

На діаграмі відображено інформацію про кількісний розподіл за кольорами стрічок, із яких плетуть маскувальні сітки. Білі стовпці діаграми відповідають кількості стрічок зазначеного кольору, використаних для однієї сітки влітку, а сірі – восени. За діаграмою визначте різницю між зеленими стрічками влітку та восени.

А$15$

Б$20$

В$25$

Г$30$

Д$35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

За діаграмою влітку на плетіння однієї сітки використовують $50$ зелених стрічок, а восени – $20.$ Обчислімо різницю: $$ 50-20=30\ \text{стрічок}. $$

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35791

Завдання 504 з 1206

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC.$ Скільки різних площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через точку $S$?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку $S$ можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35792

Завдання 505 з 1206

У кав’ярні пропонують $10$ видів десертів і $12$ видів кави. Відвідувач хоче замовити один десерт або одну чашку кави у цьому кафе. Скільки всього різних варіантів замовлення є у відвідувача?

А$120$

Б$12$

В$60$

Г$10$

Д$22$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – $10$, а однієї чашки кави – $12.$

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

$$ 10+12=22\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35793

Завдання 506 з 1206

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\frac 38\right)^x=\frac 83.$

А$(-6; -4)$

Б$(-4; -2)$

В$(-2; 0)$

Г$(0; 2)$

Д$(2; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \frac 83=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] \left(\frac 38\right)^x=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $(-2; 0).$

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35794

Завдання 507 з 1206

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–5; 5].$ Укажіть абсцису $x_0$ точки, у якій дотична до графіка функції, паралельна до осі $x.$

А$3$

Б$1$

В$7$

Г$-3$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дотична до графіка функції паралельна до осі $x$ у точках максимуму та мінімуму $x_0=-2$, $x_0=1.$

З наведених варіантів відповіді – це $x_0=1.$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35795

Завдання 508 з 1206

Ярослав визначив крокоміром, що зробив 2150 кроків. За якою формулою можна визначити відстань $S$ (у кілометрах), яку пройшов Ярослав, якщо довжина кожного його кроку дорівнює $d$ метрів?

А$S=2150d$

Б$S=\frac{1000d}{2150}$

В$S=\frac{2150}{1000d}$

Г$S=\frac{2150d}{1000}$

Д$S=2150\cdot 1000d$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Ярослав зробив $2150$ кроків, кожний довжиною $d$ метрів. Відстань $s$, яку він пройшов, можна визначити:

\begin{gather*} s=2150 \cdot d\ \text{м}\ \text{або}\\[6pt] s=\frac{2150d}{1000}\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35796

Завдання 509 з 1206

$(a+b)^{-2}=$

А$-a^2-2ab-b^2$

Б$\frac{1}{a^2+b^2}$

В$-\frac{2}{a+b}$

Г$\frac{1}{a^2+2ab+b^2}$

Д$-2a-2b$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати властивості степенів, формули скороченого множення.

За властивістю степенів: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$ Спростімо вираз:

\begin{gather*} (a+b)^{-2}=\frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{a^2+2ab+b^2}. \end{gather*}

Знаменник спростили за формулою квадрата суми.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35797

Завдання 510 з 1206

Укажіть корінь рівняння $\log_6x=2.$

А$3$

Б$\frac 13$

В$12$

Г$64$

Д$36$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c,\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \log_6 x=2,\\[7pt] x=6^2,\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35798

Завдання 511 з 1206

Діагональ квадрата $ABCD$ дорівнює $12$ см. На стороні $BC$ квадрата вибрано точку $K$ так, що $\angle KAB=30^\circ.$ Визначте площу трикутника $ABK.$

А$12\sqrt{3}$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24\sqrt{3}$ см$^2$

Г$36\sqrt{3}$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати площі трикутників.

$ABCD$ – квадрат, $AC=12$ см.

Сторону квадрата визначмо з $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: $$ AC^2=AB^2+BC^2. $$ За умови, що $AB=BC\mathord{:}$

\begin{gather*} AC^2=2AB^2,\\[7pt] 2AB^2=12^2,\\[7pt] AB^2=72,\\[7pt] AB=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\ (\text{см}). \end{gather*}

У $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AB},\\[6pt] BK=AB\cdot \mathrm{tg}\ A=6\sqrt{2}\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABK}=\frac 12 AB\cdot BK=\frac 12\cdot 6\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=12\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35799

Завдання 512 з 1206

Розв'яжіть нерівність $5^{3x-4}\ge \left(\frac 15\right)^{x-20}.$

А$[4; +\infty)$

Б$(-\infty; 6]$

В$[6; +\infty)$

Г$(-\infty; 8]$

Д$[12; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \left(\frac 15\right)^1=5^{-1},\\[6pt] 5^{3x-4}\ge 5^{-x+20}. \end{gather*}

Функція $y=a^x$ за $a\gt 1$ є зростаючою, тому

\begin{gather*} 3x-4\ge -x+20,\\[7pt] 3x+x\ge 20+4,\\[7pt] 4x\ge 24,\\[7pt] x\ge 6. \end{gather*}

$$ x\in [6; +\infty). $$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35800

Завдання 513 з 1206

Які з наведених тверджень є правильними для довільного трикутника?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ.$

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І i ІІI

ДI, II та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати $90^\circ.$ Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за $90^\circ$ (тупий), а сума двох інших кутів менша за $90^\circ.$

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35801

Завдання 514 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед, одна з вершин якого збігається з початком координат – точкою $O$, а три ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $K(5; 1; 7)$ є вершиною паралелепіпеда. Визначте довжину діагоналі цього паралелепіпеда.

А$5\sqrt{3}$

Б$\sqrt{26}$

В$10\sqrt{3}$

Г$15$

Д$13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину діагоналі $OK$ можна визначити за формулою відстані між двома точками:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}, \end{gather*}

де $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ – координати кінців відрізку.

\begin{gather*} O(0; 0; 0),\ \ K(5; 1; 7),\\[7pt] OK=\sqrt{(5-0)^2+(1-0)^2+(7-0)^2}=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35802

Завдання 515 з 1206

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2^{y+2x}=64,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$4\mathord{,}5$

Б$9$

В$1\mathord{,}5$

Г$7\mathord{,}5$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2^{y+2x}=64,\\ 2x-y=12, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2^{y+2x}=2^6,\\ 2x-y=12, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y+2x=6,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

\begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} 2x+y=6,\\ \underline{2x-y=12}, \end{array}\right.\\[7pt] \ \ 4x=18,\\[7pt] x=18:4,\\[7pt] x=4\mathord{,}5. \end{gather*}

Підставмо значення $x$ у друге рівняння системи й визначмо $y\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\cdot 4\mathord{,}5-y=12,\\[7pt] 9-y=12,\\[7pt] y=9-12,\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

$(4\mathord{,}5; -3)$ – розв'язок системи.

$$ x_0+y_0=4\mathord{,}5+(-3)=1\mathord{,}5. $$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35803

Завдання 516 з 1206

Обчисліть $$ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \alpha}= $$

А$1$

Б$-\mathrm{tg}\ \alpha$

В$\frac{1}{\mathrm{tg}\ \alpha}$

Г$\mathrm{tg}\ \alpha$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулою зведення:

\begin{gather*} \sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha. \end{gather*}

Підставмо у вираз:

$$ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \alpha}=-\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}=-1. $$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35804

Завдання 517 з 1206

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx,$ якщо $ \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=14.$

А$11$

Б$42$

В$17$

Г$\frac{14}{3}$

Д$52$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилом інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b=kf(x)dx=k\mathop{\int}\limits_a^bf(x)dx.\\[6pt] \mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx=3\mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=3\cdot 14=42. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35805

Завдання 518 з 1206

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).

1$y=x^2$

2$y=x^3+1$

3$y=\log_2x$

Апарна

Бнепарна

Вобласть визначення функції є проміжок $(0; +\infty)$

Гпохідна функції є додатною на проміжку $(-\infty; 0)$

Дє спадною на всій області визначення

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=x^2$ – парна $y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x).$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $y=x^3+1$, $y'=3x^2.$ На проміжку $(-\infty; 0)$ похідна є додатною. Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=\log_2 x$ має область визначення проміжок $(0; +\infty).$ Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35806

Завдання 519 з 1206

Узгодьте вираз (1–3) й точку (А – Д) на координатній прямій, координатою якої є значення виразу, де $e\approx 2\mathord{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

1$2e\cdot \frac 1e$

2$\ln 1$

3$(e-1)(e+1)-e^2$

А$K$

Б$L$

В$M$

Г$N$

Д$P$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання властивостей числових проміжків і властивостей логарифмів.

1. $2e\cdot \frac 1e=2$, $P(2).$ Отже, правильна відповідь – Д.

2. $\ln 1=0$, $M(0).$ За властивістю логарифма: $\log_a 1=0.$ Отже, правильна відповідь – B.

3. $(e-1)(e+1)-e^2=e^2-1-e^2=-1$, $L(-1).$ Спростімо за формулою різниці квадратів: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35807

Завдання 520 з 1206

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ $(AB=BC)$ і $CMN$ $(CM=MN)$, що лежать в одній площині. $AN=8$ см, $AB=2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

1Відстань від $B$ до сторони $AC$

2$BM$

3Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$

А$4$ см

Б$6$ см

В$7$ см

Г$8$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

$AN=8$, $\Delta ABC=\Delta CMN$, $AC=CN=\frac 12AN=4$ см, $AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}$ см.

1. Відстань від $B$ до $BC$ – це довжина висоти $BK\ \Delta ABC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника: $BK$ – висота та медіана. $KC=\frac 12 AC=2$ см.

За теоремою Піфагора в $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}$

\begin{gather*} BC^2=BK^2+KC^2,\\[7pt] BK^2=BC^2-KC^2=(2\sqrt{17})^2-2^2=4\cdot 17-4=64,\\[7pt] BK=8\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо $MP\ \perp\ CN$ у $\Delta CMN.$

$KBMP$ – прямокутник.

$$ BM=KP=KC+CP=2+2=4\ (\text{см}). $$

$KC=CP$ в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. $ABMN$ – рівнобічна трапеція, а $DE$ – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} DE=\frac{BM+AN}{2}=\frac{4+8}{2}=6\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35808

Завдання 521 з 1206

За умовами договору позичальник повинен повернути кредит протягом $12$ місяців. Першого місяця він має повернути $1300$ грн, а кожного наступного місяця – на $50$ грн менше, ніж попереднього. Визначте загальну суму (у грн), яку повинен позичальник повернути протягом $12$ місяців.

Впишіть відповідь:

12300

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це $a_1=1300$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $50$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=-50$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $12$ місяців – це $S_{12}.$

За формулою суми $n\text{-перших}$ членів прогресії маємо:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_{12}=\frac{2a_1+d\cdot 11}{2}\cdot 12,\\[6pt] S_{12}=\frac{2\cdot 1300+(-50)\cdot 11}{2}\cdot 12=\frac{2600-550}{2}\cdot 12=12300. \end{gather*}

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – $12300$ грн.

Відповідь: $12300.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35809

Завдання 522 з 1206

Фермер планує висадити $6$ рядів саджанців: $4$ ряди – кісточкові (абрикос, персик, вишня, слива) та $2$ ряди – плодові (яблуня та груша). У кожному ряду мають бути однакові саджанці. Скільки всього варіантів оформлення саду в нього є, якщо $4$ ряди кісточкових саджанців мають бути поруч?

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбінаторні задачі, задачі на перестановки, комбінаторні правила добутку.

Є $6$ рядів для $6$ різних типів саджанців. Оскільки $4$ ряди кісточкових мають бути поруч, їх можна розглядати як один елемент.

Разом із плодовими маємо $3$ елементи, які можна переставляти між собою.

За формулою перестановок: $P_n=n!$ отримаємо $$ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 $$ варіантів розташування цих елементів.

Усередині блоку із $4$ кісточкових саджанців також можливі перестановки, їх буде $$ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\ \text{варіанти}. $$

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість варіантів висадити саджанці: $$ 6\cdot 24=144\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: $144.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35810

Завдання 523 з 1206

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см$^2.$ Знайдіть об’єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. $AC=16$ см, $BD=12$ см.

Радіус основи ціліндра $OK=AD$, $S_\text{бічн.}=400\pi$ см$^2.$

У ромбі діагоналі $AC\ \perp\ BP$ й діляться точкою перетину $P$ навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AP^2+PD^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] AD=10\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABCD}=\frac 12AC\cdot BD=\frac 12\cdot 16\cdot 12=96\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Площа бічної поверхні циліндра $S_\text{бічн.}=2\pi RH$, де $R=OK=AD=10$ см, $H=OO_1=AA_1$ (за умовою задачі).

\begin{gather*} 2\pi\cdot 10\cdot H=400\pi,\\[7pt] H=20\ (\text{см}). \end{gather*}

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35811

Завдання 524 з 1206

Знайдіть найбільше значення $a$, за якого система рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 3^x+y^2=a+3,\\ 3^{x+1}+2y^2=7a+6. \end{array}\right. $$ має хоча б один розв’язок.

Впишіть відповідь:

0.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи показникових рівнянь та їх систем, рівнянь із параметром.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3^x+y^2=a+3,\\ 3^{x+1}+2y^2=7a+6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3^x+y^2=a+3,\\ 3\cdot 3^x+2y^2=7a+6. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння системи на $(-3)$ і додаймо почленно обидва рівняння:

\begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} -3\cdot 3^x-3y^2=-3a-9,\\ \underline{3\cdot 3^x+2y^2=7a+6}, \end{array}\right.\\[7pt] \ \ -y^2=4a-3,\\[7pt] y^2=3-4a. \end{gather*}

Щоб система мала хоча б один розв'язок, рівняння $y^2=3-4a$ повинно мати розв'язок, а це буде за умови

\begin{gather*} 3-4a\ge 0,\\[7pt] -4a\ge -3,\\[7pt] a\le 0\mathord{,}75. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння системи на $(-2)$ і додаймо почленно рівняння:

\begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} -2\cdot 3^x-2y^2=-2a-6,\\ \underline{3\cdot 3^x+2y^2=7a+6}, \end{array}\right.\\[7pt] \ \ 3^x=5a, \end{gather*}

рівняння буде мати корені за умови \begin{gather*} 5a\gt 0,\\[7pt] a\gt 0. \end{gather*}

Отже, система матиме розв'язок, якщо $a\in (0; 0\mathord{,}75].$ Найбільше значення $a=0\mathord{,}75.$

Відповідь: $0\mathord{,}75.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35812

Завдання 525 з 1206

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте залу кінотеатру, яку відвідало більше ніж $35$ глядачів, але менше ніж $43$ глядачі.

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

Необхідно знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності: \begin{gather*} 35\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 43. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку $35$, але нижчим за позначку $43.$

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки $55.$ ($55 \gt 43$ – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні $40.$ Число $40$ більше за $35$ і менше за $43$ $(35 \lt 40 \lt 43).$ Цей варіант відповідає умові завдання.

Жовта зала: стовпчик на позначці $35.$ (А глядачів має бути більше, тому не підходить).

Зелена зала: стовпчик на позначці $20.$ ($20 \lt 35$ – не підходить).

$Фіолетова зала$: стовпчик на позначці $45.$ ($45 \gt 43$ – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від $35$ до $43$, – блакитна.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36325

Завдання 526 з 1206

Визначте радіанну міру кута $\beta$, якщо суміжний із ним кут $\alpha=\frac{\pi}{5}.$

А$\frac{\pi}{5}$

Б$\frac{7\pi}{10}$

В$\frac{4\pi}{5}$

Г$\frac{9\pi}{5}$

Д$\frac{3\pi}{10}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути $AOC$ та $COB$ суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ.$ Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута $\beta$, віднімімо від $\pi$ відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

\begin{gather*} \beta=\frac{5\pi}{5}-\frac{\pi}{5}=\frac{5\pi-\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36326

Завдання 527 з 1206

$\lg 25 + \lg 40 =$

А$1$

Б$\lg 65$

В$2$

Г$3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \lg 25+\lg 40=\lg (25\cdot 40)=\lg 1000=\lg 10^3=3\lg 10=3. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_{10} a=\lg a;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36327

Завдання 528 з 1206

Розв’яжіть нерівність $x+3\le 0.$

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; +\infty)$

В$(-\infty; 3]$

Г$[-3; +\infty)$

Д$(-\infty; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання спрямоване на перевірку навичок розв’язання лінійних нерівностей і застосування властивостей числових нерівностей.

\begin{gather*} x+3\le 0;\\[7pt] x\le -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36328

Завдання 529 з 1206

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-4; 5].$ Точка $(x_0; -2)$ належить графіку цієї функції. Визначте абсцису $x_0$ цієї точки.

А$3$

Б$2$

В$0$

Г$-2$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, точка $(x_0; -2)$ належить графіку функції $y=f(x)$, отже, за заданого значення аргумента $x$ значення функції $f(x_0)=-2.$ На осі ординат $(Oy)$ вибираємо значення $-2.$ Проводимо пряму, паралельну осі абсцис, від точки із координатою $(0; -2)$ до перетину з графіком. Абсциса точки перетину дорівнює $-3$, отже, $x_0=-3.$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36330

Завдання 530 з 1206

Пляшку об'ємом $750$ мл на $\frac 23$ заповнили соком. Скільки соку залишилося в ній, якщо відлили $150$ мл соку?

А$250$ мл

Б$600$ мл

В$300$ мл

Г$450$ мл

Д$350$ мл

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Пляшку об'ємом $750$ мл заповнили на $\frac 23.$ Щоб обчислити цей об'єм, помножмо загальний об'єм на дріб:

\begin{gather*} 750\ \text{мл}\cdot \frac 23=(750\ \text{мл}:3)\cdot 2=250\ \text{мл}\cdot 2=500\ \text{мл}. \end{gather*}

Отже, спочатку в пляшці було $500$ мл соку.

За умовою, з пляшки відлили $150$ мл соку:

\begin{gather*} 500\ \text{мл}-150\ \text{мл}=350\ \text{мл}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36331

Завдання 531 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі точка $N$ лежить на координатній осі $z$ (див. рисунок). Визначте можливі координати середини відрізка $ON.$

А$(0; 0; 3)$

Б$(0; 0; -3)$

В$(3; 0; 0)$

Г$(0; 3; 0)$

Д$(3; 0; 3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка $N$ належить осі $Oz$ прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку $O(0; 0; 0).$ Тобто координати точки $N\ x$ та $y$ дорівнюють нулю, а координата $z$ є додатною: $N(0; 0; z_N).$

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36332

Завдання 532 з 1206

Спростіть вираз $\frac{9 - x^2}{x^2 + 6x + 9}.$

А$\frac{x + 3}{3 - x}$

Б$\frac{3 - x}{x + 3}$

В$3 - x$

Г$\frac{x - 3}{x + 3}$

Д$\frac{x + 3}{x - 3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[6pt] \frac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\frac{(3-x)(3+x)}{(x+3)^2}=\frac{3-x}{x+3}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36333

Завдання 533 з 1206

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, навколо якого можна описати коло.

II. Середини сторін будь-якого ромба лежать на вписаному в нього колі.

III. Радіус кола, вписаного в ромб, удвічі менший за його висоту.

Алише I

Блише I та II

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб, у якого всі кути дорівнюють $90^\circ$, є квадратом. Оскільки сума його протилежних кутів $180^\circ$, то навколо нього можна описати коло. Твердження правильне.

II. Вписане коло дотикається сторін ромба, але не обов'язково в їхніх серединах. Точка дотику збігається із серединою сторони лише якщо цей ромб – квадрат. Твердження неправильне.

III. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного в нього кола. Твердження правильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36334

Завдання 534 з 1206

Позначте корінь рівняння $\sin \frac x2 = -1.$

А$\pi$

Б$\frac{3\pi}{4}$

В$3\pi$

Г$\frac{\pi}{4}$

Д$2\pi$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac x2=-1;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in Z;\\[6pt] x=-\pi+4\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння: якщо $k=1$, $x=-\pi+4\pi=3\pi.$

Серед запропонованих варіантів відповіді є цей корінь.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36335

Завдання 535 з 1206

Позначте формулу для обчислення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ і $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2) dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2-2^x) dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x) dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2^x-2) dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу. \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36336

Завдання 536 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{2x + y}{x}=5,\\ 4x-y=-2. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$-6$

Б$-8$

В$-4$

Г$8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ: $x\ne 0.$

Розв’яжімо методом підставлення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{2x+y}{x}=5,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2x+y=5x,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ 4x-3x=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ x=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=3\cdot (-2),\\ x=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=-6,\\ x=-2. \end{array}\right. \end{gather*}

$(-2; -6)$ – розв'язок системи.

Сума $x_0+y_0=-2+(-6)=-(2+6)=-8.$

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36337

Завдання 537 з 1206

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{4}}{\sqrt{5}}=$

А$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

Б$-\sqrt{5}$

В$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Г$1$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{9}=3,\ \sqrt{4}=2;\\[6pt] \frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{\sqrt{5}}=\frac{3-2}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gather*}

Помножмо дріб на $\sqrt{5}$, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику:

\begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36338

Завдання 538 з 1206

У паралелограмі $ABCD$ діагональ $BD$ утворює зі сторонами $AB$ i $AD$ кути $60^\circ$ i $45^\circ$ відповідно (див. рисунок). Обчисліть довжину сторони $BC$, якщо $AB=2$ см.

А$2\sqrt{2}$ см

Б$\sqrt{6}$ см

В$3$ см

Г$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см

Д$\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому $BC=AD.$ Тобто достатньо визначити довжину сторони $AD$ в трикутнику $ABD.$

За теоремою синусів у $\Delta ABD{:}$

\begin{gather*} \frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin D};\\[6pt] AD=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin D}=\frac{2\cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\\[6pt] =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\ \text{(см).} \end{gather*}

Оскільки $BC=AD$, то $BC=\sqrt{6}$ см.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36339

Завдання 539 з 1206

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $3^m\cdot 9^n=3^a$, то

2Якщо $(m+n)^2-m^2-n^2=a$, то

3Якщо $\log_3 27^{mn}=a$, то

Закінчення речення

А$a=0.$

Б$a=27^{mn}.$

В$a=3mn.$

Г$a=2mn.$

Д$a=m+2n.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Оскільки $9=3^2$, то

\begin{gather*} 3^m\cdot 9^n=3^m\cdot (3^2)^n=3^m\cdot 3^{2n}=3^{m+2n};\\[7pt] 3^{m+2n}=3^a. \end{gather*}

Отже, $a=m+2n.$ Правильна відповідь – Д.

2. Скористаймося формулою скороченого множення:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[7pt] (m+n)^2-m^2-n^2=m^2+2mn+n^2-m^2-n^2=2mn. \end{gather*}

Отже, $a=2mn.$ Правильна відповідь – Г.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_3 27^{mn}=mn\cdot \log_3 27=mn\cdot \log_3 3^3=mn\cdot 3\log_3 3=3mn. \end{gather*}

Отже, $a=3mn.$ Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36340

Завдання 540 з 1206

Доберіть до функції (1–3) її найменше значення (А – Д) на відрізку $[0; 4].$

Функція

1$y=x^2-2x+5$

2$y=-0{,}5x+5$

3$y=2^x$

Найменше значення функції на відрізку $[0; 4]$

А$1$

Б$2$

В$3$

Г$4$

Д$5$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік квадратичної функції $y=x^2-2x+5$ – парабола, вітки якої напрямлені вгору. Найменше значення такої функції у вершині (якщо абсциса вершини входить у заданий відрізок). Визначмо абсцису вершини:

\begin{gather*} x_\text{В}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1. \end{gather*}

Число $1$ належить відрізку $[0; 4]$, тому обчислімо значення функції в цій точці:

\begin{gather*} y(1)=1^2-2\cdot 1+5=1-2+5=4. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Лінійна функція $y=-0{,}5x+5$ спадає на всій області визначення.

$y=kx+b$, якщо $k\gt 0$ функція зростає, а якщо $k\lt 0$ – спадає.

На проміжку $[0; 4]$ найменше значення функції за $x=4{:}$

\begin{gather*} y(4)=-0{,}5\cdot 4+5=-2+5=3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Показникова функція $y=2^x$ зростає на всій області визначення.

На проміжку $[0; 4]$ найменшого значення функція набуває за $x=0{:}$ \begin{gather*} y(0)=2^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36341

Завдання 541 з 1206

На рисунку зображено прямокутник $ABCD.$ Точки $K$ i $M$ – відповідно середини сторін $AB$ i $BC$, $AB = 12$ см, $MC = 8$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2діаметр кола, описаного навколо прямокутника $ABCD$

3відстань від точки $D$ до середини $KM$

Довжина відрізка

А$10$ см

Б$15$ см

В$16$ см

Г$18$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

1. За умовою точка $M$ – середина сторони $BC.$ Оскільки $MC=8$ см, то $BC=2MC=2\cdot 8=16$ см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі $AC$ або $BD.$

Обчислімо довжину діагоналі $AC$ за теоремою Піфагора з трикутника $ABC\ (\angle B=90^\circ){:}$

\begin{gather*} AB=12\ \text{см};\\[7pt] BC=16\ \text{см};\\[7pt] AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(12\ \text{см})^2+(16\ \text{см})^2}=\\[6pt] =\sqrt{144\ \text{см}^2+256\ \text{см}^2}=\sqrt{400\ \text{см}^2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки $D$ до середини $KM.$

Розгляньмо трикутник $ABC.$ Відрізок $KM$ – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника $BAC$ з коефіцієнтом подібності $k=\frac 12.$

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника $BKM$ (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника $BAC$ і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі $AC=BD$ і перетинаються в точці $O.$ Відрізок $BO$ – це медіана трикутника $BAC.$ Оскільки $P$ – середина $KM$, то відрізок $BP$ – це медіана трикутника $BKM{:}$

\begin{gather*} BO=\frac 12BD,\ \text{то}\ BP=\frac 14BD;\\[6pt] BP=\frac 14\cdot 20\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, відстань від точки $D$ до середини $KM{:}$

\begin{gather*} PD=BD-BP=20\ \text{см}-5\ \text{см}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36342

Завдання 542 з 1206

Позичальник має віддати кредит протягом $24$ місяців. Перший місяць він віддає $540$ грн, а кожного наступного місяця на $10$ грн менше від попереднього. Скільки всього гривень повинен сплатити позичальник за $24$ місяці?

Впишіть відповідь:

10200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це $a_1=540$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $10$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=–10$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $24$ місяців – це $S_{24}.$

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1);\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{24}=\frac{2\cdot 540-10(24-1)}{2}\cdot 24=\frac{1080-10\cdot 23}{2}\cdot 24=\\[6pt] =\frac{1080-230}{2}\cdot 24=\frac{850}{2}\cdot 24=425\cdot 24=10200\ \text{(грн)}. \end{gather*}

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – $10200$ грн.

Відповідь: $10200.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36343

Завдання 543 з 1206

У штаті фірми з надання будівельних послуг $22$ майстри: $5$ електриків, $8$ плиточників, решта – маляри. На об'єкт треба підрядити бригаду з електрика, плиточника та двох малярів. Скільки всього є способів вибору зі штату фірми майстрів таких професій для цієї бригади?

Впишіть відповідь:

1440

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Спочатку визначмо кількість майстрів кожної професії:

електрики – $5$ осіб;
плиточники – $8$ осіб;
маляри – $(22 - 5 - 8) = 9$ осіб.

Для формування бригади треба вибрати:

одного електрика з п'яти. Це $C_5^1=5$ способів;
одного плиточника з восьми. Це $C_8^1=8$ способів;
двох малярів із дев'яти.

Для визначення кількості малярів використаємо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_9^2=\frac{9!}{2!\cdot 7!}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=36\ \text{(способів)}. \end{gather*}

Оскільки нам потрібно вибрати і електрика, і плиточника, і малярів одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} N=5\cdot 8\cdot 36=40\cdot 36=1440\ \text{(способів)}. \end{gather*}

Отже, існує $1440$ способів сформувати таку бригаду.

Відповідь: $1440.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36344

Завдання 544 з 1206

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $8\sqrt{3}$, площа її більшого діагонального перерізу – $240\sqrt{3}.$ Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми.

Впишіть відповідь:

960

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ $(AC)$ основи .

Формула площі перерізу:

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ $(BD)$ ромба .

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15;\\[6pt] \Delta COD:\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD};\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Площа повної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4a=4\cdot 10\sqrt{3}=40\sqrt{3};\\[7pt] S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=40\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=40\cdot 8\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=320\cdot 3=960. \end{gather*}

Відповідь: $960.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36345

Завдання 545 з 1206

Визначте кількість цілих значень $a$, за яких корені $x_1$ i $x_2$ квадратного рівняння $x^2-4ax+4a^2-25=0$ задовольняють умову $x_1\lt 1\lt x_2.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-4ax+4a^2-25=0;\\[7pt] x_1\lt 1\lt x_2. \end{gather*}

Визначмо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(4a)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-25)=16a^2-16a^2+100=100;\\[7pt] \sqrt{D}=10;\\[6pt] x_1=\frac{4a-10}{2}=2a-5;\\[6pt] x_2=\frac{4a+10}{2}=2a+5. \end{gather*}

Підставмо вирази для коренів у подвійну нерівність:

\begin{gather*} 2a-5\lt 1\lt 2a+5. \end{gather*}

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2a-5\lt 1\\ 2a+5\gt 1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 1+5,\\ 2a\gt 1-5, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 6,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 3,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, значення $a$ має перебувати в межах $-2\lt a\lt 3.$

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: $-1$, $0$, $1$, $2.$

Усього таких значень чотири.

Відповідь: $4.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36346

Завдання 546 з 1206

На діаграмі відображено розподіл 900 занять, відвіданих студентами у Google Meet, Zoom і Teams. Скориставшись діаграмою, доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Кількість відвіданих занять у Zoom...

Аменша від $400$».

Бстановить половину від загальної кількості».

Встановить третину від загальної кількості».

Гменша за кількість занять у Google Meet».

Дналежить проміжку $[550; 700]$».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл $900$ занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину.

Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36347

Завдання 547 з 1206

Яке тіло утвориться внаслідок обертання рівнобедреного трикутника навколо прямої $a$ (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Вкуля

Гзрізаний конус

Дпівкуля

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма $a$ є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36348

Завдання 548 з 1206

$0{,}5x^2\cdot (-4x^4)=$

А$-2x^6$

Б$-0{,}2x^8$

В$2x^6$

Г$-0{,}2x^6$

Д$-2x^8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

\begin{gather*} 0{,}5x^2\cdot (-4x^4)=0{,}5\cdot (-4)\cdot x^2\cdot x^4=-2\cdot x^{2+4}=-2x^6. \end{gather*}

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де $a$ – будь-яке число, $n$ i $m$ – натуральні числа).

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36349

Завдання 549 з 1206

У магазині сухофруктів сушений лісовий горіх коштує $420$ гривень за кілограм. Скільки гривень заплатив Андрій, купивши 300 грамів таких горіхів?

А$120$

Б$126$

В$12{,}6$

Г$140$

Д$14$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

За допомогою цього завдання перевіряють вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Спершу переведімо масу з грамів у кілограми: оскільки $1$ кг = $1000$ г, то

\begin{gather*} 300\ \text{г}=\frac{300}{1000}\ \text{кг}=0{,}3\ \text{кг}. \end{gather*}

Для обчислення вартості покупки помножмо ціну за кілограм на масу придбаних горіхів:

\begin{gather*} 420\cdot 0{,}3=126\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36350

Завдання 550 з 1206

Розв'яжіть нерівність $(x+3)(x-2)\lt 0.$

А$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Б$(-3; 2)$

В$(2; +\infty)$

Г$(2; 3)$

Д$(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності другого степеня, наведені у вигляді добутку лінійних множників.

Визначмо корені рівняння, прирівнявши ліву частину до нуля: $(x+3)(x-2)=0.$

Звідси:
1) $x+3=0\Rightarrow x=-3;$
2) $x-2=0\Rightarrow x=2.$

Визначмо знаки виразу $(x+3)(x-2)$ на кожному з отриманих проміжків за допомогою методу інтервалів (див. рисунок).

Отже, $x\in(-3; 2)$ – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36351

Завдання 551 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі точка $N$ лежить на координатній осі $y$ (див. рисунок). Визначте можливі координати середини вектора $\overrightarrow{ON}.$

А$(6; -6; 0)$

Б$(0; 6; 0)$

В$(-6; 0; 0)$

Г$(6; 0; 0)$

Д$(0; 0; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка $N$ належить осі $Oy$ прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки $O(0; 0; 0)$ (див. рисунок), то її координати $x$ і $z$ дорівнюють нулю, а координата $y$ є додатною: $N(0; y_N; 0).$

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36352

Завдання 552 з 1206

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень правильні?

I. $BM=MC.$

II. $\angle BAM=\angle MAC.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$

Алише I

Блише IІІ

Влише IІ та IIІ

Глише I та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. $BM = MC.$ За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки $AM$ – медіана, то точка $M$ є серединою сторони $BC.$ Отже, $BM = MC.$

II. Твердження неправильне. $\angle BAM=\angle MAC.$ Ця рівність означала б, що $AM$ є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$ Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні $(BM = MC)$, а проведена з вершини $A$ висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36353

Завдання 553 з 1206

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ У яких чвертях розташований графік функції $y=f(x)+3$?

Алише в ІІ та ІІІ

Бв усіх чвертях

Влише в І, ІІ та ІІІ

Глише в І та IV

Длише в І та II

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати геометричні перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції $y=f(x)+a$ треба графік функції перенести вздовж осі $Oy$ на $a$ одиниць угору, якщо $a$ – додатне число, і на $a$ одиниць униз, якщо $a$ – від’ємне число.

Отже, для побудови графіка $y=f(x)+3$ треба перемістити графік $y=f(x)$ на три одиниці вгору вздовж осі $Oy.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36354

Завдання 554 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-2y=-4. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$2$

Б$-10$

В$3$

Г$5$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-2y=-4, \end{array}\right.\\[7pt] x+2y+x-2y=8+(-4);\\[7pt] 2x=4;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо значення $x=2$ в перше рівняння:

\begin{gather*} 2+2y=8;\\[7pt] 2y=8-2;\\[7pt] 2y=6;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Розв'язком системи є пара чисел $(2; 3){:}$

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot 3=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36355

Завдання 555 з 1206

Обчисліть значення виразу $8y-6x$, якщо $3x-4y=2.$

А$4$

Б$0{,}5$

В$-4$

Г$2$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів й обчислювати їхні значення методом підставлення або методом винесення спільного множника.

