Національний мультитест з математики - тести для підготовки до ЗНО, починаючи з 400

Національний мультитест. Тема «Національний мультитест з математики». Всі запитання починаючи з 400

401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600 ▶

Завдання 401 з 942

Позичальник має віддати кредит протягом $24$ місяців. Перший місяць він віддає $540$ грн, а кожного наступного місяця на $10$ грн менше від попереднього. Скільки всього гривень повинен сплатити позичальник за $24$ місяці?

Впишіть відповідь:

10200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це $a_1=540$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $10$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=–10$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $24$ місяців – це $S_{24}.$

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1);\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{24}=\frac{2\cdot 540-10(24-1)}{2}\cdot 24=\frac{1080-10\cdot 23}{2}\cdot 24=\\[6pt] =\frac{1080-230}{2}\cdot 24=\frac{850}{2}\cdot 24=425\cdot 24=10200\ \text{(грн)}. \end{gather*}

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – $10200$ грн.

Відповідь: $10200.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36343

Завдання 402 з 942

На рисунку зображено прямокутник $ABCD.$ Точки $K$ i $M$ – відповідно середини сторін $AB$ i $BC$, $AB = 12$ см, $MC = 8$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2діаметр кола, описаного навколо прямокутника $ABCD$

3відстань від точки $D$ до середини $KM$

Довжина відрізка

А$10$ см

Б$15$ см

В$16$ см

Г$18$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. За умовою точка $M$ – середина сторони $BC.$ Оскільки $MC=8$ см, то $BC=2MC=2\cdot 8=16$ см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі $AC$ або $BD.$

Обчислімо довжину діагоналі $AC$ за теоремою Піфагора з трикутника $ABC\ (\angle B=90^\circ){:}$

\begin{gather*} AB=12\ \text{см};\\[7pt] BC=16\ \text{см};\\[7pt] AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(12\ \text{см})^2+(16\ \text{см})^2}=\\[6pt] =\sqrt{144\ \text{см}^2+256\ \text{см}^2}=\sqrt{400\ \text{см}^2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки $D$ до середини $KM.$

Розгляньмо трикутник $ABC.$ Відрізок $KM$ – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника $BAC$ з коефіцієнтом подібності $k=\frac 12.$

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника $BKM$ (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника $BAC$ і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі $AC=BD$ і перетинаються в точці $O.$ Відрізок $BO$ – це медіана трикутника $BAC.$ Оскільки $P$ – середина $KM$, то відрізок $BP$ – це медіана трикутника $BKM{:}$

\begin{gather*} BO=\frac 12BD,\ \text{то}\ BP=\frac 14BD;\\[6pt] BP=\frac 14\cdot 20\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, відстань від точки $D$ до середини $KM{:}$

\begin{gather*} PD=BD-BP=20\ \text{см}-5\ \text{см}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36342

Завдання 403 з 942

Доберіть до функції (1–3) її найменше значення (А – Д) на відрізку $[0; 4].$

Функція

1$y=x^2-2x+5$

2$y=-0{,}5x+5$

3$y=2^x$

Найменше значення функції на відрізку $[0; 4]$

А$1$

Б$2$

В$3$

Г$4$

Д$5$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік квадратичної функції $y=x^2-2x+5$ – парабола, вітки якої напрямлені вгору. Найменше значення такої функції у вершині (якщо абсциса вершини входить у заданий відрізок). Визначмо абсцису вершини:

\begin{gather*} x_\text{В}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1. \end{gather*}

Число $1$ належить відрізку $[0; 4]$, тому обчислімо значення функції в цій точці:

\begin{gather*} y(1)=1^2-2\cdot 1+5=1-2+5=4. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Лінійна функція $y=-0{,}5x+5$ спадає на всій області визначення.

$y=kx+b$, якщо $k\gt 0$ функція зростає, а якщо $k\lt 0$ – спадає.

На проміжку $[0; 4]$ найменше значення функції за $x=4{:}$

\begin{gather*} y(4)=-0{,}5\cdot 4+5=-2+5=3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Показникова функція $y=2^x$ зростає на всій області визначення.

На проміжку $[0; 4]$ найменшого значення функція набуває за $x=0{:}$ \begin{gather*} y(0)=2^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36341

Завдання 404 з 942

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $3^m\cdot 9^n=3^a$, то

2Якщо $(m+n)^2-m^2-n^2=a$, то

3Якщо $\log_3 27^{mn}=a$, то

Закінчення речення

А$a=0.$

Б$a=27^{mn}.$

В$a=3mn.$

Г$a=2mn.$

Д$a=m+2n.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Оскільки $9=3^2$, то

\begin{gather*} 3^m\cdot 9^n=3^m\cdot (3^2)^n=3^m\cdot 3^{2n}=3^{m+2n};\\[7pt] 3^{m+2n}=3^a. \end{gather*}

Отже, $a=m+2n.$ Правильна відповідь – Д.

2. Скористаймося формулою скороченого множення:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[7pt] (m+n)^2-m^2-n^2=m^2+2mn+n^2-m^2-n^2=2mn. \end{gather*}

Отже, $a=2mn.$ Правильна відповідь – Г.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_3 27^{mn}=mn\cdot \log_3 27=mn\cdot \log_3 3^3=mn\cdot 3\log_3 3=3mn. \end{gather*}

Отже, $a=3mn.$ Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36340

Завдання 405 з 942

У паралелограмі $ABCD$ діагональ $BD$ утворює зі сторонами $AB$ i $AD$ кути $60^\circ$ i $45^\circ$ відповідно (див. рисунок). Обчисліть довжину сторони $BC$, якщо $AB=2$ см.

А$2\sqrt{2}$ см

Б$\sqrt{6}$ см

В$3$ см

Г$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см

Д$\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому $BC=AD.$ Тобто достатньо визначити довжину сторони $AD$ в трикутнику $ABD.$

За теоремою синусів у $\Delta ABD{:}$

\begin{gather*} \frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin D};\\[6pt] AD=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin D}=\frac{2\cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\\[6pt] =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\ \text{(см).} \end{gather*}

Оскільки $BC=AD$, то $BC=\sqrt{6}$ см.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36339

Завдання 406 з 942

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{4}}{\sqrt{5}}=$

А$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

Б$-\sqrt{5}$

В$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Г$1$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{9}=3,\ \sqrt{4}=2;\\[6pt] \frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{\sqrt{5}}=\frac{3-2}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gather*}

Помножмо дріб на $\sqrt{5}$, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику:

\begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36338

Завдання 407 з 942

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{2x + y}{x}=5,\\ 4x-y=-2. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$-6$

Б$-8$

В$-4$

Г$8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ: $x\ne 0.$

Розв’яжімо методом підставлення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{2x+y}{x}=5,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2x+y=5x,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ 4x-3x=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ x=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=3\cdot (-2),\\ x=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=-6,\\ x=-2. \end{array}\right. \end{gather*}

$(-2; -6)$ – розв'язок системи.

Сума $x_0+y_0=-2+(-6)=-(2+6)=-8.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36337

Завдання 408 з 942

Позначте формулу для обчислення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ і $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2) dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2-2^x) dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x) dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_1^2 (2^x-2) dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу. \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36336

Завдання 409 з 942

Позначте корінь рівняння $\sin \frac x2 = -1.$

А$\pi$

Б$\frac{3\pi}{4}$

В$3\pi$

Г$\frac{\pi}{4}$

Д$2\pi$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac x2=-1;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in Z;\\[6pt] x=-\pi+4\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння: якщо $k=1$, $x=-\pi+4\pi=3\pi.$

Серед запропонованих варіантів відповіді є цей корінь.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36335

Завдання 410 з 942

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, навколо якого можна описати коло.

II. Середини сторін будь-якого ромба лежать на вписаному в нього колі.

III. Радіус кола, вписаного в ромб, удвічі менший за його висоту.

Алише I

Блише I та II

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб, у якого всі кути дорівнюють $90^\circ$, є квадратом. Оскільки сума його протилежних кутів $180^\circ$, то навколо нього можна описати коло. Твердження правильне.

II. Вписане коло дотикається сторін ромба, але не обов'язково в їхніх серединах. Точка дотику збігається із серединою сторони лише якщо цей ромб – квадрат. Твердження неправильне.

III. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного в нього кола. Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36334

Завдання 411 з 942

Спростіть вираз $\frac{9 - x^2}{x^2 + 6x + 9}.$

А$\frac{x + 3}{3 - x}$

Б$\frac{3 - x}{x + 3}$

В$3 - x$

Г$\frac{x - 3}{x + 3}$

Д$\frac{x + 3}{x - 3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\\[6pt] \frac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\frac{(3-x)(3+x)}{(x+3)^2}=\frac{3-x}{x+3}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36333

Завдання 412 з 942

У прямокутній системі координат у просторі точка $N$ лежить на координатній осі $z$ (див. рисунок). Визначте можливі координати середини відрізка $ON.$

А$(0; 0; 3)$

Б$(0; 0; -3)$

В$(3; 0; 0)$

Г$(0; 3; 0)$

Д$(3; 0; 3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка $N$ належить осі $Oz$ прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку $O(0; 0; 0).$ Тобто координати точки $N\ x$ та $y$ дорівнюють нулю, а координата $z$ є додатною: $N(0; 0; z_N).$

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36332

Завдання 413 з 942

Пляшку об'ємом $750$ мл на $\frac 23$ заповнили соком. Скільки соку залишилося в ній, якщо відлили $150$ мл соку?

А$250$ мл

Б$600$ мл

В$300$ мл

Г$450$ мл

Д$350$ мл

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Пляшку об'ємом $750$ мл заповнили на $\frac 23.$ Щоб обчислити цей об'єм, помножмо загальний об'єм на дріб:

\begin{gather*} 750\ \text{мл}\cdot \frac 23=(750\ \text{мл}:3)\cdot 2=250\ \text{мл}\cdot 2=500\ \text{мл}. \end{gather*}

Отже, спочатку в пляшці було $500$ мл соку.

За умовою, з пляшки відлили $150$ мл соку:

\begin{gather*} 500\ \text{мл}-150\ \text{мл}=350\ \text{мл}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36331

Завдання 414 з 942

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-4; 5].$ Точка $(x_0; -2)$ належить графіку цієї функції. Визначте абсцису $x_0$ цієї точки.

А$3$

Б$2$

В$0$

Г$-2$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, точка $(x_0; -2)$ належить графіку функції $y=f(x)$, отже, за заданого значення аргумента $x$ значення функції $f(x_0)=-2.$ На осі ординат $(Oy)$ вибираємо значення $-2.$ Проводимо пряму, паралельну осі абсцис, від точки із координатою $(0; -2)$ до перетину з графіком. Абсциса точки перетину дорівнює $-3$, отже, $x_0=-3.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36330

Завдання 415 з 942

Розв’яжіть нерівність $x+3\le 0.$

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; +\infty)$

В$(-\infty; 3]$

Г$[-3; +\infty)$

Д$(-\infty; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання спрямоване на перевірку навичок розв’язання лінійних нерівностей і застосування властивостей числових нерівностей.

\begin{gather*} x+3\le 0;\\[7pt] x\le -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36328

Завдання 416 з 942

$\lg 25 + \lg 40 =$

А$1$

Б$\lg 65$

В$2$

Г$3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \lg 25+\lg 40=\lg (25\cdot 40)=\lg 1000=\lg 10^3=3\lg 10=3. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_{10} a=\lg a;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36327

Завдання 417 з 942

Визначте радіанну міру кута $\beta$, якщо суміжний із ним кут $\alpha=\frac{\pi}{5}.$

А$\frac{\pi}{5}$

Б$\frac{7\pi}{10}$

В$\frac{4\pi}{5}$

Г$\frac{9\pi}{5}$

Д$\frac{3\pi}{10}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути $AOC$ та $COB$ суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ.$ Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута $\beta$, віднімімо від $\pi$ відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

\begin{gather*} \beta=\frac{5\pi}{5}-\frac{\pi}{5}=\frac{5\pi-\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36326

Завдання 418 з 942

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте залу кінотеатру, яку відвідало більше ніж $35$ глядачів, але менше ніж $43$ глядачі.

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

Необхідно знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності: \begin{gather*} 35\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 43. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку $35$, але нижчим за позначку $43.$

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки $55.$ ($55 \gt 43$ – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні $40.$ Число $40$ більше за $35$ і менше за $43$ $(35 \lt 40 \lt 43).$ Цей варіант відповідає умові завдання.

Жовта зала: стовпчик на позначці $35.$ (А глядачів має бути більше, тому не підходить).

Зелена зала: стовпчик на позначці $20.$ ($20 \lt 35$ – не підходить).

$Фіолетова зала$: стовпчик на позначці $45.$ ($45 \gt 43$ – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від $35$ до $43$, – блакитна.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36325

Завдання 419 з 942

Знайдіть найбільше значення $a$, за якого система рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 3^x+y^2=a+3,\\ 3^{x+1}+2y^2=7a+6. \end{array}\right. $$ має хоча б один розв’язок.

Впишіть відповідь:

0.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи показникових рівнянь та їх систем, рівнянь із параметром.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3^x+y^2=a+3,\\ 3^{x+1}+2y^2=7a+6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3^x+y^2=a+3,\\ 3\cdot 3^x+2y^2=7a+6. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння системи на $(-3)$ і додаймо почленно обидва рівняння:

\begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} -3\cdot 3^x-3y^2=-3a-9,\\ \underline{3\cdot 3^x+2y^2=7a+6}, \end{array}\right.\\[7pt] \ \ -y^2=4a-3,\\[7pt] y^2=3-4a. \end{gather*}

Щоб система мала хоча б один розв'язок, рівняння $y^2=3-4a$ повинно мати розв'язок, а це буде за умови

\begin{gather*} 3-4a\ge 0,\\[7pt] -4a\ge -3,\\[7pt] a\le 0\mathord{,}75. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння системи на $(-2)$ і додаймо почленно рівняння:

\begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} -2\cdot 3^x-2y^2=-2a-6,\\ \underline{3\cdot 3^x+2y^2=7a+6}, \end{array}\right.\\[7pt] \ \ 3^x=5a, \end{gather*}

рівняння буде мати корені за умови \begin{gather*} 5a\gt 0,\\[7pt] a\gt 0. \end{gather*}

Отже, система матиме розв'язок, якщо $a\in (0; 0\mathord{,}75].$ Найбільше значення $a=0\mathord{,}75.$

Відповідь: $0\mathord{,}75.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35812

Завдання 420 з 942

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см$^2.$ Знайдіть об’єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. $AC=16$ см, $BD=12$ см.

Радіус основи ціліндра $OK=AD$, $S_\text{бічн.}=400\pi$ см$^2.$

У ромбі діагоналі $AC\ \perp\ BP$ й діляться точкою перетину $P$ навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AP^2+PD^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] AD=10\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABCD}=\frac 12AC\cdot BD=\frac 12\cdot 16\cdot 12=96\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Площа бічної поверхні циліндра $S_\text{бічн.}=2\pi RH$, де $R=OK=AD=10$ см, $H=OO_1=AA_1$ (за умовою задачі).

\begin{gather*} 2\pi\cdot 10\cdot H=400\pi,\\[7pt] H=20\ (\text{см}). \end{gather*}

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35811

Завдання 421 з 942

Фермер планує висадити $6$ рядів саджанців: $4$ ряди – кісточкові (абрикос, персик, вишня, слива) та $2$ ряди – плодові (яблуня та груша). У кожному ряду мають бути однакові саджанці. Скільки всього варіантів оформлення саду в нього є, якщо $4$ ряди кісточкових саджанців мають бути поруч?

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбінаторні задачі, задачі на перестановки, комбінаторні правила добутку.

Є $6$ рядів для $6$ різних типів саджанців. Оскільки $4$ ряди кісточкових мають бути поруч, їх можна розглядати як один елемент.

Разом із плодовими маємо $3$ елементи, які можна переставляти між собою.

За формулою перестановок: $P_n=n!$ отримаємо $$ 3!=1\cdot 2\cdot 3=6 $$ варіантів розташування цих елементів.

Усередині блоку із $4$ кісточкових саджанців також можливі перестановки, їх буде $$ 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\ \text{варіанти}. $$

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість варіантів висадити саджанці: $$ 6\cdot 24=144\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: $144.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35810

Завдання 422 з 942

За умовами договору позичальник повинен повернути кредит протягом $12$ місяців. Першого місяця він має повернути $1300$ грн, а кожного наступного місяця – на $50$ грн менше, ніж попереднього. Визначте загальну суму (у грн), яку повинен позичальник повернути протягом $12$ місяців.

Впишіть відповідь:

12300

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це $a_1=1300$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $50$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=-50$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $12$ місяців – це $S_{12}.$

За формулою суми $n\text{-перших}$ членів прогресії маємо:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_{12}=\frac{2a_1+d\cdot 11}{2}\cdot 12,\\[6pt] S_{12}=\frac{2\cdot 1300+(-50)\cdot 11}{2}\cdot 12=\frac{2600-550}{2}\cdot 12=12300. \end{gather*}

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – $12300$ грн.

Відповідь: $12300.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35809

Завдання 423 з 942

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ $(AB=BC)$ і $CMN$ $(CM=MN)$, що лежать в одній площині. $AN=8$ см, $AB=2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

1Відстань від $B$ до сторони $AC$

2$BM$

3Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$

А$4$ см

Б$6$ см

В$7$ см

Г$8$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

$AN=8$, $\Delta ABC=\Delta CMN$, $AC=CN=\frac 12AN=4$ см, $AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}$ см.

1. Відстань від $B$ до $BC$ – це довжина висоти $BK\ \Delta ABC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника: $BK$ – висота та медіана. $KC=\frac 12 AC=2$ см.

За теоремою Піфагора в $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}$

\begin{gather*} BC^2=BK^2+KC^2,\\[7pt] BK^2=BC^2-KC^2=(2\sqrt{17})^2-2^2=4\cdot 17-4=64,\\[7pt] BK=8\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо $MP\ \perp\ CN$ у $\Delta CMN.$

$KBMP$ – прямокутник.

$$ BM=KP=KC+CP=2+2=4\ (\text{см}). $$

$KC=CP$ в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. $ABMN$ – рівнобічна трапеція, а $DE$ – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} DE=\frac{BM+AN}{2}=\frac{4+8}{2}=6\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35808

Завдання 424 з 942

Узгодьте вираз (1–3) й точку (А – Д) на координатній прямій, координатою якої є значення виразу, де $e\approx 2\mathord{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

1$2e\cdot \frac 1e$

2$\ln 1$

3$(e-1)(e+1)-e^2$

А$K$

Б$L$

В$M$

Г$N$

Д$P$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання властивостей числових проміжків і властивостей логарифмів.

1. $2e\cdot \frac 1e=2$, $P(2).$ Отже, правильна відповідь – Д.

2. $\ln 1=0$, $M(0).$ За властивістю логарифма: $\log_a 1=0.$ Отже, правильна відповідь – B.

3. $(e-1)(e+1)-e^2=e^2-1-e^2=-1$, $L(-1).$ Спростімо за формулою різниці квадратів: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35807

Завдання 425 з 942

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).

1$y=x^2$

2$y=x^3+1$

3$y=\log_2x$

Апарна

Бнепарна

Вобласть визначення функції є проміжок $(0; +\infty)$

Гпохідна функції є додатною на проміжку $(-\infty; 0)$

Дє спадною на всій області визначення

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=x^2$ – парна $y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x).$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $y=x^3+1$, $y'=3x^2.$ На проміжку $(-\infty; 0)$ похідна є додатною. Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=\log_2 x$ має область визначення проміжок $(0; +\infty).$ Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35806

Завдання 426 з 942

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx,$ якщо $ \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=14.$

А$11$

Б$42$

В$17$

Г$\frac{14}{3}$

Д$52$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилом інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b=kf(x)dx=k\mathop{\int}\limits_a^bf(x)dx.\\[6pt] \mathop{\int}\limits_1^5 3f(x)dx=3\mathop{\int}\limits_1^5 f(x)dx=3\cdot 14=42. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35805

Завдання 427 з 942

Обчисліть $$ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \alpha}= $$

А$1$

Б$-\mathrm{tg}\ \alpha$

В$\frac{1}{\mathrm{tg}\ \alpha}$

Г$\mathrm{tg}\ \alpha$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулою зведення:

\begin{gather*} \sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha. \end{gather*}

Підставмо у вираз:

$$ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \alpha}=-\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}=-1. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35804

Завдання 428 з 942

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2^{y+2x}=64,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$4\mathord{,}5$

Б$9$

В$1\mathord{,}5$

Г$7\mathord{,}5$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2^{y+2x}=64,\\ 2x-y=12, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2^{y+2x}=2^6,\\ 2x-y=12, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y+2x=6,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

\begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} 2x+y=6,\\ \underline{2x-y=12}, \end{array}\right.\\[7pt] \ \ 4x=18,\\[7pt] x=18:4,\\[7pt] x=4\mathord{,}5. \end{gather*}

Підставмо значення $x$ у друге рівняння системи й визначмо $y\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\cdot 4\mathord{,}5-y=12,\\[7pt] 9-y=12,\\[7pt] y=9-12,\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

$(4\mathord{,}5; -3)$ – розв'язок системи.

$$ x_0+y_0=4\mathord{,}5+(-3)=1\mathord{,}5. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35803

Завдання 429 з 942

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед, одна з вершин якого збігається з початком координат – точкою $O$, а три ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $K(5; 1; 7)$ є вершиною паралелепіпеда. Визначте довжину діагоналі цього паралелепіпеда.

А$5\sqrt{3}$

Б$\sqrt{26}$

В$10\sqrt{3}$

Г$15$

Д$13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину діагоналі $OK$ можна визначити за формулою відстані між двома точками:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}, \end{gather*}

де $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ – координати кінців відрізку.

\begin{gather*} O(0; 0; 0),\ \ K(5; 1; 7),\\[7pt] OK=\sqrt{(5-0)^2+(1-0)^2+(7-0)^2}=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35802

Завдання 430 з 942

Які з наведених тверджень є правильними для довільного трикутника?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ.$

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І i ІІI

ДI, II та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати $90^\circ.$ Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за $90^\circ$ (тупий), а сума двох інших кутів менша за $90^\circ.$

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35801

Завдання 431 з 942

Розв'яжіть нерівність $5^{3x-4}\ge \left(\frac 15\right)^{x-20}.$

А$[4; +\infty)$

Б$(-\infty; 6]$

В$[6; +\infty)$

Г$(-\infty; 8]$

Д$[12; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \left(\frac 15\right)^1=5^{-1},\\[6pt] 5^{3x-4}\ge 5^{-x+20}. \end{gather*}

Функція $y=a^x$ за $a\gt 1$ є зростаючою, тому

\begin{gather*} 3x-4\ge -x+20,\\[7pt] 3x+x\ge 20+4,\\[7pt] 4x\ge 24,\\[7pt] x\ge 6. \end{gather*}

$$ x\in [6; +\infty). $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35800

Завдання 432 з 942

Діагональ квадрата $ABCD$ дорівнює $12$ см. На стороні $BC$ квадрата вибрано точку $K$ так, що $\angle KAB=30^\circ.$ Визначте площу трикутника $ABK.$

А$12\sqrt{3}$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24\sqrt{3}$ см$^2$

Г$36\sqrt{3}$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати площі трикутників.

$ABCD$ – квадрат, $AC=12$ см.

Сторону квадрата визначмо з $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: $$ AC^2=AB^2+BC^2. $$ За умови, що $AB=BC\mathord{:}$

\begin{gather*} AC^2=2AB^2,\\[7pt] 2AB^2=12^2,\\[7pt] AB^2=72,\\[7pt] AB=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\ (\text{см}). \end{gather*}

У $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AB},\\[6pt] BK=AB\cdot \mathrm{tg}\ A=6\sqrt{2}\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABK}=\frac 12 AB\cdot BK=\frac 12\cdot 6\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=12\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35799

Завдання 433 з 942

Укажіть корінь рівняння $\log_6x=2.$

А$3$

Б$\frac 13$

В$12$

Г$64$

Д$36$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c,\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \log_6 x=2,\\[7pt] x=6^2,\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35798

Завдання 434 з 942

$(a+b)^{-2}=$

А$-a^2-2ab-b^2$

Б$\frac{1}{a^2+b^2}$

В$-\frac{2}{a+b}$

Г$\frac{1}{a^2+2ab+b^2}$

Д$-2a-2b$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати властивості степенів, формули скороченого множення.

За властивістю степенів: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$ Спростімо вираз:

\begin{gather*} (a+b)^{-2}=\frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{a^2+2ab+b^2}. \end{gather*}

Знаменник спростили за формулою квадрата суми.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35797

Завдання 435 з 942

Ярослав визначив крокоміром, що зробив 2150 кроків. За якою формулою можна визначити відстань $S$ (у кілометрах), яку пройшов Ярослав, якщо довжина кожного його кроку дорівнює $d$ метрів?

А$S=2150d$

Б$S=\frac{1000d}{2150}$

В$S=\frac{2150}{1000d}$

Г$S=\frac{2150d}{1000}$

Д$S=2150\cdot 1000d$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Ярослав зробив $2150$ кроків, кожний довжиною $d$ метрів. Відстань $s$, яку він пройшов, можна визначити:

\begin{gather*} s=2150 \cdot d\ \text{м}\ \text{або}\\[6pt] s=\frac{2150d}{1000}\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35796

Завдання 436 з 942

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–5; 5].$ Укажіть абсцису $x_0$ точки, у якій дотична до графіка функції, паралельна до осі $x.$

А$3$

Б$1$

В$7$

Г$-3$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Дотична до графіка функції паралельна до осі $x$ у точках максимуму та мінімуму $x_0=-2$, $x_0=1.$

З наведених варіантів відповіді – це $x_0=1.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35795

Завдання 437 з 942

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\left(\frac 38\right)^x=\frac 83.$

А$(-6; -4)$

Б$(-4; -2)$

В$(-2; 0)$

Г$(0; 2)$

Д$(2; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \frac 83=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] \left(\frac 38\right)^x=\left(\frac 38\right)^{-1},\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $(-2; 0).$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35794

Завдання 438 з 942

У кав’ярні пропонують $10$ видів десертів і $12$ видів кави. Відвідувач хоче замовити один десерт або одну чашку кави у цьому кафе. Скільки всього різних варіантів замовлення є у відвідувача?

А$120$

Б$12$

В$60$

Г$10$

Д$22$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила суми.

Кількість різних варіантів замовлення одного десерту – $10$, а однієї чашки кави – $12.$

За комбінаторним правилом суми кількість способів замовити або один десерт, або одну чашку кави дорівнює:

$$ 10+12=22\ \text{варіанти}. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35793

Завдання 439 з 942

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC.$ Скільки різних площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через точку $S$?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку $S$ можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35792

Завдання 440 з 942

На діаграмі відображено інформацію про кількісний розподіл за кольорами стрічок, із яких плетуть маскувальні сітки. Білі стовпці діаграми відповідають кількості стрічок зазначеного кольору, використаних для однієї сітки влітку, а сірі – восени. За діаграмою визначте різницю між зеленими стрічками влітку та восени.

А$15$

Б$20$

В$25$

Г$30$

Д$35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

За діаграмою влітку на плетіння однієї сітки використовують $50$ зелених стрічок, а восени – $20.$ Обчислімо різницю: $$ 50-20=30\ \text{стрічок}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 703. Запитання: 35791

Завдання 441 з 942

Визначте всі значення $a$, за кожного з яких рівняння $$ \frac{x^2-4x+3}{3x-a}=\frac{42+3x-x^2}{3x-a} $$ має один корінь. Якщо таке значення $a$ одне, запишіть його у відповіді. Якщо таких значень $a$ кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

10.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 3x-a\ne 0,\\[7pt] 3x\ne a,\\[6pt] x\ne \frac a3. \end{gather*}

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\begin{gather*} x^2-4x+3=42+3x-x^2,\\[7pt] x^2-4x+3-42-3x+x^2=0,\\[7pt] 2x^2-7x-39=0,\\[7pt] D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-39)=49+312=361,\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+19}{2\cdot 2}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}=6\mathord{,}5\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-19}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3. \end{gather*}

$x_1=6\mathord{,}5$ не буде коренем рівняння за умови:

\begin{gather*} x_1=\frac a3=6\mathord{,}5\\[6pt] a=19\mathord{,}5. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_2=-3.$

$x_2=-3$ не буде коренем рівняння за умови, що

\begin{gather*} x_2=\frac a3=-3,\\[7pt] a=-9. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_1=6{,}5.$

Отже, рівняння має один корінь за $a=19\mathord{,}5$ або $a=-9.$

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: $10\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35790

Завдання 442 з 942

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$ Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорівнює $13.$ Визначте об’єм $V$ цього конуса. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

800

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею $260\pi.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

У прямокутному $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).$ $MO$ – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: $MO=\frac 12AB.$ $MO=13$, тому $AB=26.$

\begin{gather*} \pi RL=\pi\cdot OB\cdot AB=26\pi\cdot OB=260\pi,\\[7pt] OB=10. \end{gather*}

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту $AO=H$ визначаємо з $\Delta AOB$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AO^2+OB^2,\\[7pt] AO^2=AB^2-OB^2=26^2-10^2=676-100=576,\\[7pt] AO=24,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \pi\cdot OB^2\cdot OA=\frac 13\pi\cdot 10^2\cdot 24=800\pi. \end{gather*}

Відповідь: $800.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35789

Завдання 443 з 942

Дарина бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $4$ різні листівки такої тематики й конверти жовтого й синього кольорів. Для кожного із чотирьох адресатів Дарина вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Дарини є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

384

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановки, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Дарина має $4$ різні листівки і $2$ кольори конвертів. Кожну листівку можна використати лише один раз (бо їх усього $4$ штуки).

Оскільки адресатів чотири і вибір для кожного є незалежним, кількість способів роздати $4$ листівки $4$ різним адресатам обчислюємо за формулою перестановок:

\begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(4)=4!=24. \end{gather*}

Для кожного з $4$ адресатів є два варіанти конверту (жовтий/синій), незалежно, тобто маємо $2^4=16.$

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 24\cdot 16=384. \end{gather*}

Відповідь: $384.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35788

Завдання 444 з 942

Задано функцію

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідні функцій, похідну суми двох функцій, визначати способи задання функцій.

$f(-4)=10$, тому що $x=-4\lt-2.$

$$ f'(x)=(4x^2+3x)'=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3. $$

При $x=2\mathord{:}$

\begin{gather*} f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19.\\[7pt] f(-4)-f'(2)=10-19=-9. \end{gather*}

Відповідь: $-9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35787

Завдання 445 з 942

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й рівносторонній трикутник $DCK$ зі стороною $8.$ Точка $D$ належить відрізку $AK$, точка $M$ i $N$ є серединами сторін $AB$ i $CK$ відповідно. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1висота ромба $ABCD$

2менша діагональ ромба $ABCD$

3$MN$

А$8\sqrt{3}$

Б$8$

В$12$

Г$4\sqrt{3}$

Д$4$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

$ABCD$ – ромб, $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CD=DK=CK=8.$ $MN$ – середня лінія.

1. Висота $CH$ трикутника $CDK$ – це висота ромба $ABCD.$

\begin{gather*} CK=8,\\[6pt] HK=\frac 12DK=4. \end{gather*}

У $\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CH^2=CK^2-HK^2=8^2-4^2=64-16=48,\\[7pt] CH=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CK=CD=DK=8$, $\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.$

$BC\ ||\ DK$, $CD$ – січна. $\angle KDC=\angle DCB=60^\circ$ як внутрішні різносторонні.

У ромбі $ABCD$ гострий кут $C$ дорівнює $60^\circ.$ $\Delta CBD$ – рівносторонній, тому $BC=CD=BD=8.$ Менша діагональ ромба $BD=8.$

Правильна відповідь – Б.

3.$BC=8$, $AK=AD+DK=8+8=16.$

Середнія лінія

\begin{gather*} MN=\frac{BC+AK}{2}=\frac{8+16}{2}=12. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35786

Завдання 446 з 942

Поєднайте функцію (1–3) з її найменшим значенням (А – Д) на проміжку $[–2; 6].$

1$y=4x+7$

2$y=x^2+1$

3$y=2^{x+5}$

А$6$

Б$8$

В$3$

Г$1$

Д$-1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=4x+7$ – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

$y=kx+b$, якщо $k\gt 0$ функція зростає, а якщо $k\lt 0$ – спадає.

На проміжку $[-2; 6]$ найменше значення функції за $x=-2.$

$$ y(-2)=4\cdot (-2)+7=-8+7=-1. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. $y=x^2+1$ – квадратична функція. Найменшого значення функція набуває за $x=0.$ $$ y(0)=0^2+1=1. $$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=2^{x+5}$ – показникова функція. Вона зростає на всій області визначення.

На проміжку $[-2; 6]$ найменшого значення функція набуває за $x=-2.$ $$ y(-2)=2^{-2+5}=2^3=8. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35785

Завдання 447 з 942

Узгодьте вираз (1–3) із твердженням про його значення (А – Д), що є правильним для цього виразу.

1$\sqrt[3]{-27}$

2$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}$

3$(\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}$

Ає цілим від’ємним числом

Бє ірраціональним додатним числом

Вє ірраціональним від’ємним числом

Гє натуральним числом

Дє раціональним нецілим числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. $\sqrt[3]{-27}=-3.$
$-3$ – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. $ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. $
$\frac 15$ є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

3. $ (\sqrt{3}-1)^2+2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}=3+1=4. $
$4$ є натуральним числом. Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35784

Завдання 448 з 942

$\mathrm{tg}^2\ \alpha\cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=$

А$\sin^2 \alpha$

Б$\cos 2\alpha$

В$\cos^2 \alpha$

Г$1$

Д$\mathrm{tg}^2\ \alpha$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростімо за формулами:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\\[6pt] \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,\\[6pt] \mathrm{tg}^2\ \alpha\cdot \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\cdot \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35783

Завдання 449 з 942

Обчисліть $0\mathord{,}25^{\log_{0\mathord{,}5}4}.$

А$16$

Б$0\mathord{,}5$

В$0\mathord{,}25$

Г$4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

\begin{gather*} 0\mathord{,}25^{\log_{0\mathord{,}5}4}=0\mathord{,}5^{2\log_{0\mathord{,}5}4}=0\mathord{,}5^{\log_{0\mathord{,}5}4^2}=0\mathord{,}5^{\log_{0\mathord{,}5}16}=16. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b,\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35782

Завдання 450 з 942

У геометричній прогресії $(b_n)$ $b_1=5$, $b_3=\frac{b_4}{10}.$ Визначте $b_3.$

А$50$

Б$2$

В$0\mathord{,}05$

Г$500$

Д$0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_kq^{n-k},\ n\gt k,\\[7pt] b_4=b_3\cdot q^{4-3}=b_3q,\\[6pt] b_3=\frac{b_4}{q},\ \text{за умовою}\ b_3=\frac{b_4}{10}.\\[6pt] \text{Отже},\ q=10. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^2=5\cdot 10^2=500. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35781

Завдання 451 з 942

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{x-2}=4.$

А$10$

Б$18$

В$4$

Г$14$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} \sqrt{x-2}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрату:

\begin{gather*} (\sqrt{x-2})^2=4^2,\\[7pt] x-2=16,\\[7pt] x=16+2,\\[7pt] x=18. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35780

Завдання 452 з 942

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I. Медіана трикутника ділить його кут навпіл.

II. Бісектриса трикутника ділить його протилежну сторону навпіл.

III. Бісектриса трикутника проходить через центр уписаного в нього кола.

Алише I

Блише І та II

Влише І та III

Глише ІІI

Длише ІІ та III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр уписаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35779

Завдання 453 з 942

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $O(0; 0; 0).$ Позначте координати точки, відстань від якої до точки $O$ дорівнює $10.$

А$(10; 10; 10)$

Б$(-10; 10; 0)$

В$(5; 5; 0)$

Г$(0; -6; 8)$

Д$(0; 4; 6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань між точками з координатами $(x_1; y_1; z_1)$ i $(x_2; y_2; z_2)$ можна визначити за формулою

$$ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. $$

Відстань між точками $(0; 0; 0)$ i $(0; -6; 8)\mathord{:}$

$$ \sqrt{(0-0)^2+(-6-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{0+36+64}=\sqrt{100}=10. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35778

Завдання 454 з 942

У травні заробітна плата працівника зросла на $2\ \text{%}$ порівняно з квітнем. Якою була заробітна плата цього працівника в квітні, якщо вона була меншою на $605$ грн, ніж у травні?

А$60 500$ грн

Б$1210$ грн

В$121 000$ грн

Г$3250$ грн

Д$30 250$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за значенням його відсотка.

$2\ \text{%}$ від заробітної плати становлять $605$ грн. Складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2\ \text{%} - 605\ \text{грн},\\[7pt] 100\ \text{%} - x\ \text{грн},\\[6pt] \frac{2}{100}=\frac{605\ \text{грн}}{x},\\[6pt] x=\frac{605\ \text{грн}\cdot 100}{2}=30250\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35777

Завдання 455 з 942

Розв’яжіть нерівність $2x-3\lt 15+4x.$

А$(-3; +\infty)$

Б$(-\infty; -9)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-\infty; -3)$

Д$(-9; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} 2x-3\lt 15+4x,\\[7pt] 2x-4x\lt 15+3,\\[7pt] -2x\lt 18,\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

$$ x\in (-9; +\infty). $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35776

Завдання 456 з 942

Спростіть вираз $p^2\cdot \left(\sqrt[3]{p^6}\right)^4.$

А$p^{16}$

Б$p^{14}$

В$p^{10}$

Г$p^{8}$

Д$p^{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів та коренів, дії з ними.

\begin{gather*} p^2\cdot (\sqrt[3]{p^6})^4=p^2\cdot \left(p^{\frac 63}\right)^4=p^2\cdot (p^2)^4=p^2\cdot p^8=p^{10}. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\\[7pt] (a^x)^y=a^{xy},\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35775

Завдання 457 з 942

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD.$ Скільки прямих, перпендикулярних до висоти $SO$, лежать у площині основи $ABCD$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Висота піраміди $SO$ перпендикулярна до основи $ABCD.$ За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо $SO\ \perp\ (ABC)$, то $SO$ перпендикулярна до будь-якої прямої в площині $(ABC)$, а площина $(ABC)$ містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35774

Завдання 458 з 942

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на відрізку $[-3; 5].$ Позначте $x_0$, для якого $f(x_0)$ є від'ємним числом.

А$x_0=-2$

Б$x_0=-1$

В$x_0=5$

Г$x_0=4$

Д$x_0=3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За $x_0=-2$, $x_0=-1$, $x_0=5$ та $x_0=4$ функція набуває додатного значення.

І лише за $x_0=3$ від'ємного: $f(3)=-1.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35773

Завдання 459 з 942

Сирні кульки фасують по $4$ штуки в коробку. Яке з наведених чисел може бути загальною кількістю виготовлених кульок, щоб всі вони були повністю розфасовані по таких коробках?

А$102$

Б$106$

В$112$

Г$123$

Д$134$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати ознаки подільності чисел, розв’язувати текстові задачі.

Сирні кульки фасують по $4$ штуки в коробку. Щоб усі вони були повністю розфасовані по таких коробках, кількість кульок повинна бути кратна $4.$

З наведених варіантів чисел – це $112.$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35772

Завдання 460 з 942

Довжина сторони ромба $ABCD$ – ціле число. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А$38$

Б$42$

В$56$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою, довжина сторони $(a)$ є цілим числом (наприклад $1$, $2$, $3$, $4\ \text{...}$). Тому, периметр $(P)$ буде завжди добутком цілого числа на $4$, що дає числа, які кратні $4{:}$

\begin{gather*} 4\cdot 1=4,\\[7pt] 4\cdot 2=8,\\[7pt] 4\cdot 3=12\ \text{і так далі}. \end{gather*}

З запропонованих чисел лише $56$ – кратне $4.$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35771

Завдання 461 з 942

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола із центром у точці $O.$ Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини.

А$180^\circ$

Б$100^\circ$

В$60^\circ$

Г$120^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знань про коло та його елементи.

Якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини, то

\begin{gather*} \angle AOC+\angle COB+\angle AOB=360^\circ. \end{gather*}

Звідси

$$ \angle AOB=360^\circ : 3=120^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35770

Завдання 462 з 942

На рисунку відображено зміну густини (у мкг/м$^3$) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в певному районі міста. Упродовж скількох годин густина такого пилу в повітрі перевищувала допустимий середньодобовий рівень, що становить $25$ мкг/м$^3$?

А$3$

Б$6$

В$12$

Г$8$

Д$10$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

\begin{gather*} 18-12=6\ \text{год}. \end{gather*} Отже, густина пилу перевищувала рівень $25$ мкг/м$^3$ протягом $6$ годин.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35769

Завдання 463 з 942

За якого найбільшого значення $a$ рівняння \begin{gather*} 3^x+(4a^2+10a)\cdot 3^{-x}=4a+5 \end{gather*} не має коренів?

Впишіть відповідь:

-2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай $3^x=t.$ Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: $t\gt 0.$ Рівняння набуває вигляду:

\begin{gather*} t+\frac{4a^2+10a}{t}=4a+5. \end{gather*}

Помножмо все на $t\ (t\ne 0){:}$

\begin{gather*} t^2-(4a+5)t+(4a^2+10a)=0,\\[7pt] D=(4a+5)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2+10a)=16a^2+40a+25-16a^2-40a=25,\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, маємо два корені:

\begin{gather*} t_1=\frac{(4a+5)+5}{2}=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5,\\[6pt] t_2=\frac{(4a+5)-5}{2}=\frac{4a}{2}=2a. \end{gather*}

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб $t_1\le 0$ i $t_2\le 0{:}$

\begin{gather*} 1.\ 2a+5\le 0,\\[7pt] 2a\le -5,\\[7pt] a\le -2{,}5.\\[7pt] 2.\ 2a\le 0,\\[7pt] a\le 0. \end{gather*}

Спільна умова: $a\le -2{,}5.$

Найбільше значення $a$ з проміжку $(-\infty; -2{,}5]$ це $-2{,}5.$

Відповідь: $-2{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35446

Завдання 464 з 942

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює $240\sqrt{3}.$ Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює $8\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

3600

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи $(AC).$

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=AA_1=8\sqrt{3}).$ Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба $(AC).$

Формула площі перерізу: $S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.$

Звідси визначмо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ ромба $(BD).$

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $CD=BD$ (бо трикутник $\Delta BCD$ рівносторонній). Визначмо сторону $CD$ ромба:

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15,\\[6pt] \Delta COD{:}\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD},\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos\ 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}).$

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} $d_1$, $d_2$ – діагоналі ромба.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AC\cdot BD=30\cdot 10\sqrt{3}=150\sqrt{3}. \end{gather*}

4. Обчислімо об'єм $(V)$ призми за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H,\\[7pt] V=150\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=150\cdot 8\cdot 3=3600. \end{gather*}

Відповідь: $3600.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35445

Завдання 465 з 942

У квітковому магазині є $12$ білих та $25$ червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1650

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $2$ білі троянди з $12$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ червону троянду з $25$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об’єкт із $25$ можна $25$ способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $2$ білі й $1$ червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{12}^2\cdot C_{25}^1=66\cdot 25=1650. \end{gather*}

Відповідь: $1650.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35444

Завдання 466 з 942

Задано функцію \begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30, x\lt -2,\\ 2x^4+x,\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*} Обчисліть значення виразу $f(-3)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-35

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

\begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30,\ \text{якщо}\ x\lt -2, \\ 2x^4+x,\ \text{якщо}\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Якщо $x\lt -2,\ f(x)=30.$ Отже, $f(-3)=30.$

Якщо $x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.$

\begin{gather*} f'(x)=2\cdot 4x^3+1=8x^3+1,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2^3+1=64+1=65. \end{gather*}

Обчислимо

\begin{gather*} f(-3)-f'(2)=30-65=-35. \end{gather*}

Відповідь: $-35.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35443

Завдання 467 з 942

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка $O$ – середина діагоналі $AC$, то

\begin{gather*} AO=\frac 12AC,\\[7pt] AO=40:2=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+CD^2=AC^2,\\[7pt] AD^2=40^2-24^2=1600-576=1024,\\[7pt] AD=\sqrt{1024}=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

Нехай $BC=x.$

Оскільки $AB=BC$, то $AB=x.$

Проведімо висоту з точки $B$ на основу $AD.$ Нехай це буде $BK$. У прямокутній трапеції висота $BK=CD=24$ см. Відрізок $AK=AD-KD.$

Оскільки $BCDK$ – прямокутник, то $KD=BC=x.$ Отже, $AK=32-x.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] x^2=(32-x)^2+24^2,\\[7pt] x^2=1024-64x+x^2+576,\\[7pt] 64x=1600,\\[7pt] x=25\ \text{см},\\[7pt] AB=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35442

Завдання 468 з 942

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо $m=-\frac 43.$

Вираз

1$|m-4|$

2$4m^{-1}$

3$(3m+1)^0$

Значення виразу

А$-3$

Б$1$

В$0$

Г$3$

Д$\frac{16}{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня із цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left|-\frac 43-4\right|= \left|-\frac 43-\frac{12}{3}\right|= \left|-\frac{16}{3}\right|=\frac{16}{3}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} 4\cdot \left(-\frac 43\right)^{-1}=4\cdot \left(-\frac 34\right)=-3. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

\begin{gather*} a^0=1,\ \text{де}\ a\ne 0,\\[7pt] \left(3\cdot \left(-\frac 43\right)+1\right)^0=1. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35441

Завдання 469 з 942

Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=\log_{0{,}5}x$

2Функція $y=\sin x$

3Функція $y=\frac{1}{2x-2}$

Закінчення речення

Ане визначена в точці $x=1.$

Бнабуває від’ємного значення в точці $x=2.$

Вє непарною.

Гмає лише одну точку екстремуму.

Дзростає на проміжку $(0; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. $y=\log_{0{,}5}x$ набуває від’ємного значення в точці $x=2.$ \begin{gather*} \log_{0{,}5} 2=\log_{2^{-1}} 2=-1\cdot \log_2 2=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $y=\sin x$ непарна функція.

Функція $y=\sin x$ є непарною, бо для неї виконується рівність $\sin (-x)=\sin (x)$, її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. $y=\frac{1}{2x-2}$ не визначена в точці $x=1$, бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35440

Завдання 470 з 942

На колі вибрано точки $A$, $B$ і $C$ так, що $\angle ACB=30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги $AB$ дорівнює $25$ см.

А$150$

Б$300$

В$250$

Г$200$

Д$360$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка $O$ – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} $O$ – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $60^\circ.$ За формулою довжини дуги

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де $L$ – довжина кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 25=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 25=\frac L6,\\[6pt] L=25\cdot 6=150\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35439

Завдання 471 з 942

$\dfrac{4x^2-25}{(2x-5)^2}=$

А$\dfrac{2x+5}{2x-5}$

Б$1$

В$2x+5$

Г$\dfrac{1}{2x-5}$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різниця квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b),\\[7pt] \frac{4x^2-25}{(2x-5)^2}=\frac{(2x-5)(2x+5)}{(2x-5)^2}=\frac{2x+5}{2x-5}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35438

Завдання 472 з 942

Розв’яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+4\ge 0,\\ 2(3x-5)-6\lt x+8. \end{array}\right. \end{gather*}

А$\varnothing$

Б$[-4; 4{,}8)$

В$[2; 4{,}8)$

Г$(-\infty; 4{,}8)$

Д$(-\infty; -2]\cup [2; 4{,}8)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв’яжімо першу нерівність:

\begin{gather*} x^2+4\ge 0,\\[7pt] x^2\ge -4. \end{gather*}

Ця нерівність справедлива для всіх дійсних чисел $x\in R.$

Розв’яжімо другу нерівність:

\begin{gather*} 2(3x-5)-6\lt x+8,\\[7pt] 6x-10-6\lt x+8,\\[7pt] 6x-16\lt x+8,\\[7pt] 6x-x\lt 8+16,\\[7pt] 5x\lt 24,\\[7pt] x\lt 4{,}8,\\[7pt] x\in (-\infty; 4{,}8). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35437

Завдання 473 з 942

Позначте формулу для визначення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y=2^x$, $y=2$ та прямою $x=0$ (див. рисунок).

А$S=\mathop{\int}\limits_0^2 2^x\ dx$

Б$S=\mathop{\int}\limits_0^1 2^x\ dx$

В$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2^x-2)\ dx$

Г$S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx$

Д$S=\mathop{\int}\limits_0^2 (2-2^x)\ dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігури згори, а $g(x)$ – функція графік якої обмежує фігуру знизу.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35435

Завдання 474 з 942

Скільки всього коренів рівняння $\cos x=0$ належать проміжку $[0; 2\pi]$?

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше за три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\cos x=0$ має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $k$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; 2\pi].$

Якщо $k=0$, то $x=\frac{\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=1$, то $x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},$ тобто належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=2$, то $x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; 2\pi].$

Якщо $k=-1$, то $x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},$ тобто не належить проміжку $[0; 2\pi].$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35434

Завдання 475 з 942

У довільному трикутнику $ABC$ проведено медіану $AM$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. $BM=MC.$

II. Промінь $AM$ ділить кут $A$ навпіл.

III. Площі трикутників $ABM$ і $ACM$ рівні.

Алише I

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки $AM$ – медіана, точка $M$ ділить сторону $CB$ навпіл. Отже, $BM=MC.$ Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників $\Delta ABM$ і $\Delta ACM$ рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: $S=ah_a.$

У трикутників $ABM$ та $ACM$ основи рівні $(BM = MC)$, а висота $AH$, проведена з вершини $A$ до прямої $CB$, у них спільна.

Отже, $S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35433

Завдання 476 з 942

$\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt{36}=$

А$12$

Б$6\cdot \sqrt[9]{2}$

В$6\cdot \sqrt[6]{2}$

Г$72$

Д$6\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt{36}=2\cdot \sqrt{6^2}=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Застосували властивість: $\sqrt[3]{a^3}=a.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35432

Завдання 477 з 942

Визначте координати вектора $\overrightarrow{KL}$ якщо $K(3; 2; 4)$, $L(– 1; 2; 0).$

А$(4; 0; 4)$

Б$(2; 4; 4)$

В$(2; 0; -2)$

Г$(1; 2; 2)$

Д$(-4; 0; -4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо $K(x_1; y_1; z_1)$, $L(x_2; y_2; z_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).$

\begin{gather*} K(3; 2; 4),\\[7pt] L(-1; 2; 0),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-1-3; 2-2; 0-4),\\[7pt] \overrightarrow{KL}(-4; 0; -4). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35431

Завдання 478 з 942

Першого разу з банківської картки зняли $40\ \text{%}$ усіх грошей, а другого – $500$ грн. Після цього на ній залишилася половина від початкової суми. Скільки гривень залишилося на картці?

А$2500$

Б$2000$

В$5000$

Г$4000$

Д$1500$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

Нехай початкова сума грошей на картці $x$ грн. Тоді першого разу зняли $40\ \%$ від $x$, або $0{,}4x.$ Другий раз зняли $500$ грн, після цього залишилася половина від початкової суми, тобто $0{,}5x.$

Складімо рівняння:

\begin{gather*} x-0{,}4x-500=0{,}5x,\\[7pt] 0{,}6x-500=0{,}5x,\\[7pt] 0{,}6x-0{,}5x=500,\\[7pt] 0{,}1x=500,\\[7pt] x=5000. \end{gather*}

Початкова сума на картці була $5000$ грн. На картці залишилася половина від початкової суми: \begin{gather*} 5000:2=2500\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35430

Завдання 479 з 942

На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Якщо функція набуває лише додатних значень $(y\gt 0)$, її графік має повністю лежати вище від осі $Ox$ і не дотикатися її.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35429

Завдання 480 з 942

Висота конуса та його твірна лежать на прямих, що

Апаралельні

Бне мають спільних точок

Вперпендикулярні

Гмимобіжні

Дналежать одній площині

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса $(H)$ – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса $(L)$ – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35428

Завдання 481 з 942

Визначте корінь рівняння $\log_3x=2.$

А$\sqrt{3}$

Б$5$

В$6$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_3x=2. \end{gather*} За означенням логарифма: \begin{gather*} x=3^2,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35426

Завдання 482 з 942

Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як $3 : 4.$ Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців?

А$72$

Б$87$

В$91$

Г$95$

Д$101$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. Підприємство за рік виготовляє
$3x$ столів,
$4x$ стільців.

Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців була \begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Кількість виробів може бути числом, кратним $7.$ З наведених чисел це може бути $91.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35425

Завдання 483 з 942

Драбина $BC$ приставлена до вертикальної стіни $AB$ й спирається на горизонтальну поверхню $AC$ (див. рисунок). За наведеними на рисунку даними визначте градусну міру кута $BCA$ нахилу драбини до поверхні $AC.$

А$18^\circ$

Б$82^\circ$

В$72^\circ$

Г$12^\circ$

Д$78^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: \begin{gather*} \angle KBC=\angle A+\angle C,\\[7pt] \angle C=\angle KBC-\angle A,\\[7pt] \angle C=162^\circ-90^\circ,\\[7pt] \angle C=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35424

Завдання 484 з 942

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, синю, жовту, зелену та чорну. За діаграмою визначте різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали кінотеатру.

А$20$

Б$25$

В$30$

Г$35$

Д$55$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

На діаграмі наведено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру.

Біла зала – $55$,
синя зала – $40$,
жовта зала – $35$,
зелена зала – $20$,
чорна зала – $45.$

Знаходимо різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали:

\begin{gather*} 55-20=35. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35423

Завдання 485 з 942

Визначте кількість цілих значень $a$, що належать проміжку $[–9; 9]$, за кожного з яких корінь рівняння $ax-5=a+2x$ є додатним.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} ax-5=a+2x,\\[7pt] ax-2x=a+5,\\[7pt] x(a-2)=a+5. \end{gather*}

Якщо $a=2$, рівняння не має коренів $(x\cdot 0=7).$

Якщо $a\ne 2$, корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку $a\in [-9; 9]$ рівняння має розв'язок, якщо $a\in [-9; -5)\cup (2; 9].$

Цілі значення $a$ із цього проміжку: $-9$, $-8$, $-7$, $-6$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9.$ Тобто цілих значень $a$ $11.$

Відповідь: $11.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35386

Завдання 486 з 942

Площа поверхні сфери дорівнює $300\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Радіус основи конуса дорівнює радіусу сфери. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Визначте об’єм (у см$^3$) конуса $V.$ У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\mathbf{\pi}}.$

Впишіть відповідь:

125

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

\begin{gather*} S=4\mathbf{\pi}R^2=300\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\\[7pt] 4R^2=300\ \text{см}^2,\\[7pt] R^2=75\ \text{см}^2,\\[7pt] R=OC=5\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус основи конуса $O_1B=CO$ – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У $\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)$.

$$ AO_1=BO_1\operatorname{tg}\ B=5\sqrt{3}\ \text{см}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=5\ \text{см}. $$

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

\begin{gather*} R=O_1B,\\[7pt] H=AO_1,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot (5\sqrt{3}\ \text{см})^2\cdot 5=\frac 13\cdot \mathbf{\pi}\cdot 25\ \text{см}\cdot 3\ \text{см}\cdot 5\ \text{см}=125\mathbf{\pi}\ \text{см}^3,\\[6pt] \frac{V}{\mathbf{\pi}}=125\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $125.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35385

Завдання 487 з 942

Підприємство планує закупити два різні кольорові й три різні монохромні принтери. На ринку є $10$ моделей кольорових й $8$ моделей монохромних принтерів із відповідними характеристиками. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

2520

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язку комбінаторних задач.

На ринку є $10$ моделей кольорових принтерів. Вибрати $2$ з них можна $\mathrm{C}_{10}^2$ варіантами.

Вибрати $3$ принтери з $8$ монохромних моделей можна $\mathrm{C}_8^3$ варіантами.

Підприємство планує купити і $2$ кольорові, і $3$ монохромні. Кількість варіантів такого вибору визначають за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} \mathrm{C}_{10}^2\cdot \mathrm{C}_8^3=\frac{10!}{2!\ 8!}\cdot \frac{8!}{3!\ 5!}=\frac{9\cdot 10\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =3\cdot 10\cdot 6\cdot 7\cdot 2=2520. \end{gather*}

Відповідь: $2520.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35384

Завдання 488 з 942

Графіки функцій $y=f(x)$ й $y=x^2-2x+3$ перетинаються в точках з абсцисами $x_1=0$ й $x_2=3.$ Обчисліть площу зафарбованої фігури, якщо $$ \mathop{\int}\limits_0^3 f(x)dx=14\mathord{,}1. $$

Впишіть відповідь:

5.1

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбница для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b \left(f(x)-g(x)\right) dx, $$ де $f(x)$ – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а $g(x)$ – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^3 \left(f(x)-y\right) dx=\mathop{\int}\limits_0^3 f(x) dx-\mathop{\int}\limits_0^3(x^2-2x+3)dx=\\[6pt] =14\mathord{,}1-\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+3x\right)\right|_0^3=14\mathord{,}1-\left(\frac{27}{3}-\frac{2\cdot 9}{2}+3\cdot 3-0\right)=\\[6pt] =14\mathord{,}1-9+9-9=5\mathord{,}1. \end{gather*}

Відповідь: $5\mathord{,}1.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35383

Завдання 489 з 942

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола. Перше коло з центром у точці $O_1$ описано навколо цього прямокутника. Площа круга, обмеженого колом з центром у точці $O_1$, дорівнює $625\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Друге коло з центром у точці $O_2$ дотикається до сторін $AB$, $BC$ та $AD.$ $AB=30$ см. Узгодьте початок речення (1–3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Відстань від $O_2$ до сторони $BC$

2Довжина сторони $AD$ дорівнює

3Довжина відрізка $O_1O_2$ дорівнює

А$5$ см

Б$10$ см

В$15$ см

Г$25$ см

Д$40$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Площа круга із центром у точці $O_1$ дорівнює $625\mathbf{\pi}$ см$^2.$

\begin{gather*} S=\mathbf{\pi}R^2=625\mathbf{\pi},\\[7pt] R^2=625,\\[7pt] R=25\ \text{см},\\[7pt] O_1A=O_1B=O_1C=O_1D=25\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань від $O_2$ до сторони $BC{:}$ $$ O_2K=\frac 12BA=\frac 12\cdot 30=15\ \text{см}. $$

$O_2K\ \perp\ BC$, а $KP$ – діаметр кола.

Правильна відповідь – B.

2. Центр кола $O_1$, описаного навколо прямокутника $ABCD$, лежить на середині діагоналі $BD.$

\begin{gather*} O_1B=O_1D=25\ \text{см},\\[7pt] BD=50\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $(\angle A=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=(50\ \text{см})^2-(30\ \text{см})^2=1600\ \text{см}^2,\\[7pt] AD=40\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Д.

3. Відстань $$ O_1O_2=FO_1-FO_2, $$ де $FO_2$ – радіус кола із центром у точці $O_2.$

\begin{gather*} FO_2=15\ \text{см}.\\[7pt] OO_1=20\ \text{см}-15\ \text{см}=5\ \text{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35382

Завдання 490 з 942

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).

1$\frac{3}{3^{-3}}$

2$\log_8\sqrt[3]{2}$

3$2(\cos 30^\circ-0\mathord{,}5)(\cos 30^\circ+0\mathord{,}5)$

А$1$

Б$\frac 19$

В$\sqrt{3}$

Г$3$

Д$81$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

$$ \frac{3}{3^{-3}}=3\cdot 3^{3}=3^{1+3}=3^4=81. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} \log_{a^m}b=\frac 1m\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_ab^n=n\cdot \log_ab. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \log_8\sqrt[3]{2}=\log_{2^3}2^{\frac 13}=\frac 13\cdot \frac 13\cdot\log_2 2=\frac 19\cdot 1=\frac 19. \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ – табличне значення.

\begin{gather*} 2(\cos 30^\circ-0\mathord{,}5)(\cos 30^\circ+0\mathord{,}5)=2(\cos^2 30^\circ-0\mathord{,}5^2)=\\[6pt] =2\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\frac 14\right)=2\left(\frac 34-\frac 14\right)=2\cdot \frac 24=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35381

Завдання 491 з 942

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).

1$y=-x^3$

2$y=\sqrt{x}$

3$y=\cos x$

Ає парною

Бмає лише одну спільну точку з колом $x^2+y^2=9$

Внемає спільних точок з прямою $x=0$

Гграфік функції розташований лише в другій координатній чверті

Днабуває всіх значень з проміжку $(-\infty; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=-x^3$ набуває всіх значень із проміжку $(-\infty; +\infty).$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. $y=\sqrt{x}$ має лише одну спільну точку з колом $x^2+y^2=9$ (центра кола $(0; 0)$ і радіус $3$).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $y=\cos x.$ З тригонометричних функцій $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\operatorname{tg}\ x$, $y=\operatorname{ctg}\ x$ тільки одна функція парна – це $y=\cos x$. Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція $y=\cos(x)$ є парною, бо для неї виконується рівність $\cos(-x)=\cos(x)$, її графік є симетричним відносно осі $Oy.$ Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35380

Завдання 492 з 942

Визначте загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1.$

А$F(x)=2e^x+C$

Б$F(x)=2e^x+x+C$

В$F(x)=e^{x^2}+C$

Г$F(x)=e^{x^2}+x+C$

Д $F(x)=\frac{2e^{x+1}}{x+1}+x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати первісну, використовуючи її основні властивості.

За таблицею первісних: функція $f(x)=e^x$ має первсну $F(x)=e^x + C$, функція $f(x)=1$ має первісну $F(x)=x+C$, де $C$ – стала.

Визначмо загальний вигляд первісних для функції $f(x)=2e^x+1\mathord{:}$ $$ F(x)=2e^x+x+\mathrm{C}. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35379

Завдання 493 з 942

Укажіть корінь рівняння $\sin \frac x2=1.$

А$-\mathbf{\pi}$

Б$-\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

В$-3\mathbf{\pi}$

Г$\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Д$3\mathbf{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \frac{x}{2}=1,\\[6pt] \frac x2=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in Z,\\[6pt] x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}n,\ n\in Z. \end{gather*}

Корені рівняння:

якщо $n=0$, $$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot 0=\mathbf{\pi}, $$ якщо $n=-1$,

$$ x=\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}\cdot (-1)=\mathbf{\pi}-4\mathbf{\pi}=-3\mathbf{\pi}. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35378

Завдання 494 з 942

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $1-\log_{0\mathord{,}5}x=3.$

А$(-\infty; 0)$

Б$[0; 1)$

В$[1; 3)$

Г$[3; 10)$

Д$[10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} 1-\log_{0\mathord{,}5}x=3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}x=1-3,\\[7pt] \log_{0\mathord{,}5}=-2. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=0\mathord{,}5^{-2},\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2},\\[6pt] x=2^2,\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння $4\in [3; 10).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35377

Завдання 495 з 942

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ $(AB=CD)$, точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції, діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO=5$ см, $OM=7$ см, $\angle CAD=30^\circ.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$144$ см$^2$

Б$144\sqrt{3}$ см$^2$

В$288$ см$^2$

Г$48\sqrt{3}$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

\begin{gather*} KM=\frac 12(BC+AD). \end{gather*}

У $\Delta ABC\ KO$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, $BC=10$ см.

У $\Delta ACD\ OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12AD,\\[6pt] AD=14\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуймо $CH\ \perp\ AD.$

\begin{gather*} HD=(AD-BC):2=(14-10):2=2\ \text{см}.\\[7pt] AH=AD-HD=14-2=12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$

\begin{gather*} \operatorname{tg}\ A=\frac{CH}{AH},\\[6pt] CH=AH\cdot \operatorname{tg}\ A=12\cdot \operatorname{tg}\ 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа трапеції

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=KM\cdot CH=12\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35376

Завдання 496 з 942

Спростіть вираз $x(x-2y)-(x-y)^2.$

А$-2xy$

Б$-4xy$

В$-y^2$

Г$-4xy-y^2$

Д$y^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати формули скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2{:}$

\begin{gather*} x(x-2y)-(x-y)^2=x^2-2xy-(x^2-2xy+y^2)=x^2-2xy-x^2+2xy-y^2=-y^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35375

Завдання 497 з 942

Обчисліть значення виразу $5(1-\cos^2 \mathbf{\beta})$, якщо $\sin \mathbf{\beta}=0\mathord{,}8.$

А$3\mathord{,}2$

Б$1$

В$2$

Г$1\mathord{,}8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислювати їхнє значення.

За основною тригонометричною тотожністю:

\begin{gather*} \sin^2 \mathbf{\beta}+\cos^2 \mathbf{\beta}=1,\\[7pt] 1-\cos^2 \mathbf{\beta}=\sin^2 \mathbf{\beta}=0\mathord{,}8^2=0\mathord{,}64. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу:

\begin{gather*} 5(1-\cos^2 \mathbf{\beta})=5\cdot 0\mathord{,}64=3\mathord{,}2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35374

Завдання 498 з 942

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Довжина $AM$ дорівнює довжині сторони $BC.$

II. Довжина $AM$ дорівнює відстані від точки $A$ до сторони $BC.$

III. Точка $M$ рівновіддалена від точок $B$ і $C.$

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І та ІІ

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. $AM$ – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони $BC$, але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки $A$ до прямої $BC$ є довжина перпенидкуляра з точки $A$ до $BC.$

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка $M$ – середина сторони $BC$, тож вона рівновіддалена від точок $B$ i $C.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35373

Завдання 499 з 942

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Укажіть кількість прямих, що проходять через ребра куба, і є паралельними до прямої $AB.$

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих $AB\ ||\ CD$, $CD\ ||\ C_1D_1$, $AB\ ||\ C_1D_1$, $AB\ ||\ A_1B_1$ (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій $AB$, – три $(CD$, $\ C_1D_1$, $\ A_1B_1).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35372

Завдання 500 з 942

$ \left|\frac{2\mathord{,}5^2-7\mathord{,}5^2}{3\mathord{,}5+6\mathord{,}5}\right|= $

А$-5$

Б$-1$

В$0\mathord{,}5$

Г$1$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з раціональними числами, використовувати властивості модуля.

Спростімо вираз

\begin{gather*} 2\mathord{,}5^2-7\mathord{,}5^2=(2\mathord{,}5-7\mathord{,}5)(2\mathord{,}5+7\mathord{,}5)=-5\cdot 10=-50 \end{gather*}

за формулою різниці квадратів $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Підставимо в умову:

$$ \left|\frac{-50}{3\mathord{,}5+6\mathord{,}5}\right|=\left|\frac{-50}{10}\right|=|-5|=5. $$

За властивістю модуля числа:

$$ |a|=\left[\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35371

Завдання 501 з 942

На рисунку зображено графік функції, визначеної на проміжку $[–5; 4].$ Укажіть проміжок, на якому функція набуває лише додатних значень.

А$[-5; 2)$

Б$[-5; -1)$

В$[2; 4)$

Г$(0; 3]$

Д$(0; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функції.

На рисунку зображено графік функції на проміжку $[-5; 4].$

Функція набуває додатних значень там, де графік проходить вище від осі $Ox.$ Це відповідає $x$ із проміжку $[-5; -1).$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35370

Завдання 502 з 942

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з п’яти довгих і чотирьох коротких стрілок, які виходять з вершини розгорнутого кута та поділяють його на рівні частини. Знайдіть градусну міру кута між двома довгими сусідніми стрілками.

А$18^\circ$

Б$20^\circ$

В$30^\circ$

Г$36^\circ$

Д$40^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей і видів кутів.

Розгорнутий кут поділено на $10$ рівних частин. Градусна міра кожного з-поміж цих кутів $$ 180^\circ: 10=18^\circ. $$

Градусна міра кута між довгими стрілками складається з двох градусних мір кутів між довгою і короткою стрілкою.

Отже,

$$ 18^\circ\cdot 2=36^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35369

Завдання 503 з 942

Яке з наведених рівнянь має два різні дійсні корені?

А$x^2+2x+1=0$

Б$x^2+2x+3=0$

В$x^2+2x=0$

Г$x^2+4=0$

Д$-x^2-2x-1=0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2+2x+1=0,\\[7pt] (x+1)^2=0,\\[7pt] x=-1 \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

\begin{gather*} x^2+2x+3=0,\\[7pt] x^2+2x+1+2=0,\\[7pt] x^2+2x+1=-2,\\[7pt] (x+1)^2=-2,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} x^2+2x=0,\\[7pt] x(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=-2 \end{gather*}

Рівняння має два різні дійсні корені.

\begin{gather*} x^2+4=0,\\[7pt] x^2=-4,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} -x^2-2x-1=0,\\[7pt] x^2+2x+1=0,\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35368

Завдання 504 з 942

Клієнт банку зняв $0\mathord{,}2$ від суми, що була на рахунку. Після цього на рахунку залишилося $4800$ грн. Скільки грошей було знято?

А$960\ \text{грн}$

Б$1200\ \text{грн}$

В$1600\ \text{грн}$

Г$600\ \text{грн}$

Д$800\ \text{грн}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати число за його частиною, розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Клієнт банку зняв $0\mathord{,}2$ від суми, що була на рахунку. Залишилось $0\mathord{,}8$ від цієї суми – $4800$ грн.

$$ 4800\ \text{грн}:0\mathord{,}8=48000\ \text{грн}:8=6000\ \text{грн} $$

– це сума, що була на рахунку.

Отже, $$ 6000-4800=1200\ \text{грн} $$ було знято з рахунку.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35367

Завдання 505 з 942

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC.$ $\angle CAD=23^\circ.$ Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

А$67^\circ$

Б$136^\circ$

В$134^\circ$

Г$124^\circ$

Д$144^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

$ABCD$ – ромб, тому $AB=BC=CD=DA.$

Отже, $\Delta ADC$ – рівнобедрений з основою $AC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника:

\begin{gather*} \angle A=\angle C=23^\circ,\\[7pt] \angle D=180^\circ-2\cdot 23^\circ=180^\circ-46^\circ=134^\circ. \end{gather*}

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, $AC$ – бісектриса кута $A{:}$ $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює $180^\circ.$ Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35366

Завдання 506 з 942

Диню розрізали на $6$ рівних частин і дві з них з'їли. Яка частина дині залишилася?

А$\frac 23$

Б$\frac 13$

В$\frac 56$

Г$\frac 12$

Д$\frac 32$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Диню розрізали на $6$ рівних частин. Кожна із цих частин становить $\frac 16$ від усієї дині.

Якщо з'їли $2$ частини, то залишилося $4.$ Вони становлять $$ \frac 46=\frac 23 $$ від усієї дині.

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 701. Запитання: 35365

Завдання 507 з 942

Знайдіть значення $a$, за якого сума коренів рівняння $$ 10x-2a-7\sqrt{5x-a}+3=0 $$ дорівнює $1\mathord{,}5.$

Впишіть відповідь:

-0.875

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Ірраціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром.

Зробімо заміну: $\sqrt{5x-a}=t\ge 0$, тоді $5x-a=t^2.$

\begin{gather*} 10x-2a-7\sqrt{5x-a}+3=0,\\[7pt] 2(5x-a)-7\sqrt{5x-a}+3=0,\\[7pt] 2t^2-7t+3=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння відносно $t{:}$

\begin{gather*} D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25,\\[6pt] t_1=\frac{7-5}{4}=\frac 12,\\[6pt] t_2=\frac{7+5}{4}=3,\\[6pt] \left[\begin{array}{l} \sqrt{5x-a}=\frac 12,\\ \sqrt{5x-a}=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 5x-a=\frac 14,\\ 5x-a=9, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 5x=a+\frac 14,\\ 5x=a+9, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_1=\frac 15a+\frac{1}{20},\\ x_2=\frac 15a+\frac 95. \end{array}\right. \end{gather*}

Сума коренів:

\begin{gather*} x_1+x_2=\frac 15a+\frac{1}{20}+\frac 15a+\frac 95=1\mathord{,}5,\\[6pt] \frac 25a+\frac{1}{20}+\frac{36}{20}=1\mathord{,}5\ |\cdot 20,\\[6pt] 8a+1+36=30,\\[7pt] 8a=-7,\\[6pt] a=-\frac 78=-0\mathord{,}875. \end{gather*}

Отже, за $a=-0\mathord{,}875$ сума коренів рівняння дорівнює $1\mathord{,}5.$

Відповідь: $-0\mathord{,}875.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35364

Завдання 508 з 942

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює $648\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Впишіть відповідь:

972

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$ – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\mathbf{\pi}R^2=648\mathbf{\pi},\\[7pt] 4R^2=648,\\[7pt] R^2=162,\\[7pt] R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABCD}=\frac 12d^2=\frac 12\cdot (2\cdot 9\sqrt{2})^2=\frac 12\cdot 4\cdot 81\ \text{см}^2\cdot 2=324\ \text{см}^2\\[6pt] H=KO. \end{gather*}

$KP\ \perp\ DC$ – апофема піраміди (висота бічної грані). $KO\ \perp\ (ABC)$, $KP$ – похила на площину основи, $OP$ – проєкція похилої $KP.$ Звідси, $\angle KPO=45^\circ$ – це кут між прямою $KP$ і площиною основи.

У $\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)$, $\angle P=45^\circ$, тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

$\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).$ $AD=DC$, $AC=18\sqrt{2}$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+DC^2=AC^2,\\[7pt] 2AD^2=(18\sqrt{2}\ \text{см})^2,\\[7pt] AD=18\ \text{см},\\[6pt] OK=OP=\frac 12AD=9\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 324\ \text{см}^2\cdot 9\ \text{см}=972\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $972.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35363

Завдання 509 з 942

У першому класі школи навчаються $9$ учнів і $12$ учениць, а в одинадцятому – $10$ учнів і $8$ учениць. Для проведення свята першого дзвоника потрібно вибрати трьох учнів: двох одинадцятикласників (учня й ученицю) та одного першокласника (учня або ученицю). Скільки всього існує варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1680

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації, комбінаторні правила добутку.

Кількість варіантів вибрати з $9$ учнів і $12$ учениць першого класу (всього $21$ особа) одну дитину: $$ C_{21}^1=21. $$

Кількість варіантів вибрати з $10$ учнів одного: $$ C_{10}^1=10, $$ а з $8$ учениць одну: $$ C_8^1=8. $$

Оскільки вибір незалежний, вибрати $1$ учня й $1$ ученицю з одинадцятого класу можна \begin{gather*} 10\cdot 8=80 \end{gather*} варіантами.

Вибір одного першокласника та вибір учня разом з ученицею з одинадцятого класу не впливають один на одного, тобто є незалежними подіями. Тому загальну кількість можливостей визначаємо за комбінаторним правилом добутку: \begin{gather*} 80\cdot 21=1680 \end{gather*} варіантів.

Відповідь: $1680.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35362

Завдання 510 з 942

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$, є паралельною до прямої $y=1\mathord{,}5x + 5.$

Знайдіть значення похідної функції $g(x)=\frac{18}{x}–f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

-3.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної, обчислювати похідні функцій.

За геометричним змістом похідної, $f'(x_0)=k.$

Похідна функції в точці – це кутовий коєфіцієнт дотичної до графіка в точці $x_0.$

За умовою, дотична до графіка функції в точці $x_0=3$ паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$ Паралельні прямі мають рівні кутові коєфіцієнти. Отже, $$ f'(x_0)=f'(3)=1\mathord{,}5. $$

\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}

Похідна

\begin{gather*} \left(\frac{18}{x}\right)'=(18\cdot x^{-1})'=-18\cdot x^{-2}=-\frac{18}{x^2},\\[6pt] g'(x_0)=g'(3)=-\frac{18}{3^2}-1\mathord{,}5=-2-1\mathord{,}5=-3\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-3\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35361

Завдання 511 з 942

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$, $O$ – точка перетину його діагоналей. $AB=6$ см, $AD=8$ см, $OM$ – перпендикуляр, проведений з точки $O$ до сторони $AD$. Доберіть до геометричної фігури (1–3) її площу (А – Д).

1трикутник $ABD$

2трикутник $AOD$

3п’ятикутник $ABCOM$

А$12$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. $\Delta ABD$ – прямокутний із катетами $AB=6$ см і $AD=8$ см.

$$ S_{ABD}=\frac 12 AB\cdot AD=\frac 12\cdot 6\ \text{см}\cdot 8\ \text{см}=24\ \text{см}^2. $$

Правильна відповідь – B.

2. $OM\ \perp\ AD.$ За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12\cdot AB=3\ \text{см},\\[6pt] S_{AOD}=\frac 12 \cdot AD\cdot OM=\frac 12\cdot 8\cdot 3=12\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

\begin{gather*} S_{ABCOM}=S_{ABC}+S_{AOM},\\[7pt] S_{ABC}=S_{ABD}=24\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{AOM}=\frac 12S_{AOD}=\frac 12\cdot 12\ \text{см}^2=6\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{ABCOM}=24\ \text{см}^2+6\ \text{см}^2=30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35360

Завдання 512 з 942

Узгодьте вираз (1–3) із значенням $m$ (А – Д), за якого значення цього виразу дорівнює $1.$

1$\frac m4$

2$4^6:4^{-m}$

3$\log_{16}2+\log_{16}m$

А$\frac 14$

Б$6$

В$4$

Г$-6$

Д$8$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення їх.

1. $\frac{m}{4}=1$, $m=4.$

Отже, правильна відповідь – B.

\begin{gather*} 4^6:4^{-m}=4^{6-(-m)}=4^{6\ +\ m}=1,\\[7pt] 4^0=1,\ \text{тому}\ 4^{6\ +\ m}=4^0,\\[7pt] 6+m=0,\\[7pt] m=-6. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $\log_{16}2+\log_{16}m=\log_{16}(2m)=1.$

За властивістю логарифмів: $$ \log_ab+\log_ac=\log_a(bc). $$

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_{16}(2m)=1,\\[7pt] 2m=16^1,\\[7pt] 2m=16,\\[7pt] m=8. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35359

Завдання 513 з 942

Узгодьте функцію (1–3) із її властивістю (А – Д).

1$y=7x+4$

2$y=-\frac 7x$

3$y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)$

Апарна

Бнепарна

Вобласть визначення функції є проміжок $(0; +\infty)$

Гграфік функції перетинає вісь $y$ в точці з ординатою $4$

Дспадає на всій області визначення

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=7x+4$ – графік функції перетинає вісь $y$ у точці з ординатою $4.$

Отже, правильна відповідь – Г.

2. $y=-\frac 7x$ – функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $y=\log_{0\mathord{,}1}(x-4)$ – логарифмічна функція $y=\log_a x$ спадна на всій області визначення, якщо $a\in (0; 1).$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35358

Завдання 514 з 942

$4\sin 450^\circ+\operatorname{tg} 135^\circ=$

А$-3$

Б$-5$

В$3$

Г$-1$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, уміння визначати їхні числові значення.

Функція $y=\sin x$ періодична з найменшим додатним періодом $T=2\mathbf{\pi}.$ За означенням періодичної фукнції:

\begin{gather*} f(x)=f(x\pm T),\\[7pt] 2\mathbf{\pi}=360^\circ,\\[7pt] \sin 450^\circ=\sin(360^\circ+90^\circ)=\sin 90^\circ=1,\\[7pt] \operatorname{tg}\ 135^\circ=\operatorname{tg} (180^\circ-45^\circ)=-\operatorname{tg} 45^\circ=-1. \end{gather*}

Застосували формулу $\operatorname{tg}\ (180^\circ-\mathbf{\alpha})=-\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.$

Отже,

$$ 4\sin 450^\circ+\operatorname{tg}\ 135^\circ=4\cdot 1+(-1)=4-1=3. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35357

Завдання 515 з 942

Обчисліть площу $S$ заштрихованої фігури, обмеженої графіком функції $y=e^x$, віссю абсцис і прямою $x=1.$

А$S=e+1$

Б$S=e$

В$S=1$

Г$S=1-e$

Д$S=e-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями $x=a$, $x=b$, графіком функції $y=f(x)$ і віссю $Ox$ визначаємо за формулою:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),\\[6pt] S=\mathop{\int}\limits_0^1 e^x dx=\left.e^x\right|_0^1=e^1-e^0=e-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35356

Завдання 516 з 942

Розв’яжіть систему нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 3x-2\ge 5x-6,\\ 7x+1\le 4x-5. \end{array}\right. $$

А$(-\infty; 2]$

Б$[2; +\infty)$

В$[-2; 2]$

Г$(-\infty; -2]$

Д$[-2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3x-2\ge 5x-6,\\ 7x+1\le 4x-5, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3x-5x\ge -6+2,\\ 7x-4x\le -5-1, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} -2x\ge -4,\\ 3x\le -6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\le -4:(-2),\\ x\le -6:3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\le 2,\\ x\le -2. \end{array}\right. \end{gather*}

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок $x\in (-\infty; -2].$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35355

Завдання 517 з 942

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=–30.$ Знайдіть значення виразу $a_1-a_3.$

А$-12$

Б$6$

В$-6$

Г$30$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

\begin{gather*} a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d=-30. \end{gather*}

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=a_1-a_1-2d=-2d=-2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35354

Завдання 518 з 942

$\log_55^{10}=$

А$1$

Б$2$

В$10$

Г$50$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання означення та властивостей логарифма.

За властивістю логарифма: $$ \log_ab^n=n\log_ab\mathord{;} $$ $$ \log_aa=1. $$

Спростімо вираз:

\begin{gather*} \log_5 5^{10}=10\log_5 5=10\cdot 1=10. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35353

Завдання 519 з 942

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Точка $M$ є серединою $BC.$

II. Промінь $AM$ є бісектрисою $\angle A.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $AMC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише ІІ та ІІІ

ДI, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, $M$ – середина $BC.$

II. Твердження неправильне. $AM$ – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою $BC.$ Але в умові $\Delta ABC$ – довільний.

III. Твердження правильне. $S_{ABM}=S_{AMC}.$ За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35352

Завдання 520 з 942

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O.$ Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=–\frac{1}{4}.$

А$\sqrt{31}$ см

Б$2\sqrt{7}$ см

В$\sqrt{22}$ см

Г$5$ см

Д$\sqrt{19}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

$AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=-\frac 14.$

За властивістю паралелограма

\begin{gather*} AO=OC=\frac 12AC=4\ \text{см},\\[6pt] BO=OD=\frac 12BD=3\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOD$ за теоремою косинусів:

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2-2\cdot AO\cdot OD\cdot \cos \angle AOD,\\[6pt] AD^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \left(-\frac 14\right)=16+9+6=31\ \text{см}^2,\\[6pt] AD=\sqrt{31}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35351

Завдання 521 з 942

Насадження ялівцю, що займають площу $1$ га, за день виділяють в атмосферу фітонциди масою $30$ кг. Яку масу фітонцидів виділять насадження ялівцю, що ростуть на $2000$ га, за $30$ днів?

А$1\mathord{,}1\cdot 10^5$ кг

Б$1\mathord{,}8\cdot 10^6$ кг

В$1\mathord{,}8\cdot 10^5$ кг

Г$1\mathord{,}8\cdot 10^7$ кг

Д$2\cdot 10^3$ кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

З $1$ га насадження ялівцю виділяється $30$ кг фітонцидів за $1$ день.

З $2000$ га виділяється $30\ \text{кг/га}\cdot 2000\ \text{га}=60000\ \text{кг}$ фітонцидів за день.

Визначмо масу фітонцидів за $30$ днів:

$$ 60000\ \text{кг/день}\cdot 30\ \text{днів}=1800000\ \text{кг}=1\mathord{,}8\ \text{кг}\cdot 1000000=1\mathord{,}8\cdot 10^6\ \text{кг}. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35350

Завдання 522 з 942

$\frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=$

А$4$

Б$3$

В$2$

Г$2\sqrt{2}$

Д$\sqrt{\frac 73}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2. \end{gather*}

Використали властивість кореня: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},$ де $a$, $b\gt 0.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35349

Завдання 523 з 942

Графік функції $y=x^3$ паралельно перенесли на $4$ одиниці ліворуч уздовж осі $x.$ Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

А$y=x^3-4$

Б$y=(x-4)^3$

В$y=4x^3$

Г$y=(x+4)^3$

Д$y=x^3+4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі $Ox$ – це перетворення виду: $$ f(x)\rightarrow f(x+A), $$ де $A$ – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо $A\gt 0$ – переносимо графік вліво, якщо $A\lt 0$ – переносимо вправо.

Отже, графік функції $y=x^3$ перенесли на $4$ одиниці ліворуч й отримали графік функції $y=(x+4)^3.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35348

Завдання 524 з 942

$12x^3-x=$

А$x(12x^2-1)$

Б$12x(x^2-1)$

В$x(12x^3-1)$

Г$12x(x^3-1)$

Д$x(12x^2-x)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення та вмінння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо спільний множник за дужки:

$$ 12x^3-x=12\cdot x^2\cdot x-1\cdot x=x\cdot (12x^2-1). $$

Використали розподільну властивість множення: $$ a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b). $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35347

Завдання 525 з 942

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ і $n.$ Визначте градусну міру кута $\mathbf{\beta}$, якщо $\mathbf{\alpha}=35^\circ.$

А$135^\circ$

Б$125^\circ$

В$155^\circ$

Г$55^\circ$

Д$145^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих.

Кути $\mathbf{\gamma}$ i $\mathbf{\beta}$ – вертикальні. За властивістю вертикальних кутів $\mathbf{\beta} = \mathbf{\gamma}.$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\gamma}$ – внутрішні односторонні. За їхньою властивістю:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+ \mathbf{\gamma}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=35^\circ,\\[7pt] \mathbf{\gamma}=180^\circ - 35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\beta}=145^\circ.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35346

Завдання 526 з 942

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $SA$ є

Аребром основи

Бапофемою

Ввисотою

Гбічним ребром

Двисотою основи

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD\mathord{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ – ребра основи. Отже, $SA$ є бічним ребром.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35345

Завдання 527 з 942

Масова частка $w$ розчиненої речовини дорівнює відношенню її маси $m_1$ до маси $m_2$ всього розчину. Виразіть $m_1$ через $m_2$ й $w.$

А$m_1=m_2\cdot w$

Б$m_1=\frac{m_2}{w}$

В$m_1=\frac{w}{m_2}$

Г$m_1=m_2-w$

Д$m_1=m_2+w$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання основної властивості пропорції.

Виразімо із цієї рівності $m_1\mathord{:}$

\begin{gather*} w=\frac{m_1}{m_2},\\[6pt] \frac w1=\frac{m_1}{m_2},\\[6pt] m_1\cdot 1=m_2\cdot w,\\[7pt] m_1=m_2\cdot w. \end{gather*}

У перетворенні застосували основну властивість пропорції:

$$ \text{якщо}\ \frac ab=\frac cd,\ \text{то}\ ad=bc. $$

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35344

Завдання 528 з 942

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів у магазині електроніки протягом перших п'яти місяців року. Укажіть місяць, у якому продано на $100$ планшетів більше ніж у попередньому.

Алютий

Бберезень

Вквітень

Гтравень

Дсічень

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів:
січень – $250$;
лютий – $100$;
березень – $200$;
квітень – $100$;
травень – $150$.

Місяць, у якому продано планшетів на $100$ більше, ніж у попередньому, – березень.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 700. Запитання: 35343

Завдання 529 з 942

Визначте суму всіх цілих значень $a$, за кожного з яких рівняння $$ \frac{2^{4x+2a-15}-2\sqrt{2}}{\sqrt{2-x}}=0 $$ має додатний корінь.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння, рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 2-x\gt 0,\\[7pt] x\lt 2,\\[7pt] x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю за умови, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник – ні.

\begin{gather*} 2^{4x+2a-15}-2\sqrt{2}=0\\[7pt] 2^{4x+2a-15}=2\sqrt{2}\\[7pt] 2^{4x+2a-15}=2^{1\mathord{,}5}\\[7pt] 4x+2a-15=1\mathord{,}5\\[7pt] 4x=1\mathord{,}5+15-2a\\[7pt] 4x=16\mathord{,}5-2a\\[6pt] x=\frac{33}{8}-\frac a2. \end{gather*}

За умовою корінь $x$ має бути додатним і задовольняти ОДЗ. Тобто $x\gt 0$ та $x\lt 2.$ Отже, $0\lt x\lt 2.$

Підставмо $x$ у нерівність:

\begin{gather*} 0\lt \frac{33}{8}-\frac a2\lt 2,\ |\cdot 8\\[6pt] 0\lt 33-4a\lt 16,\\[7pt] -33\lt -4a\lt 17,\ |:(-4)\\[6pt] \frac{17}{4}\lt a\lt \frac{33}{4},\\[6pt] 4\frac 14\lt a\lt 8\frac 14. \end{gather*}

Оскільки $a$ – ціле число, то $a=5\mathord{,}\ 6\mathord{,}\ 7\mathord{,}\ 8.$

Сума значень $a:$ $$ 5+6+7+8=26. $$

Відповідь: $26.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35342

Завдання 530 з 942

Правильна чотирикутна піраміда й циліндр мають рівні висоти. Радіус кола, описаного навколо основи піраміди дорівнює радіусу кола основи циліндра. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $600\mathbf{\pi}$ см$^2$, а площа його основи – $225\mathbf{\pi}$ см$^2.$ Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

3000

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

\begin{gather*} S=225\mathbf{\pi}=\mathbf{\pi}R^2,\\[7pt] R^2=225\ \textit{см}^2,\\[7pt] R=15\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні ціліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 15H=600\mathbf{\pi}\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата $ABCD$, дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ $AC=30$ см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

\begin{gather*} S=\frac 12 d^2=\frac 12\cdot (30\ \textit{см})^2=450\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 450\ \textit{см}^2\cdot 20\ \textit{см}=3000\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $3000.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35341

Завдання 531 з 942

У салоні пасажирського літака $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (по $3$ з кожного боку від проходу). Реєструючи першого пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу в першому або останньому ряду, дорівнює $\frac{1}{45}.$ Знайдіть $n.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього в салоні літака $n$ рядів по $6$ місць у кожному. Отже, всього в літаку $6n$ місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду $4.$ Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – $\frac{1}{45}.$

За означенням імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події ($4$ місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів ($6n$ – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{1}{45}=\frac{4}{6n},\\[6pt] 6n=4\cdot 45,\\[7pt] n=30. \end{gather*}

Відповідь: $30.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35340

Завдання 532 з 942

Задано функцію $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$ Обчисліть $f(-4)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-9

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 10,\ \text{якщо}\ x\lt-2,\\ 4x^2+3x,\ \text{якщо}\ x\ge-2. \end{array}\right. $$

Якщо $x\lt -2\ f(x)=10.$ Отже, $f(-4)=10.$

Якщо $x\ge -2$, $f(x)=4x^2+3x.$

\begin{gather*} f'(x)=4\cdot 2x+3\cdot 1=8x+3,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2+3=16+3=19. \end{gather*}

Обчислімо

$$ f(-4)-f'(2)=10-19=-9. $$

Відповідь: $-9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35339

Завдання 533 з 942

Коло із центром у точці $O$ дотикається трьох сторін прямокутника $ABCD.$ Вершина $K$ прямокутного рівнобедреного трикутника $AKB$ належить колу. $AB=12$ см. Доберіть до кожного початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина радіуса $OK$ кола дорівнює

2Довжина відрізка $BK$ дорівнює

3Відстань від точки $O$ до вершини $A$ дорівнює

А$6$ см

Б$8$ см

В$6\sqrt{2}$ см

Г$6\sqrt{5}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

1. Коло дотикається до сторін $BC$ i $AD$, тому діаметр кола дорівнює стороні $AB.$ Отже, довжина радіуса $OK=\frac 12AB=6$ см.

Правильна відповідь – А.

2. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$, $BK=AK.$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BK^2+KA^2=2BK^2,\\[7pt] 2BK^2=12^2\ \textit{см},\\[7pt] BK^2=144\ \textit{см}:2=72\ \textit{см},\\[7pt] BK=\sqrt{72}\ \textit{см}=\sqrt{2\cdot 36}\ \textit{см}=6\sqrt{2}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

3. У $\Delta ABK\ KH\ \perp\ AB$ і є медіаною. За властивістю медіани проведеної до гіпотенузи:

\begin{gather*} KH=\frac 12AB=6\ \textit{см},\\[7pt] OH=OK+KH=6\ \textit{см}+6\ \textit{см}=12\ \textit{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOM\ (\angle M=90^\circ)$, $OM=6$ см, $AM=OH=12$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AO^2=AM^2+OM^2,\\[7pt] AO=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\\[7pt] =\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}\ \textit{см}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35338

Завдання 534 з 942

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-4; 6].$ Узгодьте проміжок (1–3) із функцією (А – Д), що описує графік функції $y=f(x)$ на цьому проміжку.

1$[-4; 0]$

2$(0; 2]$

3$(2; 6]$

А$y=x^3$

Б$y=12-2x$

В$y=-\sqrt{x}$

Г$y=2^x$

Д$y=\sqrt{-x}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати перетворення графіків функцій.

1. На проміжку $[-4; 0]$ зображено графік функції $y=\sqrt{-x}.$

Елементарним перетворенням $f(x)\rightarrow f(-x)$ графік відображено симетрично відносно осі $Oy.$ Отже, правильна відповідь – Д.

2. На проміжку $(0; 2]$ зображено графік функції $y=x^3.$ Отже, правильна відповідь – A.

3. На проміжку $(2; 6)$ зображено графік лінійної функції $y=12-2x.$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35337

Завдання 535 з 942

Узгодьте вираз (1–3) і твердження про його значення (А – Д), яке є правильним для цього виразу, де $e\approx 2\mathord{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

1$\ln \frac 1e$

2$e+1$

3$(e-1)^2-e^2+2e$

Ає натуральним числом

Бє від’ємним цілим числом

Вє від’ємним нецілим числом

Гдорівнює $0$

Дє ірраціональним числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. $\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1$ є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7$ є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

3. $(e-1)^2-e^2+2e=e^2-2e+1-e^2+2e=1$ є натуральним числом. Отже, правильна відповідь – А.

Вираз $(e-1)^2$ спростили за формулою квадрата різниці: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35336

Завдання 536 з 942

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} x-\frac 3y=3,\\ x+\frac 1y=11. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$5$

Б$-2\mathord{,}5$

В$6\mathord{,}5$

Г$9\mathord{,}5$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x-\frac 3y=3\ |\cdot (-1),\\ x+\frac 1y=11. \end{array}\right.\\[7pt] + \left\{\begin{array}{l} -x+\frac 3y=-3,\\ \underline{x+\frac 1y=11,} \end{array}\right.\\[6pt] \frac 3y+\frac 1y=8,\\[6pt] \frac 4y=8,\\[6pt] y=\frac 12. \end{gather*}

Підставмо значення $y=0\mathord{,}5$ у перше рівняння:

\begin{gather*} x-\frac{3}{0\mathord{,}5}=3,\\[6pt] x-6=3,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Розв'язком системи є пара чисел $(9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}$

$$ x_0+y_0=9+0\mathord{,}5=9\mathord{,}5. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35335

Завдання 537 з 942

Знайдіть похідну функції $f(x)=2+\frac 3x.$

А$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$

Б$f'(x)=3$

В$f'(x)=3\ln|x|$

Г$f'(x)=2x+3\ln|x|$

Д$f'(x)=\frac{3}{x^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворення виразу $\frac 3x$ за властивістю степенів $a^{-n}=\frac{1}{a^n}\mathord{:}$ $$ \frac 3x=3\cdot \frac 1x=3x^{-1}. $$

За правилом визначення похідних $(u+v)'=u'+v'$ визначимо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=2+\frac 3x,\\[6pt] f(x)=2+3x^{-1},\\[6pt] f'(x)=0+3\cdot (-1\cdot x^{-2})=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^2}. \end{gather*}

За таблицею похідних

$$ (x^{\mathbf{\alpha}})'=\mathbf{\alpha}x^{\mathbf{\alpha}-1}. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35334

Завдання 538 з 942

Якому проміжку належить значення виразу $6\sin 15^\circ\cos 15^\circ$?

А$[0; 1)$

Б$[1; 2)$

В$[2; 3)$

Г$[3; 5)$

Д$[5; 6]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, обчислення їхнього значення за заданих значень змінних.

Застосуймо формулу подвійного аргумента $$ \sin 2\mathbf{\alpha}=2\sin \mathbf{\alpha}\cos \mathbf{\alpha} $$ для спрощення виразу:

\begin{gather*} 6\sin 15^\circ\cos 15^\circ=3\cdot (2\sin 15^\circ\cos 15^\circ)=\\[6pt] =3\sin 30^\circ=3\cdot \frac 12=1\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення виразу належить проміжку $[1; 2).$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35333

Завдання 539 з 942

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $(AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ.$ $AD:BC=5:2$, $AD=b.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$\frac{7b^2}{25}$

Б$\frac{7b^2\sqrt{2}}{50}$

В$\frac{21b^2}{100}$

Г$\frac{7b^2}{50}$

Д$\frac{7b^2}{45}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

$BC=2x$, $AD=5x=b$, $x=\frac b5.$

Побудуймо висоти $BH$ i $CK.$ $HBCK$ – прямокутник, тому

\begin{gather*} BC=HK=2x,\\[7pt] AH=KD=(5x-2x):2=1\mathord{,}5x. \end{gather*}

Точка $O$ – середина $AD$, а тому $HO=OK=x.$

У $\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)$, $O=45^\circ.$ Отже, $\Delta BHO$ – рівнобедрений. $HO=BH=x.$

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{2x+5x}{2}\cdot x=\frac 72 x^2. \end{gather*}

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

$$ S=\frac 72\cdot \left(\frac b5\right)^2=\frac{7b^2}{2\cdot 25}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35332

Завдання 540 з 942

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_5x+1=\log_512.$

А$[0; 2)$

Б$[2; 4)$

В$[4; 6)$

Г$[6; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_5x+1=\log_5 12,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-1,\\[7pt] \log_5x=\log_5 12-\log_5 5,\\[6pt] \log_5x=\log_5\left(\frac{12}{5}\right). \end{gather*}

Застосуймо властивості алгоритмів:

\begin{gather*} \log_a=1,\\[6pt] \log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right). \end{gather*}

Зведімо обидві сторони рівняння до логарифмів з однаковою основою:

\begin{gather*} x=\frac{12}{5},\\[6pt] x=2\frac 25\in [2; 4). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35331

Завдання 541 з 942

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівну площу.

III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише I та IIІ

Длише ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35330

Завдання 542 з 942

Розв’яжіть нерівність $$ \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16}. $$

А$(-\infty; 2)$

Б$(4; +\infty)$

В$(-\infty; -2)$

Г$(-2; +\infty)$

Д$(-\infty; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\frac{1}{16},\\[6pt] \left(\frac 14\right)^{2x-6}\gt\left(\frac{1}{4}\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\frac 14\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)},\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x),\\[7pt] 2x-6\lt 2,\\[7pt] 2x\lt 2+6,\\[7pt] 2x\lt 8,\\[7pt] x\lt 4. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; 4). $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35329

Завдання 543 з 942

Визначте модуль (довжину) вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ якщо $\ \overrightarrow{a}(2; 1; -5)\ \text{i}\ \overrightarrow{b}(-7; 0; 3).$

А$\sqrt{86}$

Б$\sqrt{146}$

В$\sqrt{90}$

Г$\sqrt{30}$

Д$20$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння додавати і віднімати вектори, визначати модуль вектора.

Визначмо різницю векторів за формулами:

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1),\\[7pt] \overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2),\\[7pt] \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2}),\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{2-(-7); 1-0; -5-3})=(\overrightarrow{9; 1; -8}). \end{gather*}

Визначимо модуль вектора $\overrightarrow{c}$ за формулою:

\begin{gather*} \overrightarrow{c}(x, y, z),\ |\overrightarrow{c}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\[7pt] |\overrightarrow{c}|=\sqrt{9^2+1^2+(-8)^2}=\sqrt{81+1+64}=\sqrt{146}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35328

Завдання 544 з 942

Спростіть вираз $a-(12a+5a).$

А$a-17a^2$

Б$-17a$

В$-6a$

Г$-18a$

Д$-16a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

$$ a-(12a+5a)=a-17a=1a-17a=-16a. $$

$12a$ i $5a$ – подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Аналогічно спрощують $(1a-17a).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35327

Завдання 545 з 942

Графік функції $y=3^x$ паралельно перенесли на $2$ одиниці вниз уздовж осі $y.$ Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.

А$y=3^x-2$

Б$y=\frac{3^x}{2}$

В$y=3^x+2$

Г$y=3^{x+2}$

Д$y=3^{x-2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникова функція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості перетворення графіків функцій, знання властивостей показникової функції.

Графік функції $y=3^x$ перенесли на $2$ одиниці вниз уздовж осі $y.$

За властивістю елементарних перетворень переміщення вздовж осі $y$ $$ f(x)\rightarrow f(x)+A, $$ де $A$ – кількість одиниць, на які переміщують графік. Якщо $A\gt 0$, то графік переміщують угору, а якщо $A\lt 0$ – униз.

Запис $y=3^x \rightarrow y=3^x-2$ означає, що графік функції перемістили вниз на $2$ одиниці, бо $A=-2.$

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35326

Завдання 546 з 942

На рисунку зображено дві прямі, що перетинаються.

Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}$, якщо $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ.$

А$145^\circ$

Б$135^\circ$

В$125^\circ$

Г$110^\circ$

Д$290^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей суміжних і вертикальних кутів.

Кути $\mathbf{\beta}$ i $\mathbf{\varphi}$ – вертикальні. За їхньою властивістю $\mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}.$

За умовою $\mathbf{\beta}+\mathbf{\varphi}=70^\circ$, тому $$ \mathbf{\beta}=\mathbf{\varphi}=70^\circ:2=35^\circ. $$

Кути $\mathbf{\alpha}$ i $\mathbf{\beta}$ – суміжні. За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=180^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=180^\circ - \mathbf{\beta}=180^\circ-35^\circ=145^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35325

Завдання 547 з 942

Ціна акції компанії зросла на $10\ \text{%}$ від її початкової ціни. Якою була початкова ціна (у грн) цієї акції, якщо її ціна тепер становить $990$ грн?

А$900$

Б$1089$

В$891$

Г$1000$

Д$980$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки, уміння визначати число за розміром його відсотка.

Ціна акції зросла на $10\ \text{%}$ від початкової ціни.

Ціна тепер становить $990$ грн і це $110\ \text{%}$ від початкової ціни.

Визначмо $x$ – початкову ціну акцій, яка становить $100\ \text{%}.$ Складімо пропорцію:

\begin{gather*} x\ \textit{грн} - 100\ \ \text{%},\\[7pt] 990\ \textit{грн} - 110\ \ \text{%},\\[6pt] x=\frac{990\ \textit{грн}\cdot 100\ \text{%}}{110\ \text{%}}=900\ \textit{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35324

Завдання 548 з 942

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$, $SO$ – висота піраміди. Укажіть пару прямих, що лежать в одній площині.

А$SB$ i $AC$

Б$SO$ i $AC$

В$SA$ i $BC$

Г$SO$ i $BC$

Д$SO$ i $SB$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі $SO$ i $SB$ лежать в одній площині, бо мають спільну точку $S.$

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35323

Завдання 549 з 942

$|2\sqrt{2}-3|=$

А$3-2\sqrt{2}$

Б$2\sqrt{2}-3$

В$2\sqrt{2}+3$

Г$-2\sqrt{2}-3$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] 2\sqrt{2}\lt 3,\ \text{бо}\ \sqrt{2}\approx 1\mathord{,}41\\[7pt] 2\cdot 1\mathord{,}41 \lt 2\cdot 1\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, $|2\sqrt{2}-3|=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35321

Завдання 550 з 942

До навчального року Марко купив $4$ набори з $2$ ручок у кожному й $3$ набори по $5$ ручок у кожному. Кожен набір із $2$ ручок коштує $25$ грн, а кожен набір із $5$ ручок – $40$ грн. Скільки Марко заплатив за покупку?

А$800$ грн

Б$235$ грн

В$220$ грн

Г$65$ грн

Д$250$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Марко купив $4$ набори з $2$ ручок по $25$ грн кожний і $3$ набори з $5$ ручок по $40$ грн кожний.

За покупку Марко заплатив:

$$ 4\cdot 25+3\cdot 40=100+120=220\ \textit{грн}. $$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 699. Запитання: 35320

Завдання 551 з 942

Знайдіть найменше ціле значення $a$, за якого коло $(x-11-3a)^2+(y+2)^2=49$ двічі перетинає вісь ординат.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння кола, властивостей прямокутної системи координат на площині, уміння застосовувати координати для розв’язання планіметричних задач.

За умовою:

\begin{gather*} (x-11-3a)^2+(y+2)^2=49,\\[7pt] (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Рівняння кола: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$

Дано коло із центром у точці $(11+3a; -2)$ i радіусом $7.$

Унаслідок зміни параметра $a$ коло переміщується вздовж прямої $y=-2.$

Для того, щоб коло дотикалося до осі $Oy$, центр кола повинен бути в точці $(7; -2)$ або $(-7; -2).$

Щоб коло перетинало двічі вісь ординат, абсциса $a$ центра кола повинна бути цілим числом – розв'язком нерівності:

\begin{gather*} -7\lt 11+3a\lt 7,\\[7pt] -7-11\lt 3a\lt 7-11,\\[7pt] -18\lt 3a\lt -4,\\[6pt] -6\lt a\lt -1\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення $a=-5.$

Відповідь: $-5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35319

Завдання 552 з 942

Задано сферу з площею поверхні $64\mathbf{\pi}$ см$^2$ і правильну трикутну призму. Радіус кола, уписаного в основу призми, дорівнює радіусу сфери, а висота призми дорівнює стороні її основи. Визначте об’єм (у см$^3$) призми.

Впишіть відповідь:

1152

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

$S=64\mathbf{\pi}$ см$^2$, $AA_1=AC$, $OK=O_1D.$

Площа поверхні сфери $S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}$, $R^2=16\ \textit{см}^2,$ $R=4$ см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, $OK=O_1D=4$ см.

Призма – правильна, отже $\Delta ABC$ – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де $a$ – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(8\cdot \sqrt{3}\ \textit{см})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\ \textit{см}^2\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Об'єм призми

\begin{gather*} S_\text{осн}=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2,\\[6pt] H=AC=8\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] V=48\sqrt{3}\ \textit{см}^2\cdot 8\sqrt{3}\ \textit{см}=1152\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35318

Завдання 553 з 942

У групі з $20$ учнів $11$ класу провели опитування, щоб з’ясувати, скільки приблизно годин вони витрачають на підготовку до контрольної роботи. Відповіді учнів відображено на діаграмі. Визначте ймовірність того, що навмання обраний учень з цієї групи витратив на підготовку до контрольної роботи не менше двох годин.

Впишіть відповідь:

0.65

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

На діаграмі відображено відповіді учнів про те скільки вони витрачають годин на підготовку до контрольної роботи.

Не менш як дві години витратили:
$2$ години – $5$ учнів;
$2\mathord{,}5$ години – $4$ учні;
$3$ години – $2$ учні;
$3\mathord{,}5$ та $4$ години – по $1$ учню.

Всього таких учнів – $13.$

Імовірність події $A$ того, що навмання вибраний учень із цієї групи витратив не менш як дві години, визначмо за формулою: $$ P(A)=\frac kn, $$ де $k$ – кількість сприятливих подій $(k=13)$, а $n$ – кількість усіх рівноможливих подій $(n=20).$

Отже, $$ P(A)=\frac{13}{20}=0\mathord{,}65. $$

Відповідь: $0\mathord{,}65.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35317

Завдання 554 з 942

Функція $y=f(x)$ є прямою пропорційністю на проміжку $(–\infty; +\infty).$ Знайдіть значення функції $g(x)=3f(x)+\frac{|x|}{8}$ у точці з абсцисою $x_0=–2$, якщо графік функції $y=f(x)$ проходить через точку $(2; 7).$

Впишіть відповідь:

-20.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Функція $y=f(x)$ є прямою пропорційністю, це означає, що вона має вигляд $f(x)=kx$, де $k$ – коефіцієнт пропорційності.

Графік функції проходить через точку $(2; 7)$. Підставимо ці координати в рівняння функції, щоб визначити $k\mathord{:}$ \begin{gather*} 7=k\cdot 2,\\[6pt] k=\frac 72. \end{gather*}

Отже, функція $f(x)$ має вигляд: \begin{gather*} f(x)=\frac 72x,\\[6pt] g(x)=3f(x)+\frac{|x|}{8}. \end{gather*}

Підставимо $f(x)$ у вираз для $g(x)\mathord{:}$

\begin{gather*} g(x)=3\cdot \left(\frac 72x\right)+\frac{|x|}{8},\\[6pt] g(x)=\frac{21}{2}x+\frac{|x|}{8},\\[6pt] g(x)=10\mathord{,}5x+\frac{|x|}{8}. \end{gather*}

Треба обчислити значення функції $g(x)$ у точці з абсцисою $x_0=-2.$

\begin{gather*} g(-2)=10\mathord{,}5\cdot (-2)+\frac{|-2|}{8},\\[6pt] g(-2)=-21+\frac 28,\\[6pt] g(-2)=-21+\frac 14,\\[6pt] g(-2)=-21+0\mathord{,}25,\\[7pt] g(-2)=-20\mathord{,}75. \end{gather*}

Відповідь: $-20\mathord{,}75.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35316

Завдання 555 з 942

Діагональ $AC$ рівнобічної трапеції $ABCD$ утворює зі стороною $CD$ кут $120^\circ.$ Довжини основ трапеції дорівнюють $12$ см і $30$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина проєкції сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює

А$9$ см

Б$20\sqrt{3}$ см

В$21$ см

Г$10\sqrt{3}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де $a$, $b$ – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. $BK\ \perp\ AD.$ Проєкція $AB$ на пряму $AD$ – відрізок $AK.$ $ABCD$ – рівнобічна трапеція, тому $AB=CD.$

Рівні похилі $BA$ i $CD$ мають рівні проєкції $AK=HD.$

$$ AK=(AD-BC):2=(30\ \textit{см}-12\ \textit{см}):2=9\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції $ABCD$, це коло описане навколо $\Delta ACD.$

За наслідком з теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{a}{\sin \mathbf{\alpha}}=2R,\\[6pt] \frac{AD}{\sin \angle ACD}=2R,\\[6pt] \frac{30}{\sin 120^\circ}=2R,\\[6pt] \sin 120^\circ=\sin (180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] \frac{30\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R,\\[6pt] R=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \textit{см} \end{gather*}.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35315

Завдання 556 з 942

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).

1$\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)$

2$\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|$

3$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

А$-\frac 12$

Б$\frac 12$

В$2$

Г$-2$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. $\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}=-\frac 12.$

Функція $y=\sin x$ – непарна, тому $\sin (-x)=-\sin (x).$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}-(\mathbf{\pi}+2)=\mathbf{\pi}-\mathbf{\pi}-2=-2.$

За властивістю модуля числа: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$ $\mathbf{\pi}+2\gt 0$, тому $|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}+2.$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{2})^2}=\frac 12.$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35314

Завдання 557 з 942

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

1$y=2x-5$

2$y=\log_3(x-5)$

3$y=x^2-5$

Аграфік функції має лише $2$ точки перетину з осями координат

Бобластю значень функції є проміжок $[–5; +\infty)$

Вграфік функції знаходиться лише в І та ІІ координатних чвертях

Гобластю визначення функції є проміжок $(5; +\infty)$

Дфункція спадає на всій області визначення

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні, квадратичні та логарифмічні функції.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей лінійної, квадратичної та логарифмічної функцій, уміння визначати область визначення, області значень, властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=2x-5$ – лінійна функція, її графік – пряма.

Графік функції має лише дві точки перетину з осями координат. Отже, правильна відповідь – А.

2. $y=\log_3(x-5)$ – логарифмічна функція. Графік функції $y=\log_3x$ перенесено паралельно вздовж осі $Ox$ на $5$ одиниць управо.

Областю визначення функції є проміжок $(5; +\infty).$ Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=x^2-5$ – квадратична функція. Графік функції $y=x^2$ перенесено вздовж осі $Oy$ на $5$ одиниць униз.

Областю значень функції є проміжок $[-5; +\infty).$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35313

Завдання 558 з 942

Укажіть корінь рівняння $2\sin 2x=-1.$

А$-\frac{\mathbf{\pi}}{6}$

Б$-\frac{\mathbf{\pi}}{3}$

В$\frac{\mathbf{\pi}}{12}$

Г$\frac{7\mathbf{\pi}}{6}$

Д$-\frac{\mathbf{\pi}}{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Щоб визначити корінь рівняння, треба підставити значення $x$ у рівняння. Після цього з'ясувати, за якого значення $x$ рівняння стає правильною рівністю.

Якщо $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)\right)=-1,\\[6pt] 2\cdot \sin \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)=-1,\\[6pt] 2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1,\\[6pt] \sqrt{3}\ne -1. \end{gather*}

Отже, $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{6}$ не є коренем рівняння.

Якщо $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)\right)=-1,\\[6pt] -2\cdot \sin \frac{\mathbf{2\pi}}{3}=-1,\\[6pt] \sin{2\mathbf{\pi}}{3}=\frac 12,\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac 12. \end{gather*}

Отже, $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{3}$ не є коренем рівняння.

Якщо $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\mathord{:}$

\begin{gather*} 2\sin\left(2\cdot \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{12}\right)\right)=-1,\\[6pt] -2\cdot \sin \frac{\mathbf{\pi}}{6}=-1,\\[6pt] -2\cdot \frac 12=-1. \end{gather*}

Отже, $x=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}$ – корінь рівняння.

Другий спосіб:

\begin{gather*} \sin 2x=-\frac 12,\\[6pt] 2x=(-1)^k\mathrm{arcsin}\ \left(-\frac 12\right)+\mathbf{\pi}k,\ \ k\in Z,\\[6pt] 2x=(-1)^{k+1}\frac{\mathbf{\pi}}{6}+\mathbf{\pi}k,\ k\in Z,\\[6pt] x=(-1)^{k+1}\frac{\mathbf{\pi}}{12}+\frac{\mathbf{\pi}k}{2},\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0\mathord{:}$

$$ x=(-1)^{0+1}\frac{\mathbf{\pi}}{12}+\frac{\mathbf{\pi}\cdot 0}{2}=-\frac{\mathbf{\pi}}{12}. $$

Це – корінь рівняння.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35312

Завдання 559 з 942

Для функції $f(x)=4x-3$ знайдіть первісну $F(x)$, графік якої проходить через точку $A(0; 1).$

А$F(x)=4$

Б$F(x)=2x^2-3x+1$

В$F(x)=4x^2-3x$

Г$F(x)=2x^2+1$

Д$F(x)=4x^2-3x+1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

$$ F(x)=4\cdot\frac{x^2}{2}-3\cdot x+C=2x^2-3x+C. $$

Первісну, яка проходить через точку $A(0; 1)$, дізнаймося підставивши координати точки $x=0$, $F(0)=1$ у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої $C\mathord{:}$

$$ 2\cdot 0^2-3\cdot 0 + C=1, $$

$$ C=1. $$ Отже, \begin{gather*} F(x)=2x^2-3x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35311

Завдання 560 з 942

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1 = 32$, $b_2 = 8.$

Обчисліть $\frac{b_5}{b_7}.$

А$4$

Б$\frac{1}{16}$

В$7$

Г$\frac{1}{4}$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричної прогресії, уміння застосовувати формулу $n\text{-го}$ члена.

У геометричній прогресії $(b_n)$ за формулою $n\text{-го}$ члена послідовності: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1}. $$ Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{b_5}{b_7}=\frac{b_1\cdot q^4}{b_1\cdot q^6}=\frac{q^4}{q^6}=\frac{1}{q^2},\\[6pt] b_2=b_1\cdot q,\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{8}{32}=\frac 14,\\[6pt] q^2=\left(\frac 14\right)^2=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Отже,

$$ \frac{b_5}{b_7}=\frac{1}{q^2}=1:\frac{1}{16}=1\cdot \frac{16}{1}=16. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35310

Завдання 561 з 942

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 5^x=\sqrt{5},\\ \frac{y+1}{2x+3}=\frac{1-4x}{2}. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв’язку $(x_0; y_0)$ знайдіть суму $x_0+y_0.$

А$-2\mathord{,}5$

Б$-3\mathord{,}5$

В$-7\mathord{,}5$

Г$1\mathord{,}5$

Д$-0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні, показникові та раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння та їх системи.

Рівняння $5^x=\sqrt{5}$ містить одну змінну. Розв'яжімо його, зводячи до однакової основи:

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\frac 12},\\[6pt] \text{тому}\ 5^x=5^{\frac 12},\\[6pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Підставмо значення $x$ у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+1}{2\cdot \frac 12+3}=\frac{1-4\cdot \frac 12}{2},\\[6pt] \frac{y+1}{1+3}=\frac{1-2}{2},\\[6pt] \frac{y+1}{4}=\frac{-1}{2}. \end{gather*}

За основною властивістю пропорції: $$ \frac ab=\frac cd \rightarrow a\cdot d=b\cdot c. $$ Тому запишімо:

\begin{gather*} 2(y+1)=4\cdot (-1),\\[7pt] 2y+2=-4,\\[7pt] 2y=-4-2,\\[7pt] 2y=-6,\\[7pt] y=-6:2,\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Маємо розв'язок $(x_0; y_0)$ як $\left(\frac 12; -3\right).$

Підставмо його у вираз:

$$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2\frac 12=-2\mathord{,}5. $$

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35309

Завдання 562 з 942

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба дорівнює сумі його діагоналей.

III. Висота ромба вдвічі більша за радіус уписаного в нього кола.

Алише I

Блише III

Влише I та II

Глише I та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб – паралелограм, тому всі властивості паралелограма є властивостями ромба.

Отже, у будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба не дорівнює сумі його діагоналей. Якби це твердження було правильним, то в $\Delta ABC$ сума довжин двох сторін $(AB+BC)$ дорівнювала б довжині третьої сторони $AC.$ А це суперечить нерівності трикутника.

III. Твердження правильне. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного кола.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35308

Завдання 563 з 942

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ зі стороною $24$ см. На сторонах $BC$ і $AD$ квадрата вибрано відпо відно точки $K$ і $M$ так, що $AM : MD = 1 : 2$, $KC=6$ см. Знайдіть довжину відрізка $KM.$

А$27$ см

Б$25$ см

В$26$ см

Г$32$ см

Д$34$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, а також теореми Піфагора.

У квадраті $ABCD$ $AB=BC=CD=DA=24$ см.

$AM:MD=1:2$, $KC=6$ см.

Нехай $AM=x$ см, $MD=2x$ см. $AD=AM+MD$, $x+2x=24$ см, $x=8$ см.

Отже, $AM=8$ см, $MD=16$ см.

Побудуймо $KH\ \perp\ AD.$ $KCDH$ – прямокутник, тому $KC=HD=6$ см, $CD=KH=24$ см. $MH=MD-HD=16\ \textit{см}-6\ \textit{см}=10$ см.

Розгляньмо $\Delta KHM\ (\angle H=90^\circ).$ Катети $KH=24$ см і $MH=10$ см. За теоремою Піфагора: $a^2+b^2=c^2.$

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} KM^2=(24^2+10^2)\ \textit{см}^2=(576+100)\ \textit{см}^2=676\ \textit{см}^2,\\[7pt] KM=26\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35307

Завдання 564 з 942

$|\lg 50-2|=$

А$\lg 2$

Б$\lg 0\mathord{,}5$

В$\lg 48$

Г$\lg 25$

Д$\lg 5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма: $$ 2=\lg 100. $$

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} \log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac\\[6pt] |\lg50-\lg100|=|\lg\frac{50}{100}|=|\lg\frac 12|=|\lg 0\mathord{,}5|=-\lg 0\mathord{,}5=-\lg \frac 12=-\lg 2^{-1}=\lg 2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35306

Завдання 565 з 942

Спростіть вираз $\frac{25-x^2}{x^2+5x}.$

А$\frac{5}{x}$

Б$\frac{5-x}{5+x}$

В$\frac{5+x}{x}$

Г$\frac{5-x}{5}$

Д$\frac{5-x}{x}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

\begin{gather*} 25-x^2=5^2-x^2=(5-x)(5+x) \end{gather*}

за формулою різниці квадратів.

У виразі

$$ x^2+5x=x(x+5) $$

винесімо спільний множник за дужки:

$$ \frac{25-x^2}{x^2+5x}=\frac{(5-x)(5+x)}{x(x+5)}=\frac{5-x}{x}. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35305

Завдання 566 з 942

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD.$ Скільки різних прямих, паралельних прямій $AB$, можна провести через точку $S$?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Скористаймося аксіомою паралельності: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, через точку $S$, яка не лежить на прямій $AB$, можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35304

Завдання 567 з 942

Укажіть менший кут між хвилинною та годинниковою стрілками на циферблаті годинника о $5$ годині (див. рисунок).

А$165^\circ$

Б$150^\circ$

В$135^\circ$

Г$120^\circ$

Д$30^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості кола для розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

Градусна міра повного кута дорівнює $360^\circ.$ Якщо поділити його на $12$ рівних частин, то кожна з них дорівнюватиме $30^\circ.$

Кут між хвилинною і годинниковою стрілками на циферблаті містить $5$ таких кутів $$30^\circ\cdot 5=150^\circ.$$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35303

Завдання 568 з 942

Знайдіть похідну функції $y=x^3-5.$

А$y'=3x$

Б$y'=3x^2-5$

В$y'=\frac{x^4}{4}$

Г$y'=\frac{x^4}{4}-5x$

Д$y'=3x^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій і похідну суми двох функцій.

За правилом визначення похідної суми:

$$ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) $$

і похідної степеневої функції:

$$ (x^n)'=n\cdot x^{n-1} $$

визначаємо похідну функції $y=x^3-5.$

$$ y'=(x^3-5)'=(x^3)'-5'=3x^2-0=3x^2. $$

Похідна сталої функції $\mathrm{c}'=0.$ Отже, $5'=0.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35302

Завдання 569 з 942

Розв’яжіть нерівність $1\le 2x.$

А$(-\infty; 2]$

Б$[0\mathord{,}5; +\infty)$

В$(-\infty; -1]$

Г$[2; +\infty)$

Д$(-\infty; 0\mathord{,}5]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші лінійні нерівності.

\begin{gather*} 1\le 2x\\[7pt] x\ge \frac 12\\[7pt] x\ge 0\mathord{,}5. \end{gather*}

$$ x\in [0\mathord{,}5; +\infty). $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35301

Завдання 570 з 942

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(5; –4; 0)$ і $B(7; 2; –2).$ Визначте координати точки $C$, яка симетрична до точки $A$ відносно точки $B.$

А$(2; 6; -2)$

Б$(12; -6; 2)$

В$(9; 8; 4)$

Г$(6; -1; -1)$

Д$(9; 8; -4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі. Геометричні переміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати координати середини відрізка, знання основних видів геометричних переміщень, зокрема симетрії відносно точки.

Точка $C$ симетрична точці $A$ відносно точки $B$, якщо точки лежать на одній прямій і $AB=BC.$

Скористаймося формулою визначення координат середини відрізка:

\begin{gather*} x=\frac{x_1+x_2}{2},\\[6pt] y=\frac{y_1+y_2}{2},\\[6pt] z=\frac{z_1+z_2}{2}, \end{gather*}

де кінці відрізка мають координати: $(x_1; y_1; z_1)$, $(x_2; y_2; z_2).$

$A(5; -4; 0)$, $B(7; 2; -2)$, $C(x_2; y_2; z_2).$

\begin{gather*} 7=\frac{5+x_2}{2},\ \ 5+x_2=14,\ \ x_2=9,\\[6pt] 2=\frac{-4+y_2}{2},\ \ -4+y_2=4,\ \ y_2=8,\\[6pt] -2=\frac{0+z_2}{2},\ \ 0+z_2=-4,\ \ z_2=-4. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – $C(9; 8; -4).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35300

Завдання 571 з 942

На рисунку зображено графік залежності висоти $h$ (у метрах) м’яча, кинутого в повітря, від часу $t$ (у секундах), що минув від початку запуску. Визначте проміжок часу, протягом якого м’яч знаходився на висоті не менше $3$ м.

А$2$ c

Б$3$ c

В$4$ c

Г$5$ c

Д$6$ c

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані в графічній і текстовій формі.

М'яч перебував на висоті не менше ніж $3$ м з $1$ с до $5$ с. Тобто протягом $4$ с.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35299

Завдання 572 з 942

Частиною поверхні якого з геометричних тіл є поверхня даху сцени, зображеної на рисунку?

Апіраміда

Бциліндр

Вконус

Гкуля

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 698. Запитання: 35298

Завдання 573 з 942

Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a, \\ x^2-2x+y^2+8y=47. \end{array} \right. $$ має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

-2.4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a,\\ x^2-2x+y^2+8y=47, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y=5a,\\ (x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)=64, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} y=-(x-1)^2+5a,\\ (x-1)^2+(y+4)^2=64. \end{array} \right. \end{gather*}

Розв'яжемо систему графічним способом.

$(x-1)^2+(y+4)^2=64$ – рівняння кола з центром $(1; -4)$ і радіусом $8.$

$y=-(x-1)^2+5a$ – квадратична функція з вершиною в точці $(1; 5a)$ з вітками вниз.

Для того, щоб система мала єдиний розв'язок, треба, щоб графіки мали одну спільну точку.

Отже,

\begin{gather*} 5a=-12,\\[7pt] a=-12:5=-2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: $-2\mathord{,}4.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34416

Завдання 574 з 942

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по $25$ см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см$^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса $AB$ й бічне ребро $CF$ дорівнюють по $25$ см. Апофема $FK=OB.$

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де $R=OB$, $L=AB.$

\begin{gather*} \mathbf{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\mathbf{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

У піраміді $CF=FD=FE=25.$ $\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де $P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}$, $m=FK=20\ \textit{см}.$ $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: $900.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34415

Завдання 575 з 942

На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (по $3$ крісла обабіч проходу ). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в перших трьох рядах, дорівнює $\frac{1}{14}.$ Визначте $n.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.

У салоні $n$ рядів, у кожному з яких розташовано $6$ крісел. Отже, всього в салоні $6n$ місць.

У перших трьох рядах розташовано $18$ місць.

Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце, $$ P=\frac{18}{6n}=\frac 3n. $$

За умовою ця імовірність дорівнює $\frac{1}{14}.$

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14},\\[6pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: $42.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34414

Завдання 576 з 942

Функція $f(x)$ є парною, а функція $g(x)$ – непарною. Обчисліть значення виразу $$ \frac{4g(-x_0)+2f(x_0)}{5f(-x_0)}, $$ якщо $f(x_0)=1$, $g(x_0)=-3.$

Впишіть відповідь:

2.8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості числових функцій.

Функція $f(x)$ – парна, тому $f(-x)=f(x).$

Функція $g(x)$ – непарна, тому $g(-x)=-g(x).$

\begin{gather*} \frac{4g(-x_0)+2f(x_0)}{5f(-x_0)}=\frac{-4g(x_0)+2f(x_0)}{5f(x_0)}=\\[6pt] =\frac{-4\cdot (-3)+2\cdot 1}{5\cdot 1}=\frac{12+2}{5}=\frac{14}{5}=2\mathord{,}8. \end{gather*}

Відповідь: $2\mathord{,}8.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34413

Завдання 577 з 942

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ На стороні $C$ вибрано точку $K$ так, що $KC=4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $AK.$ Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$, перетинає сторони $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM=6$ см. Узгодьте відрізок (1-3) та його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MP$

3$AK$

Довжина відрізка (см)

А$10$

Б$12$

В$16$

Г$20$

Д$24$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

$NP\ ||\ BC$

1 – В. Точка $M$ – середина $AK.$ За теоремою Фалеса: $NM\ ||\ BC$ і $AN=NB.$

У $\Delta ABK\ NM$ – середня лінія. $BK=2NM=12$ см.

$BC=BK+KC=12+4=16$ см. $AB=BC=16$ см.

2 – A.

У трапеції $AKCD\ MP$ – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)$, $AB=16$, $BK=12.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400,\\[7pt] AK=20. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34412

Завдання 578 з 942

Узгодьте вираз (1-3) та проміжок (А – Д), якому належить його значення, де $\mathbf{\varphi}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ – відома математична величина, яку називають золотим числом.

Вираз

1$\mathbf{\varphi}^0$

2$(\sqrt{5}-1)\cdot \mathbf{\varphi}$

3$\log_{\frac 15}(2\mathbf{\varphi}-1)$

Проміжок

А$(-\infty; -1]$

Б$(-1; 0]$

В$(0; 1]$

Г$(1; 2]$

Д$(2; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. $\mathbf{\varphi}^0=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^0=1\in (0; 1].$

Отже, правильна відповідь – B.

2. $(\sqrt{5}-1)\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{5-1}{2}=2\in (1; 2].$

Отже, правильна відповідь – Г.

\begin{gather*} \log_{\frac 15}(2\mathbf{\varphi}-1)=\log_{\frac 15}\left(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-1\right)=\\[6pt] =\log_{\frac 15}(\sqrt{5}+1-1)=\log_{\frac 15}\sqrt{5}=\log_{5^{-1}}5^{\frac 12}=\\[6pt] =-1\cdot \frac 12\cdot \log_55=-\frac 12\cdot 1=-0\mathord{,}5\in (-1; 0]. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

При спрощенні виразу застосовували формули:

\begin{gather*} \log_ab^n=n\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab,\\[6pt] \log_aa=1. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34411

Завдання 579 з 942

До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $y=-2x$

2Пряма $y=2x+2$

3Пряма $y=-2x+4$

Закінчення речення

Аутворює гострий кут із додатним напрямком осі $x.$

Бсиметрична прямій $y=2x+4$ відносно осі $y.$

Вє паралельною прямій $y=x.$

Гпроходить через початок координат.

Дне перетинає жодну з осей координат.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, знання властивостей лінійної функцій.

1.$y=-2x$ проходить через початок координат.

Отже, 1 – Г.

2.$y=2x+2$, $k=2.$ Лінійна функція $y=kx+b.$ При $k\gt 0$ пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі $x.$

Отже, 2 – А.

3. $y=-2x+4$ пряма симетрична прямій $y=2x+4$ відносно осі $y.$

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34410

Завдання 580 з 942

На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $BKC$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $ABCD$, якщо $\angle ABK=30^\circ$, $KC=6\sqrt{3}.$

А$24\sqrt{3}+18$

Б$24\sqrt{3}+12$

В$24+6\sqrt{3}$

Г$36$

Д$36\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

$\angle ABC=90^\circ$, $\angle ABK=30^\circ.$ Отже, $\angle KBC=60^\circ.$

У $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.$

У прямокутнику $ABCD\ BC\ ||\ AD$, січна $CK.$ $\angle BCK=\angle CKD=30^\circ$ як внутрішні різносторонні.

$\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)$ $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

$\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)$ $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

$$ P_{ABCD}=2(BC+CD)=2(12+3\sqrt{3})=24+6\sqrt{3}. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34409

Завдання 581 з 942

Розв'яжіть нерівність $\log_3(1-2x)\lt 2.$

А$\left(0; \frac 12\right)$

Б$\left(-4; \frac 12\right)$

В$\left(\frac 12; +\infty\right)$

Г$(-4; 0)$

Д$(-\infty; -4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3(1-2x)\lt 2,\\[7pt] \log_3(1-2x)\lt \log_39. \end{gather*}

Функція $y=\log_3x$ є зростаючою, тому $1-2x\lt 9.$ Логарифмічна функція має область визначення $1-2x\gt 9.$

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1-2x\lt 9,\\ 1-2x\gt 0, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x\gt -8,\\ 2x\lt 1, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ x\lt \frac 12. \end{array} \right. \end{gather*}

$$ x\in \left(-4; \frac 12\right). $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34408

Завдання 582 з 942

$\frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=$

А$2\mathord{,}5$

Б$1\mathord{,}25$

В$8$

Г$\frac{1}{256}$

Д$0\mathord{,}000025$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=\frac{20\cdot 20^6\cdot 0\mathord{,}1^6}{(2^2)^5}=\frac{20\cdot (20\cdot 0\mathord{,}1)^6}{2^{10}}=\\[6pt] =\frac{2\cdot 2\cdot 5\cdot 2^6}{2^{10}}=\frac{5}{2^2}=\frac 54=1\mathord{,}25. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34407

Завдання 583 з 942

Обчисліть значення похідної функції $f(x)=6x-2\cos x$ у точці $x_0=\frac{\mathbf{\pi}}{2}.$

А$3\mathbf{\pi}+2$

Б$8$

В$3\mathbf{\pi}-2$

Г$6$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

\begin{gather*} f(x)=6x-2\cos x,\\[7pt] f'(x)=6-2\cdot (-\sin x)=6+2\sin x. \end{gather*}

Похідна функції

$$ f'(x_0)=f'\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2}\right)=6+2\cdot \sin\frac{\mathbf{\pi}}{2}=6+2\cdot 1=8. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34406

Завдання 584 з 942

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\frac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3}$?

А$(-7; -6]$

Б$(-6; -4]$

В$(-4; 4]$

Г$(4; 6]$

Д$(6; 7]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Зведемо до однакової основи ліву та праву частину показникового рівняння:

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{x-7}=\sqrt{3},\\[6pt] (3^{-1})^{x-7}=3^{\frac 12},\\[6pt] 3^{-x+7}=3^{0\mathord{,}5},\\[7pt] -x+7=0\mathord{,}5,\\[7pt] x=6\mathord{,}5\ \in (6; 7]. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34405

Завдання 585 з 942

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

II. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції.

Алише І та ІІ

Блише І

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції та трикутника.

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то воно буде дотикатись до всіх її сторін, а отже, до основ. $OE=OF=r.$ Центр кола точка $O$ – лежить на середній лінії $MN.$ Отже, твердження правильне.

II, III твердження не є правильними, бо точка перетину діагоналей не належить середній лінії, та центр описаного кола не обов'язково лежить на більшій основі.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34404

Завдання 586 з 942

Якщо $a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}$, то $c=$

А$\frac{2a-b}{d}$

Б$\frac{ad}{2}-b$

В$\frac{2a}{d}+b$

Г$\frac{2a+b}{d}$

Д$\frac{2a}{d}-b$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2},\\[6pt] 2a=(b+c)\cdot d,\\[7pt] 2a=bd+cd,\\[7pt] cd=2a-bd,\\[6pt] c=\frac{2a-bd}{d}=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34403

Завдання 587 з 942

У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_1$ і $O_2$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_1(1; -4; 10)$, $O_2(7; 4; -14)$?

А$26$

Б$13$

В$12$

Г$10$

Д$17$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками $O_1O_2$ за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б $13$ см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за $13$ см, але менше за $26$ см.

З наведених значень – це $17$ см.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34402

Завдання 588 з 942

Чорної п'ятниці в магазині пропонують акцію: за кожен придбаний чорний гаманець покупець платить на $70\ \text{%}$ менше від його ціни. Покупець придбав чорний гаманець і заплатив за нього $105$ грн, скориставшись цією акцією.

Визначте ціну (грн) цього гаманця до Чорної п'ятниці.

А$315$

Б$350$

В$175$

Г$150$

Д$245$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати основні задачі на відсотки.

Покупець придбав гаманець зі знижкою $70\ \text{%}.$ Отже, ціна $105$ гривень – це $30\ \text{%}$ від ціни гаманця до Чорної п'ятниці.

Складімо пропорцію:

\begin{gather*} x\ \textit{грн.} - 100\ \text{%}\\[7pt] 105\ \textit{грн.} - 30\ \text{%} \end{gather*}

За властивістю пропорції:

$$ x=\frac{105\cdot 100}{30}=350\ \textit{грн.} $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34401

Завдання 589 з 942

Графік функції $y=x^3$ перенесли на $4$ одиниці вниз уздовж осі $y.$ Графік якої функції отримали внаслідок такого перетворення?

А$y=x^3+4$

Б$y=x^3-4$

В$y=\frac{x^3}{4}$

Г$y=(x+4)^3$

Д$y=(x-4)^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати перетворення графіків функцій.

За властивістю паралельного перенесення графіка функції вздовж осі $Oy$ вниз $f(x)-A$ де $A$ – кількість одиничних відрізків, на які переміщують графік.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34400

Завдання 590 з 942

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Скільки всього площин, паралельних прямій $AB$, містять грані куба?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше як три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма $AB$, що не лежить у площині $(CDD_1)$, паралельна прямій $CD$, яка лежить в цій площині, то $AB\ || (CDD_1).$

Аналогічно, $AB$ не лежить у площині $(A_1B_1C_1)$, але паралельна прямій $A_1B_1$, яка лежить в цій площині, то $AB\ ||\ (A_1B_1C_1).$

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34399

Завдання 591 з 942

$4x+x^2-5-2x^2-4x+19=$

А$8x+x^2+14$

Б$x^2+14$

В$8x-x^2+14$

Г$-x^2+14$

Д$x^2-14$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, зводити подібні доданки.

$$ 4x+x^2-5-2x^2-4x+19=-x^2+14. $$

В даному виразі зведені подібні доданки.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34398

Завдання 592 з 942

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2-|x|=0\mathord{,}1$?

А$2\mathord{,}1$

Б$-2\mathord{,}1$

В$-1\mathord{,}9$

Г$-0\mathord{,}05$

Д$20$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення модуля числа та його властивостей.

\begin{gather*} 2-|x|=0\mathord{,}1\\[7pt] |x|=2-0\mathord{,}1\\[7pt] |x|=1\mathord{,}9\\[7pt] x=1\mathord{,}9\ \ \text{або}\ \ x=-1\mathord{,}9. \end{gather*}

З наведених чисел – це $-1\mathord{,}9.$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34397

Завдання 593 з 942

У паралелограмі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $\angle CAD=18^\circ$, $\angle ACD=43^\circ.$

А$61^\circ$

Б$25^\circ$

В$129^\circ$

Г$51^\circ$

Д$29^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралельних прямих та паралелограмів, умінь розв’язувати планіметричні задачі.

$ABCD$ – паралелограм. $AB\ ||\ CD$, $AC$ – січна, $\angle BAC=\angle DCA=43^\circ$ як внутрішні різносторонні.

$$ \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=43^\circ+18^\circ=61^\circ. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34396

Завдання 594 з 942

На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контрольної. Визначте за діаграмою кількість учнів, що готувалися до контрольної не менш як $2$ години.

А$4$

Б$7$

В$9$

Г$13$

Д$15$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку розуміння графічної форми подання статистичної інформації.

Якщо учні готувались до контрольної роботи не менш як $2$ години, то це $2$ години, $2\mathord{,}5$ години, $3$ години, $3\mathord{,}5$ години, $4$ години.

Кількість учнів: $$ 4+5+2+1+1=13. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 672. Запитання: 34395

Завдання 595 з 942

Визначте найбільше значення $a$, за якого рівняння $$ \frac{3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=0 $$ має корінь.

Впишіть відповідь:

7.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових, раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, раціональні і ірраціональні рівняння й нерівності та їх системи з параметрами.

1. Область допустимих значень

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0,\\ 3-x\ge 0,\\ \sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ne 0, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0,\\ x\le 3. \end{array} \right.\\[7pt] x\in [0; 3]. \end{gather*}

2. Розв'яжемо рівняння:

\begin{gather*} 3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}=0,\\[7pt] 3^{2a-5x+2}=3\sqrt{3},\\[7pt] 3^{2a-5x+2}=3^{1\mathord{,}5},\\[7pt] 2a-5x+2=1\mathord{,}5,\\[7pt] 5x=2a+0\mathord{,}5,\\[7pt] x=0\mathord{,}4a+0\mathord{,}1. \end{gather*}

Для того, щоб рівняння мало корінь

\begin{gather*} 0\le 0\mathord{,}4a+0\mathord{,}1\le 3,\\[7pt] -0\mathord{,}1\le 0\mathord{,}4a\le 2\mathord{,}9,\\[6pt] -\frac 14\le a\le \frac{29}{4},\\[6pt] -\frac 14\le a\le 7\frac 14. \end{gather*}

Найбільше значення $a=7\frac 14=7\mathord{,}25.$

Відповідь: $7\mathord{,}25.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34394

Завдання 596 з 942

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $12$ см i $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об'єм (см$^3$) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см.

$AO=OC=8$ см, $BO=OD=6$ см. $AC\ \perp\ BD.$ $\Delta AOD$ – прямокутний. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2=8^2+6^2=100\ \textit{см}^2\\[7pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Радіус основи циліндра $R=AD=10$ см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot H=400\mathbf{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра $H=20$ см.

5. Об'єм призми

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1920.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34393

Завдання 597 з 942

На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні налічується $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по $6$ крісел (обабіч проходу по $3$). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу в першому або останньому ряду, дорівнює $\frac{1}{45}.$ Визначте $n.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Всього у салоні літака $n$ рядів по $6$ місць в кожному. Отже, всього у літаку $6n$ місць.

За означенням імовірність це відношення кількості результатів, що сприяють цій події ($4$ місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів ($6n$ – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{1}{45}=\frac{4}{6n},\\[6pt] 6n=4\cdot 45,\\[7pt] n=30. \end{gather*}

Відповідь: $30.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34392

Завдання 598 з 942

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$, паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$ Обчисліть значення похідної функції $g(x)=\frac{18}{x}-f(x)$ в точці $x_0=3.$

Впишіть відповідь:

-3.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну суми, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу, кутового коефіцієнта дотичної.

\begin{gather*} g(x)=\frac{18}{x}-f(x),\\[6pt] g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x). \end{gather*}

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$ паралельна прямій $y=1\mathord{,}5x+5.$

\begin{gather*} f'(x_0)=k=1\mathord{,}5,\\[6pt] g'(x_0)=g'(3)=-\frac{18}{3^2}-1\mathord{,}5=-2-1\mathord{,}5=-3\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-3\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34391

Завдання 599 з 942

Прямокутник $ABKM$ складається з квадрата $ABCD$ та прямокутника $CKMD$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $40$ см, а довжина відрізка $CM$ – $26$ см. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Сторона квадрата $ABCD$ дорівнює

2Довжина відрізка $CK$ дорівнює

3Відстань між центром квадрата $ABCD$ та точкою перетину діагоналей прямокутника $ABKM$ дорівнює

Закінчення речення

А$16$ см.

Б$12$ см.

В$10$ см.

Г$24$ см.

Д$17$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та квадрата, розв’язування трикутників.

1. $P_{ABCD}=40$ см,

$AB=BC=CD=DA=40: 4=10$ см.

Отже, правильна відповідь – В.

$AB=CD=KM=10$ см. $\Delta CKM\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CM^2=CK^2+KM^2,\\[7pt] CK^2=CM^2-KM^2=26^2-10^2=576,\\[7pt] CK=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Відстань між точкою $O$ – центр квадрата, $O_1$ – точка перетину діагоналей прямокутника $ABKM$ – відрізок $OO_1.$ $BO_1=O_1M.$

У $\Delta DBM\ OO_1$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії $$ OO_1=\frac 12DM=\frac 12\cdot 24=12\ \text{см}. $$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34390

Завдання 600 з 942

Доберіть до числового виразу (1-3) його значення (А – Д).

Числовий вираз

1$\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)$

2$\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|$

3$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

Значення виразу

А$\frac 12$

Б$-2$

В$2$

Г$-\frac 12$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. $\sin \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}=-\frac 12.$

$y=\sin x$ – непарна, тому

$\sin(x)=-\sin x.$

Отже, правильна відповідь – Г.

2. $\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}-(\mathbf{\pi}+2)=\mathbf{\pi}-\mathbf{\pi}-2=-2.$

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac 12.$

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 671. Запитання: 34389

Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики