Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметри геометричних фігур, застосовуючи спільну відстань між паралельними прямими, пропорційність відрізків, теорему Піфагора й властивості рівностороннього трикутника.

1. Прямокутник \(ABCD\)

З пропорції \(AB:BC=4:3\) й відомої сторони \(BC=6\) см:

Отже, правильна відповідь – B.

2. Паралелограм \(DKLM\)

Відстань між паралельними прямими \(m\) і \(n\) дорівнює висоті прямокутника \(AB=8\) см. Оскільки \(KM\!\perp\!n\), відрізок \(KM\) є перпендикуляром до прямих \(m\) і \(n\), тому \(KM=8\) см та \(\angle MKL=90^\circ.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta KML\) за теоремою Піфагора обчислюємо бічну сторону \(ML{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Трикутник \(LPQ\)

Оскільки \(LP=PQ\) і \(\angle LPQ=60^\circ\), рівнобедрений трикутник \(LPQ\) рівносторонній, тобто \(LP=PQ=LQ.\)

Відрізок \(LQ\!\perp\!n\), тому він дорівнює відстані між прямими \(m\) і \(n{:}\ LQ=8\) см.

\begin{gather*} P_{LPQ}=3\cdot LQ=3\cdot 8=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної, уміння обчислювати похідну функції.

За означенням первісної \(f(x)=F'(x).\) Обчислімо похідну:

Точка перетину з віссю ординат \((y)\) завжди має абсцису \(x=0.\) Підставмо \(x=0\) у функцію \(f(x){:}\)

\begin{gather*} f(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-7=-7. \end{gather*}

Відповідь: \(-7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, використовувати математичну модель у вигляді лінійного рівняння для розв'язування практичних завдань.

Оскільки в середньому щодня споживали \(79{,}2\) л води, то за \(5\) днів загальний об'єм становить:

\begin{gather*} V=79{,}2\cdot 5=396\ \text{л}. \end{gather*}

Нехай кількість пляшок місткістю \(6\) л дорівнює \(x.\) За умовою пляшок місткістю \(10\) л утричі більше, тобто \(3x.\)

Складімо рівняння для загального об'єму води:

Отже, було спожито \(6\) пляшок місткістю \(6\) л.

Для обчислення кількості пляшок місткістю \(10\) л помножмо обчислене значення на три:

\begin{gather*} 3\cdot 6=18. \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі.

\(A(3; \sqrt{8}; 2),\ M(-1; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора

Висота \(AA_1=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=10.\)

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=50;\\[7pt] V=50\cdot 10=500. \end{gather*}

Відповідь: \(500.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=3^x\) та \(v=y^2.\) Оскільки \(3^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=a+8,\\ 3u+2v=5a+6. \end{cases} \end{gather*}

Визначмо \(u\) та \(v\) через \(a.\)

З першого рівняння \(v=a+8-u.\)

Підставмо в друге рівняння:

\begin{gather*} 3u+2(a+8-u)=5a+6;\\[7pt] 3u+2a+16-2u=5a+6;\\[7pt] 3u-2u=5a+6-2a-16;\\[7pt] u=3a-10. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} v=a+8-(3a-10)=18-2a. \end{gather*}

Для існування дійсних розв'язків \((x; y)\) система повинна задовольняти обмеження замін:

1. \(u\gt 0.\)

\begin{gather*} 3a-10\gt 0;\\[6pt] a\gt 3\frac 13. \end{gather*}

2. \(v\ge 0.\)

\begin{gather*} 18-2a\ge 0;\\[7pt] a\le 9. \end{gather*}

Отже, \(a\in \left(3\dfrac 13; 9\right].\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} 4, 5, 6, 7, 8, 9. \end{gather*}

Обчислімо суму:

\begin{gather*} 4+5+6+7+8+9=39. \end{gather*}

Відповідь: \(39.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми наведення статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Для визначення загальної кількості автомобілів достатньо обчислити суму значень, що відповідають висоті кожного стовпчика діаграми.

Додамо ці значення:

\begin{gather*} 8 + 12 + 15 + 10 + 4 = 49. \end{gather*}

Отже, камера зафіксувала \(49\) автомобілів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Позначмо всю витрачену суму через одиницю. Якщо на сир витрачено \(\dfrac 35\) усіх грошей, то частка витрат на фрукти становить

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 25. \end{gather*}

Щоб обчислити дробову частину від загальної суми, помножмо \(240\) грн на \(\dfrac 25{:}\)

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=240\cdot 0{,}4=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) кути, прилеглі до бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралельних основах \(BC\!\parallel\!AD\), тому їхня сума дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки кути при верхній основі рівні \((\angle ABC=\angle BCD=110^\circ)\), то для кута \(BAD\) отримуємо:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x+7\gt 27;\\[7pt] 2x\gt 27-7;\\[7pt] 2x\gt 20;\\[7pt] x\gt 10. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (10; +\infty). \end{gather*}

Оскільки нерівність строга, число \(10\) не належить до множини розв'язків. Серед запропонованих варіантів умову \(x\gt 10\) задовольняють числа \(15\) та \(20\), з яких найменшим є \(15.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо діаметра.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція набуває лише від’ємних значень \((f(x)\lt 0)\) на тих проміжках, де її графік розташований строго нижче від осі абсцис \((Ox).\) На рисунку видно, що \(f(x)\lt 0\) для всіх \(x\in (1; 3).\) Оскільки проміжок \((1; 2]\) повністю належить цьому інтервалу, саме на ньому функція є строго від’ємною.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Загальна кількість світлин становить \(n=18\) (усі можливі наслідки).

Сприятливими в контексті завдання є світлини із зображеннями природи або будівель, тому їхня кількість дорівнює \(k=8+6=14\) (сприятливі наслідки).

Обчислімо ймовірність і скоротімо дріб на \(2{:}\)

\begin{gather*} P(A)=\frac kn=\frac{14}{18}=\frac 79. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точок у тривимірному просторі, координати вектора в просторі й відстань між точками за відомими координатами.

Якщо \(B_1(x_1; y_1; z_1)\), \(D(x_2; y_2; z_2)\) координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{DB_1}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2). \end{gather*}

Початок системи координат розташований у точці \(A(0; 0; 0).\) Точка \(D\) лежить на осі \(y\) на відстані \(3\) від початку координат \(A(0; 0; 0)\), тому \(D(0; 3; 0).\) Точка \(B_1\) розташована в площині \(xz{:}\) її координата за віссю \(x\) дорівнює \(2\), за віссю \(y-0\), а за віссю \(z-4\), тому \(B_1(2; 0; 4).\) Обчислімо координати вектора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та центральних кутів.

I. Градусна міра кута \(ABC\) дорівнює \(90^\circ.\)

Кут \(ABC\) – вписаний кут, який спирається на діаметр \(AC.\) Вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди дорівнює \(90^\circ.\) Твердження правильне.

II. Градусна міра кута \(BOC\) вдвічі більша за градусну міру кута \(BAC.\)

Кут \(BOC\) – центральний кут, а кут \(BAC\) – вписаний. Обидва спираються на спільну дугу \(BC.\) За теоремою про вписаний кут, центральний кут удвічі більший за вписаний, що спирається на ту саму дугу \((\angle BOC=2\cdot \angle BAC).\) Твердження правильне.

III. Довжина відрізка \(AC\) вдвічі більша за довжину відрізка \(OB.\)

Відрізок \(AC\) – це діаметр кола \((D=2R)\), а \(OB\) – радіус кола \((R).\) Відповідно, довжина діаметра вдвічі більша за довжину радіуса \((AC=2\cdot OB).\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{xy}. \end{gather*}

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти їхні показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями \(x=a\), \(x=b\), графіком функції \(y=f(x)\) і віссю \(Ox\) визначмо за формулою:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника, співвідношення в прямокутному трикутнику, середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників, властивості площ геометричних фігур.

Оскільки \(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((AB=BC)\) з кутом при вершині \(\angle ABC=120^\circ\), кути при основі дорівнюють

\begin{gather*} \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \end{gather*}

Проведімо висоту \(BM\!\perp\!AC.\)

У рівнобедреному трикутнику висота є медіаною, тому \(AM=MC=24:2=12\) см. З прямокутного трикутника \(ABM\) визначмо висоту \(BM{:}\)

Точки \(K\) та \(M\) – середини сторін \(AB\) й \(AC\), отже, \(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC.\)

Трикутник \(AKM\) подібний до \(\Delta ABC\) з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k=\frac{AK}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{KM}{BC}=\frac 12. \end{gather*}

Відношення площ подібних трикутників дорівнює \(k^2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N.\\[6pt] 5^{-1}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки.

З першого рівняння системи виразімо змінну \(y\) через змінну \(x{:}\)

\begin{gather*} y=-4-x. \end{gather*}

Підставмо цей вираз замість змінної \(y\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} x\cdot (-4-x)+(-4-x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння, використавши формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+16+8x+x^2=12;\\[7pt] 4x=12-16;\\[7pt] 4x=-4;\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} y=-4-(-1)=-4+1=-3. \end{gather*}

\((-1; -3)\) – розв'язок системи.

Добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-1\cdot (-3)=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x^2+2\) – квадратична функція.

Перевірмо функцію на парність:

\begin{gather*} f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x). \end{gather*}

Умова \(f(-x)=f(x)\) виконується для будь-якого \(x\in R\), тому функція парна.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=\sin x.\)

Перевірмо належність точки \((0; 0){:}\) підставмо \(x=0\), тоді \(y=\sin 0 = 0.\) Графік функції проходить через початок координат \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=3x+2\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

Оскільки кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0\), функція строго зростає на всій області визначення \((-\infty; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},\) де \(a\ge 0\) i \(b\gt 0{:}\)

\begin{gather*} \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Число \(5\) належить проміжку \((3; 6].\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\log_8 200.\)

Оцінімо значення логарифма через степені основи \(8{:}\)

\begin{gather*} 8^2=64\ \text{та}\ 8^3=512. \end{gather*}

Запишімо подвійну нерівність

\begin{gather*} 64\lt 200\lt 512. \end{gather*}

Основа логарифма \(8\gt 1\), тому логарифмічна функція \(y=\log_8 x\) зростає, а знаки нерівності не змінюються:

\begin{gather*} \log_8 64\lt \log_8 200\lt \log_8 512. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_8 8^2\lt \log_8 200\lt \log_8 8^3;\\[7pt] 2\lt \log_8 200\lt 3. \end{gather*}

Значення перебуває в межах від \(2\) до \(3\), тобто належить проміжку \((0; 3].\) Отже, правильна відповідь – В.

3. \(8\cdot \cos 120^\circ.\)

Застосуймо формулу зведення

Число \(-4\) належить проміжку \((-5; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

За формулою діагоналі квадрата \(d=a\sqrt{2}\), де \(a\) – його сторона. Оскільки \(d=8\sqrt{2}\) см, маємо:

\begin{gather*} a\sqrt{2}=8\sqrt{2};\\[7pt] a=8\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань між серединами сторін \(AB\) i \(AD.\)

Точки \(M\) та \(N\) – середини сторін \(AB\) й \(AD\) відповідно. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABD.\) За її властивістю:

\begin{gather*} MN=\frac{BD}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD.\)

Радіус \(r\) вписаного у квадрат кола дорівнює половині сторони цього квадрата.

\begin{gather*} r=\frac a2=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. Довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A.\)

Медіана \(AP\) ділить сторону \(BC\) навпіл, тому

\begin{gather*} BP=\frac{BC}{2}=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABP\ (\angle B=90^\circ)\) обчислюємо довжину гіпотенузи \(AP\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну для дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою її похідної.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) й визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої спрямовані вгору):

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Однокімнатні квартири становлять \(40\ \%\) від загальної кількості \((150){:}\)

\begin{gather*} 150\cdot 0{,}4=60. \end{gather*}

Двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних (тобто вони становлять \(80\ \%\) від кількості однокімнатних):

\begin{gather*} 60\cdot 0{,}8=48. \end{gather*}

Щоб обчислити кількість трикімнатних квартир, від загальної кількості квартир віднімімо кількість однокімнатних і двокімнатних:

\begin{gather*} 150-60-48=150-108=42. \end{gather*}

Отже, в будинку \(42\) трикімнатні квартири.

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для визначення невідомих параметрів призми й обчислення її об’єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) – рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

Отже, довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту призми \(h\) визначмо через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(2800.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні й ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо принаймні один із них дорівнює нулю, за умови, що інший множник має зміст

Спочатку обчислімо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

\begin{gather*} \log_3(x-4)=2;\\[7pt] x-4=3^2;\\[7pt] x-4=9;\\[7pt] x_2=13. \end{gather*}

З першого множника отримуємо

\begin{gather*} \sqrt{2x-a}=0;\\[7pt] 2x-a=0;\\[7pt] 2x=a;\\[7pt] x_1=\dfrac a2. \end{gather*}

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належатимуть області допустимих значень та не збігатимуться один із одним.

Перевірмо виконання умов ОДЗ і відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаймо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислімо їхню кількість:

\begin{gather*} 25-9+1=17. \end{gather*}

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розуміти табличну, текстову та графічну форми подання статистичної інформації.

Початкова маса в грудні становила \(4{,}235\) т \(=4235\) кг (оскільки \(1\) т = \(1000\) кг).

Знайдемо на осі місяців «червень». Точка розташована на позначці \(+60\) кг, що означає збільшення маси на \(60\) кг відносно грудня.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Час перегляду та швидкість відтворення – обернено пропорційні величини: зі збільшенням швидкості в \(1{,}5\) раза час перегляду зменшується в \(1{,}5\) раза.

Щоб обчислити час пришвидшеного перегляду, поділімо початкову тривалість на коефіцієнт швидкості:

\begin{gather*} 60:1{,}5=40\ \text{хвилин}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника.

Завдання перевіряє вміння визначати градусні міри кутів.

Кут \(BKD\) є зовнішнім кутом трикутника \(AKD\) при вершині \(K.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle BKD=\angle BAD+\angle ADK. \end{gather*}

Підставмо відомі значення й обчислімо градусну міру кута \(BKD\):

\begin{gather*} 128^\circ=\angle BAD+68^\circ;\\[7pt] \angle BAD=128^\circ-68^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x-1\ge 0;\\[7pt] 2x\ge 1;\\[6pt] x\ge \frac 12. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left[\frac 12; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Непарність функцій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість симетрії графіка непарної функції відносно початку координат \((0; 0)\) для визначення координат її точок.

Графік непарної функції завжди симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Це означає: якщо графік проходить через точку \((x; y)\), то він обов'язково проходить і через точку \((-x; -y).\)

На зображеному фрагменті видно точку з координатами \((2; 2)\), яка належить графіку функції. Оскільки функція непарна, її графік також має проходити через точку \((-2; -2).\) На координатній площині це точка \(M.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n=24\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (загальна кількість учнів у класі), а \(k\) – кількість сприятливих варіантів для події (кількість учнів, вік яких менший за \(15\) років).

Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{k}{24}=\frac 16;\\[6pt] 6k=24;\\[7pt] k=4. \end{gather*}

Отже, у класі таких учнів \(4\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(-2+4; 2+(-3); 1+0);\\[7pt] \vec c(2; -1; 1). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Перетворімо мішані числа в неправильні дроби:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло й круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, зокрема хорд.

I. Будь-яка хорда кола більша за його радіус.

Хорда може бути більшою, меншою за радіус або дорівнювати йому.

Якщо центральний кут між радіусами дорівнює \(60^\circ\), вони разом із хордою утворюють рівносторонній трикутник. Тоді хорда дорівнює радіусу \((a=R).\)

Якщо центральний кут менший за \(60^\circ\), хорда менша за радіус \((a\lt R).\) З’єднавши дві сусідні точки на колі, отримаємо хорду, довжина якої прямує до \(0.\) Твердження неправильне.

II. Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.

Діаметр проходить через центр кола й ділить його на два півкола – дві рівні дуги по \(180^\circ.\) Твердження правильне.

III. Рівні хорди кола стягують рівні дуги.

Це одна з основних геометричних властивостей кола: рівні хорди стягують рівні дуги (і навпаки, рівні дуги стягнуто рівними хордами). Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число \(-3\) належить проміжку \([-3; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

За таблицею первісних для степеневої функції

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати площу прямокутної трапеції, застосовуючи властивості дотичної до кола й тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Позначмо \(M\) точку дотику кола зі стороною \(AD.\) Тоді \(OM\!\perp\!AD\), а \(OM=R.\)

Проведімо радіус \(OM\!\perp\!AD\) в точку дотику \(M.\) У прямокутному трикутнику \(OMD\ (\angle OMD=90^\circ){:}\)

Коло дотикається двох паралельних сторін \(AD\) і \(BC\), тому сторона \(CD=2R=24\) см.

Радіус \(OK\!\perp\!BC\), тому \(OK\!\parallel\!CD.\) Чотирикутник \(OKCD\) – це прямокутна трапеція з основами \(OK=12\) см і \(CD=24\) см.

Оскільки \(BK=AM=R\), отримуємо \(KC=MD=12\sqrt{3}\) см (висота трапеції).

Обчислімо площу \(OKCD{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Синус – непарна функція \((\sin(-x)=-\sin x)\), тому

\begin{gather*} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \end{gather*}

Косинус має період \(2\pi\), тому

\begin{gather*} \cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення у вираз:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Перше рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є логарифмічним. Розв'яжімо це рівняння. За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=a^b\Leftrightarrow \log_a x=b. \end{gather*}

Оскільки \(\log_2 x=2\), то \(x=2^2=4.\)

(Оскільки \(x=4\gt 0\) і знаменник другого рівняння \(x+1=5\ne 0\), це число належить до області допустимих значень).

Обчислімо \(y\), підставивши \(x=4\) у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+10}{4+1}=\frac{4+2}{2};\\[6pt] \frac{y+10}{5}=3;\\[6pt] y+10=15;\\[7pt] y=5. \end{gather*}

Обчислімо суму \(x_0+y_0{:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=4+5=9. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Прямі \(y=2x-3\) та \(y=x+1.\)

Спосіб 1

Прирівняймо праві частини рівнянь:

\begin{gather*} 2x-3=x+1;\\[7pt] 2x-x=1+3;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

За \(x=4\) \(y=5.\) Система має один розв'язок, а графіки – єдину спільну точку \((4; 5).\)

Спосіб 2

Це дві лінійні функції, графіки яких – прямі з кутовими коефіцієнтами \(k_1=2\) та \(k_2=1.\) Оскільки \(k_1\ne k_2\), прямі не паралельні й перетинаються в єдиній точці.

Отже, 1 – Б.

2. Параболи \(y=x^2\) та \(y=x^2-2.\)

Спосіб 1.

Прирівняємо праві частини рівнянь:

Рівняння не має розв'язків. Графіки не мають жодної спільної точки.

Спосіб 2.

Графік \(y=x^2-2\) утворюється шляхом паралельного перенесення параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\) Параболи мають однакову форму та напрямок віток, але зміщені одна відносно одної, тому вони не мають жодної спільної точки.

Отже, 2 – A.

3. Гіпербола \(y=\dfrac 2x\) та коло \(x^2+y^2=4.\)

Спосіб 1

Підставмо \(y=\dfrac 2x\) у рівняння кола:

\begin{gather*} x^2+\left(\frac 2x\right)^2=4;\\[6pt] x^2+\frac{4}{x^2}=4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(x^2\ne 0{:}\)

\begin{gather*} x^4-4x^2+4=0;\\[7pt] (x^2-2)^2=0;\\[7pt] x^2-2=0;\\[7pt] x^2=2. \end{gather*}

Отримуємо два значення: \(x_1=\sqrt{2}\) та \(x_2=-\sqrt{2}.\) Отже, графіки мають лише дві спільні точки.

Спосіб 2

Рівняння \(x^2+y^2=4\) задає коло із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=2.\)

\(y=\dfrac 2x\) – гіпербола з вітками в I та III координатних чвертях. Вітки гіперболи дотикаються кола у двох точках. Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння тотожно перетворювати й спрощувати алгебраїчні вирази, застосовуючи формули скороченого множення, властивості степенів, коренів \(n\)-го степеня та правила обчислення логарифмів.

1. \(\sqrt[\scriptstyle 3]{\dfrac{27}{a^3}}.\)

Застосуймо властивість кореня із частки \(\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\), де \(b\ne 0.\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{27}{a^3}}=\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{27}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}}=\frac 3a. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(a^{-2}\cdot a^3\cdot \log_{27} 3.\)

За властивістю степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}{:}\)

\begin{gather*} a^{-2}\cdot a^3=a^{-2+3}=a^1=a. \end{gather*}

Оскільки \(27=3^3\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Перемножмо результати:

\begin{gather*} a\cdot \frac 13=\frac a3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\dfrac{(a-3)^2-a^2-9}{2}.\)

Застосуймо формулу квадрата різниці в чисельнику:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника й рівнобедреного трикутника, теореми Піфагора та подібності прямокутних трикутників для обчислення довжин відрізків і відстаней.

1. Довжина відрізка \(AM\)

За умовою \(AD=12\) см, а \(DM=2AD=2\cdot 12=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Bідстань від точки \(K\) до прямої \(AM\)

Відстань від \(K\) до прямої \(AM\) – це довжина перпендикуляра \(KH\!\perp\!AM.\)

Оскільки \(\Delta DKM\) рівнобедрений \((DK=KM)\), висота \(KH\) є також медіаною, тому

\begin{gather*} DH=\frac{DM}{2}=\frac{24}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси

Оскільки \(CD\!\perp\!AM\) та \(KH\!\perp\!AM\), трикутники \(\Delta ADC\) та \(\Delta AHK\) є подібними \((\Delta ADC\sim \Delta AHK).\)

Коефіцієнт подібності:

\begin{gather*} k=\frac{AH}{AD}=\frac{24}{12}=2. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} KH=k\cdot CD=2\cdot 16=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина відрізка \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(ADC\) за теоремою Піфагора:

З подібності трикутників \(\Delta ADC\sim \Delta AHK\) маємо

\begin{gather*} AK=k\cdot AC=2\cdot 20=40\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найменше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2-42x-90=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-7x-15=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-1{,}5\) та \(x=5.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

На \((-\infty; -1{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-1{,}5; 5){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((5; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=5\) знак похідної змінюється з мінуса на плюс \((-\) на \(+)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою мінімуму.

Критичні точки: \(-1{,}5\) та \(5.\) Точка мінімуму: \(x_\text{min}=5.\)

Відповідь: \(5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсотки.

Батько сплачує повну вартість квитка, тобто \(800\) грн.

Мама має знижку \(20\ \%\), тому її квиток коштує \(80\ \%\) від початкової ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}8=640\ \text{грн}. \end{gather*}

Син отримує знижку \(25\ \%\), отже, він сплачує \(75\ \%\) від ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}75=600\ \text{грн}. \end{gather*}

Разом за сплав сім'я заплатить

\begin{gather*} 800+640+600=2040\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: \(2040.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора для визначення елементів прямокутного паралелепіпеда, визначати радіус і висоту циліндра за заданими співвідношеннями й обчислювати його об'єм.

В основі прямокутного паралелепіпеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежить прямокутник \(ABCD\) зі сторонами \(AD=9\) см і \(CD=12\) см. Його діагональ \(AC\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ADC\) та \(\Delta ABC).\)

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ADC{:}\)

За умовою діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда

\begin{gather*} d=AC=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус циліндра:

\begin{gather*} R=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Бічне ребро \(CC_1\) перпендикулярне до площини основи, тому \(\angle ACC_1=90^\circ.\) З прямокутного трикутника \(ACC_1\) (де діагональ паралелепіпеда \(AC_1=39\) см, а катет \(AC=15\) см) за теоремою Піфагора знаходимо висоту \(CC_1{:}\)

За умовою висота циліндра \(H\) відноситься до висоти паралелепіпеда \(CC_1\) як \(2:3{:}\)

\begin{gather*} H=\frac 23\cdot CC_1=\frac 23\cdot 36=24\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра:

Відповідь: \(1350.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння досліджувати дробово-раціональні рівняння з модулем і параметром на кількість розв'язків, зважаючи на область допустимих значень.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |4x+5a-3|-3=0,\\ (x+2)(x^2+9)\ne 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Вираз \(x^2+9\gt 0\) за будь-яких \(x\in R\), тому єдине обмеження з ОДЗ: \(x\ne -2.\)

Рівняння з модулем зведімо до сукупності двох лінійних рівнянь.

Оскільки \(x_1-x_2=\dfrac 64=1{,}5\ne 0\), корені \(x_1\) та \(x_2\) за жодного \(a\) не збігаються.

Отже, чисельник завжди має два різні значення.

Випадок 1 \((x_1=-2){:}\)

\begin{gather*} \frac{6-5a}{4}=-2;\\[6pt] 6-5a=-8;\\[7pt] 5a=14;\\[7pt] a_1=2{,}8. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_2=-3{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Випадок 2 \((x_2=-2){:}\)

\begin{gather*} -\frac{5a}{4}=-2;\\[6pt] -5a=-8;\\[7pt] 5a=8;\\[7pt] a_2=1{,}6. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_1=-0{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Обчислімо суму:

\begin{gather*} a_1+a_2=2{,}8+1{,}6=4{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

За умовою густина пилу перевищувала \(25\) мкг/м\(^3\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де густина більша за \(25\) мкг/м\(^3\) \((y\gt 25\) мкг/м\(^3).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(25\) мкг/м\(^3\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від \(12\) до \(18\) год (з \(12{:}00\) до \(18{:}00\)) значення густини перевищує \(25\) мкг/м\(^3.\)

Тривалість: \(18-12=6\) год.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дробово-раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 2x-10=0,\\ x+1\ne 0. \end{cases} \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 2x-10=0;\\[7pt] 2x=10;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Перевірмо область допустимих значень (ОДЗ).

За \(x=5\) знаменник \(x+1=5+1=6\ne 0\), отже, число \(5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення й уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

I спосіб.

Винесімо спільний множник \(3\) за дужки з першого виразу:

\begin{gather*} (3-3x)(x+1)=3(1-x)(1+x). \end{gather*}

Застосуймо формулу різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2{:}\)

\begin{gather*} 3(1-x^2)=3-3x^2. \end{gather*}

II спосіб.

Помножмо кожен доданок у перших дужках на кожен доданок у других:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

Якщо від периметра відняти суму довжин трьох сторін, отримаємо довжину четвертої сторони:

\begin{gather*} 18-14=4\ \text{дм}. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, сума двох сусідніх сторін (півпериметр) дорівнює:

\begin{gather*} a+b=\frac P2=\frac{18}{2}=9\ \text{дм}. \end{gather*}

Одна зі сторін \(4\) дм завдовжки, довжина другої (більшої) сторони дорівнює:

\begin{gather*} 9-4=5\ \text{дм}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Через точку \(S\), яка не належить площині основи \((ABC)\), можна провести єдину площину, паралельну площині \((ABC).\) Усі прямі, що лежать у цій паралельній площині та проходять через вершину \(S\), будуть паралельними площині основи \((ABC).\) Через точку в площині можна провести нескінченну кількість (безліч) прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів з однаковими основами.

За властивістю степеня з однаковою основою \((a^m\cdot a^n=a^{m+n})\), під час множення показники додамо, а основу залишимо без змін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

І спосіб

Для лінійної функції \(y=kx+b\)

Вільний член \(b=-1\) показує ординату точки перетину графіком осі \(y\), тобто графік проходить через точку \((0; -1).\) Кутовий коефіцієнт \(k=\dfrac 32=1{,}5.\)

Оскільки \(k\gt 0\), функція є висхідною (пряма прямує знизу-ліворуч угору-праворуч).

ІІ спосіб

Визначмо точку перетину з віссю \(Oy\) (за \(x=0\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 0-1=-1. \end{gather*}

Графік функції має перетинати вісь \(Oy\) у точці \((0; -1).\) Цій умові відповідають рисунки Б і Г.

Перевірмо додаткову точку (наприклад, \(x=2\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 2-1=3-1=2. \end{gather*}

Графік проходить через точку \((2; 2)\), що повністю узгоджується з рисунком Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії та умов існування вписаного кола.

I. Існує трапеція, точка перетину діагоналей якої рівновіддалена від її вершин.

Точка перетину діагоналей трапеції \(O\) ділить її діагоналі у відношенні основ \(a:b.\) Оскільки основи трапеції не рівні \((a\ne b)\), відрізки діагоналей від точки перетину до вершин не є рівними \((AO\ne OC).\) Отже, точка перетину діагоналей не може бути рівновіддаленою від усіх вершин. Твердження неправильне.

II. Існує трапеція, сума довжин бічних сторін якої дорівнює сумі довжин її основ.

Якщо сума основ дорівнює сумі бічних сторін \((a+b=c+d)\), у таку трапецію можна вписати коло. Така трапеція існує (наприклад, рівнобічна трапеція з основами \(2\) см і \(8\) см і бічними сторонами \(5\) см, висота якої \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\) см). Твердження правильне.

III. Існує трапеція, середня лінія якої проходить через точку перетину її діагоналей.

Середня лінія трапеції проходить через середини її діагоналей (ділить їх у відношенні \(1:1\)). Проте точка перетину діагоналей ділить їх у відношенні основ \(a:b\) (де \(a\ne b\)). Оскільки ці точки не збігаються, середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Визначмо корені квадратного рівняння \(x^2+2x-24=0.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac{:}\)

Обчислімо значення \(x{:}\)

Оскільки знак нерівності нестрогий \((\ge)\), точки \(-6\) та \(4\) входять до розв'язку (включені в інтервал квадратними дужками).

Коефіцієнт за \(x^2\) додатний \((a=1\gt 0)\), тому вітки параболи напрямлені вгору.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -6]\cup [4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Застосуймо властивості кореня:

(оскільки \(3^4=81\), а \(2^4=16\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом і записувати числа в стандартному вигляді.

Оскільки \(1\) карат \(=\ 0{,}2\) г, то маса алмаза становить:

\begin{gather*} 3106\cdot 0{,}2=621{,}2\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=\ 10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 621{,}2\ \text{г}=\frac{621{,}2}{1000}\ \text{кг}=0{,}6212\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(1\) знак праворуч:

\begin{gather*} 0{,}6212\ \text{кг}=6{,}212\cdot 10^{-1}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), а \(m\) – ціле число.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ): \(x\gt 0.\)

Застосуймо властивість різниці логарифмів \((\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac bc){:}\)

\begin{gather*} \log_6 x-\log_6 2=1;\\[6pt] \log_6 \frac x2=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \frac x2=6^1;\\[6pt] \frac x2=6;\\[6pt] x=12. \end{gather*}

Число \(12\) задовольняє ОДЗ \((12\gt 0)\) і належить проміжку \((10; +\infty).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, симетричної відносно початку координат, й обчислювати довжину (модуль) вектора.

Оскільки точка \(B\) симетрична точці \(A(-6; -3; 6)\) відносно початку координат, її координати є протилежними за знаком: \(B(6; 3; -6).\)

Обчислімо довжину (модуль) вектора \(|\overrightarrow{AB}|\) за формулою:

Підставмо координати точок \(A(-6; -3; 6)\) та \(B(6; 3; -6){:}\)

Властивість симетрії: точки \(A(x; y; z)\) та \(B(-x; -y; -z)\) є симетричними відносно початку координат \(O(0; 0; 0).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічна функція.

Завдання перевіряє вміння з'ясовувати область визначення логарифмічної функції.

Для логарифмічної функції \(y=\log_a f(x)\) (де \(a\gt 0\), \(a\ne 1\)) область визначення задано умовою \(f(x)\gt 0.\)

Розв'яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} x+9\gt 0;\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-9; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб і прямокутник.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи прямокутного трикутника, використовувати властивості подібності трикутників й обчислювати площу ромба.

У прямокутному трикутнику \(KNM\ (\angle N=90^\circ){:}\)

Отже, \(KL=NM=6\sqrt{3}\) см й \(LM=KN=6\) см.

Сторони прямокутника паралельні діагоналям ромба \((KL || AC\), \(KN || BD).\) Оскільки \(AK:KB=1:3\), сторона \(AB\) ділиться у відношенні \(1:3\), тобто

\(KB=\dfrac 34 AB\), а \(AK=\dfrac 14 AB.\)

З подібності трикутників \(\Delta BKL\sim \Delta BAC{:}\)

\begin{gather*} \frac{KL}{AC}=\frac{KB}{AB}=\frac 34;\\[6pt] AC=\frac 43 KL=\frac 43\cdot 6\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З подібності трикутників \(\Delta AKN\sim \Delta ABD{:}\)

\begin{gather*} \frac{KN}{BD}=\frac{AK}{AB}=\frac 14;\\[6pt] BD=4\cdot KN=4\cdot 6=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Обчислення значень виразів.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення логарифмічних, степеневих і тригонометричних виразів.

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^n}(b^m)=\frac mn\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Застосували властивість степеня \(\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

\(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

За формулою різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їх властивості.

Завдання перевіряє вміння аналізувати властивості основних елементарних функцій.

1. \(f(x)=x^2+2.\)

Спосіб 1

Область визначення \(D(f)=(-\infty; +\infty).\) Перевірмо функцію на парність:

Оскільки \(f(-x)=f(x)\), за означенням функція парна.

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Спосіб 2

Графіком є парабола, вісь симетрії якої збігається з віссю ординат \(Oy.\) Симетрія графіка відносно осі \(Oy\) за означенням означає, що функція є парною, тобто виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(f(x)=\sin x.\)

Спосіб 1

Визначмо нулі функції, розв'язавши рівняння

\begin{gather*} \sin x=0;\\[7pt] x=\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Функція має безліч нулів \((0\); \(\pm\pi\); \(\pm 2\pi\); \(\text{...})\), тобто більше ніж два нулі.

Нуль функції – це значення аргумента \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\)

Спосіб 2

Графіком є синусоїда. Точки перетину графіка з віссю абсцис \(Ox\) є нулями функції. На зображенні позначено точки перетину \(x=\text{...}\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), \(2\pi\), \(\text{...}\), що доводить наявність безлічі нулів, тобто більше ніж двох.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(f(x)=x^3.\)

Спосіб 1

Степенева функція з непарним показником \(n=3\) є строго висхідною на всій своїй області визначення \((-\infty; +\infty).\)

Висхідна функція – це функція, для якої більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції \((x_1\lt x_2\Leftrightarrow f(x_1)\lt f(x_2)).\)

Спосіб 2

Графіком є кубічна парабола. Унаслідок руху вздовж осі \(Ox\) зліва направо значення функції постійно зростають на всій області визначення \((-\infty; +\infty)\), що є властивістю висхідної функції.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – A.