Перетворімо вираз, винісши спільний множник $-2$ за дужки:

\begin{gather*} 8y-6x=-2(-4y+3x). \end{gather*}

Упорядкуймо доданки в дужках для зручності:

\begin{gather*} -2(3x-4y). \end{gather*}

Підставмо відоме значення (за умовою $3x-4y=2$):

\begin{gather*} -2\cdot 2=-4. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36356

Завдання 556 з 1206

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$27$

Б$45$

В$24$

Г$25$

Д$54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=6.$

Обчислімо площу трапеції за формулою: \begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 6=\frac 92\cdot 6=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36357

Завдання 557 з 1206

Розв'яжіть рівняння $\log_4(7-3x)=\frac 12.$

А$-\frac 35$

Б$\frac 53$

В$-3$

Г$-\frac 13$

Д$\frac 35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \log_4 (7-3x)=\frac 12;\\[6pt] 7-3x=4^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки $4^{\frac 12}=\sqrt{4}=2$, маємо:

\begin{gather*} 7-3x=2;\\[7pt] -3x=2-7;\\[7pt] -3x=-5;\\[7pt] x=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36358

Завдання 558 з 1206

Скоротіть дріб $\frac{4b^2 + 20b}{25 + 10b + b^2}.$

А$\frac{4}{5 + b}$

Б$4b$

В$\frac{6}{25}$

Г$4b(5 + b)$

Д$\frac{4b}{5 + b}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[6pt] \frac{4b^2+20b}{25+10b+b^2}=\frac{4b(b+5)}{(5+b)^2}=\frac{4b}{5+b}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36359

Завдання 559 з 1206

У паралелограмі $ABCD$ на стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ і відрізок $BK$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$16$ см

В$8$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники $\Delta AOK$ та $\Delta COB{:}$
$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC\ ||\ AD$ та січній $AC$;
$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні кути.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BC}{AK}=\frac{OB}{OK};\\[6pt] \frac{BC}{12\ \text{см}}=\frac{3\ \text{см}}{2\ \text{см}};\\[6pt] BC=\frac{3\ \text{см}\cdot 12\ \text{см}}{2\ \text{см}}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36360

Завдання 560 з 1206

Визначте другий член $b_2$ геометричної прогресії $(b_n)$, у якій $b_1=5\sqrt{5}$, $b_6=\frac{b_5}{\sqrt{5}}.$

А$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Б$5$

В$25$

Г$\frac 15$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

\begin{gather*} b_n=b_{n-1}\cdot q;\\[6pt] q=\frac{b_n}{b_{n-1}};\\[6pt] q=\frac{b_6}{b_5}=\frac{\frac{b_5}{\sqrt{5}}}{b_5}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gather*}

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q;\\[6pt] b_2=5\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36361

Завдання 561 з 1206

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $m$ i $n$ – натуральні числа, $n\gt 1$, $m\gt 1.$

Початок речення

1Якщо $n\sin m\pi=a$, то

2Якщо $\frac{2^m}{2^n}=2^a$, то

3Якщо $\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}$, то

Закінчення речення

А$a=mn.$

Б$a=0.$

В$a=m-n.$

Г$a=n.$

Д$a=\frac mn.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, степеня з натуральним показником.

1. Якщо $n\sin m\pi=a$, то...

Для будь-якого цілого числа $k\ \sin k\pi=0.$ Оскільки $m$ – натуральне число, то $\sin m\pi$ завжди дорівнює нулю. Тоді $a=n\cdot 0=0.$

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Якщо $\frac{2^m}{2^n}=2^a$, то...

Скористаймося властивістю $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}{:}$

\begin{gather*} \frac{2^m}{2^n}=2^{m-n}=2^a. \end{gather*}

Звідси $a=m-n.$

Отже, правильна відповідь – B.

3. Якщо $\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}$, то...

Скористаймося властивістю $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\ \ {:}$

\begin{gather*} \sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[n\cdot m]{2}\ \ ;\\[7pt] \sqrt[n\cdot m]{2}=\sqrt[a]{2}. \end{gather*}

Звідси $a=n\cdot m=mn.$

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36362

Завдання 562 з 1206

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1$y=7x+4$

2$y=-\frac 7x$

3$y=\log_{0{,}5}(x-4)$

Властивість

Ає спадною на всій області визначення

Бграфік функції перетинає вісь $y$ в точці з ординатою $4$

Вє непарною

Гє парною

Добластю визначення є проміжок $(0; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції $y=7x+4$ перетинає вісь у точці з ординатою $4.$

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція $y=-\frac 7x$ непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. $y=\log_{0{,}5}(x-4)$ – логарифмічна функція, $y=\log_a x$ спадна на всій області визначення, якщо $a\in (0; 1).$

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36363

Завдання 563 з 1206

На рисунку зображено графіки функцій $y=3\sqrt{x}$ i $y=\frac 32x.$ Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками цих функцій.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: $(0; 0)$ – точка початку координат; точка $(4; 6).$

Отже, межі інтегрування – від $0$ до $4.$

Графік функції $y=3\sqrt{x}$ проходить вище за пряму $y=\frac 32x.$

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

\begin{gather*} \mathop{\int} 3\sqrt{x}\ dx=3\mathop{\int} x^{\frac 12}\ dx=3\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}=3\cdot \frac 23\cdot x\sqrt{x}=2x\sqrt{x};\\[6pt] \mathop{\int} \frac 32x\ dx=\frac 32\cdot \frac{x^2}{2}=\frac 34x^2. \end{gather*}

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \left|_a^b\right.=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її перевісна.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx=\left(2x\sqrt{x}-\frac 34x^2\right)\left|_0^4\right.=\\[6pt] =\left(2\cdot 4\cdot \sqrt{4}-\frac 34\cdot 16\right)-2\cdot 0\cdot \sqrt{0}-\frac 34\cdot 0=(16-12)-0=4. \end{gather*}

Відповідь: $4.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36365

Завдання 564 з 1206

Для перевезення учасників симпозіуму треба замовити один автобус або два мікроавтобуси. Скільки всього існує варіантів вибору машин за такого замовлення, якщо у виконавця замовлення є $8$ різних автобусів і $6$ різних мікроавтобусів?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила суми та добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є $8$ різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є $6$ різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можлих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15. \end{gather*}

Отже, існує $15$ способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

\begin{gather*} N=N_1+N_2=8+15=23. \end{gather*}

Усього існує $23$ варіанти вибору машин.

Відповідь: $23.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36366

Завдання 565 з 1206

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $20.$ Обчисліть площу меншого діагонального перерізу призми.

Впишіть відповідь:

260

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами $AB = 8$ і $AD = 15$, $\angle A = 60^\circ.$

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі $BD.$

Розгляньмо трикутник $ABD.$ За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos 60^\circ;\\[6pt] BD^2=64+225-2\cdot 120\cdot \frac 12;\\[6pt] BD^2=289-120=169;\\[7pt] BD=\sqrt{169}=13\ \text{(см)}. \end{gather*}

Меншим діагональним перерізом є прямокутник $DBB_1D_1$ зі сторонами $BD = 13$ см і висотою $BB_1 = 20$ см.

Обчислімо його площу $S{:}$

\begin{gather*} S=BD\cdot BB_1=13\ \text{см}\cdot 20\ \text{см}=260\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $260.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36367

Завдання 566 з 1206

За якого значення $a$ корені рівняння $x^2+(a-1)^2x+6(a-1)x+a+2=0$ є протилежними числами? Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, $5$ і $-5$). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

\begin{gather*} x^2+(a-1)^2x+6(a-1)x+a+2=0 \end{gather*}

зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} x^2+\left((a-1)^2+6(a-1)\right)x+(a+2)=0. \end{gather*}

Коефіцієнт:

\begin{gather*} p=(a-1)^2+6(a-1). \end{gather*}

Отже, має виконуватися умова:

\begin{gather*} (a-1)^2+6(a-1)=0;\\[7pt] (a-1)(a-1+6)=0;\\[7pt] (a-1)(a+5)=0. \end{gather*}

Отримуємо два значення: $a=1$ та $a=-5.$

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант $D\ge 0.$

Оскільки за $x_1+x_2=0$ рівняння набуває вигляду $x^2+q=0$, то корені існують, якщо $q\le 0.$

Якщо $a=1{:}$ $q=a+2=1+2=3\gt 0.$ Рівняння $x^2+3=0$ не має дійсних коренів, тобто $a=1$ не підходить.

Якщо $a=-5{:}$ $q=a+2=-5+2=-3\lt 0.$ Рівняння $x^2-3=0$ має корені $\sqrt{3}$ та $-\sqrt{3}.$ Тож $a=-5$ підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення $a=-5$, то сума значень дорівнює самому числу $-5.$

Відповідь: $-5.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36368

Завдання 567 з 1206

У прямокутник $ABCD$ вписано коло із центром у точці $O$, яке дотикається сторін $AB$, $BC$, i $AD$, і півколо діаметра $CD$ (див. рисунок). Коло й півколо мають лише одну спільну точку. $AB=8$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $BC$

2Довжина відрізка $OC$

3Відстань від середини відрізка $AO$ до прямої $CD$

Закінчення речення

Адорівнює $10$ см

Бдорівнює $12$ см

Вдорівнює $16$ см

Гдорівнює $4\sqrt{5}$ см

Ддорівнює $4\sqrt{3}$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні $AB=8$ см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола $(R){:}$ \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола $(r){:}$ \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Відстань між центром кола $O$ та центром півкола $O_1$ (середина $CD$) дорівнює $OO_1=R+r=4\ \text{см}+4\ \text{см}=8\ \text{см}.$ Відстань від сторони $AB$ до центра $O$ дорівнює $R=4\ \text{cм}.$

Тобто загальна довжина $BC=R+OO_1=4\ \text{см}+8\ \text{см}=12\ \text{см}.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}$

\begin{gather*} OO_1=8\ \text{см};\\[7pt] O_1C=r=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OC=\sqrt{OO_1^2+CO_1^2}=\sqrt{(4\ \text{см})^2+(8\ \text{см})^2}=\sqrt{16\ \text{см}^2+64\ \text{см}^2}=\\[7pt] =\sqrt{80\ \text{см}^2}=\sqrt{(16\cdot 5)\ \text{см}^2}=4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Розгляньмо чотирикутник $AOO_1D$ – прямокутну трапецію $(AD\ ||\ OO_1$, $O_1D\ \perp\ AD).$ Відстань від середини $AB$ до сторони $O_1D$ є середньою лінією трапеції $AOO_1D{:}$

\begin{gather*} MN=\frac{OO_1+AD}{2}=\frac{8\ \text{см}+12\ \text{см}}{2}=\frac{20\ \text{см}}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 732. Запитання: 36369

Завдання 568 з 1206

Розв'яжіть нерівність $2-8x\gt 4.$

А$\left(-\infty; -\frac 14\right)$

Б$\left(-4; +\infty\right)$

В$\left(-\frac 34; +\infty\right)$

Г$\left(-\frac 14; +\infty\right)$

Д$\left(-\infty; -4\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} 2-8x\gt 4;\\[7pt] -8x\gt 4-2;\\[7pt] -8x\gt 2;\\[6pt] x\lt -\frac 28;\\[6pt] x\lt-\frac 14. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(-\infty; -\frac 14\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36385

Завдання 569 з 1206

$(-2x^4)^3=$

А$-6x^7$

Б$-8x^{12}$

В$-2x^{12}$

Г$-8x^7$

Д$-6x^{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n;\\[7pt] (a^n)^m=a^{nm};\\[7pt] (-2x^4)^3=(-2)^3\cdot (x^4)^3=-8x^{12}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36386

Завдання 570 з 1206

Коло радіуса $6$ уписано у квадрат (див. рисунок). Визначте периметр квадрата.

А$24$

Б$12$

В$36$

Г$48$

Д$60$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам $(d=2r)$, то сторона квадрата

\begin{gather*} a=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

\begin{gather*} P=4a=4\cdot 12=48. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36387

Завдання 571 з 1206

Для кафе виготовили столи та стільці у співвідношенні $1:3$ відповідно. На якій діаграмі правильно відображено розподіл виготовлених столів і стільців?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості столів до кількості стільців: $1:3.$

Це означає, що на $1$ стіл припадає $3$ стільці.

Усього частин:

\begin{gather*} 1\ (\text{стіл})+3\ (\text{стільці})=4\ (\text{частини}). \end{gather*}

Частка столів: $\frac 14$ від усього кола.

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ : 4=90^\circ\ (\text{прямий кут}). \end{gather*}

Частка стільців: $\frac 34$ від усього кола (решта $270^\circ$).

Отже, вибираємо діаграму, де темний сектор (столи) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36388

Завдання 572 з 1206

$|1-\lg 1000|=$

А$\lg 999$

Б$2$

В$4$

Г$-2$

Д$-\lg 999$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та перетворення їх.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_{10}a=\lg a;\\[7pt] 1=\lg 10. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} \log_a \frac bc=\log_a b-\log_a c;\\[6pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] |1-\lg 1000|=|\lg 10-\lg 1000|=\left|\lg\frac{10}{10000}\right|=\left|\lg\frac{1}{100}\right|=\\[6pt] =|\lg 10^{-2}|=|-2\cdot \lg 10|=|-2\cdot 1|=2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36389

Завдання 573 з 1206

Кількість виготовлених підприємством за рік диванів відноситься до кількості виготовлених ним крісел як $1:2.$ Якою може бути сумарна кількість диванів і крісел, виготовлених за рік цим підприємством?

А$72$

Б$95$

В$101$

Г$91$

Д$86$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості диванів і крісел: $1:2.$

Якщо диванів $x$, а крісел $2x$, то разом їх:

\begin{gather*} x+2x=3x. \end{gather*}

Загальна кількість диванів і крісел є числом, кратним $3.$

За ознакою подільності число ділиться на $3$ тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на $3.$

Варіант відповіді	Число	Сума цифр	Чи ділиться на три
А	$72$	$7+2=9$	ділиться
Б	$95$	$9+5=14$	не ділиться
B	$101$	$1+0+1=2$	не ділиться
Г	$91$	$9+1=10$	не ділиться
Д	$86$	$8+6=14$	не ділиться

Відповідь: А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36390

Завдання 574 з 1206

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ циліндра, радіус основи якого $R$ дорівнює висоті.

А$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Г$V=\pi R^2$

Д$V=2\pi R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти циліндра $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\pi R^2\cdot R=\pi R^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36391

Завдання 575 з 1206

Розв'яжіть рівняння $35-x^2-x(x+9)=0.$ Якому проміжку належить більший корінь цього рівняння?

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; 0]$

В$(0; 3]$

Г$(3; 7]$

Д$(7; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 35-x^2-x(x+9)=0;\\[7pt] 35-x^2-x^2-9x=0;\\[7pt] -2x^2-9x+35=0;\\[7pt] D=(-9)^2-4\cdot (-2)\cdot 35=81+280=361;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{361}=19;\\[6pt] x_1=\frac{9+19}{2\cdot (-2)}=\frac{28}{-4}=-7;\\[6pt] x_2=\frac{9-19}{2\cdot (-2)}=\frac{-10}{-4}=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Більший корінь $2{,}5$ належить проміжку $(0; 3].$

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36392

Завдання 576 з 1206

У рівнобедреному трикутнику $ABC\ (AB=BC)$ $BK$ – бісектриса кута $B$, точка $K$ належить стороні $AC.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $AB+BC=AC.$

II. $BK\ \perp\ AC.$

III. $AK=KC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. $AB+BC=AC$ – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. $BK\ \perp\ AC$ – правильно (бісектриса є висотою).

III. $AK=KC$ – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36393

Завдання 577 з 1206

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ На якому з наведених проміжків ця функція зростає?

А$[-3; 3]$

Б$[1; 3]$

В$[-2; 4]$

Г$[-2; 3]$

Д$[-3; 1]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція $y=f(x)$ зростає на проміжку, якщо для будь-яких $x_1\lt x_2$ із цього проміжку виконується нерівність:

\begin{gather*} f(x_1)\lt f(x_2). \end{gather*}

Графічно це ділянка, що підіймається зліва направо, тобто графік «йде вгору» за руху вздовж осі $Ox$ у напрямку зростання $x.$

Отже, функція $y=f(x)$ зростає для $x\in [-3; 1].$

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36394

Завдання 578 з 1206

Спростіть вираз $\frac{(a^2-1)(a+1)}{a^2+2a+1}.$

А$1-a$

Б$\frac{a+1}{a-1}$

В$\frac{a-1}{2}$

Г$a+1$

Д$a-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення – різницю квадратів і квадрат суми:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[6pt] \frac{(a^2-1)(a+1)}{a^2+2a+1}=\frac{(a-1)(a+1)(a+1)}{(a+1)^2}=a-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36395

Завдання 579 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac x4=3y-1,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*} Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ системи обчисліть суму $x_0 + y_0.$

А$1{,}6$

Б$-2$

В$2{,}5$

Г$22$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac x4=3y-1,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на $4{:}$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x=12y-4,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $x=12y-4$ в друге рівняння:

\begin{gather*} 12y-4-2y=1;\\[7pt] 10y=1+4;\\[7pt] 10y=5;\\[7pt] y=5:10;\\[7pt] y=0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=12\cdot 0{,}5-4=6-4=2. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел $(2; 0{,}5){:}$

\begin{gather*} x_0+y_0=2+0{,}5=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36396

Завдання 580 з 1206

Визначте координати вектора $\overrightarrow{KL}$, якщо $K(4; 3; 6)$, $L(-2; 3; 0).$

А$(6; 0; 6)$

Б$(-6; 0; -6)$

В$(-3; 0; -3)$

Г$(2; 3; 3)$

Д$(3; 6; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора на площині.

Якщо $K(x_1; y_1; z_1)$, $L(x_2; y_2; z_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).$

\begin{gather*} K(4; 3; 6),\\[7pt] L(-2; 3; 0),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-2-4; 3-3; 0-6),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-6; 0; -6). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36397

Завдання 581 з 1206

Загальний член геометричної прогресії $(b_n)$ задано формулою $b_n=7\cdot 3^{n-2}.$ Визначте четвертий член $b_4$ цієї прогресії.

А$567$

Б$63$

В$7$

Г$21$

Д$189$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

\begin{gather*} b_n=7\cdot 3^{n-2}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_4=7\cdot 3^{4-2}=7\cdot 3^2=7\cdot 9=63. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36398

Завдання 582 з 1206

Діагоналі прямокутника $ABCD$ перетинаються в точці $O$, $AB=6$, $\angle AOD=110^\circ$ (див. рисунок). Який периметр цього прямокутника?

А$6+6\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Б$12+12\sin 55^\circ$

В$12+\frac{12}{\mathrm{tg}\ 55^\circ}$

Г$12+12\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Д$12+12\cos 55^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOD$ – рівнобедрений. Проведімо висоту $OH$ до основи $AD.$ Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику $\Delta AOH{:}$

\begin{gather*} OH=AB:2=6:2=3;\\[7pt] \angle AOH=110^\circ:2=55^\circ.\\[6pt] \mathrm{tg}\ \angle AOH=\frac{AH}{OH};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 55^\circ=\frac{AH}{OH};\\[6pt] AH=OH\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ=3\mathrm{tg}\ 55^\circ;\\[7pt] AD=2\cdot AH=6\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутник $ABCD{:}$

\begin{gather*} P=2(AB+AD)=2(6+6\cdot\mathrm{tg}\ 55^\circ)=12+12\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36399

Завдання 583 з 1206

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1$\cos\frac{\pi}{2}$

2$|\pi -5|$

3$2^{\pi}$

Проміжок

А$(-\infty; 0]$

Б$(0; 2)$

В$[2; 4)$

Г$[4; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. $\cos \frac{\pi}{2}=0.$

Число $0$ належить проміжку $(-\infty; 0].$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $\pi\approx 3{,}14$

\begin{gather*} \pi-5\lt 0;\\[7pt] |\pi-5|=-(\pi-5)=-\pi+5=\\[7pt] =5-\pi\approx 5-3{,}14\approx 1{,}86. \end{gather*}

Число $1{,}86$ належить проміжку $(0; 2).$ Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки $\pi\gt 3$, то

\begin{gather*} 2^{\pi}\gt 2^3;\\[7pt] 2^{\pi}\gt 8. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36400

Завдання 584 з 1206

У прямокутній системі координат на площині зображено коло $x^2+y^2=4$. Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка із заданим колом.

Функція

1$y=x+4$

2$y=x^2-2$

3$y=4^x$

Кількість спільних точок

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбільш як три

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Графік функції $y=x+4$ не має жодної спільної точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – А.

Графік функції $y=x^2-2$ має три спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – Г.

Графік функції $y=4^x$ має дві спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36401

Завдання 585 з 1206

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ перпендикулярна до сторони $AB$ (див. рисунок). $\angle A=60^\circ$, $BD=12$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$

2Довжина сторони $AD$

3Довжина діагоналі $AC$

Закінчення речення

Адорівнює $4\sqrt{3}$ см.

Бдорівнює $8\sqrt{3}$ см.

Вдорівнює $2\sqrt{21}$ см.

Гдорівнює $4\sqrt{21}$ см.

Ддорівнює $24$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони $AB.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням тангенса:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\frac{BD}{AB};\\[6pt] AB=\frac{BD}{\mathrm{tg}\ 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони $AD.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням синуса:

\begin{gather*} \sin 60^\circ=\frac{BD}{AD};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{AD};\\[6pt] AD=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі $AC.$ Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника $ABC.$

У паралелограма сума сусідніх кутів становить $180^\circ$, тому

\begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ;\\[7pt] AB=4\sqrt{3};\\[7pt] BC=AD=8\sqrt{3}. \end{gather*}

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\cos 120^\circ=-\frac 12$,

\begin{gather*} AC^2=(4\sqrt{3})^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] AC^2=48+192+4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3};\\[6pt] AC^2=240+96=336;\\[7pt] AC=\sqrt{336}=\sqrt{16\cdot 21}=4\sqrt{21}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36402

Завдання 586 з 1206

Функція $F(x)=4x^3-3x^2+9$ є первісною для функції $y=f(x).$ Визначте $f(2).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$, то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції $F(x)=4x^3-3x^2+9{:}$

\begin{gather*} f(x)=12x^2-6x. \end{gather*}

Тепер підставмо число $2$ замість $x$ у цю формулу функції:

\begin{gather*} f(2)=12\cdot 2^2-6\cdot 2=12\cdot 4-12=48-12=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36403

Завдання 587 з 1206

У квітковому магазині є $13$ білих і $8$ жовтих троянд. Покупець вибирає у цьому магазині чотири білі й одну жовту троянди. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

5720

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати задачі, використовуючи комбінацї та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $4$ білі троянди з $13$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{13}^4=\frac{13!}{4!\cdot (13-4)!}=\frac{13!}{4!\cdot 9!}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{2\cdot 3\cdot 4}=5\cdot 11\cdot 13=715\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ жовту троянду з $8$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об'єкт із $8$ наявних можна $8$ способами:

\begin{gather*} C_{8}^1=8. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $4$ білі й $1$ жовту троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{13}^4\cdot _8^1=715\cdot 8=5720. \end{gather*}

Відповідь: $5720.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36404

Завдання 588 з 1206

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $6$ см. Визначте площу $S$ (у см$^2$) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=6$ см.

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH,\ \text{де}\ R=\frac 12AD=3\ \text{см};\\[6pt] H=AB=6\ \text{см};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi\cdot 3\cdot 6=36\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S}{\pi}=\frac{36\pi}{\pi}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36405

Завдання 589 з 1206

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-4)x+16=0$ на $6$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} x^2-(2m-4)x+16=0;\\[7pt] x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6. \end{gather*}

Знайдемо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(2m-4)^2-4\cdot 1\cdot 16=\\[7pt] =4m^2-16m+16-64=4m^2-16m-48\gt 0;\\[7pt] 4(m^2-4m-12)\gt 0;\\[7pt] 4(m-6)(m+2)\gt 0. \end{gather*}

Додатне значення $m$, при якому рівняння має два різних кореня $m\gt 6.$

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array}\right.\\[7pt] 2x_2=2m-10;\\[7pt] x_2=m-5. \end{gather*}

Підставмо значення $x_2$ у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16;\\[7pt] (m+1)(m-5)=16;\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0;\\[7pt] m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ne m\gt 6. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, додатне значення $m=7.$

Відповідь: $7.$

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36406

Завдання 590 з 1206

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $AD$ є

Аапофемою

Бребром основи

Ввисотою основи

Гбічним ребром

Двисотою

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – ребра основи.

Отже, $HD$ є ребром основи.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36407

Завдання 591 з 1206

Якщо $a=\frac{b^2}{2c}-b$, то $c=$

А$\frac{b}{2(a+b)}$

Б$\frac{b^2}{2a+2b}$

В$\frac{2(a+b)}{b}$

Г$\frac{2a+2b}{b^2}$

Д$\frac{a+b}{b^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо $\frac{b^2}{2c}$ ліворуч, $a$ – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на $-1{:}$ \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину $b+a$, для цього допишімо в знаменнику $1{:}$ \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на $2(a+b){:}$ \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього $2$ помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36545

Завдання 592 з 1206

PIN-код складається із $4$ цифр (цифри можуть повторюватися). Відомо, що перша цифра – не нуль; друга – парна. Скількома способами можна скласти такий PIN-код?

А$4500$

Б$5000$

В$5500$

Г$5450$

Д$4000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати комбінаторне правило множення для розв’язання практичних задач.

Усього є $10$ цифр: $0$; $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9.$

Відомо, що на першому місці в числі може стояти будь-яка цифра, але не нуль. Є дев’ять цифр, які відповідають цій умові: $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9.$ Отже, маємо $9$ варіантів вибору першої цифри.

На другому місці може стояти парна цифра. Усього є п’ять парних цифр: $0$; $2$; $4$; $6$; $8.$ Отже, для вибору другої цифри є п’ять варіантів.

На третьому місці може стояти будь-яка цифра. Оскільки вже визначили, що всього є десять цифр, то маємо десять варіантів вибору третьої цифри.

На четвертому місці може стояти будь-яка цифра, тож маємо десять варіантів вибору четвертої цифри.

Треба вибрати цифру і для першого місця в числі, і для другого, і для третього, і для четвертого. Тому кількості варіантів маємо перемножити за правилом добутку, оскільки є сполучник і:

\begin{gather*} 9\cdot 5\cdot 10\cdot 10=4500. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36546

Завдання 593 з 1206

У чотирикутник $ABCD$ вписано коло. Визначте периметр цього чотирикутника, якщо відомо, що $AB=16$ см, $CD=11$ см.

А$18$ см

Б$27$ см

В$31$ см

Г$54$ см

Д$77$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості чотирикутника, у який можна вписати коло.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD. \end{gather*}

Обчислімо суму довжин двох відомих протилежних сторін заданого чотирикутника:

\begin{gather*} AB+CD=16+11=27\ \text{см}. \end{gather*}

Відомо, що в цей чотирикутник вписано коло. У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

\begin{gather*} AB+CD=AD+BC. \end{gather*}

Тоді сума двох інших протилежних сторін $BC$ й $AD$ заданого чотирикутника також дорівнюватиме $27$ см:

\begin{gather*} BC+AD=27\ \text{см}. \end{gather*}

Уже відомі суми протилежних сторін чотирикутника: $AB$, $CD$ і $BC$, $AD.$ Щоб обчислити його периметр, треба додати дві відомі суми:

\begin{gather*} P=AB+CD+BC+AD=27+27=54\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36547

Завдання 594 з 1206

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\frac 12\right)^{x+3}=\sqrt[3]{4}$?

А$(-15; -10)$

Б$(-10; -5)$

В$(-5; 0)$

Г$(0; 5)$

Д$(5; 10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо $\left(\frac 12\right)^{x+3}$ на $(2^{-1})^{x+3}$, скориставшись формулою $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

За властивістю степеня:

\begin{gather*} \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn};\\[6pt] \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac 23};\\[6pt] (2^{-1})^{x+3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

У лівій частині за властивістю степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

\begin{gather*} 2^{-x-3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $2$), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо $-3$ праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на $-1{:}$ \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36548

Завдання 595 з 1206

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у якому точки $M$, $K$, $N$, $L$ ділять навпіл ребра $AD$, $A_1D_1$, $D_1C_1$, $DC$ відповідно. Визначте площину, що паралельна площині $MKN.$

А$AA_1D_1$

Б$ABC$

В$B_1D_1D$

Г$AA_1B_1$

Д$AA_1C_1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати взаємне розміщення площин у просторі.

А Площини перетинаються по прямій $MK{:}$

\begin{gather*} AA_1D_1\cap MKN=MK. \end{gather*}

Б Площини перетинаються по прямій $ML{:}$

\begin{gather*} ABC\cap MKN=ML. \end{gather*}

B Площини перетинаються по прямій $PQ{:}$

\begin{gather*} B_1D_1D\cap MKN=PQ. \end{gather*}

Г Продовживши зображення площин, можна побачити, що вони перетинаються по прямій $GF{:}$

\begin{gather*} AA_1B_1\cap MKN=GF. \end{gather*}

Д Площини $AA_1C_1$ та $MKN$ паралельні:

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36549

Завдання 596 з 1206

Яка область визначення функції $y=\log_2(x^2-12x+11).$

А$(-\infty; 1)$

Б$(1; 11)$

В$[1; 11]$

Г$(11; +\infty)$

Д$(-\infty; 1)\cup (11; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні функції та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область визначення логарифмічної функції.

Розв’яжімо нерівність методом інтервалів: \begin{gather*} x^2-12x+11\gt 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності. Для цього ліву частину прирівняймо до нуля: \begin{gather*} x^2-12x+11=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-b,\\ x_1\cdot x_2=c. \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=12,\\ x_1\cdot x_2=11. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $x_1=11$, $x_2=1$, оскільки сума чисел $11$ й $1$ дорівнює $12$, а їхній добуток становить $11.$

Накреслімо числову пряму, на якій виколотими точками, оскільки нерівність строга, позначмо нулі лівої частини нерівності: $1$, $11.$

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Оскільки ліва частина нерівності за умовою завдання більша за нуль, то у відповіді запишемо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

\begin{gather*} x\in (-\infty; 1)\cup (11; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36550

Завдання 597 з 1206

Задано прямокутний рівнобедрений трикутник $ABC$ $(\angle C=90^\circ).$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Один із гострих кутів трикутника $ABC$ може дорівнювати $50^\circ.$

II. У трикутнику $ABC$ бісектриса кута $C$, проведена до гіпотенузи $AB$, дорівнює радіусу описаного навколо цього трикутника кола.

III. Висоти трикутника $ABC$, проведені з гострих кутів, рівні.

Алише II

Блише I та II

Влише I

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутних рівнобедрених трикутників.

I. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$, тож сума його гострих кутів дорівнює $90^\circ.$ Оскільки трикутник $ABC$ також рівнобедрений, то $\angle A=\angle B=45^\circ.$ Відповідно жоден кут цього трикутника не може дорівнювати $50^\circ.$ Твердження неправильне.

II. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$ і рівнобедрений $(AC=BC)$, тож бісектриса кута $C$, проведена до гіпотенузи, також є висотою і медіаною. Медіана, проведена до гіпотенузи в прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи й радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. Твердження правильне.

III. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$, тож висота, проведена з гострого кута $A$, дорівнює довжині сторони $AC$, висота, проведена з гострого кута $B$, дорівнює довжині сторони $BC.$ Трикутник $ABC$ також рівнобедрений $(AC=BC)$, тому висоти, проведені з його гострих кутів, теж рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36551

Завдання 598 з 1206

$25^{\log_5 2+1}=$

А$1$

Б$10$

В$100$

Г$1000$

Д$10000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{m+n}=a^m\cdot a^n;\\[7pt] 25^{\log_5 2+1}=25^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо $25$ як $5^2{:}$ \begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, щоб розкрити дужки:

\begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25=5^{2\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо число $2$, на яке множимо логарифм, у степінь аргумента цього логарифма, використавши тотожність:

\begin{gather*} p\log_a x=\log_a x^p;\\[7pt] 5^{2\log_5 2}\cdot 25=5^{\log_5 2^2}\cdot 25=5^{\log_5 4}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] 5^{\log_5 4}\cdot 25=4\cdot 25=100. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36552

Завдання 599 з 1206

До зустрічі Нового року залишилося зовсім мало часу, а ще треба нарізати продукти для салату. Мама зможе самотужки нарізати їх за три години, а тато – за шість годин. За скільки годин вони зможуть нарізати всі продукти для салату, якщо працюватимуть разом?

А$5$ год

Б$4$ год

В$3$ год

Г$2$ год

Д$1$ год

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі.

Складімо таблицю.

Нехай уся робота $(A)$, яку треба виконати (нарізати всі продукти для салату), буде одиницею $(1).$

У стовпчик із часом запишімо відомий час, за який мама і тато окремо самотужки нарізають всі продукти. Час, за який мама і тато разом нарізають всі продукти, позначмо $x.$

Продуктивність $(N)$ – це відношення роботи, яку треба виконати, до часу, за який цю роботу виконано: \begin{gather*} N=\frac At. \end{gather*}

	$A$	$t$, год	$N$
Мама	$1$	$3$	$1/3$
Тато	$1$	$6$	$1/6$
Разом	$1$	$x$	$1/x$

Сума індивідуальної продуктивності мами й індивідуальної продуктивності тата дорівнюватиме їхній спільній продуктивності, тож складімо рівняння: \begin{gather*} \frac 13+\frac 16=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині зводимо дроби до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac 26+\frac 16=\frac 1x;\\[6pt] \frac 36=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на $2$, для цього і чисельник, і знаменник дробу розділімо на $2{:}$ \begin{gather*} \frac 12=\frac 1x. \end{gather*}

Чисельники дробів однакові. Щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими їхні знаменники: \begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36553

Завдання 600 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$, одна з вершин якої збігається з початком координат – точкою $O$, а два ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $S(4; -4; 11)$ є вершиною піраміди. Визначте довжину апофеми цієї піраміди.

А$4\sqrt{2}$

Б$\sqrt{105}$

В$\sqrt{137}$

Г$12$

Д$\sqrt{151}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Многогранники. Координати та вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку просторової уяви, уміння визначати відстані між двома точками з відомими координатами, знання властивостей піраміди.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди.

Проведімо апофему $SK$, довжину якої треба визначити на вимогу задачі.

Побудуймо висоту піраміди $SO.$ Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то її основою є квадрат, а основа висоти піраміди (точка $O$) проєктується в центр квадрата (точку перетину його діагоналей).

За рисунком основа піраміди лежить у координатній площині $xy$, тож висота $SO$ піраміди дорівнюватиме модулю координати $z$ вершини $S$ піраміди \begin{gather*} SO=|z|=11. \end{gather*}

З’єднаймо основу висоти піраміди (точку $O$) з основою проведеної апофеми (точкою $K$). Відрізок $OK$ – перпендикуляр до ребра $CD$, на якому лежить точка $K.$ За умовою ребро $CD$ лежить на осі $x.$ Відстань від точки $O$ до осі $x$ дорівнюватиме модулю координати y точки $O$, яка збігається з координатою $y$ вершини $S{:}$ \begin{gather*} OK=|y|=|-4|=4. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $SOK$ $(\angle SOK=90^\circ)$, у якому: довжина катета $SO$ дорівнює $11$, довжина катета $OK$ дорівнює $4$, довжина гіпотенузи $SK$ невідома. Використаймо теорему Піфагора, щоб визначити довжину гіпотенузи $SK{:}$

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2;\\[7pt] SK=\sqrt{SO^2+OK^2};\\[7pt] SK=\sqrt{11^2+4^2}=\sqrt{121+16}=\sqrt{137}. \end{gather*}

Відповідь: В.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36554

	\(A\)	\(t\), год	\(N\)
Мама	\(1\)	\(3\)	\(1/3\)
Тато	\(1\)	\(6\)	\(1/6\)
Разом	\(1\)	\(x\)	\(1/x\)

Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики