Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Зафарбована фігура – прямокутник. Його основа лежить на осі \(Ox\) від \(-3\) до \(0.\)

Довжина основи \(a=3\)

Площа прямокутника \begin{gather*} S=a\cdot b, \end{gather*} де \(a\) - ширина, \(b\) - висота.

За умовою \(S = 8.\)

Звідси висота (відстань від осі \(Ox\) до графіка) дорівнює \(\frac 83.\)

Оскільки графік розташований нижче від осі \(Ox\), значення функції від'ємне: \begin{gather*} f(x)=-\frac 83. \end{gather*}

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він дорівнює різниці площі фігури над віссю \(Ox\) і площі фігури під віссю \(Ox.\) Весь проміжок інтегрування — від \(-3\) до \(3.\)

Оскільки функція \(f(x)=-\frac 83\) є сталою на всьому проміжку, шукаймо інтеграл від сталої:

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа \(AD{:}\) оскільки \(BC\ ||\ AD\), то внутрішні різносторонні кути рівні: \(\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.\) \(\Delta ABC\) — рівнобедрений \((AB=BC=6)\), тому \(\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.\)

Отже, у трапеції

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож \(\angle D=60^\circ.\)

Розгляньмо \(\Delta ACD{:}\)

У прямокутному \(\Delta ACD\) катет \(CD=6\) і лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому гіпотенуза

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту \(CH.\) У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ){:}\)

Отже, 2 – B.

3. Діагональ \(AC{:}\) у прямокутному \(\Delta ACD\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=\frac 4x\) має графік гіперболу. Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки \(x\ne 0\), то й \(y\ne 0.\)

Отже, 1 – A.

2. Для функції \(y=\sin x\) область значень \([-1; 1].\) Її графік симетричний відносно початку координат (непарна функція). Графік \(y=(x-1)^2\) – парабола з вершиною в \((1; 0).\) Синусоїда перетинає її двічі.

Отже, 2 – B.

3. Функція \(y=\log_{0{,}5} x\) логарифмічна. Якщо \(x=1\), то \(y=\log_{0{,}5} 1=0.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних виразів, уміння використовувати властивості модуля числа.

Спростимо вирази:

1. – В.

2. – A.

Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому

3. – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\)

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою.

Отже,

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростiмо вираз за формулою квадрата різниці:

Застосували основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1\) і формулу подвійного кута \(\sin 2x=2\sin x\cos x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

Розв’яжімо методом додаванням отриману систему:

Підставмо \(x=2\) у перше рівняння:

\((2; -8)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо добуток

Відповідь: Д.

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз \(\frac{2}{x^2}\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}\)

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u + v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює \(60^\circ\), то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Поділімо номер квартири на кількість квартир на поверсі:

Це означає, що \(6\) поверхів повністю заповнені (це \(6\cdot 4 = 24\) квартири), а квартира №27 розташована на наступному, сьомому поверсі.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

Використаймо властивість логарифма:

Тоді

Функція \(y=\log_{0{,}7}x\) спадна, тому \(x\lt 0{,}7.\)

Логарифмічна функція має область визначення \(x\gt 0.\)

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

Отже, \(x\in (0; 0{,}7).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

Визначмо координати точок за рисунком: \(A(-1; -1)\) і \(B(3; 2).\)

Обчислімо відстань між цими точками за формулою:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x + a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Отже, для побудови графіка функції \(f(x+3)\) треба перемістити графік функції \(f(x)\) на \(3\) одиничні відрізки вліво вздовж осі \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо \(x{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – \(a.\)

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

Аналізуючи графік бачимо, що через \(20\) хв після початку заряджання рівень заряду акумулятора становитиме \(30\ \%.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишімо подвійною нерівністю: \begin{gather*} -2{,}07\lt x\lt 15{,}9. \end{gather*}

Першим цілим числом, яке більше за \(-2{,}07\), є \(-2.\) Останнім цілим числом, яке менше за \(15{,}9\), є \(15.\)

Кількість цілих чисел:

• від \(1\) до \(15\) – це п`ятнадцять чисел;
• число \(0\) – це ще одне число;
• числа \(-1\) та \(-2\) – це ще два числа.

Всього: \(15 + 1 + 2 = 18.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому завданні \(x_1+x_2=8\) та \(x_1\cdot x_2=4a-1.\)

Треба визначити \(x_1^2+x_2^2.\) Використаймо формулу квадрата суми:

Звідси:

За умовою сума квадратів дорівнює \(38{:}\)

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути \(D\ge 0.\)

Якщо \(a=3{,}5\), то

Оскільки \(D\gt 0\), корені існують.

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

Обчислімо площу основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою \(S=ab\sin \gamma{:}\)

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити \(\frac{V}{\sqrt{3}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1200.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Софія має \(10\) різних листівок, їй потрібно вибрати по одній для \(4\) різних адресатів. 

Оскільки адресати різні, порядок вибору має значення. Кількість способів вибрати \(4\) листівки з \(10\) листівок та розподілити їх між \(4\) різними адресатам обчислюємо за формулою розміщення \(m\) елементів з \(n\) можливих:

Всі листівки надсилаються в конвертах одного кольору: або всі жовті або всі сині. Тобто всього є два варіанти.

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 5040\cdot 2=10080. \end{gather*}

Відповідь: \(10080.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

За властивістю логарифма:

Відповідь: \(0{,}5.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники \(AOD\) та \(BOC\), утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки \(AC=BD\), діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: \(AO=OD\) та \(BO=OC\)). Отже, \(BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.\)

У прямокутному трикутнику \(BOC\) за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – А.

2. За умовою, \(KM\) – середня лінія трикутника \(AOD\), \(KM=12\) см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

Отже, 2 – Д.

3. Висота \(h\) трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників \(AOD\) та \(BOC\)).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота \(\Delta BOC{:}\)

Висота \(\Delta AOD{:}\)

Висота трапеції:

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x-2\)

За \(x=1\) маємо \(y=1-2=-1.\)

Оскільки \(-1\lt 0\), функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. \(y=x^3\)

Обчислімо значення в точці \(x=0.\)

Для \(y=x^3{:}\) \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для \(y=\log_{0{,}5}(x+1){:}\)

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку \((0; 0).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\cos x\)

Функція є парною \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\)

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення (модуль, степінь, логарифм) математичних виразів і визначати положення отриманих чисел на координатній прямій.

1. За властивістю модуля:

Числу \(2\) на прямій відповідає точка \(P.\)

Отже, 1 – Д.

2. \(0{,}5^0=1.\) Числу \(1\) на прямій відповідає точка \(N.\)

Отже, 2 – Г.

3. За властивістю логарифма:

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує \(9\) гривень. На \(61\) гривню можна купити \(6\) наборів. На це буде витрачено \(54\) гривні. На \(7\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(5\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити – \(13.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань \(d\) від точки з координатами \((x; y; z)\) до початку координат \((0; 0; 0)\) обчислюють за формулою:

A \((0; 4; 0){:}\)

Б \((0; 3; -4){:}\)

B \((-5; 0; 0){:}\)

Г \((1; 3; 0){:}\)

Д \((3; 0; -3){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

Маємо систему рівнянь:

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

Підставмо значення \(x=2\) у друге рівняння системи й визначмо \(y{:}\)

Тобто \((2; -1)\) – розв'язок системи, а

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники за формулою різниці квадратів:

У виразі \(3a+6b=3(a+2b)\) винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона \(BC=18\) см, точка \(M\) поділила її у відношенні \(4:5.\) Тому загальна кількість частин дорівнює \(9{:}\)

Отже,

Оскільки \(AM\) – бісектриса прямого кута \(A\), то

У прямокутнику сторони \(BC\) та \(AD\) паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник \(ABM{:}\) у ньому два кути по \(45^\circ{:}\) \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони \(AB\) та \(BM\) рівні:

Обчислімо площу прямокутника:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

Підставмо значення:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

Поділімо обидві частини рівняння на \(\pi{:}\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac 14.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. \(OA\ \perp\ AB\) – правильно. Радіус кола, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної.

II. \(OB=2OA\) – правильно.

Розгляньмо трикутник \(\Delta OAB\ (\angle A=90^\circ).\)

Сума його гострих кутів дорівнює \(90^\circ\), отже \(\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.\)

Катет \(OA\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи \(OB.\) Тобто \(OB=2OA.\)

III. \(OD=AC\) – правильно.

\(OD\) та \(OC\) – це радіуси кола, тому \(OD=OC.\)

Розгляньмо \(\Delta OAC.\) Він рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси).

Оскільки кут при вершині \(\angle AOC=60^\circ\), то градусна міра кутів при основі також \((180^\circ-60^\circ) : 2 = 60^\circ.\)

Отже, \(\Delta OAC\) – рівносторонній, тому \(AC=OC.\)

Оскільки \(OD=OC\) й \(AC=OC\), то \(OD=AC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і застосовувати формули зведення.

Використаймо формулу:

Підставмо значення \(\sin \alpha=0{,}8.\)

Отже, \(\sin(180^\circ+\alpha)=-0{,}8.\)

Кут \((180^\circ+\alpha)\) розташований у III чверті тригонометричного кола.

У III чверті синус набуває від’ємного значення, тому поставлено знак мінус.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точку локального екстремуму функції за її графіком.

На рисунку зображено параболу – графік квадратичної функції. Гілки параболи напрямлені вниз, отже, функція має точку локального максимуму. Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргументу \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Точка максимуму відповідає вершині параболи.

Вершина параболи розташована в найвищій точці графіка. Опустімо перпендикуляр із цієї точки на вісь \(Ox{:}\)

Точка локального екстремуму заданої функції:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

Розв'яжімо показникове рівняння:

Зведімо до однакової основи:

Корінь рівняння \(x=-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

Для розв’язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(20\), але нижчим за позначку \(38.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 38\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик на позначці \(40.\) (\(40 \gt 38\) – не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) Число \(35\) більше за \(20\) і менше за \(38\) \((20\lt 35\lt 38).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 38\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(20\) до \(38\), – жовта.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: \(AB=BC=12\) см. Основа: \(AC.\)

Периметр \((P)\) – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де \(a\) – бічна сторона, а \(b\) – основа.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

Перенесімо \(-11x\) праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на \(4{:}\) \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(t_1=9\), \(t_2=-1.\)

Повернімося до заміни \(3^x=t\) й замість \(t\) підставмо обчислені значення.

Підставимо \(9{:}\)

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

\(3^x\) не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції \(y=a^x\) завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені \(2\) не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь \(x=2\) в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, \(a=6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата \(ABCD{:}\)

За умовою завдання, у квадрат \(ABCD\) вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на \(2{:}\)

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній \(GH\), яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}\)

Визначмо об’єм циліндра:

Поділімо знайдений об’єм на \(\pi\), як зазначено в умові завдання:

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події \(A\) можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де \(m\) – кількість сприятливих подій, \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є \(32\) місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику \(n\) рядів, місць в одному ряді – \(8\), отже, усього \(8n\) місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(8{:}\) \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість \(n\) рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці \(x=2\), для цього у функцію замість \(x\) підставмо \(2{:}\)

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

Звернімо увагу, що \(g(x)=(2x-1)^3\) – складена функція:

Обчислімо значення знайденої похідної в точці \(x=1\), для цього в похідну замість \(x\) підставмо \(1.\)

Обчислімо суму \(f(2)+f'(1){:}\)

Відповідь: \(116.\)

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника \(ACD\), задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

Визначмо площу круга радіуса \(2\sqrt{3}{:}\)

Обчислімо площу половини півкруга радіуса \(2\sqrt{3}\), для цього поділімо обчислену площу круга на \(4{:}\)

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника \(ACD{:}\)

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба \(DCKL\) дорівнює довжині сторони трикутника \(ACD.\) Висота ромба \(DCKL\) дорівнює довжині висоти трикутника \(ACD.\) Обчислімо площу ромба \(DCKL\) через висоту:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні, показникові вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати вирази й виконувати обчислення після підставлення значення.

Підставмо \(2\) в значення кожного виразу.

1. \(\frac 2a=2.\)

Представмо у вигляді дробу праву частину виразу, для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac 2a=\frac 21. \end{gather*}

Визначмо \(a{:}\) оскільки чисельники дробів однакові, то, щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими і їхні знаменники: \begin{gather*} a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

2. \(16^a=2.\)

Перепишімо ліву частину виразу: \begin{gather*} 16^a=(2^4)^a=2^{4a};\\[7pt] 2^{4a}=2^1. \end{gather*}

Оскільки основи однакові в обох частинах, можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} 4a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини утвореного рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} a=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

3. \((a-1)^2-a^2=2.\)

Розкриймо дужку за формулою скороченого множення: \begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] a^2-2a+1-a^2=2. \end{gather*}

Зведімо подібні доданки: \begin{gather*} -2a+1=2. \end{gather*}

Перенесімо \(1\) праворуч: \begin{gather*} -2a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини отриманого рівняння на \(-2{:}\) \begin{gather*} a=\frac{1}{-2}=-\frac 12. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, використовуючи перетворення графіків функцій.

1. Схематично зобразімо графік логарифмічної функції: \(y=log_a x\), основа якої більша за одиницю, отже, графік зростаючий. За умовою, перед усією функцією \(y=\log_3 x\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(x.\) Отриманий графік лежить у першій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь Г.

2. Зобразімо функцію \(y=|x|.\) За умовою, перед усією функцією \(y=|x|\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(|x|.\) Оскільки до всієї функції \(y=-|x|\) додаємо \(4\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-|x|\) на \(4\) одиниці вгору відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить в усіх чвертях. Отже, правильна відповідь Д.

3. Розкриймо дужки: \(-(x^2+2)=-x^2-2.\) Зобразімо функцію \(y=-x^2\) – це парабола вітками донизу. Оскільки від усієї функції \(y=-x^2\) віднімаємо \(2\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-x^2\) на \(2\) одиниці вниз відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить у третій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи нерівностей, які містять дробово-раціональну і лінійну нерівності.

Розв’яжімо нерівності системи й визначмо перетин розв’язків.

\(\frac{x-2}{x+3}\ge 0.\)

Запишімо ОДЗ: знаменник не може дорівнювати нулю:

Використаймо метод інтервалів, для цього перенесімо знаменник у чисельник:

Визначмо нулі лівої частини нерівності, для цього ліву частину прирівнюймо до нуля:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому прирівнюємо кожен множник до нуля:

Накреслімо числову пряму, на якій точками позначмо обчислені нулі лівої частини нерівності: \(2\), \(-3.\)

Зауважмо: нерівність нестрога, тож точку, якою позначено на прямій значення \(2\), зафарбовуємо. За ОДЗ \(x\) не може дорівнювати значенню \(-3\), тому точку, яка його позначає на прямій, буде виколото.

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Ліва частина нерівності була більшою за нуль, тому в розв’язку першої нерівності системи запишімо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\) Зауважмо: якщо множимо нерівність на від’ємне число, то знак нерівності змінюємо на протилежний:

Отже, розв’язком цієї нерівності буде проміжок \([2; +\infty).\)

Позначмо на числовій прямій розв’язки обох нерівностей і визначмо їхній перетин:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати тригонометричні вирази й визначати належність результату до числового проміжку.

Запишімо \(4\) як добуток: \begin{gather*} 2\cdot 2. \end{gather*}

З другого і третього доданка винесімо спільний множник 2 за дужку:

Використаймо формулу синуса подвійного аргумента:

Використаймо основну тригонометричну тотожність:

За формулами зведення:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний вигляд первісних функції.

Перепишімо перші два доданки, винісши множники з їхніх чисельників: \begin{gather*} \frac{2}{\cos^2 x}=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x};\\[6pt] \frac 3x=3\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Тепер функція має такий вигляд:

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції, проаналізувавши доданки:

1. Доданок \(2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\) – множник \(2\) залишмо без змін, первісна для \(\frac{1}{\cos^2 x}\) за таблицею первісних дорівнює \(\mathrm{tg}\ x\), тож маємо \(2\mathrm{tg}\ x.\)

2. Доданок \(3\cdot \frac 1x\) – множник \(3\) залишмо без змін, первісна для \(\frac 1x\) за таблицею первісних дорівнює \(\ln |x|\), тож \(3\ln |x|.\)

3. Доданок \(\cos x\) – первісна для \(\cos x\) за таблицею первісних дорівнює \(\sin x\) , тож маємо \(\sin x.\)

4. Доданок \(2\) – первісна від сталої \(2\) дорівнює \(2x.\)

Запишімо суму всіх доданків, які визначили в пунктах 1–4, у кінці додамо константу \(C\), бо за умовою треба визначити загальний вигляд первісних функції:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати складники та площу трапеції, використовуючи властивості подібних трикутників.

Проведімо висоту \(h_2\) трикутника \(AOD\), розмір якої треба визначити, висоту \(h_1\) трикутника \(BOC\), висоту \(h\) трапеції. Довжина останньої дорівнює сумі довжин висот трикутників:

За умовою завдання, \(ABCD\) – трапеція, тож її основи \(AD\) і \(BC\) паралельні. Трикутники \(BCO\) і \(DAO\) подібні за двома кутами: \(\angle AOD=\angle COB\) подібні як вертикальні, \(\angle OBC=\angle ODA\) подібні як внутрішні різносторонні при двох паралельних прямих \(AD\), \(BC\) і січній \(BD.\)

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює їхньому коефіцієнту подібності \(k{:}\)

Відповідні сторони подібних трикутників відносяться одна до одної за обчисленим коефіцієнтом подібності: \begin{gather*} \frac{BC}{AD}=\frac 27. \end{gather*}

Довжина сторони \(AD\) відома за умовою завдання й дорівнює \(28\), підставмо її в знаменник правої частини:

За умовою завдання площа трапеції \(S_{ABCD}=405\) см\(^2.\) Запишімо формулу для обчислення площі трапеції:

Визначмо довжину середньої лінії трапеції:

З площі трапеції обчислімо її висоту:

Висоти трикутників \(BCO\) і \(DAO\) пропорційні за коефіцієнтом подібності \(k.\) Нехай коефіцієнтом відношення буде \(x\) тоді \(h_1=2x\), \(h_2=7x.\) Сума довжин висот трикутників дорівнює довжині висоти трапеції, яку вже обчислено:

Висота трикутника \(DAO\) дорівнює \(7x\), тож маємо помножити \(7\) на щойно обчислене значення \(x{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Оскільки у лівій частині рівняння \begin{gather*} |4x-1|=5 \end{gather*} є модуль, а в правій – додатне число, розкриймо модуль за схемою: рівняння вигляду \(|f(x)|=a\), де \(a\gt 0\), рівносильне сукупності двох рівнянь \(f(x)=a\) або \(f(x)=-a.\)

Отже, рівняння \(|4x-1|=5\) рівносильне сукупності рівнянь: \begin{gather*} 4x-1=5\ \text{або}\ 4x-1=-5. \end{gather*}

Розв’яжімо перше рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=5. \end{gather*}

Перенесімо \(-1\) праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=5+1;\\[7pt] 4x=6. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} x=\frac 64;\\[6pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Розв’яжімо друге рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=-5. \end{gather*}

Перенесімо \(-1\) праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=-5+1;\\[7pt] 4x=-4. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} x=\frac{-4}{4};\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

На вимогу завдання у відповіді треба зазначити суму всіх визначених коренів. Оскільки маємо два корені рівняння, додамо їх:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Многогранники. Координати та вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку просторової уяви, уміння визначати відстані між двома точками з відомими координатами, знання властивостей піраміди.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди.

Проведімо апофему \(SK\), довжину якої треба визначити на вимогу задачі.

Побудуймо висоту піраміди \(SO.\) Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то її основою є квадрат, а основа висоти піраміди (точка \(O\)) проєктується в центр квадрата (точку перетину його діагоналей).

За рисунком основа піраміди лежить у координатній площині \(xy\), тож висота \(SO\) піраміди дорівнюватиме модулю координати \(z\) вершини \(S\) піраміди \begin{gather*} SO=|z|=11. \end{gather*}

З’єднаймо основу висоти піраміди (точку \(O\)) з основою проведеної апофеми (точкою \(K\)). Відрізок \(OK\) – перпендикуляр до ребра \(CD\), на якому лежить точка \(K.\) За умовою ребро \(CD\) лежить на осі \(x.\) Відстань від точки \(O\) до осі \(x\) дорівнюватиме модулю координати y точки \(O\), яка збігається з координатою \(y\) вершини \(S{:}\) \begin{gather*} OK=|y|=|-4|=4. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOK\) \((\angle SOK=90^\circ)\), у якому: довжина катета \(SO\) дорівнює \(11\), довжина катета \(OK\) дорівнює \(4\), довжина гіпотенузи \(SK\) невідома. Використаймо теорему Піфагора, щоб визначити довжину гіпотенузи \(SK{:}\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі.

Складімо таблицю.

Нехай уся робота \((A)\), яку треба виконати (нарізати всі продукти для салату), буде одиницею \((1).\)

У стовпчик із часом запишімо відомий час, за який мама і тато окремо самотужки нарізають всі продукти. Час, за який мама і тато разом нарізають всі продукти, позначмо \(x.\)

Продуктивність \((N)\) – це відношення роботи, яку треба виконати, до часу, за який цю роботу виконано: \begin{gather*} N=\frac At. \end{gather*}

Сума індивідуальної продуктивності мами й індивідуальної продуктивності тата дорівнюватиме їхній спільній продуктивності, тож складімо рівняння: \begin{gather*} \frac 13+\frac 16=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині зводимо дроби до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac 26+\frac 16=\frac 1x;\\[6pt] \frac 36=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(2\), для цього і чисельник, і знаменник дробу розділімо на \(2{:}\) \begin{gather*} \frac 12=\frac 1x. \end{gather*}

Чисельники дробів однакові. Щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими їхні знаменники: \begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

Запишімо \(25\) як \(5^2{:}\) \begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\), щоб розкрити дужки:

Запишімо число \(2\), на яке множимо логарифм, у степінь аргумента цього логарифма, використавши тотожність:

Використаймо основну логарифмічну тотожність:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутних рівнобедрених трикутників.

I. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\), тож сума його гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\) Оскільки трикутник \(ABC\) також рівнобедрений, то \(\angle A=\angle B=45^\circ.\) Відповідно жоден кут цього трикутника не може дорівнювати \(50^\circ.\) Твердження неправильне.

II. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\) і рівнобедрений \((AC=BC)\), тож бісектриса кута \(C\), проведена до гіпотенузи, також є висотою і медіаною. Медіана, проведена до гіпотенузи в прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи й радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. Твердження правильне.

III. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\), тож висота, проведена з гострого кута \(A\), дорівнює довжині сторони \(AC\), висота, проведена з гострого кута \(B\), дорівнює довжині сторони \(BC.\) Трикутник \(ABC\) також рівнобедрений \((AC=BC)\), тому висоти, проведені з його гострих кутів, теж рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні функції та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область визначення логарифмічної функції.

Розв’яжімо нерівність методом інтервалів: \begin{gather*} x^2-12x+11\gt 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності. Для цього ліву частину прирівняймо до нуля: \begin{gather*} x^2-12x+11=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-b,\\ x_1\cdot x_2=c. \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=12,\\ x_1\cdot x_2=11. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(x_1=11\), \(x_2=1\), оскільки сума чисел \(11\) й \(1\) дорівнює \(12\), а їхній добуток становить \(11.\)

Накреслімо числову пряму, на якій виколотими точками, оскільки нерівність строга, позначмо нулі лівої частини нерівності: \(1\), \(11.\)

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Оскільки ліва частина нерівності за умовою завдання більша за нуль, то у відповіді запишемо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати взаємне розміщення площин у просторі.

А Площини перетинаються по прямій \(MK{:}\)

Б Площини перетинаються по прямій \(ML{:}\)

\begin{gather*} ABC\cap MKN=ML. \end{gather*}

B Площини перетинаються по прямій \(PQ{:}\)

\begin{gather*} B_1D_1D\cap MKN=PQ. \end{gather*}

Г Продовживши зображення площин, можна побачити, що вони перетинаються по прямій \(GF{:}\)

\begin{gather*} AA_1B_1\cap MKN=GF. \end{gather*}

Д Площини \(AA_1C_1\) та \(MKN\) паралельні:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо \(\left(\frac 12\right)^{x+3}\) на \((2^{-1})^{x+3}\), скориставшись формулою \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\)

За властивістю степеня:

У лівій частині за властивістю степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(2\)), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо \(-3\) праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на \(-1{:}\) \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості чотирикутника, у який можна вписати коло.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін:

Обчислімо суму довжин двох відомих протилежних сторін заданого чотирикутника:

Відомо, що в цей чотирикутник вписано коло. У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

Тоді сума двох інших протилежних сторін \(BC\) й \(AD\) заданого чотирикутника також дорівнюватиме \(27\) см:

Уже відомі суми протилежних сторін чотирикутника: \(AB\), \(CD\) і \(BC\), \(AD.\) Щоб обчислити його периметр, треба додати дві відомі суми:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати комбінаторне правило множення для розв’язання практичних задач.

Усього є \(10\) цифр: \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\); \(8\); \(9.\)

Відомо, що на першому місці в числі може стояти будь-яка цифра, але не нуль. Є дев’ять цифр, які відповідають цій умові: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\); \(8\); \(9.\) Отже, маємо \(9\) варіантів вибору першої цифри.

На другому місці може стояти парна цифра. Усього є п’ять парних цифр: \(0\); \(2\); \(4\); \(6\); \(8.\) Отже, для вибору другої цифри є п’ять варіантів.

На третьому місці може стояти будь-яка цифра. Оскільки вже визначили, що всього є десять цифр, то маємо десять варіантів вибору третьої цифри.

На четвертому місці може стояти будь-яка цифра, тож маємо десять варіантів вибору четвертої цифри.

Треба вибрати цифру і для першого місця в числі, і для другого, і для третього, і для четвертого. Тому кількості варіантів маємо перемножити за правилом добутку, оскільки є сполучник і:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо \(\frac{b^2}{2c}\) ліворуч, \(a\) – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на \(-1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину \(b+a\), для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2(a+b){:}\) \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього \(2\) помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) – ребра основи.

Отже, \(HD\) є ребром основи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

Знайдемо дискримінант рівняння:

Додатне значення \(m\), при якому рівняння має два різних кореня \(m\gt 6.\)

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

Підставмо значення \(x_2\) у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16;\\[7pt] (m+1)(m-5)=16;\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0;\\[7pt] m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ne m\gt 6. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, додатне значення \(m=7.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=6\) см.

Відповідь: \(36.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати задачі, використовуючи комбінацї та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

Виберімо \(4\) білі троянди з \(13\) наявних.

Використаймо формулу:

Виберімо \(1\) жовту троянду з \(8\) наявних.

Тут усе просто: вибрати \(1\) об'єкт із \(8\) наявних можна \(8\) способами:

Оскільки нам треба вибрати \(4\) білі й \(1\) жовту троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(5720.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

За означенням, якщо \(F(x)\) є первісною для \(f(x)\), то похідна від первісної дорівнює самій функції: \begin{gather*} F'(x)=f(x). \end{gather*}

Для цього обчислімо похідну від заданої функції \(F(x)=4x^3-3x^2+9{:}\)

Тепер підставмо число \(2\) замість \(x\) у цю формулу функції:

Відповідь: \(36.\)