Національний мультитест з математики - тести для підготовки до ЗНО, починаючи з 1200

Національний мультитест. Тема «Національний мультитест з математики». Всі запитання починаючи з 1200

1201120212031204120512061207120812091210121112121213121412151216121712181219122012211222122312241225122612271228

Завдання 1201 з 1228

Увідповідніть числовий вираз (1–3) і проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Числовий вираз

1\(\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}\)

2\(\log_8 200\)

3\(8\cos 120^\circ\)

Проміжок

А\((-\infty; -5]\)

Б\((-5; 0]\)

В\((0; 3]\)

Г\((3; 6]\)

Д\((6; +\infty)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},\) де \(a\ge 0\) i \(b\gt 0{:}\)

\begin{gather*} \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Число \(5\) належить проміжку \((3; 6].\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\log_8 200.\)

Оцінімо значення логарифма через степені основи \(8{:}\)

\begin{gather*} 8^2=64\ \text{та}\ 8^3=512. \end{gather*}

Запишімо подвійну нерівність

\begin{gather*} 64\lt 200\lt 512. \end{gather*}

Основа логарифма \(8\gt 1\), тому логарифмічна функція \(y=\log_8 x\) зростає, а знаки нерівності не змінюються:

\begin{gather*} \log_8 64\lt \log_8 200\lt \log_8 512. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_8 8^2\lt \log_8 200\lt \log_8 8^3;\\[7pt] 2\lt \log_8 200\lt 3. \end{gather*}

Значення перебуває в межах від \(2\) до \(3\), тобто належить проміжку \((0; 3].\) Отже, правильна відповідь – В.

3. \(8\cdot \cos 120^\circ.\)

Застосуймо формулу зведення

\begin{gather*} \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos \alpha.\\[6pt] \cos 120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12;\\[6pt] 8\cdot \left(-\frac 12\right)=-4. \end{gather*}

Число \(-4\) належить проміжку \((-5; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 846. Запитання: 39251

Завдання 1202 з 1228

На рисунку зображено квадрат \(ABCD\), діагональ якого дорівнює \(8\sqrt{2}\) см. Увідповідніть величину (1–3) та її значення (А – Д).

Величина

1відстань між серединами сторін \(AB\) і \(AD\)

2довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD\)

3довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A\)

Значення величини

А\(4\) см

Б\(4\sqrt{2}\) см

В\(4\sqrt{3}\) см

Г\(4\sqrt{5}\) см

Д\(8\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

За формулою діагоналі квадрата \(d=a\sqrt{2}\), де \(a\) – його сторона. Оскільки \(d=8\sqrt{2}\) см, маємо:

\begin{gather*} a\sqrt{2}=8\sqrt{2};\\[7pt] a=8\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань між серединами сторін \(AB\) i \(AD.\)

Точки \(M\) та \(N\) – середини сторін \(AB\) й \(AD\) відповідно. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABD.\) За її властивістю:

\begin{gather*} MN=\frac{BD}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD.\)

Радіус \(r\) вписаного у квадрат кола дорівнює половині сторони цього квадрата.

\begin{gather*} r=\frac a2=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. Довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A.\)

Медіана \(AP\) ділить сторону \(BC\) навпіл, тому

\begin{gather*} BP=\frac{BC}{2}=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABP\ (\angle B=90^\circ)\) обчислюємо довжину гіпотенузи \(AP\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AP^2=AB^2+BP^2;\\[7pt] AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 846. Запитання: 39254

Завдання 1203 з 1228

Визначте критичні точки функції \(f(x)=4x^3+9x^2-30x+1.\) Яка із цих точок є точкою максимуму функції \(f(x)\)?

Впишіть відповідь:

-2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну для дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою її похідної.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) й визначмо похідну функції за формулою:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(4x^3+9x^2-30x+1)'=(4x^3)'+(9x^2)'-(30x)'+(1)';\\[7pt] f'(x)=4\cdot 3x^{3-1}+9\cdot 2x^{2-1}-30+0=12x^2+18x-30. \end{gather*}

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

\begin{gather*} D=3^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49=7^2;\\[6pt] x_1=\frac{-3-7}{2\cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{-3+7}{2\cdot 2}=\frac 44=1. \end{gather*}

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої спрямовані вгору):

\(x\)	\((-\infty; -2{,}5)\)	\((-2{,}5; 1)\)	\((1; +\infty)\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(f(x)\)	зростає	спадає	зростає

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 846. Запитання: 39255

Завдання 1204 з 1228

У будинку \(150\) квартир: однокімнатні, двокімнатні та трикімнатні. Кількість однокімнатних квартир становить \(40\ \%\) від загальної кількості квартир, двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних. Скільки трикімнатних квартир у будинку?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Однокімнатні квартири становлять \(40\ \%\) від загальної кількості \((150){:}\)

\begin{gather*} 150\cdot 0{,}4=60. \end{gather*}

Двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних (тобто вони становлять \(80\ \%\) від кількості однокімнатних):

\begin{gather*} 60\cdot 0{,}8=48. \end{gather*}

Щоб обчислити кількість трикімнатних квартир, від загальної кількості квартир віднімімо кількість однокімнатних і двокімнатних:

\begin{gather*} 150-60-48=150-108=42. \end{gather*}

Отже, в будинку \(42\) трикімнатні квартири.

Відповідь: \(42.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 846. Запитання: 39257

Завдання 1205 з 1228

На рисунку зображено пряму чотирикутну призму й чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є ромб \(ABCD.\) Основою призми є прямокутник, більша сторона якого дорівнює \(20\) см, а менша сторона дорівнює діагоналі \(AC\) ромба. \(BD=20\) см, \(SA=SC=25\) см, \(SB=SD=26\) см. Визначте об’єм (см\(^3\)) призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює \(680\) см\(^2.\)

Впишіть відповідь:

2800

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для визначення невідомих параметрів призми й обчислення її об’єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) – рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SB^2=SO^2+OB^2;\\[7pt] SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2;\\[7pt] OA=\sqrt{SA^2-SO^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту призми \(h\) визначмо через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(2800.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 846. Запитання: 39259

Завдання 1206 з 1228

Визначте кількість усіх цілих значень \(a\), за кожного з яких рівняння \(\sqrt{2x-a}\cdot (\log_3(x-4)-2)=0\) має два різні розв’язки.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні й ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x-4\gt 0\ \text{(підлогарифмічний вираз)},\\ 2x-a\ge 0\ \text{(підкореневий вираз)}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\gt 4,\\ 2x\ge a, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\gt 4,\\ x\ge \frac a2. \end{cases} \end{gather*}

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо принаймні один із них дорівнює нулю, за умови, що інший множник має зміст

Спочатку обчислімо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

\begin{gather*} \log_3(x-4)=2;\\[7pt] x-4=3^2;\\[7pt] x-4=9;\\[7pt] x_2=13. \end{gather*}

З першого множника отримуємо

\begin{gather*} \sqrt{2x-a}=0;\\[7pt] 2x-a=0;\\[7pt] 2x=a;\\[7pt] x_1=\dfrac a2. \end{gather*}

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належатимуть області допустимих значень та не збігатимуться один із одним.

Перевірмо виконання умов ОДЗ і відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаймо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислімо їхню кількість:

\begin{gather*} 25-9+1=17. \end{gather*}

Відповідь: \(17.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 846. Запитання: 39260

Завдання 1207 з 1228

На діаграмі відображено інформацію щодо зміни маси (кг) слона протягом шести місяців із січня до червня цього року в порівнянні з груднем минулого року. Якою стала маса слона в червні, якщо в грудні вона становила \(4{,}235\) т?

А\(4215\) кг

Б\(4235\) кг

В\(4275\) кг

Г\(4295\) кг

Д\(4305\) кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розуміти табличну, текстову та графічну форми подання статистичної інформації.

Початкова маса в грудні становила \(4{,}235\) т \(=4235\) кг (оскільки \(1\) т = \(1000\) кг).

Знайдемо на осі місяців «червень». Точка розташована на позначці \(+60\) кг, що означає збільшення маси на \(60\) кг відносно грудня.

\begin{gather*} 4235\ \text{кг}+60\ \text{кг}=4295\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39333

Завдання 1208 з 1228

Вадим планує переглянути навчальний відеоролик тривалістю \(60\) хвилин. Перед переглядом він у налаштуваннях збільшив швидкість відтворення в \(1{,}5\) раза. Скільки хвилин тепер триватиме перегляд цього відеоролика?

А\(90\)

Б\(45\)

В\(40\)

Г\(35\)

Д\(30\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Час перегляду та швидкість відтворення – обернено пропорційні величини: зі збільшенням швидкості в \(1{,}5\) раза час перегляду зменшується в \(1{,}5\) раза.

Щоб обчислити час пришвидшеного перегляду, поділімо початкову тривалість на коефіцієнт швидкості:

\begin{gather*} 60:1{,}5=40\ \text{хвилин}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39334

Завдання 1209 з 1228

На рисунку 1 схематично зображено підставку для планшета (рис. 2), яка стоїть на горизонтальній поверхні (пряма \(AD\)). Точки \(A\), \(B\), \(C\) і \(K\) лежать на одній прямій. Визначте градусну міру кута \(BAD\), якщо \(\angle BKD=128^\circ\), \(\angle ADK=68^\circ.\)

А\(62^\circ\)

Б\(60^\circ\)

В\(66^\circ\)

Г\(50^\circ\)

Д\(52^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника.

Завдання перевіряє вміння визначати градусні міри кутів.

Кут \(BKD\) є зовнішнім кутом трикутника \(AKD\) при вершині \(K.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle BKD=\angle BAD+\angle ADK. \end{gather*}

Підставмо відомі значення й обчислімо градусну міру кута \(BKD\):

\begin{gather*} 128^\circ=\angle BAD+68^\circ;\\[7pt] \angle BAD=128^\circ-68^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39335

Завдання 1210 з 1228

Розв’яжіть нерівність \(2x-1\ge 0.\)

А\([-\dfrac 12; +\infty)\)

Б\((-\infty; -\dfrac 12]\)

В\((-\infty; \dfrac 12]\)

Г\([\dfrac 12; +\infty)\)

Д\([1; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x-1\ge 0;\\[7pt] 2x\ge 1;\\[6pt] x\ge \frac 12. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left[\frac 12; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39336

Завдання 1211 з 1228

Конус утворений обертанням

Арівнобедреного трикутника навколо його основи

Брівностороннього трикутника навколо його сторони

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи

Гпрямокутного трикутника навколо його катета

Дпрямокутника навколо його сторони

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39337

Завдання 1212 з 1228

У прямокутній системі координат на площині зображено фрагмент графіка непарної функції \(y=f(x)\) і точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) і \(P.\) Через яку із цих точок проходить графік функції \(y=f(x)\)?

А\(K\)

Б\(L\)

В\(M\)

Г\(N\)

Д\(P\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Непарність функцій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість симетрії графіка непарної функції відносно початку координат \((0; 0)\) для визначення координат її точок.

Графік непарної функції завжди симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Це означає: якщо графік проходить через точку \((x; y)\), то він обов'язково проходить і через точку \((-x; -y).\)

На зображеному фрагменті видно точку з координатами \((2; 2)\), яка належить графіку функції. Оскільки функція непарна, її графік також має проходити через точку \((-2; -2).\) На координатній площині це точка \(M.\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39338

Завдання 1213 з 1228

У десятому класі за списком \(24\) учні. Імовірність того, що вік учня, прізвище якого навмання вибирають зі списку класу, буде меншим за \(15\) років, дорівнює \(\dfrac 16.\) Скільки всього в класі учнів, вік яких менший за \(15\) років?

А\(3\)

Б\(4\)

В\(6\)

Г\(8\)

Д\(20\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n=24\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (загальна кількість учнів у класі), а \(k\) – кількість сприятливих варіантів для події (кількість учнів, вік яких менший за \(15\) років).

Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{m}{24}=\frac 16;\\[6pt] 6m=24;\\[7pt] m=4. \end{gather*}

Отже, у класі таких учнів \(4\).

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39339

Завдання 1214 з 1228

У прямокутній системі координат у просторі задано вектори \(\vec a(–2; 2; 1)\) і \(\vec b(4; –3; 0). \) Визначте модуль вектора \(\vec c=\vec a+\vec b.\)

А\(\sqrt{5}\)

Б\(\sqrt{6}\)

В\(2\)

Г\(14\)

Д\(\sqrt{62}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(-2+4; 2+(-3); 1+0);\\[7pt] \vec c(2; -1; 1). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

\begin{gather*} |\vec c|=\sqrt{x_c^2+y_c^2+z_c^2};\\[7pt] |\vec c|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39340

Завдання 1215 з 1228

\(5\dfrac 13: 1\dfrac 35=\)

А\(\dfrac{3}{10}\)

Б\(\dfrac{128}{15}\)

В\(\dfrac{5}{3}\)

Г\(\dfrac{15}{128}\)

Д\(\dfrac{10}{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Перетворімо мішані числа в неправильні дроби:

\begin{gather*} 5\frac 13=\frac{5\cdot 3+1}{3}=\frac{16}{3};\\[6pt] 1\frac 35=\frac{1\cdot 5+3}{5}=\frac 85;\\[6pt] 5\frac 13:1\frac 35=\frac{16}{3}:\frac 85=\frac{16}{3}\cdot \frac 58=\frac{16\cdot 5}{3\cdot 8}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 1}=\frac{10}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39341

Завдання 1216 з 1228

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Будь-яка хорда кола більша за його радіус.

II. Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.

III. Рівні хорди кола стягують рівні дуги.

Алише III

Блише І та ІІ

ВІ, ІІ та ІІІ

Глише ІI

Длише II та ІII

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло й круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, зокрема хорд.

I. Будь-яка хорда кола більша за його радіус.

Хорда може бути більшою, меншою за радіус або дорівнювати йому.

Якщо центральний кут між радіусами дорівнює \(60^\circ\), вони разом із хордою утворюють рівносторонній трикутник. Тоді хорда дорівнює радіусу \((a=R).\)

Якщо центральний кут менший за \(60^\circ\), хорда менша за радіус \((a\lt R).\) З’єднавши дві сусідні точки на колі, отримаємо хорду, довжина якої прямує до \(0.\) Твердження неправильне.

II. Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.

Діаметр проходить через центр кола й ділить його на два півкола – дві рівні дуги по \(180^\circ.\) Твердження правильне.

III. Рівні хорди кола стягують рівні дуги.

Це одна з основних геометричних властивостей кола: рівні хорди стягують рівні дуги (і навпаки, рівні дуги стягнуто рівними хордами). Твердження правильне.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39342

Завдання 1217 з 1228

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(2^{x+1}-2^x=\dfrac 18\)?

А\((-\infty; -5)\)

Б\([-5; -3)\)

В\([-3; 0)\)

Г\([0; 5)\)

Д\([5; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число \(-3\) належить проміжку \([-3; 0).\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39343

Завдання 1218 з 1228

Визначте загальний вигляд первісних для функції \(f(x)=3x^2.\)

А\(6x+C\)

Б\(x^2+C\)

В\(6x^3+C\)

Г\(3x^3+C\)

Д\(x^3+C\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

За таблицею первісних для степеневої функції

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), \(C\) – довільна стала
\(x^{\alpha}\), \(\alpha\ne -1\)	\(\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1}+C\)

\begin{gather*} F(x)=3\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+C=3\cdot \frac{x^3}{3}+C=x^3+C. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39344

Завдання 1219 з 1228

На рисунку зображено прямокутник \(ABCD\) та коло із центром \(O\), яке дотикається сторін \(AB\), \(AD\), а також сторони \(BC\) в точці \(K.\) Визначте площу (см\(^2\)) чотирикутника \(OKCD\), якщо \(OD=24\) см, \(\angle ADO=30^\circ.\)

А\(288\)

Б\(576\)

В\(216\sqrt{3}\)

Г\(576\sqrt{3}\)

Д\(288\sqrt{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати площу прямокутної трапеції, застосовуючи властивості дотичної до кола й тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Позначмо \(M\) точку дотику кола зі стороною \(AD.\) Тоді \(OM\!\perp\!AD\), а \(OM=R.\)

Проведімо радіус \(OM\!\perp\!AD\) в точку дотику \(M.\) У прямокутному трикутнику \(OMD\ (\angle OMD=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} R=OM=OD\cdot \sin 30^\circ=24\cdot \frac 12=12\ \text{см};\\[6pt] MD=OD\cdot \cos 30^\circ=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Коло дотикається двох паралельних сторін \(AD\) і \(BC\), тому сторона \(CD=2R=24\) см.

Радіус \(OK\!\perp\!BC\), тому \(OK\!\parallel\!CD.\) Чотирикутник \(OKCD\) – це прямокутна трапеція з основами \(OK=12\) см і \(CD=24\) см.

Оскільки \(BK=AM=R\), отримуємо \(KC=MD=12\sqrt{3}\) см (висота трапеції).

Обчислімо площу \(OKCD{:}\)

\begin{gather*} S_{OKCD}=\frac{OK+CD}{2}\cdot KC=\frac{12+24}{2}\cdot 12\sqrt{3}=18\cdot 12\sqrt{3}=216\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39345

Завдання 1220 з 1228

Обчисліть значення виразу \(2\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos 3\pi.\)

А\(-3\)

Б\(-2\)

В\(-1\)

Г\(2\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Синус – непарна функція \((\sin(-x)=-\sin x)\), тому

\begin{gather*} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \end{gather*}

Косинус має період \(2\pi\), тому

\begin{gather*} \cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення у вираз:

\begin{gather*} 2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\cos 3\pi=2\cdot (-1)+(-1)=-2-1=-3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39346

Завдання 1221 з 1228

Розв’яжіть систему рівнянь \( \begin{cases} \log_2x =2,\\ \dfrac{y+10}{x+1}=\dfrac{x+2}{2}. \end{cases} \) Якщо \((x_0; y_0)\) – розв’язок цієї системи, то \(x_0+y_0=\)

А\(-6\)

Б\(-4\)

В\(9\)

Г\(18\)

Д\(29\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Перше рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є логарифмічним. Розв'яжімо це рівняння. За означенням логарифма:

\begin{gather*} x=a^b\Leftrightarrow \log_a x=b. \end{gather*}

Оскільки \(\log_2 x=2\), то \(x=2^2=4.\)

(Оскільки \(x=4\gt 0\) і знаменник другого рівняння \(x+1=5\ne 0\), це число належить до області допустимих значень).

Обчислімо \(y\), підставивши \(x=4\) у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+10}{4+1}=\frac{4+2}{2};\\[6pt] \frac{y+10}{5}=3;\\[6pt] y+10=15;\\[7pt] y=5. \end{gather*}

Обчислімо суму \(x_0+y_0{:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=4+5=9. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39347

Завдання 1222 з 1228

До кожного початку (1–3) речення доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Графіки функцій \(y=2x-3\) та \(y=x+1\)

2Графіки функцій \(y=x^2\) та \(y=x^2-2\)

3Графік функції \(y=\dfrac 2x\) та графік рівняння \(x^2+y^2=4\)

Закінчення речення

Ане мають жодної спільної точки.

Бмають єдину спільну точку.

Вмають лише дві спільні точки.

Гмають лише три спільні точки.

Дмають чотири спільні точки.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Прямі \(y=2x-3\) та \(y=x+1.\)

Спосіб 1

Прирівняймо праві частини рівнянь:

\begin{gather*} 2x-3=x+1;\\[7pt] 2x-x=1+3;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

За \(x=4\) \(y=5.\) Система має один розв'язок, а графіки – єдину спільну точку \((4; 5).\)

Спосіб 2

Це дві лінійні функції, графіки яких – прямі з кутовими коефіцієнтами \(k_1=2\) та \(k_2=1.\) Оскільки \(k_1\ne k_2\), прямі не паралельні й перетинаються в єдиній точці.

Отже, 1 – Б.

2. Параболи \(y=x^2\) та \(y=x^2-2.\)

Спосіб 1.

Прирівняємо праві частини рівнянь:

\begin{gather*} x^2=x^2-2;\\[7pt] 0=-2. \end{gather*}

Рівняння не має розв'язків. Графіки не мають жодної спільної точки.

Спосіб 2.

Графік \(y=x^2-2\) утворюється шляхом паралельного перенесення параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\) Параболи мають однакову форму та напрямок віток, але зміщені одна відносно одної, тому вони не мають жодної спільної точки.

Отже, 2 – A.

3. Гіпербола \(y=\dfrac 2x\) та коло \(x^2+y^2=4.\)

Спосіб 1

Підставмо \(y=\dfrac 2x\) у рівняння кола:

\begin{gather*} x^2+\left(\frac 2x\right)^2=4;\\[6pt] x^2+\frac{4}{x^2}=4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(x^2\ne 0{:}\)

\begin{gather*} x^4-4x^2+4=0;\\[7pt] (x^2-2)^2=0;\\[7pt] x^2-2=0;\\[7pt] x^2=2. \end{gather*}

Отримуємо два значення: \(x_1=\sqrt{2}\) та \(x_2=-\sqrt{2}.\) Отже, графіки мають лише дві спільні точки.

Спосіб 2

Рівняння \(x^2+y^2=4\) задає коло із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=2.\)

\(y=\dfrac 2x\) – гіпербола з вітками в I та III координатних чвертях. Вітки гіперболи дотикаються кола у двох точках. Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39348

Завдання 1223 з 1228

Узгодьте вираз (1–3) з тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо \(a\ne 0.\)

Вираз

1\(\sqrt[\scriptstyle 3]{\dfrac{27}{a^3}}\)

2\(a^{-2}\cdot a^3\cdot \log_{27} 3\)

3\(\dfrac{(a-3)^2-a^2-9}{2}\)

Тотожно рівний вираз

А\(-3a\)

Б\(\dfrac 3a\)

В\(0\)

Г\(\dfrac a3\)

Д\(3a\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння тотожно перетворювати й спрощувати алгебраїчні вирази, застосовуючи формули скороченого множення, властивості степенів, коренів \(n\)-го степеня та правила обчислення логарифмів.

1. \(\sqrt[\scriptstyle 3]{\dfrac{27}{a^3}}.\)

Застосуймо властивість кореня із частки \(\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\), де \(b\ne 0.\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{27}{a^3}}=\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{27}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}}=\frac 3a. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(a^{-2}\cdot a^3\cdot \log_{27} 3.\)

За властивістю степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}{:}\)

\begin{gather*} a^{-2}\cdot a^3=a^{-2+3}=a^1=a. \end{gather*}

Оскільки \(27=3^3\), то

\begin{gather*} \log_{27}3=\log_{\textstyle 3^3} 3=\frac 13\cdot \log_3 3=\frac 13\cdot 1=\frac 13. \end{gather*}

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Перемножмо результати:

\begin{gather*} a\cdot \frac 13=\frac a3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\dfrac{(a-3)^2-a^2-9}{2}.\)

Застосуймо формулу квадрата різниці в чисельнику:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[6pt] \frac{(a-3)^2-a^2-9}{2}=\frac{a^2-6a+9-a^2-9}{2}=\frac{-6a}{2}=-3a. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39349

Завдання 1224 з 1228

На рисунку зображено прямокутник \(ABCD\) та рівнобедрений трикутник \(DKM\), у якому \(DK=KM.\) Пряма, що містить діагональ \(AC\) прямокутника \(ABCD\), проходить через точку \(K.\) \(AB=16\) см, \(AD=12\) см, \(DM=2AD.\) До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина відрізка \(AM\) дорівнює

2Відстань від точки \(K\) до прямої \(AM\) дорівнює

3Довжина відрізка \(CK\) дорівнює

Закінчення речення

А\(20\) см.

Б\(24\) см.

В\(32\) см.

Г\(36\) см.

Д\(48\) см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника й рівнобедреного трикутника, теореми Піфагора та подібності прямокутних трикутників для обчислення довжин відрізків і відстаней.

1. Довжина відрізка \(AM\)

За умовою \(AD=12\) см, а \(DM=2AD=2\cdot 12=24\) см.

\begin{gather*} AM=AD+DM=12+24=36\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Bідстань від точки \(K\) до прямої \(AM\)

Відстань від \(K\) до прямої \(AM\) – це довжина перпендикуляра \(KH\!\perp\!AM.\)

Оскільки \(\Delta DKM\) рівнобедрений \((DK=KM)\), висота \(KH\) є також медіаною, тому

\begin{gather*} DH=\frac{DM}{2}=\frac{24}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси

\begin{gather*} AH=AD+DH=12+12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(CD\!\perp\!AM\) та \(KH\!\perp\!AM\), трикутники \(\Delta ADC\) та \(\Delta AHK\) є подібними \((\Delta ADC\sim \Delta AHK).\)

Коефіцієнт подібності:

\begin{gather*} k=\frac{AH}{AD}=\frac{24}{12}=2. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} KH=k\cdot CD=2\cdot 16=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина відрізка \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(ADC\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AD^2+CD^2;\\[7pt] AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+16}=\sqrt{400}=20\ \text{см}. \end{gather*}

З подібності трикутників \(\Delta ADC\sim \Delta AHK\) маємо

\begin{gather*} AK=k\cdot AC=2\cdot 20=40\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} CK=AK-AC=40-20=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39350

Завдання 1225 з 1228

Визначте критичні точки функції \(f(x)=4x^3–21x^2–90x+19.\) Яка з цих точок є точкою мінімуму функції \(f(x)\)?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найменше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(4x^3-21x^2-90x+19)'=(4x^3)'-(21x^2)'-(90x)'+(19)';\\[7pt] f'(x)=4\cdot 3x^{3-1}-21\cdot 2x^{2-1}-90+0=12x^2-42x-90. \end{gather*}

\begin{gather*} 12x^2-42x-90=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-7x-15=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

\begin{gather*} D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-15)=49+120=169=13^2;\\[6pt] x_1=\frac{7-13}{2\cdot 2}=\frac{-6}{4}=-1{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{-7+13}{2\cdot 2}=\frac{22}{4}=5. \end{gather*}

Отже, критичні точки: \(x=-1{,}5\) та \(x=5.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

\(x\)	\((-\infty; -1{,}5)\)	\((-1{,}5; 5)\)	\((5; +\infty)\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(f(x)\)	зростає	спадає	зростає

На \((-\infty; -1{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-1{,}5; 5){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((5; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=5\) знак похідної змінюється з мінуса на плюс \((-\) на \(+)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою мінімуму.

Критичні точки: \(-1{,}5\) та \(5.\) Точка мінімуму: \(x_\text{min}=5.\)

Відповідь: \(5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39351

Завдання 1226 з 1228

Сім’я з трьох осіб – батька, мами й сина – запланувала в день народження мами сплав на байдарці. Вартість сплаву становить \(800\) грн із особи. Мамі й сину надають знижки: \(20\ \%\) і \(25\ \%\) відповідно. Скільки гривень ця сім’я заплатить за сплав з урахуванням наданих знижок?

Впишіть відповідь:

2040

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсотки.

Батько сплачує повну вартість квитка, тобто \(800\) грн.

Мама має знижку \(20\ \%\), тому її квиток коштує \(80\ \%\) від початкової ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}8=640\ \text{грн}. \end{gather*}

Син отримує знижку \(25\ \%\), отже, він сплачує \(75\ \%\) від ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}75=600\ \text{грн}. \end{gather*}

Разом за сплав сім'я заплатить

\begin{gather*} 800+640+600=2040\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: \(2040.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39352

Завдання 1227 з 1228

На рисунку зображено циліндр і прямокутний паралелепіпед. Діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда. Довжина діагоналі паралелепіпеда дорівнює \(39\) см, сторони основи паралелепіпеда дорівнюють \(9\) см і \(12\) см. Визначте об’єм \(V\) (см\(^3\)) циліндра, якщо висота циліндра відноситься до висоти паралелепіпеда як \(2 : 3.\) У відповіді запишіть значення \(\dfrac{V}{\pi}.\)

Впишіть відповідь:

1350

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора для визначення елементів прямокутного паралелепіпеда, визначати радіус і висоту циліндра за заданими співвідношеннями й обчислювати його об'єм.

В основі прямокутного паралелепіпеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежить прямокутник \(ABCD\) зі сторонами \(AD=9\) см і \(CD=12\) см. Його діагональ \(AC\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ADC\) та \(\Delta ABC).\)

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ADC{:}\)

\begin{gather*} AC^2=AD^2+DC^2;\\[7pt] AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда

\begin{gather*} d=AC=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус циліндра:

\begin{gather*} R=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Бічне ребро \(CC_1\) перпендикулярне до площини основи, тому \(\angle ACC_1=90^\circ.\) З прямокутного трикутника \(ACC_1\) (де діагональ паралелепіпеда \(AC_1=39\) см, а катет \(AC=15\) см) за теоремою Піфагора знаходимо висоту \(CC_1{:}\)

\begin{gather*} AC_1^2=AC^2+CC_1^2;\\[7pt] CC_1^2=AC_1^2-AC^2;\\[7pt] CC_2=\sqrt{AC_1^2-AC^2}=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=\sqrt{1296}=36\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою висота циліндра \(H\) відноситься до висоти паралелепіпеда \(CC_1\) як \(2:3{:}\)

\begin{gather*} H=\frac 23\cdot CC_1=\frac 23\cdot 36=24\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра:

\begin{gather*} V=\pi R^2H=\pi\cdot \left(\frac{15}{2}\right)^2\cdot 24=\pi\cdot \frac{225}{4}\cdot 24=225\cdot 6\pi=1350\pi\ \text{см}^3;\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{1350\pi}{\pi}=1350. \end{gather*}

Відповідь: \(1350.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39353

Завдання 1228 з 1228

Визначте суму всіх значень \(a\), за кожного з яких рівняння \(\dfrac{|4x+5a-3|-3}{(x+2)(x^2+9)}=0\) має єдиний корінь.

Впишіть відповідь:

4.4

Перевірити Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння досліджувати дробово-раціональні рівняння з модулем і параметром на кількість розв'язків, зважаючи на область допустимих значень.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |4x+5a-3|-3=0,\\ (x+2)(x^2+9)\ne 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Вираз \(x^2+9\gt 0\) за будь-яких \(x\in R\), тому єдине обмеження з ОДЗ: \(x\ne -2.\)

Рівняння з модулем зведімо до сукупності двох лінійних рівнянь.

\begin{gather*} |4x+5a-3|=3;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 4x+5a-3=3,\\ 4x+5a-3=-3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 4x=3-5a+3,\\ 4x=-3-5a+3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 4x=6-5a,\\ 4x=-5a, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_1=\dfrac{6-5a}{4},\\ x_2=\dfrac{-5a}{4}. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки \(x_1-x_2=\dfrac 64=1{,}5\ne 0\), корені \(x_1\) та \(x_2\) за жодного \(a\) не збігаються.

Отже, чисельник завжди має два різні значення.

Випадок 1 \((x_1=-2){:}\)

\begin{gather*} \frac{6-5a}{4}=-2;\\[6pt] 6-5a=-8;\\[7pt] 5a=14;\\[7pt] a_1=2{,}8. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_2=-3{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Випадок 2 \((x_2=-2){:}\)

\begin{gather*} -\frac{5a}{4}=-2;\\[6pt] -5a=-8;\\[7pt] 5a=8;\\[7pt] a_2=1{,}6. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_1=-0{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Обчислімо суму:

\begin{gather*} a_1+a_2=2{,}8+1{,}6=4{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}4.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 847. Запитання: 39354

/multitest/tag-mathematics_nmt/

Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики