Національний мультитест з математики - тести для підготовки до ЗНО, починаючи з 200

Національний мультитест. Тема «Національний мультитест з математики». Всі запитання починаючи з 200

201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400 ▶

Завдання 201 з 986

Олег збирався протягом вихідного дня купити продукти, прибрати, відвідати спортзал, підготувати доповідь і відповісти на лист. Згодом він вирішив вибрати лише три справи із цих п'яти, але обов'язково прибрати в кімнаті. Скільки всього в Олега є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

В Олега було $5$ справ:

Купити продукти.
Прибрати.
Відвідати спортзал.
Підготувати доповідь.
Відповісти на лист.

Він має вибрати $3$ справи, але з однією важливою умовою: прибирання має бути обов'язковим.

Оскільки прибрати – це вже зафіксований вибір ($1$ справа), треба вибрати ще $2$ справи з тих, що залишилися.

Тобто треба вибрати $2$ справи із $4$ навмання. Для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $2$ справи із $4{:}$

\begin{gather*} C_4^2=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}=2\cdot 3=6. \end{gather*}

Отже, Олег має $6$ варіантів вибору трьох справ за умови, що одна з них – прибирання.

Відповідь: $6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37525

Завдання 202 з 986

Обчисліть значення похідної функції $y=-2x^3+\dfrac{10}{x}-14$ у точці $x_0=2.$

Впишіть відповідь:

-26.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію $f(x)$ у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0, n\in N;\\[6pt] \frac 1x=x^{-1}. \end{gather*}

Отже, функцію $y$ можна записати у вигляді:

\begin{gather*} y=-2x^3+10x^{-1}-14. \end{gather*}

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha\ \text{– сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[7pt] y'=-2\cdot 3x^{3-1}+10\cdot (-1)x^{-1-1}-0;\\[6pt] y'=-6x^2-10x^{-2}=-6x^2-\frac{10}{x^2}. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної, підставивши $x_0=2$ в отриманий вираз:

\begin{gather*} y'(2)=-6\cdot 2^2-\frac{10}{2^2}=-6\cdot 4-\frac{10}{4}=-24-2{,}5=-26{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $-26{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37524

Завдання 203 з 986

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C=90^\circ$, $\angle B=22^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK=KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$22^\circ$

Б$36^\circ$

В$46^\circ$

Г$68^\circ$

Д$74^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ сума гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

$\angle B+\angle A=90^\circ$, $\angle B=22^\circ$, тому $\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.$ $\angle BAC=68^\circ.$

Отже, 1 – Г.

2. За умовою $AK=KB$, тож трикутник $AKB$ – рівнобедрений з основою $AB.$ У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

\begin{gather*} \angle KBA=\angle KAB=68^\circ. \end{gather*}

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBC+\angle CBA;\\[7pt] \angle KBC=\angle KAB-\angle CBA=68^\circ-22^\circ=46^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO$ – медіана, $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, $KO$ – висота, $KO\!\perp\!AB.$

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-68^\circ=22^\circ. \end{gather*}

$\Delta ACB$ – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37523

Завдання 204 з 986

Доберіть до функції (1–3) властивість її графіка (А – Д).

Функція

1$y=\cos x$

2$y=-\frac 2x$

3$y=2^x$

Властивість графіка функції

Апроходить черз точку $(1; 0)$

Бне перетинає вісь $y$

Всиметричний відносно осі $y$

Грозміщений лише в І та ІІ координатних чвертях

Дрозміщений лише в І та ІV координатних чвертях

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. $y=\cos x.$

Функція парна $\cos(-x)=\cos x$, тому її графік симетричний відносно осі $Oy.$ Отже, 1 – B.

2. Функція $y=-\frac 2x$ має графік гіперболу.

Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки $x\ne 0$, то й $y\ne 0.$

Отже, 2 – Б.

3. Показникова функція $y=2^x.$ Функція набуває лише додатних значень.

Оскільки показникова функція набуває лише додатних значень, графік функції може перебувати лише там, де $y\gt 0.$ Це верхня частина координатної площини (над віссю $Ox$).

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, $x\in (-\infty; +\infty)$, графік обов'язково буде в I та II чвертях.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37522

Завдання 205 з 986

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1$\sqrt{(-3)^2}$

2$\sqrt{3}-1$

3$\log_{\frac 13}\sqrt{3}$

Проміжок

А$[-3; -1)$

Б$[-1; 0)$

В$[0; 1)$

Г$[1; 2)$

Д$[2; 3]$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\in [2; 3].$

Отже, правильна відповідь – Д.

\begin{gather*} \sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4};\\[7pt] 1\lt\sqrt{3}\lt 2;\\[7pt] \sqrt{3}\approx 1{,}7;\\[7pt] 1{,}7-1=0{,}7\in [0; 1). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac13}\sqrt{3}=\log_{\textstyle 3^{-1}} 3^{\textstyle \frac 12}=-1\cdot \frac 12\log_3 3=-\frac 12\in [-1; 0). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37521

Завдання 206 з 986

На колі вибрано точки $A$, $B$ i $C$ так, що $\angle ACB=30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину цього кола, якщо довжина меншої дуги $AB$ дорівнює $30$ см.

А$600$ см

Б$180$ см

В$300$ см

Г$240$ см

Д$360$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка $O$ – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} $O$ – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $60^\circ.$ За формулою довжини дуги:

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де $L$ – довжина кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 30=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 30=\frac L6,\\[6pt] L=30\cdot 6=180\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37520

Завдання 207 з 986

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1=2$, $b_2=6.$ Визначте $b_4.$

А$54$

Б$72$

В$12$

Г$18$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії $(q)$, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

\begin{gather*} q=\frac{b_n}{b_{n-1}}.\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac 62=3. \end{gather*}

Застосуймо формулу $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37519

Завдання 208 з 986

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $A(-2; 4; -3).$ Визначте координати точки – проєкції точки $A$ на вісь $z.$

А$(0; 4; -3)$

Б$(0; 0; -3)$

В$(-2; 4; 0)$

Г$(-2; 0; 0)$

Д$(0; 4; 0)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкція точки $A\ (-2; 4; -3)$ на вісь $z$ – точка, у якої абсциса (координата за віссю $Ox$) та ордината (координата за віссю $Oy$) дорівнюють $0$, а апліката (координата за віссю $Oz$) збігається з аплікатою точки $A.$

З-поміж запропонованих варіантів лише точка з координатами $\ (0; 0; -3)$ лежить на осі $z.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37518

Завдання 209 з 986

Визначте найменший цілий розв'язок нерівності $\dfrac x3-\dfrac x2\lt 1.$

А$1$

Б$-1$

В$-6$

Г$-5$

Д$0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на $6{:}$

\begin{gather*} 6\cdot \frac x3-6\cdot \frac x2\lt 6\cdot 1;\\[6pt] 2x-3x\lt 6;\\[7pt] -x\lt 6. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на $–1{:}$

\begin{gather*} x\gt -6. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Найменше ціле число $x$ з інтервалу $x\in (-6; +\infty)$ $-5.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37517

Завдання 210 з 986

Спростіть вираз $\dfrac{(2x-3)^2-9}{x}.$

А$4x-12$

Б$4x-6$

В$4x$

Г$2x-6$

Д$2x-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[6pt] \frac{(2x-3)^2-9}{x}=\frac{4x^2-12x+9-9}{x}=\frac{4x^2-12x}{x}=\\[6pt] =\frac{4x(x-3)}{x}=4(x-3)=4x-12. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37516

Завдання 211 з 986

Дарина купила сир і фрукти, витративши $240$ грн. Скільки грошей (грн) Дарина витратила на фрукти, якщо за сир вона заплатила $\dfrac 35$ від витраченої суми?

А$34$

Б$30$

В$45$

Г$60$

Д$96$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії над ними. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

І спосіб
Спершу з'ясуймо, скільки коштує сир. Для цього помножмо загальну суму витрачених грошей на дріб:

\begin{gather*} 240\cdot \frac 35=\frac{240\cdot 3}{5}=\frac{48\cdot 3}{1}=144\ \text{грн}. \end{gather*}

Для обчислення суми, яку Дарина витратила на фрукти, віднімімо від загальної суми витрачених грошей вартість сиру:

\begin{gather*} 240-144=96\ \text{грн}. \end{gather*}

II спосіб
Визначмо, яку частину від загальної суми витрачених грошей становить вартість фруктів:

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 55-\frac 35=\frac{5-3}{5}=\frac 25. \end{gather*}

Обчислімо вартість фруктів:

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=\frac{240\cdot 2}{5}=48\cdot 2=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37514

Завдання 212 з 986

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{1}{3y}=\dfrac 2x,\\ x-y=30. \end{cases}$
Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$35$

Б$-150$

В$150$

Г$36$

Д$42$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підставлення, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=2\cdot 3y;\\[7pt] x=6y. \end{gather*}

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6y-y=30;\\[7pt] 5y=30;\\[7pt] y=6. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=6\cdot 6;\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел $(36; 6).$

\begin{gather*} x_0+y_0=36+6=42. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37513

Завдання 213 з 986

Кути гострокутного трикутника $ABC$ задовольняють умову $\angle A\lt \angle B\lt \angle C.$ Які з наведених тверджень правильні?

I. $AB$ – найдовша сторона трикутника $ABC.$

II. Трикутник $ABC$ – рівнобедрений.

III. Висота, проведена з вершини $A$, менша за сторону $AC.$

Алише I

Блише IІІ

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута $(\angle C)$ завжди лежить найдовша сторона $(AB).$ $AB$ – найдовша сторона трикутника $ABC.$ Твердження правильне.

II. За умовою $\angle A\lt \angle B\lt \angle C$, тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту $(AH)$ із вершини $A$ до сторони $BC.$ Розгляньмо прямокутний трикутник $AHC$ (де $\angle H=90^\circ$). У цьому трикутнику сторона $AC$ – гіпотенуза, а висота $AH$ – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет $(AC\gt AH)$, то висота дійсно менша за сторону $AC.$ Висота, проведена з вершини $A$, менша за сторону $AC.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37512

Завдання 214 з 986

Функція $y=f(x)$ визначена на проміжку $(-\infty; 0)$ і набуває лише від'ємних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише в III та IV

Блише в IV

Влише в III

Глише в IІ та IІІ

Длише в IІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення $y$ завжди від'ємні, графік функції може перебувати лише там, де $y\lt 0.$ Це нижня частина координатної площини (під віссю $Ox$).

Оскільки функція визначена на $x\in (-\infty; 0)$, графік обов'язково буде в тій зоні, де $x\lt 0$ (це III чверть).

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37510

Завдання 215 з 986

Спростіть вираз $a^6\cdot \sqrt{a^4}$, де $a\ge 0.$

А$a^{5}$

Б$a^{10}$

В$a^{12}$

Г$a^{8}$

Д$a^{7}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{a^4}=a^{\textstyle \frac 42}=a^2,\ a\ge 0.\\[7pt] a^6\cdot a^2=a^{6+2}=a^8. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

\begin{gather*} a^{\textstyle \frac mn}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37509

Завдання 216 з 986

Яке тіло обертання утвориться, якщо прямокутну трапецію обертати навколо її бічної сторони, що містить прямий кут (див. рисунок)?

Аконус

Бкуля

Взрізаний конус

Гциліндр

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання означення конуса як тіла обертання.

Зрізаний конус – це геометричне тіло, утворене частиною конуса, яку отримують, коли відсікають верхню частину конуса, перетнувши його площиною, що паралельна основі.

На малюнку зображено прямокутну трапецію, що обертається навколо осі, яка проходить через бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Під час обертання:

кожна точка трапеції описує коло;
радіус змінюється від більшого (внизу) до меншого (вгорі);
утворюється тіло з двома круговими основами різного радіуса.

Отже, унаслідок обертання прямокутної трапеції навколо цієї сторони утворюється зрізаний конус.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37507

Завдання 217 з 986

З вершини зображеного на рисунку розгорнутого кута $AOB$ проведено два промені $OK$ i $OM$ так, що $\angle KOB=110^\circ$, $\angle MOB=30^\circ.$ Обчисліть градусну міру кута $KOM.$

А$140^\circ$

Б$80^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$90^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

$\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.$

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 110^\circ=\angle KOM+30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=110^\circ-30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37506

Завдання 218 з 986

$3\cdot \left(-\dfrac{1}{15}\right)=$

А$\dfrac{2}{15}$

Б$\dfrac{1}{5}$

В$-5$

Г$\dfrac{44}{15}$

Д$-\dfrac{1}{5} $

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

\begin{gather*} 3\cdot \left(-\frac{1}{15}\right)=-\frac{3\cdot 1}{15}=-\frac{3\cdot 1}{3\cdot 5}=-\frac 15. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37504

Завдання 219 з 986

Площа квадрата становить $96\ \text{см}^2$. Визначте площу зафарбованої частини квадрата (див. рисунок).

А$24\ \text{см}^2$

Б$12\ \text{см}^2$

В$9\ \text{см}^2$

Г$8\ \text{см}^2$

Д$14\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на $4$ рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного із цих трикутників, ділить його ще на $2$ рівновеликі частини.

Отже, площа зафарбованої частини становить $\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18$ від усієї площі квадрата.

Якщо $S=96\ \text{см}^2$, то

\begin{gather*} S_\text{заф. част.}=96\cdot \frac 18=96:8=12\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37503

Завдання 220 з 986

На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів транспортної мережі деякого міста щодо визначення якості пасажирських перевезень (у балах за шкалою $1–10$). Визначте кількість опитуваних, які поставили оцінку, що вища за $8$ балів.

А$19$

Б$100$

В$200$

Г$275$

Д$475$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Треба брати до уваги лише вищі за $8$ балів оцінки, тобто $9$ і $10.$ За діаграмою оцінку $9$ поставили $75$ опитуваних, а оцінку $10$ – $25$ опитуваних.

Обчислімо суму: $75 + 25 = 100.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37502

Завдання 221 з 986

Скільки всього існує цілих значень параметра $a$, за яких графік рівняння $(x-2)^2+(y-2a+3)^2=49$ перетинає вісь $x$ у двох точках?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння та їхні системи з параметрами.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ – це рівняння кола із центром у точці $M(x_0; y_0)$ і радіусом $R.$

Перепишімо рівняння так:

\begin{gather*} (x-2)^2+(y-(2a-3))^2=7^2. \end{gather*}

Це коло із центром у точці $M\ (2; 2a-3)$ і радіусом $R=7.$

Центр кола може рухатися вгору або вниз залежно від значення $a$ (бо змінюється координата $y_0$), але за віссю $x$ він завжди зафіксований на позначці $2.$

Графік перетинає вісь $x$ у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь $x$ – пряма, $y=0.$ Відстань від центра $O\ (2; y_0)$ до осі $x$ – модуль координати $y_0{:}$

\begin{gather*} |y_0|\lt R;\\[7pt] |2a-3|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a-3\lt 7,\\ 2a-3\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 7+3,\\ 2a\gt -7+3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 10,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 5,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто $a\in (-2; 5).$

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: $\{-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4\}$.

Усього таких значень шість.

Відповідь: $6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37476

Завдання 222 з 986

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $140\sqrt{3}.$ Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює $7\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

4200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо меншу діагональ $(BD)$ основи.

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=DD_1=7\sqrt{3}).$ Оскільки переріз менший, він проходить через меншу діагональ ромба $(BD).$

Формула для обчислення площі перерізу:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо меншу діагональ:

\begin{gather*} BD=\frac{ S_{BB_1D_1D}}{DD_1}=\frac{140\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=20. \end{gather*}

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. Отже, сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $AD=BD=20$ см (оскільки $\Delta ABD$ рівносторонній).

Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}){:}$

Площу ромба обчислімо за формулою через сторону $(a)$ та синус кута між ними:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2\cdot \sin 60^\circ;\\[6pt] S_\text{осн}=20^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм призми обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=200\sqrt{3}\cdot 7\sqrt{3}=200\cdot 7\cdot (\sqrt{3})^2=1400\cdot 3=4200. \end{gather*}

Відповідь: $4200.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37475

Завдання 223 з 986

Автомобільний шлях має $5$ перехресть. Перед кожним перехрестям автомобіль або зупиняється, або проїжджає перехрестя без зупинки. Скільки всього варіантів проїжджання автомобілем через ці перехрестя?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння застосовувати правило добутку в розв’язуванні комбінаторних задач.

На кожному з 5 перехресть автомобіль має лише $2$ варіанти дії:

зупинитися;
проїхати без зупинки.

Щоб обчислити загальну кількість способів, треба перемножити кількість варіантів для кожного перехрестя:

\begin{gather*} 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5=32\ \text{варіанти}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ – $m$ способами, то пару $A$ і $B$ можна вибрати $n\cdot m$ способами.

Відповідь: $32.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37474

Завдання 224 з 986

На рисунку зображено графік неперервної на відрізку $[0; 5]$ функції $y=f(x).$ Площа геометричних фігур $A$, $B$ i $C$, обмежених віссю $x$ та графіком цієї функції, дорівнюють $6{,}3$ кв. од., $5{,}4$ кв. од. та $4$ кв. од. відповідно. Обчисліть $\mathop{\int}\limits_0^5 (f(x)+4)\ dx.$

Впишіть відповідь:

24.9

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє навички інтерпретування геометричного змісту визначеного інтеграла та вміння обчислювати площі фігур, обмежених графіками функцій.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 (f(x)+4)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^5 4\ dx. \end{gather*}

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx =F(x)\ |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де $f(x)$ – це неперервна функція на проміжку $[a; b]$, а $F(x)$ – її первісна.

Обчислімо $\displaystyle \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx.$

Згідно з геометричним змістом, визначений інтеграл дорівнює алгебричній сумі площ фігур, обмежених графіком функції та віссю $Ox:$

якщо фігура лежить над віссю (як $A$ та $C$), її площу додають;
якщо фігура лежить під віссю (як $B$), її площу віднімають.

Отже,

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx= S_A-S_B+S_C=6{,}3-5{,}4+4=4{,}9\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Обчислімо:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 4\ dx=4x\ |_0^5=4\cdot 5-4\cdot 0=20\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Додамо отримані значення:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_0^5 (f(x)+4)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^5 4\ dx=4{,}9+20=24{,}9\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: $24{,}9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37473

Завдання 225 з 986

У паралелограмі $ABCD$ на середині сторони $BC$ вибрано точку $K$ так, що $AK\!\perp\!KD$, $KP$ – висота паралелограма (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $AP=18$ см, $PD=8$ см.

Відрізок

1$KC$

2середня лінія трапеції $KCDP$

3$KP$

Довжина відрізка

А$10{,}5$ см

Б$11$ см

В$12$ см

Г$12{,}5$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. $KC.$ У паралелограмі протилежні сторони рівні:

$AD=BC;$

\begin{gather*} AD=AP+PD=18+8=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $BC=26$ см.

Оскільки точка $K$ – середина $BC{:}$

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції $KCDP.$

Розгляньмо чотирикутник $KCDP.$ Сторони $KC\!\parallel\!PD$ (як частини основ паралелограма), а $KP\!\nparallel\!PD.$ Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. $KP.$ Розгляньмо трикутник $AKD.$ За умовою він прямокутний $(\angle AKD=90^\circ)$, а $KP$ – його висота, проведена до гіпотенузи $AD.$ За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37472

Завдання 226 з 986

До початку (1–3) речення доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=\log_2 x$

2Функція $y=x^2-4x-4$

3Функція $y=\frac 1x$

Закінчення речення

Ане визначена за $x=-2.$

Бнабуває від'ємного значення за $x=2.$

Внепарна.

Гспадає на проміжку $(-\infty; 4].$

Дзростає на проміжку $(-\infty; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. $y=\log_2 x$ логарифмічна функція з основою $a=2.$

Функція визначена лише за $x\gt 0$, отже, вона не визначена за $x=-2.$ Отже, 1 – А.

2. $y=x^2-4x-4$ квадратична функція, графік якої – парабола.

Обчислімо значення функції за $x=2{:}$

\begin{gather*} y(2)=2^2-4\cdot 2-4=4-8-4=-8. \end{gather*}

Оскільки $-8\lt 0$, функція набуває від'ємного значення за $x=2.$ Отже, 2 – Б.

3. Функція $y=\dfrac 4x$ непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37471

Завдання 227 з 986

До початку (1–3) речення доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n\gt 0.$

Початок речення

1Якщо $\dfrac na=3$, то

2Якщо $1+\log_3 n=\log_3 a$, то

3Якщо $3^n\cdot 3=3^a$, то

Закінчення речення

А$a=3n.$

Б$a=n+1.$

В$a=n+3.$

Г$a=\dfrac 3n.$

Д$a=\dfrac n3.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня із цілим показником, а також уміння здійснювати тотожні перетворення раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо $\dfrac na=3$, то

\begin{gather*} n=3a;\\[6pt] a=\frac n3. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Якщо $1+\log_3 n=\log_3 a$, то

\begin{gather*} \log_3 3+\log_3 n=\log_3 a;\\[7pt] \log_3 3n=\log_3 a;\\[7pt] a=3n. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Якщо $3^n\cdot 3=3^a$, то

\begin{gather*} 3^n\cdot 3^1=3^a;\\[7pt] 3^{n+1}=3^a;\\[7pt] a=n+1. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^1=a;\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37470

Завдання 228 з 986

Визначте корінь рівняння $\mathrm{tg}\ \dfrac x3=0.$

А$3\pi$

Б$-\frac{3\pi}{2}$

В$\frac{\pi}{3}$

Г$\frac{2\pi}{3}$

Д$\frac{3\pi}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\frac x3=0;\\[6pt] \frac x3=\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=3\pi n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо $n=0$, то $x=0.$

Якщо $n=1$, то $x=3\pi.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37469

Завдання 229 з 986

В арифметичній прогресії $(a_n)$ $a_1=2{,}9$, $a_2=2{,}2.$ Який найменший додатний член цієї прогресії?

А$0{,}1$

Б$0{,}2$

В$0{,}3$

Г$0{,}4$

Д$0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії $(d){:}$

\begin{gather*} d=a_2-a_1=2{,}2-2{,}9=-0{,}7. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1)$ обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії $n=5.$

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

\begin{gather*} a_5=2{,}9+(-0{,}7)(5-1)=2{,}9-0{,}7\cdot 4=2{,}9-2{,}8=0{,}1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37468

Завдання 230 з 986

Рівнобедрений трикутник $ABC\ (AB=BC)$ вписано в коло (див. рисунок). Визначте градусну міру меншої дуги $AB$, якщо $\angle ABC=20^\circ.$

А$170^\circ$

Б$80^\circ$

В$70^\circ$

Г$160^\circ$

Д$140^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі та вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою $AB=BC$, тож трикутник $\Delta ABC$ – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: $\angle BAC=\angle BCA.$

Сума кутів трикутника – $180^\circ.$ Отже,

\begin{gather*} \angle BCA=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ. \end{gather*}

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки $\angle BCA=80^\circ$ і він спирається на дугу $\overset{\smile}{AB}$, то сама дуга вдвічі більша:

\begin{gather*} \overset{\smile}{AB}=80^\circ \cdot 2=160^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37467

Завдання 231 з 986

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} xy-2x=3,\\ xy=2x-y+11. \end{cases}$

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$8$

Б$8{,}5$

В$0{,}5$

Г$4$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

З першого рівняння виразімо добуток $xy{:}$

\begin{gather*} xy=2x+3. \end{gather*}

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння:

\begin{gather*} 2x+3=2x-y+11;\\[7pt] 2x-2x+y=11-3;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставмо $y=8$ в перше рівняння:

\begin{gather*} 8x=2x+3;\\[7pt] 8x-2x=3;\\[7pt] 6x=3;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

$(0{,}5; 8)$ – розв'язок системи.

Обчислімо добуток:

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=0{,}5\cdot 8=4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37466

Завдання 232 з 986

Спростіть вираз $\dfrac{27a^3b-12ab}{9a^3b^2-6a^2b^2}.$

А$\frac{2}{ab}$

Б$\frac{3a-2}{ab}$

В$\frac{3a+2}{ab}$

Г$ab$

Д$\frac{1}{ab}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{27a^3b-12ab}{9a^3b^2-6a^2b^2}=\frac{3ab(9a^2-4)}{3a^2b^2(3a-2)}=\frac{3ab(3a-2)(3a+2)}{3a^2b^2(3a-2)}=\frac{3a+2}{ab}. \end{gather*}

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37465

Завдання 233 з 986

Позначте формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні циліндра, висота й радіус основи дорівнюють $R.$

А$S=\pi R^3$

Б$S=\frac{\pi R^3}{3}$

В$S=\pi R^2$

Г$S=2\pi R^2$

Д$S=\frac{\pi R^2}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH. \end{gather*}

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти циліндра $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37464

Завдання 234 з 986

У довільний трикутник $ABC$ вписано коло із центром у точці $O$; точки $K$, $L$, $M$ – точки дотику (див. рисунок). Які з наведених тверджень правильні?

I. Трикутник $AOK$ прямокутний.

II. Трикутник $BKL$ рівнобедрений.

III. Трикутники $MOK$ і $LOC$ рівні.

Алише IІ

Блише IІІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник $AOK$ прямокутний.

Точка $K$ – це точка дотику кола до сторони $AB.$ За властивістю дотичної радіус $OK$, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної $(OK\!\perp\!AB).$ Оскільки $\angle OKA=90^\circ$, трикутник $AOK$ прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник $BKL$ рівнобедрений.

Відрізки $BK$ та $BL$ – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки $B$. За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою $(BK=BL).$ Оскільки дві сторони трикутника рівні, то $\Delta BKL$ рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники $MOK$ і $LOC$ рівні.

У трикутнику $MOK$ сторони $OM$ та $OK$ – це радіуси кола $(OM=OK).$ У трикутнику $LOC$ одна зі сторін – радіус $OL$, а сторона $OC$ з'єднує центр із вершиною трикутника.

$\Delta MOK$ завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а $\Delta LOC$ – прямокутний $(\angle OLC=90^\circ).$ Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37463

Завдання 235 з 986

Функція $y=f(x)$ визначена на проміжку $(-\infty; +\infty)$ і набуває лише додатних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише в I та IV

Блише в ІІ

Влише в III та IV

Глише в I та II

Длише в I

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати розташування графіка функції в координатних чвертях.

Оскільки за умовою значення $y$ завжди додатне, графік функції може перебувати лише там, де $y\gt 0.$ Це верхня частина координатної площини (над віссю $Ox$).

Функція визначена на всій числовій прямій, $x\in (-\infty; +\infty)$, тож графік обов'язково буде і в тій зоні, де $x\gt 0$ (це I чверть), і в тій зоні, де $x\lt 0$ (це II чверть).

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37462

Завдання 236 з 986

Обчисліть $3\cdot \sqrt{(-3)^2}.$

А$9$

Б$-9$

В$-27$

Г$6$

Д$27$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння піднести до квадрата вираз, що містить ірраціональне число.

Для розв’язання завдання треба знати властивість арифметичного квадратного кореня й означення модуля:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|; \\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a, \quad \text{якщо } a \ge 0; \\ -a, \quad \text{якщо } a < 0; \end{array}\right. \\[7pt] 3 \cdot \sqrt{(-3)^2} = 3 \cdot |-3| = 3 \cdot 3 = 9. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37461

Завдання 237 з 986

Сфера із центром у точці $O(-2; -4; 3)$ проходить через точку $A(3; -1; 2).$ Який діаметр цієї сфери?

А$\sqrt{35}$

Б$3\sqrt{3}$

В$2\sqrt{51}$

Г$6\sqrt{3}$

Д$2\sqrt{35}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками у просторі та властивостей сфери.

Сфера – це множина точок, віддалених від центра на однакову відстань – радіус $(R).$

Якщо сфера із центром у точці $O$ проходить через точку $A$, то відстань між цими точками – радіус сфери:

$R=OA.$

За формулою відстані між двома точками $M_1\ (x_1; y_1; z_1)$ та $M_2\ (x_2; y_2; z_2)$ простору:

\begin{gather*} M_1M_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \end{gather*}

Підставмо координати точок $O\ (-2; -4; 3)$ та $A\ (3; -1; 2){:}$

\begin{gather*} OA=\sqrt{(3-(-2))^2+(-1-(-4))^2+(2-3)^2}=\\[7pt] =\sqrt{(3+2)^2+(-1+4)^2+(2-3)^2}=\\[7pt] =\sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{25+9+1}=\sqrt{35}. \end{gather*}

Отже, радіус сфери $R=\sqrt{35}.$

Щоб обчислити діаметр ($D$), треба помножити радіус на $2{:}$

\begin{gather*} D=2R=2\sqrt{35}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37460

Завдання 238 з 986

Обчисліть довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють $7$ м і $12$ м.

А$9{,}5$ м

Б$8{,}5$ м

В$5$ м

Г$19$ м

Д$6$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання формули середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

За властивістю середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} KM\ ||\ BC\ ||\ AD;\\[6pt] KM=\frac 12(BC+AD);\\[6pt] KM=\frac 12(7+12)=\frac 12\cdot 19=\frac{19}{2}=9{,}5\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37459

Завдання 239 з 986

Розв'язком нерівності $x^2-9\lt 0$ є число

А$-4$

Б$3$

В$4$

Г$2$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Квадратні нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Для розв’язання квадратної нерівності використаймо ескіз графіка квадратичної функції $y=ax^2+bx+c.$ Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи – вгору $(a\gt 0)$ чи вниз $(a\lt 0)$, та абсциси точок перетину з віссю $Ox:$

\begin{gather*} x^2-9\lt 0;\\[7pt] y=x^2-9;\\[7pt] a=1\gt 0.\end{gather*}

Отже, вітки параболи напрямлені вгору.

Розв’яжімо рівняння $x^2-9=0.$

Розкладімо на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (x-3)(x+3)=0;\\[7pt] x_1=3\ \text{та}\ x_2=-3.\end{gather*}

Це – нулі функції $y=x^2-9.$

Побудуймо ескіз графіка функції.

\begin{gather*} x\in\ (-3; 3). \end{gather*}

З наведених чисел лише число $2\in (-3; 3).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37458

Завдання 240 з 986

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте залу кінотеатру, яку відвідало найбільше глядачів.

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Треба знайти залу, яку відвідало найбільше глядачів, тобто відшукати найвищий стовпчик на графіку.

А Біла зала: стовпчик сягає позначки $55.$
Б Блакитна зала: стовпчик сягає позначки $40.$
В Жовта зала: стовпчик сягає позначки $35.$
Г Зелена зала: стовпчик сягає позначки $20.$
Д Фіолетова зала: стовпчик сягає позначки $45.$

Отже, найбільше глядачів відвідало білу залу:

\begin{gather*} 20\lt 35\lt 40\lt 45\lt 55. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37457

Завдання 241 з 986

Одна ручка коштує $5$ грн, а набір із трьох ручок – $10$ грн. Покупець придбав $80$ ручок. Якою буде найменша сума, яку він заплатить за покупку?

А$260$ грн

Б$270$ грн

В$280$ грн

Г$300$ грн

Д$400$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Покупець хоче якнайдешевше придбати $80$ ручок. Має два варіанти:

$1$ ручка – $5$ грн;
набір із $3$ ручок – $10$ грн.

Що вигідніше?

Якщо купити $3$ ручки окремо:

\begin{gather*} 3\cdot 5=15\ \text{грн}. \end{gather*}

А набір із $3$ ручок коштує $10$ грн, тобто дешевше на $5$ грн.

Отже, вигідніше максимально купувати наборами, а не по одній ручці.

Обчислімо кількість повних наборів, які можна придбати в межах потрібної кількості ручок:

\begin{gather*} 80:3=26\ (\text{остача}\ 2). \end{gather*}

Отже, покупець може купити $26$ наборів, а ще $2$ ручки йому доведеться докупити окремо.

Обчислімо вартість:

$26$ наборів: $26\cdot 10=260$ грн.

$2$ ручки окремо: $2\cdot 5=10$ грн.

\begin{gather*} 260+10=270\ \text{грн}. \end{gather*}

Чому невигідно купувати всі ручки по $5$ грн?

Бо вартість покупки буде більшою:

\begin{gather*} 80\cdot 5=400\ \text{грн}. \end{gather*}

А купівля наборами коштуватиме покупцеві $270$ грн, що значно дешевше.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37456

Завдання 242 з 986

Спростіть вираз $7ab^2\cdot ab^2.$

А$8ab^2$

Б$7ab^4$

В$7a^2b^4$

Г$8a^2b^4$

Д$7ab^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степеня та вміння виконувати множення одночленів.

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами. Основу залишмо без змін, а показники додамо:

\begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*}

де $a$ – будь-яке число, $n$ і $m$ – натуральні числа.

\begin{gather*} 7ab^2\cdot ab^2=7\cdot a\cdot a\cdot b^2\cdot b^2=7\cdot a^{1+1}\cdot b^{2+2}=7a^2b^4. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 740. Запитання: 37455

Завдання 243 з 986

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-2)x+4m-3=0$ на $4$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

\begin{gather*} x^2-(2m-2)x+4m-3=0;\\[7pt] x_1=x_2+4. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У завданні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=4m-3. \end{gather*}

За теоремою Вієта та умовою завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-2,\\ x_1=x_2+4,\\ x_1\cdot x_2=4m-3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $x_1=x_2+4$ у перше рівняння системи:

\begin{gather*} x_2+4+x_2=2m-2;\\[7pt] 2x_2=2m-2-4;\\[7pt] 2x_2=2m-6;\\[6pt] x_2=\frac{2m-6}{2}=\frac{2(m-3)}{2};\\[6pt] x_2=m-3. \end{gather*}

Тепер визначмо $x_1{:}$

\begin{gather*} x_1=x_2+4=m-3+4=m+1. \end{gather*}

Підставмо ці значення в рівняння $x_1\cdot x_2=4m-3{:}$

\begin{gather*} (m+1)\cdot (m-3)=4m-3;\\[7pt] m^2-3m+1m-3-4m+3=0;\\[7pt] m^2-6m=0;\\[7pt] m(m-6)=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m=0,\\ m=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки за умовою потрібне додатне значення, вибираємо $6.$

Відповідь: $6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37399

Завдання 244 з 986

Діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди – рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює $72\sqrt{3}.$ Визначте площу основи цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи $(d).$ За умовою трикутник рівносторонній.

\begin{gather*} S_\Delta=72\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною $d$ обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} \frac{d^2\cdot \sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3};\\[6pt] d^2\cdot\sqrt{3}=72\sqrt{3}\cdot 4;\\[7pt] d^2\cdot \sqrt{3}=288\sqrt{3};\\[7pt] d^2=288. \end{gather*}

Основа піраміди – квадрат. Діагональ $d$ ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} a^2+a^2=d^2;\\[7pt] 2a^2=d^2;\\[6pt] a^2=\frac{d^2}{2};\\[6pt] a^2=\frac{288}{2}=144. \end{gather*}

Площа основи (квадрата):

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37398

Завдання 245 з 986

Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із $5$ різних книг, у якому $2$ збірники олімпіадних задач і $3$ науково-популярні книжки. Скільки всього є варіантів формування такого комплекту, якщо в наявності $8$ різних збірників і $10$ різних науково-популярних книжок?

Впишіть відповідь:

3360

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $2$ збірники з $8{:}$

\begin{gather*} C_{8}^2=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\frac{7\cdot 8}{1\cdot 2}=7\cdot 4=28. \end{gather*}

Кількість способів вибрати $3$ науково-популярні книжки з $10{:}$

\begin{gather*} C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}=\\[6pt] =\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=4\cdot 3\cdot 10=120. \end{gather*}

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Відповідь: $3360.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37397

Завдання 246 з 986

Студент вивчав японську мову за такою методикою: першого дня він запам'ятав $6$ ієрогліфів, а кожного наступного дня – на $2$ ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав студент за $25$ днів від початку вивчення японської мови?

Впишіть відповідь:

750

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n$ перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
$a_1=6$ (кількість ієрогліфів у перший день);
$d=2$ (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
$n=25$ (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за $n$ днів використаймо формулу суми перших $n$ членів і формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] a_n=a_1+d(n-1).\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{25}=\frac{2\cdot 6+2(25-1)}{2}\cdot 25=\frac{12+2\cdot 24}{2}\cdot 25=\\[6pt] =\frac{12+48}{2}\cdot 25=\frac{60}{2}\cdot 25=30\cdot 25=750. \end{gather*}

Відповідь: $750.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37396

Завдання 247 з 986

На рисунку зображено коло із центром у точці $O$, $AB$ – діаметр кола. Пряма $a$ – дотична до кола й перетинає продовження діаметра $AB$ в точці $K$, а $C$ – точка дотику. Доберіть до величини (1–3) її значення (А – Д), якщо $\overset{\smile}{AC}=130^\circ.$

Величина

1$\overset{\smile}{CB}$

2$\angle CKA$

3$\angle ABC$

Значення величини

А$30^\circ$

Б$40^\circ$

В$50^\circ$

Г$65^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. $\overset{\smile}{CB}.$ Оскільки $AB$ — це діаметр, він ділить коло навпіл. Отже, вся дуга $ACB$ (півколо) дорівнює $180^\circ.$

\begin{gather*} \overset{\smile}{CB}=\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{AC}=180^\circ -130^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — B.

2. $\angle CKA.$

Радіус $OC$, проведений у точку дотику $C$, завжди перпендикулярний до дотичної $CK.$

Тобто $\angle OCK=90^\circ.$ Кут $\angle COB$ є центральним кутом, що спирається на дугу $\overset{\smile}{CB}.$

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: $\angle COB=\overset{\smile}{CB}=50^\circ.$ У прямокутному трикутнику $\Delta OCK$ сума гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

\begin{gather*} \angle CKA=90^\circ-\angle COK=90^\circ-50^\circ=40^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Б.

3. $\angle ABC.$

Кут $\angle ABC$ є вписаним кутом, що спирається на дугу $\overset{\smile}{AC}.$ Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.

\begin{gather*} \angle ABC=\frac 12\cdot \overset{\smile}{AC}=\frac 12\cdot 130^\circ=\frac{130^\circ}{2}=65^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37395

Завдання 248 з 986

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1$y=x^2-2$

2$y=3^x$

3$y=x^3$

Властивість

Апроходить через початок координат

Бне містить точок $(x_0; y_0)$ з від'ємною ординатою $y_0$

Вне має спільних точок із віссю $y$

Гдвічі перетинає графік прямої $y=3$

Дграфік функції розташований лише в І координатній чверті

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Побудуймо задані графіки функцій.

Оскільки графіком функції $y=x^2-2$ є парабола з вершиною в точці $(0; -2)$, вітки якої напрямлені вгору, то вона двічі перетинає графік прямої $y=3.$ Отже, правильна відповідь – Г.

$y=3^x.$ Показникова функція вигляду $a^x$ завжди набуває лише додатних значень $(y\gt 0)$ за будь-яких $x.$ Отже, правильна відповідь – Б.

$y=x^3$ – це кубічна парабола. Якщо $x=0$, $y=0^3=0$, то графік проходить через початок координат – точку $(0; 0).$ Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37394

Завдання 249 з 986

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1$\dfrac{\pi}{2}$

2$\sin \pi$

3$\log_{\pi} \dfrac{1}{\pi}$

Проміжок

А$[-2; -1)$

Б$[-1; 0)$

В$[0; 1)$

Г$[1; 2)$

Д$[2; 3)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. $\pi\approx 3{,}14$

\begin{gather*} \frac{\pi}{2}\approx \frac{3{,}14}{2}\approx 1{,}57. \end{gather*}

Число $1{,}57$ належить проміжку $[1; 2).$ Отже, правильна відповідь – Г.

2. $\sin \pi=0$

Число $0$ належить проміжку $[0; 1).$ Отже, правильна відповідь – В.

3. За властивістю степеня:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[6pt] \log_{\pi} \frac{1}{\pi}=\log_{\pi} \pi^{-1}=-1\cdot \log_{\pi} \pi=-1. \end{gather*}

Число $-1$ належить проміжку $[-1; 0).$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37393

Завдання 250 з 986

Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом $60^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього прямокутника, якщо менша з його сторін $4$ см завдовжки.

А$8$ см$^2$

Б$8\sqrt{3}$ см$^2$

В$16$ см$^2$

Г$16\sqrt{3}$ см$^2$

Д$32$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOB$ – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині $\angle AOB=60^\circ$, то кути при основі також по $60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).$ Отже, трикутник $ABO$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BO=AO=4\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $AO$ — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).$ Гіпотенуза $AC=8$ см і катет $AB=4$ см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони $BC{:}$

\begin{gather*} BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника $ABCD{:}$

\begin{gather*} S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37392

Завдання 251 з 986

Скільки всього коренів рівняння $\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ належать проміжку $[0; \pi]$?

Ажодного

Бодин

Втри

Гдва

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння $\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\frac{\pi}6+\pi n,\ \text{де}\ n\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення $n$, за яких $x$ потрапляє в проміжок $[0; \pi].$

Якщо $n=0$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо $n=1$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо $n=-1$, то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37391

Завдання 252 з 986

Визначте загальний вигляд первісних функції $f(x)=4x-\dfrac{3}{\cos^2 x}.$

А$F(x)=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Б$F(x)=4x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

В$F(x)=2x^2+3\mathrm{tg}\ x+C$

Г$F(x)=x^2-3\mathrm{tg}\ x+C$

Д$F(x)=2x^2-\dfrac{3}{\mathrm{tg}\ x}+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} \frac{3}{\cos^2 x}=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

\begin{gather*} F(x)=4\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}-3\cdot \mathrm{tg}\ x+C=\frac 41\cdot \frac{x^2}{2}-3\mathrm{tg}\ x+C=2x^2-3\mathrm{tg}\ x+C. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37390

Завдання 253 з 986

Визначте координати вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, якщо $\overrightarrow{a}\ (3; 1; -4)$ i $\overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2).$

А$\overrightarrow{c}\ (11; 1; -6)$

Б$\overrightarrow{c}\ (-5; 1; -2)$

В$\overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6)$

Г$\overrightarrow{c}\ (-24; 0; -8)$

Д$\overrightarrow{c}\ (-5; -1; 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів $\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)$ i $\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)$ є вектор $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}$

\begin{gather*} \overrightarrow{c}\ (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1). \end{gather*}

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37389

Завдання 254 з 986

$\dfrac{\sin 2\alpha}{2\sin^2 \alpha}=$

А$\dfrac{1}{\mathrm{tg}\ \alpha}$

Б$\mathrm{tg}\ \alpha$

В$\dfrac 12$

Г$\dfrac{1}{\sin \alpha}$

Д$\dfrac{\mathrm{tg}\ \alpha}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Розв'язання:

$$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}.$$

Під час розв'язання застосовано:

формулу подвійного аргумента: $\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha;$
означення тангенса та котангенса: $\mathrm{tg}\ \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37388

Завдання 255 з 986

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.

II. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.

III. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.

Алише IІ

Блише I та II

Влише I та III

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки. Твердження правильне.

ІІ.

$AB \perp CD.\ \Delta COD$ – рівнобедрений, $OC=OD.$ Отже, висота $OK$, проведена до основи, є медіаною. Отже, $K$ – середина хорди $CD.$ Твердження правильне.

ІІІ.

Діаметри кола проходять через центр кола, тобто завжди мають спільну точку. Твердження неправильне.

Правильні твердження лише І та II.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37387

Завдання 256 з 986

Розв'яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ 2x\lt 5. \end{array}\right. \end{gather*}

А$[-4; +\infty)$

Б$(2{,}5; +\infty)$

В$[-4; 2{,}5)$

Г$(-\infty; -4]$

Д$(-\infty; 2{,}5)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ 2x\lt 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\ge -4,\\ x\lt 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in [-4; 2{,}5).$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37386

Завдання 257 з 986

Графік функції $y=x^2$ паралельно перенесли на $3$ одиниці ліворуч уздовж осі $x.$ Графік якої функції отримали в результаті цього перетворення?

А$y=(x-3)^2$

Б$y=x^2+3$

В$y=3x^2$

Г$y=x^2-3$

Д$y=(x+3)^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіками, використовувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перенесення графіка функції паралельно вздовж осі $Ox$ – це перетворення виду: \begin{gather*} f(x)\Rightarrow f(x+A), \end{gather*} де $A$ – кількість одиниць, на яку перенесли графік.

Якщо $A\gt 0$ – переносимо графік уліво, якщо $A\lt 0$ – переносимо вправо.

Отже, графік функції $y=x^2$ перенесли на $3$ одиниці ліворуч й отримали графік функції $y=(x+3)^2.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37385

Завдання 258 з 986

Протягом хокейного матчу команда господарів володіла шайбою $\dfrac 35$ від усього ігрового часу, а команда гостей – решту ігрового часу. Яку частку (%) від усього ігрового часу команда гостей володіла шайбою?

А$75\ \%$

Б$40\ \%$

В$60\ \%$

Г$25\ \%$

Д$20\ \%$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, працювати із частинами цілого та вивляти взаємозв’язок між звичайними дробами й відсотками.

Увесь ігровий час вважатимемо за $1$ (ціле). Команда господарів володіла шайбою $\dfrac 35$ часу, тому на частку гостей припадає решта:

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 55-\frac 35=\frac{5-3}{5}=\frac 25. \end{gather*}

Отже, команда гостей володіла шайбою $\dfrac 25$ ігрового часу.

Переведімо цей дріб у відсотки:

\begin{gather*} \frac 25\cdot 100\ \%=40\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37384

Завдання 259 з 986

Позначте формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює $a$, а висота – $2a.$

А$S=6a^2$

Б$S=8a^3$

В$S=12a^2$

Г$S=8a^2$

Д$S=2a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою: \begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною $a$, тож його периметр: \begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою задачі висота $H=2a.$

Отже,

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot 2a=8a^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37383

Завдання 260 з 986

На графіку відображено зміну кількості опадів (мм) протягом року в регіоні України. За графіком визначте місяці, у яких кількість опадів перевищувала $60$ мм.

А$5$; $8$

Б$6$; $7$

В$5$; $6$; $7$

Г$5$; $6$; $7$; $8$

Д$4$; $5$; $6$; $7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала $60$ мм у $5$, $6$ та $7\text{-му}$ місяцях.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37382

Завдання 261 з 986

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Визначте відстань між серединами відрізків $AM$ i $MB$, якщо $AM=12$ см, $MB=2AM.$

А$9$ см

Б$24$ см

В$12$ см

Г$18$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

За умовою $MB=2AM$, отже $MB=2\cdot 12=24$ см.

Нехай точка $K$ – середина $AM$, а точка $C$ – середина $MB.$

\begin{gather*} KC=KM+MC=\frac 12 AM+\frac 12 MB;\\[6pt] KC=\frac 12(AM+MB)=\frac 12(12+24)=\frac 12\cdot 36=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37381

Завдання 262 з 986

Розв'яжіть нерівність $3x+9\le 0.$

А$(-\infty; 6]$

Б$(-\infty; -3]$

В$[3; +\infty)$

Г$(-\infty; 3]$

Д$[-3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3x+9\le 0;\\[7pt] 3x\le -9;\\[7pt] x\le -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37380

Завдання 263 з 986

На діаграмі відображено розподіл $900$ занять, відвіданих студентами в Google Meet, Zoom i Teams. За діаграмою визначте, якою може бути загальна кількість занять у Zoom.

А$300$

Б$1000$

В$450$

Г$750$

Д$600$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Форми наведення статистичної інформації: графічна, таблична та текстова.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший відтінок сірого) – половина круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом – друга половина круга.

Оскільки сектор Zoom – половина круга, то він відображає $50\ \%$ від усієї кількості занять.

Щоб обчислити кількість занять у Zoom, треба загальну кількість занять поділити на $2{:}$

\begin{gather*} 900:2=450. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37379

Завдання 264 з 986

Обчисліть $(-2\sqrt{2})^2.$

А$-4$

Б$8$

В$4\sqrt{2}$

Г$-8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв’язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a;\\[7pt] (-2\sqrt{2})^2=(-2)^2\cdot (\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 739. Запитання: 37378

Завдання 265 з 986

За якого від’ємного значення параметра $m$ один із коренів рівняння $x^2-(2m-2)x+21=0$ на $4$ більший від іншого?

Впишіть відповідь:

-4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-(2m-2)x+21=0;\\[7pt] x_2=x_1+4;\\[7pt] m\lt 0. \end{gather*}

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=21. \end{gather*}

Підставимо $x_2=x_1+4$ у рiвняння добутку:

\begin{gather*} x_1\cdot (x_1+4)=21;\\[7pt] x_1^2+4x_1-21=0. \end{gather*}

Розв’яжімо, це рівняння

\begin{gather*} D=4^2-4\cdot 1\cdot (-21)=16+84=100;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{100}=10;\\[6pt] x_1=\frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7,\ \text{або}\\[6pt] x_1=\frac{-4+10}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Для кожного варіанта $x_1$ знайдімо $x_2$ та параметр $m$, використовуючи суму коренів $x_1+x_2=2m-2.$

1. Для $x_1=-7.$

\begin{gather*} x_2=-7+4=-3;\\[7pt] -7+(-3)=2m-2;\\[7pt] 2m-2=-10;\\[7pt] 2m=-10+2;\\[7pt] 2m=-8;\\[7pt] m=-4. \end{gather*}

$-4\lt 0$ підходить.

2. Для $x_1=3.$

\begin{gather*} x_2=3+4=7;\\[7pt] 3+7=2m-2;\\[7pt] 2m-2=10;\\[7pt] 2m=10+2;\\[7pt] 2m=12;\\[7pt] m=6. \end{gather*}

$6\gt 0$ не підходить.

Відповідь: $-4.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37375

Завдання 266 з 986

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20.$ Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58.$ Обчисліть об'єм цієї призми, якщо її висота дорівнює $5.$

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагональний переріз прямої призми — це прямокутник. Його сторони — це діагональ ромба $(d)$ та висота призми $(H).$ Периметр цього прямокутника розраховується за формулою:

\begin{gather*} P_\text{пер}=2(d+H). \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 58=2(d+5);\\[7pt] 29=d+5;\\[7pt] d_1=24. \end{gather*}

Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ$ і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, де: $CD=20$ (сторона ромба), $OD=24:2 = 12$ (половина відомої діагоналі $(d_1)$ ромба).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=OD^2+OC^2;\\[7pt] 20^2=12^2+OC^2;\\[7pt] 400=144+OC^2;\\[7pt] OC^2=400-144=256;\\[7pt] OC=\sqrt{256}=16. \end{gather*}

Отже друга діагональ ромба

\begin{gather*} d_2=AC=2\cdot OC=2\cdot 16=32. \end{gather*}

Формула об’єму призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площа основи (ромба):

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12\cdot d_1\cdot d_2=\frac 12\cdot 24\cdot 32=384;\\[6pt] V=S_\text{осн}\cdot H=384\cdot 5=1920. \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37374

Завдання 267 з 986

Інтернет-магазин пропонує флешнакопичувачі обсягом пам'яті $32$ Гб ($12$ видів) та обсягом пам'яті $64$ Гб ($10$ видів). Микола планує в цьому магазині купити $3$ різні флешнакопичувачі: $2$ – обсягом $32$ Гб і $1$ – обсягом $64$ Гб. Скільки всього в Миколи варіантів замовлення для купівлі флешнакопичувачів із заданими параметрами пам'яті?

Впишіть відповідь:

660

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Оскільки Микола купує «різні» флешки і нам не важливо, яку він покладе в кошик першою, а яку другою, скористаймося формулою комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Обираємо $2$ флешки по $32$ ГБ.

Миколі потрібно вибрати $2$ з $12$ наявних варіантів.

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{1\cdot 2}=11\cdot 6=66\ (\text{способів}). \end{gather*}

Обираємо $1$ флешку по $64$ ГБ.

Миколі потрібно вибрати $1$ варіант із $10.$ Це можна зробити $10$ способами.

\begin{gather*} C_{10}^1=10\ (\text{способів}). \end{gather*}

Оскільки Микола має купити і першу групу, і другу одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 66\cdot 10=660\ (\text{способів}). \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ — $m$ способами, то пару $A$ і $B$ можна вибрати $n\cdot m$ способами.

Відповідь: $660.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37373

Завдання 268 з 986

Обчисліть інтеграл $\displaystyle \int\limits_{\textstyle 1}^{\textstyle e^5} \dfrac{dx}{2x}$.

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac{dx}{2x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac{1}{2x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^5} \frac 12\cdot \frac 1x\ dx=\frac 12\mathop{\int}\limits_1^{e^5}\frac 1x\ dx=\frac 12\left(\ln|x|\right)|_1^{e^5}=\\[6pt] =\frac 12\left(\ln (e^5)-\ln 1\right)=\frac 12(5-0)=\frac 12\cdot 5=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Використали властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37372

Завдання 269 з 986

Периметр рівнобедреного трикутника (див. рисунок) дорівнює $32$ см. $AB=BC=10$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AC$

2висота, проведена з вершини $B$

3радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

Довжина відрізка

А$6{,}25$ см

Б$7{,}5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$12{,}5$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони $AB=BC=10$ см.

\begin{gather*} P=AB+BC+AC;\\[7pt] 32=10+10+AC;\\[7pt] AC=32-20=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Г.

Проведемо висоту $BH$ до основи $AC.$ У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

\begin{gather*} AH=HC=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник $ABH\ (\angle H=90^\circ){:}$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BH^2+AH^2=AB^2;\\[7pt] BH^2+6^2=10^2;\\[7pt] BH^2+36=100;\\[7pt] BH^2=64;\\[7pt] BH=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

\begin{gather*} R=\frac{abc}{4S}. \end{gather*}

Площа трикутника $S{:}$

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BH=\frac 12\cdot 12\cdot 8=48\ \text{см}^2.\\[6pt] R=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{4\cdot 48}=\frac{1200}{192}=6{,}25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37371

Завдання 270 з 986

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1$y=x^2+4$

2$y=\log_4 x$

3$y=4-2x$

Властивість

Амає лише одну точку локального екстремуму

Бє зростаючою на всій області визначення

Вмає від'ємний нуль

Гє спадною на всій області визначення

Днепарна

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. $y=x^2+4$ квадратична функція, графіком якої є парабола.

Функція спочатку спадає, а потім зростає. Має лише одну точку локального екстремуму при $x=0$, $f_{min}(0)=4.$ Отже, правильна відповідь — A.

2. $y=\log_4 x$ логарифмічна функція з основою $a=4.$

Оскільки основа $4\gt 1$, функція є зростаючою на всій своїй області визначення $(x\gt 0).$ Отже, правильна відповідь — Б.

3. $y=4-2x$ лінійна функція вигляду $y=kx+b$, де $k=-2.$

Оскільки коефіцієнт $k$ від'ємний $(k\lt 0)$, пряма нахилена вниз, тобто функція спадає на всій області визначення. Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37370

Завдання 271 з 986

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо $a=-0{,}5.$

Вираз

1$|a|$

2$a^3$

3$\frac{1}{a}$

Проміжок

А$(-\infty; -2)$

Б$[-2; -1)$

В$[-1; 0)$

Г$[0; 1)$

Д$[1; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |a|=|-0{,}5|=0{,}5. \end{gather*}

Число $0{,}5$ належить проміжку $[0; 1).$ Отже, правильна відповідь – Г.

2. $a^3=(-0{,}5)^3=-0{,}125.$

Число $-0{,}125$ належить проміжку $[-1; 0).$ Отже, правильна відповідь – В.

3. $\dfrac 1a=\dfrac{1}{-0{,}5}=-\dfrac{1}{\frac{5}{10}}=-\dfrac{10}{5}=-2.$

Число $-2$ належить проміжку $[-2; -1).$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37369

Завдання 272 з 986

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$32{,}5$

Б$63$

В$29{,}5$

Г$27$

Д$31{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=7.$

Обчилімо площу трапеції за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 7=\frac 92\cdot \frac 71=\frac{63}{2}=31{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37368

Завдання 273 з 986

За якою формулою можна обчислити об'єм $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a$?

А$V=\frac{a^3}{4}$

Б$V=a^3$

В$V=\frac{a^3}{3}$

Г$V=\sqrt{5}a^2$

Д$V=\sqrt{3}a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac 13\cdot a^3=\frac{a^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37367

Завдання 274 з 986

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x(4-y)=14,\\ x(4-y)=3x-7. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $y_0=$

А$6$

Б$2$

В$-6$

Г$7$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки. Оскільки ліві частини обох рівнянь однакові $(x(4-y))$, ми можемо прирівняти їхні праві частини.

\begin{gather*} 14=3x-7;\\[7pt] 3x-7=14;\\[7pt] 3x=14+7;\\[7pt] 3x=21;\\[7pt] x=7. \end{gather*}

Підставимо значення $x=7$ у перше рівняння:

\begin{gather*} 7\cdot (4-y)=14;\\[7pt] 4-y=14:7;\\[7pt] 4-y=2;\\[7pt] -y=2-4;\\[7pt] -y=-2;\\[7pt] y=2. \end{gather*}

Отже, $y_0=2.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37366

Завдання 275 з 986

Визначте перший член геометричної прогресії $(b_n)$, у якої $b_4=3$, а знаменник $q=\dfrac 13.$

А$27$

Б$243$

В$81$

Г$\frac 19$

Д$\frac{1}{27}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

Застосуймо формулу $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=b_1\cdot q^{4-1};\\[7pt] b_4=b_1\cdot q^3;\\[6pt] 3=b_1\cdot \left(\frac 13\right)^3;\\[6pt] b_1\cdot\frac{1}{27}=3;\\[6pt] b_1=3\cdot 27=81. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37365

Завдання 276 з 986

Обчисліть $\left(4^{\frac 32}\right)^2.$

А$12$

Б$32$

В$3$

Г$16$

Д$64$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[6pt] \left(4^{\frac 32}\right)^2=4^{\frac 32\cdot 2}=4^{\frac 32\cdot \frac 21}=4^3=64. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37364

Завдання 277 з 986

Які з наведених тверджень правильні?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише IІІ

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чтирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердженння.

І. Середня лінія трапеції не проходить чирез точку перетину її діагоналей.

ІІ. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

\begin{gather*} \Delta ABD\ne \Delta DBC. \end{gather*}

ІІІ. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37363

Завдання 278 з 986

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac 15\right)^{\textstyle x}\gt \dfrac{1}{25}.$

А$(2; +\infty)$

Б$(0; 2)$

В$(-\infty; 5)$

Г$(5; +\infty)$

Д$(-\infty; 2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} \left(\frac 15\right)^x\gt \frac{1}{25};\\[6pt] \left(\frac 15\right)^x\gt \left(\frac 15\right)^2. \end{gather*}

Функція $y=\left(\dfrac 15\right)^x$ – спадна, тому більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу:

\begin{gather*} a^{f(x)}\gt a^{g(x)};\\[7pt] 0\lt a\lt 1\Leftrightarrow f(x)\lt g(x). \end{gather*}

Отже, $x\lt 2.$

\begin{gather*} x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37362

Завдання 279 з 986

$-2xy^2-(3xy^2-2x^2y)=$

А$-5xy^2+2x^2y$

Б$-5xy^2-2x^2y$

В$xy^2-2x^2y$

Г$-6xy^2+2x^2y$

Д$-3xy^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} -2xy^2-(3xy^2-2x^2y)=-2xy^2-3xy^2+2x^2y=-5xy^2+2x^2y. \end{gather*}

$-2xy^2$ і $-3xy^2$ подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37361

Завдання 280 з 986

Площа зафарбованої частини квадрата (див. рисунок) дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте площу всього квадрата.

А$96$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$108$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості квадрата до розв'язування планіметричних задач.

Діагоналі квадрата ділять його на $4$ рівновеликі трикутники. Медіана, проведена до основи одного з цих трикутників, ділить його ще на $2$ рівновеликі частини.

Отже, зафарбована частина $\dfrac 12\cdot \dfrac 14=\dfrac 18$ всієї площі.

Якщо $\dfrac 18\cdot S=12$ см$^2$, то $S=8\cdot 12=96$ см$^2.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37360

Завдання 281 з 986

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-2; 4].$ Графік перетинає вісь $x$ в одній із точок, координати яких наведено у варіантах відповіді. Визначте цю точку.

А$(4; 0)$

Б$(3; 4)$

В$(0; 3)$

Г$(3; 0)$

Д$(0; 4)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь $x$ в точці $(3; 0).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37359

Завдання 282 з 986

$|2-\sqrt{7}|=$

А$2+\sqrt{7}$

Б$\sqrt{3}$

В$2-\sqrt{7}$

Г$\sqrt{7}-2$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \sqrt{7}\approx 2{,}6;\\[7pt] 2-\sqrt{7}\lt 0;\\[7pt] |2-\sqrt{7}|=-(2-\sqrt{7})=-2+\sqrt{7}=\sqrt{7}-2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37358

Завдання 283 з 986

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Сфера утворена обертанням...

Акруга навколо хорди, що не є діаметром».

Бкола навколо його діаметра».

Вкола навколо хорди, що не є діаметром».

Гкруга навколо прямої, що не проходить через його центр».

Дкола навколо його дотичної».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема сфери.

Сфера утворена обертанням кола навколо його діаметра.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37357

Завдання 284 з 986

Розв'яжіть рівняння $3(4x-2)=0.$

А$2$

Б$-0{,}5$

В$\frac 16$

Г$\frac 14$

Д$0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння

\begin{gather*} 3(4x-2)=0. \end{gather*}

Розділимо обидві частини рівняння на $3{:}$

\begin{gather*} 4x-2=0;\\[7pt] 4x=2;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37356

Завдання 285 з 986

Серед $100$ учнів музичного класу провели опитування щодо їхніх музичних уподобань. Результати наведено на діаграмі (див. рисунок). Визначте різницю між кількістю учнів, які обрали попмузику, та кількістю тих, хто віддав перевагу класичній музиці.

А$5$

Б$10$

В$15$

Г$20$

Д$25$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Аналізуючи результати опитування на поданій діаграмі бачимо, що: поп-музику вподобало — $30$ учнів, а класичну — $15$ учнів.

Обчислімо різницю:

\begin{gather*} 30-15=15\ \text{учнів}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37355

Завдання 286 з 986

$\sqrt{1\frac{11}{25}}=$

А$1\frac{\sqrt{11}}{5}$

Б$\frac{11}{25}$

В$1\frac 15$

Г$2\frac 15$

Д$\frac 56$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Перетворімо мішане число у неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac{11}{25}=\frac{1\cdot 25+11}{25}=\frac{36}{25};\\[6pt] \sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac 65=1\frac 15. \end{gather*}

Застосували властивість арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\gt 0. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 738. Запитання: 37353

Завдання 287 з 986

Визначте найбільше ціле значення $a$, за якого корінь рівняння

$a^2x-a=x(a^2-a)-10$

є від'ємним числом.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки з $x$ в один бік, а числа та параметри — в інший.

\begin{gather*} a^2x-a=x(a^2-a)-10;\\[7pt] a^2x-a=a^2x-ax-10;\\[7pt] a^2x-a^2x+ax=a-10;\\[7pt] ax=a-10;\\[7pt] a\ne 0;\\[6pt] x=\frac{a-10}{a}. \end{gather*}

За умовою корінь рівняння має бути від’ємним числом $(x\lt 0){:}$

\begin{gather*} \frac{a-10}{a}\lt 0. \end{gather*}

Розв`яжемо нерівність методом інтервалів:

Отже, $x\lt 0$ при $a\in (0; 10).$

Найбільше ціле число $a$ з інтервалу $(0; 10)$ це $9.$

Відповідь: $9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37182

Завдання 288 з 986

Бічна грань правильної трикутної піраміди є прямокутним трикутником з гіпотенузою $6$ см. Визначте площу (у см$^2$) бічної поверхні цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). $AB=BC=CA=6$ см.

Апофема $(FK)$ — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} FK=\frac{AB}{2}=\frac 62=3\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи, $m$ – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot AB=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Апофема $m=FK=3$ см.

\begin{gather*} S_{біч}=\frac 12\cdot 18\cdot 3=9\cdot 3=27\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37181

Завдання 289 з 986

В інтернет-магазині пропонують футболки $10$ видів і шорти $15$ видів українського виробництва, а також $8$ видів імпортних готових комплектів (футболка та $2$ однакові пари шортів). Скільки всього є варіантів вибору в цьому магазині футболки та $2$ однакових пар шортів, якщо речі з комплекту не можна купити окремо?

Впишіть відповідь:

158

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило суми та добутку.

1. “Готовий комплект” (Імпортні).

Магазин пропонує $8$ видів готових імпортних комплектів (кожен з яких вже містить $1$ футболку та $2$ однакові пари шортів). Речі з комплекту не можна купити окремо. Отже маємо $8$ варіантів вибору.

2. “Збери сам” (Українське виробництво).

Магазин пропонує $10$ видів футболок і $15$ видів шортів українського виробництва. Оскільки нам потрібно $2$ однакові пари шортів, то ми обираємо один вид шортів із $15$ наявних (і беремо дві штуки цього виду). Тобто маємо $10$ варіантів вибору футболок і $15$ варіантів вибору шортів.

Згідно з правилом добутку, кількість способів скласти такий вибір:

\begin{gather*} 10\cdot 15=150\ \text{варіантів}. \end{gather*}

3. Тепер необхідно об'єднати результати. Ми можемо купити АБО готовий комплект, АБО скласти його самостійно.

Згідно з правилом суми, додаємо варіанти з першої та другої груп:

\begin{gather*} 8 + 150 = 158\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Правило суми: Якщо об’єкт $A$ можна вибрати $n$ способами, а об’єкт $B$ — $m$ способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «$A$ або $B$» можна здійснити $n + m$ способами.

Відповідь: $158.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37180

Завдання 290 з 986

Відомо, що $\mathop{\int}\limits_1^5 f(x)\ dx=14.$ Обчисліть $\mathop{\int}\limits_1^5 \left(5-3\cdot f(x)\right)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-22

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} \left(f(x)+g(x)\right)\ dx=\mathop{\int} f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[6pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)dx \end{gather*}

та формулою Ньютона - Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\left|_a^b\right.=F(b)-F(a).\\[6pt] \mathop{\int}\limits_1^5 (5-3\cdot f(x))\ dx=\mathop{\int}\limits_1^5 5\ dx-\mathop{\int}\limits_1^5 3\cdot f(x)\ dx=\mathop{\int}\limits_1^5 5\ dx-3\cdot \mathop{\int}\limits_1^5 f(x)\ dx=\\[6pt] =5x\left|_1^5\right.-3\cdot 14=5\cdot 5-5\cdot 1-3\cdot 14=25-5-42=-22. \end{gather*}

Відповідь: $-22.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37179

Завдання 291 з 986

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD$, у якої $AC=CD=15$ см, $BC=12$ см. $O$ – середина діагоналі $AC$ трапеції $ABCD.$

До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OB$

2$AB$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$7{,}5$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутних трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. У $\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)$, бо $ABCD$ — прямокутна трапеція. Відрізок $OB$ з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи $AC.$ Отже, $OB$ — медіана, проведена до гіпотенузи.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

\begin{gather*} OB=\frac{AC}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. У трикутнику $\Delta ABC\ (AC=15$ см і $BC=12$ см) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2+BC^2=AC^2;\\[7pt] AB^2+12^2=15^2;\\[7pt] AB^2+144=225;\\[7pt] AB^2=225-144=81;\\[7pt] AB=\sqrt{81}=9\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – В.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює: $L=\dfrac{BC+AD}{2}.$ Проведемо висоту $CH$ з вершини $C$ на основу $AD.$ Оскільки трапеція прямокутна, $ABCH$ — прямокутник. $CH=AB=9$ см, $AH=BC=12$ см. Розглянемо прямокутний трикутник $\Delta CHD.$ $CD=15$ см (за умовою) і $CH=9$ см за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 15^2=9^2+HD^2;\\[7pt] 225=81+HD^2;\\[7pt] HD^2=225-81=144;\\[7pt] HD=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо основу $AD{:}$

\begin{gather*} AD=AH+HD=12+12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо середню лінію:

\begin{gather*} L=\frac{12+24}{2}=\frac{36}{2}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37178

Завдання 292 з 986

До початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=\sqrt{x+3}$

2Функція $y=1-x^2$

3Функція $y=2^{-x}$

Закінчення речення

Амає точку локального максимуму.

Бмає точку локального мінімуму.

Вє непарною.

Гзростає на всій області визначення.

Днабуває лише додатних значень.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Побудуймо графіки заданих функцій.

1. $y=\sqrt{x+3}$ зростає на всій області визначення.

Отже, 1 – Г.

2. $y=1-x^2.$ Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, то вершина — це найвища точка графіка. Функція має точку локального максимуму.

Отже, 2 – A.

3. $y=2^{-x}$
$y=\left(\dfrac 12\right)^x.$

Показникова функція вигляду $a^x$ завжди набуває лише додатних значень $(y\gt 0)$ при будь-яких $x.$ Вона ніколи не перетинає вісь $Ox$ і не стає від'ємною. Оскільки основа $\dfrac 12\lt 1$, функція спадає. Функція набуває лише додатних значень

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37177

Завдання 293 з 986

До виразу (1–3) доберіть множину (А – Д), якій належить значення цього виразу, якщо $a=5.$

Вираз

1$\log_{0{,}2} a$

2$2^{-a}$

3$\frac{10}{a}$

Множина

Амножина ірраціональних чисел

Бмножина натуральних чисел

Вмножина цілих від'ємних чисел

Гмножина раціональних нецілих чисел

Дмножина ірраціональних від'ємних чисел

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з цілим показником та її властивості, тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. $\log_{0{,}2} a=\log_{0{,}2} 5=\log_{\frac 15} 5=\log_{5^{-1}} 5=-1\cdot \log_5 5=-1.$

$-1$ є цілим від'ємним числом. Отже, 1 – B.

Застосували властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[6pt] \log_{a^k} b=\frac 1k\log_a b. \end{gather*}

2. $2^{-a}=2^{-5}=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}.$

$\dfrac{1}{32}$ є раціональним числом, що не є цілим. Отже, 2 – Г.

Застосували властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

3. $\dfrac{10}{a}=\dfrac{10}{5}=2.$

$2$ є натуральним числом. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37176

Завдання 294 з 986

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього паралелограма.

А$10{,}5$

Б$1{,}5\sqrt{85}$

В$21$

Г$18$

Д$3\sqrt{85}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу паралелограма.

Площа паралелограма обчислюється за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot h_a, \end{gather*} де $a$ — сторона паралелограма, а $h_a$ — висота, проведена до цієї сторони.

Сторона $(a){:}\ CD = 3.$

Висота $(h_a){:}\ BH=7$ (висота паралелограма — це перпендикуляр між вертикальними прямими, на яких лежать сторони $AB$ та $CD$).

Підставляємо значення у формулу:

\begin{gather*} S=3\cdot 7=21. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37175

Завдання 295 з 986

Визначте похідну функції $f(x)=\dfrac{x^2-5}{3x}.$

А$f'(x)=\frac{x^2}{6}-\frac 53\ln |x|$

Б$f'(x)=\frac{x^2-5}{3x^2}$

В$f'(x)=\frac{x^2+5}{9x^2}$

Г$f'(x)=\frac{x^2+5}{3x^2}$

Д$f'(x)=\frac{2x}{9}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

\begin{gather*} \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\\[6pt] f'(x)=\frac{(x^2-5)'\cdot 3x-(3x)'\cdot (x^2-5)}{(3x)^2}=\frac{2x\cdot 3x-3\cdot (x^2-5)}{9x^2}=\\[6pt] =\frac{6x^2-3x^2+15}{9x^2}=\frac{3x^2+15}{9x^2}=\frac{3(x^2+5)}{9x^2}=\frac{x^2+5}{3x^2}. \end{gather*}

Застосували формули для знаходження похідних ($C$, $\alpha$ - сталі):

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] x'=1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37174

Завдання 296 з 986

Визначте корінь рівняння $4\sqrt{3}\sin x=6.$

А$-\frac{\pi}{6}$

Б$\frac{5\pi}{6}$

В$\frac{4\pi}{3}$

Г$-\frac{\pi}{3}$

Д$\frac{\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{3}\sin x=6;\\[6pt] \sin x=\frac{6}{4\sqrt{3}}. \end{gather*}

Позбудимося ірраціональності в знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{6\cdot \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\[6pt] \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\pi}{3}=\pi^2n,\ n\in Z;\\[6pt] n=0\Rightarrow x= (-1)^0\frac{\pi}{3}+\pi\cdot 0=\frac{\pi}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37173

Завдання 297 з 986

Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ конуса, висота якого дорівнює радіусу $R.$

А$V=\frac{\pi R^2}{3}$

Б$V=\pi R^3$

В$V=\sqrt{2\pi R^3}$

Г$V=\frac{\pi R^3}{3}$

Д$V=\pi R^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Радіус основи та висота конуса дорівнюють $R.$

Підставмо у формулу замість висоти конуса $H$ радіус $R$ його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m+a^n=a^{m+n};\\[7pt] V=\frac 13\pi R^2\cdot R=\frac 13\pi R^3=\frac{\pi R^3}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37172

Завдання 298 з 986

$\dfrac{a^2-25b^2}{10b+2a}=$

А$\frac{a-5b}{2}$

Б$2a-10b$

В$\frac{a+5b}{2}$

Г$2a+10b$

Д$\frac{a-5b}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

\begin{gather*} a^2-25b^2=a^2-5^2b^2=a^2-(5b)^2=(a-5b)(a+5b). \end{gather*}

за формулою різниці квадратів.

У виразі $10b+2a=2(5b+a)$ винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2-25b^2}{10b+2a}=\frac{(a-5b)(a+5b)}{2(5b+a)}=\frac{a-5b}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37171

Завдання 299 з 986

Гончар протягом $60$ хвилин проводить для школярів відеоурок із виготовлення горняток. Він пояснює навчальний матеріал за $12$ хвилин, а решту часу виготовляє горнятка. Скільки всього горняток виготовив гончар за цей відеоурок, якщо одне горнятко він виготовляє за $3$ хвилини?

А$12$

Б$14$

В$10$

Г$18$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо час, протягом якого гончар працював безпосередньо руками. Для цього від загального часу уроку віднімемо час, витрачений на теоретичну частину (пояснення).

\begin{gather*} t=60-12=48\ \text{хв}. \end{gather*}

Щоб знайти загальну кількість виготовлених горняток $(n)$, потрібно час, протягом якого гончар безпосередньо працював ($48$ хв), поділити на час виготовлення одного горнятка ($3$ хв).

\begin{gather*} n=48:3=16\ (\text{горняток}). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37170

Завдання 300 з 986

Визначте число, яке задовольняє систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\gt -2,\\ x\le 9. \end{array}\right. \end{gather*}

А$-3$

Б$-10$

В$10$

Г$6$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\gt -2,\\[7pt] x\le 9. \end{array}\right. \end{gather*}

Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок $x\in (-2; 9].$ З наведених чисел, лише число $6$ належить даному проміжку.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37169

Завдання 301 з 986

Функція $y=f(x)$ визначена на проміжку $(-\infty; +\infty)$ і набуває лише від'ємних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише III та IV

Блише IV

Влише III

Глише I та IV

Длише I

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скероване на вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, $x\in (-\infty; +\infty)$, графік обов'язково буде і в тій зоні, де $x\lt 0$ (це III чверть), і в тій зоні, де $x\gt 0$ (це IV чверть).

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37168

Завдання 302 з 986

$\dfrac{2^5\cdot 5^7}{10^8}=$

А$10^4$

Б$\frac{1}{25}$

В$\frac{1}{40}$

Г$\frac 18$

Д$\frac 58$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{2^5\cdot 5^7}{10^8}=\frac{2^5\cdot 5^7}{(2\cdot 5)^8}=\frac{2^5\cdot 5^7}{2^8\cdot 5^8}=\frac{1}{2^3\cdot 5}=\frac{1}{8\cdot 5}=\frac{1}{40}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником.

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37167

Завдання 303 з 986

Які з наведених тверджень правильні?

I. Точкою перетину довільних хорд одного кола є його центр.

II. Паралельні хорди одного кола мають однакову довжину.

III. Рівні хорди одного кола рівновіддалені від його центра.

Алише IІ

Б лише IІІ

Влише I та II

Глише I та III

Длише IІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Хорда — це відрізок, що сполучає дві будь-які точки кола. Хорди можуть перетинатися в будь-якій точці всередині кола.

Тільки якщо обидві хорди є діаметрами, вони обов'язково перетнуться в центрі. Твердження неправильне.

ІI. Паралельність не гарантує рівність довжин.

Паралельні хорди будуть рівними тільки тоді, коли вони розташовані на однаковій відстані від центра. У загальному випадку це не так. Твердження неправильне.

ІII. Якщо довжини хорд рівні, то перпендикуляри, проведені з центра кола до цих хорд (відстані), також будуть рівними.

Це випливає з рівності трикутників, утворених радіусами та хордами. Твердження правильне.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37166

Завдання 304 з 986

$\log_3 \dfrac{1}{27}=$

А$\frac 19$

Б$\frac 13$

В$-\frac 13$

Г$-3$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N \end{gather*}

і логарифмічні тотожності:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1.\\[6pt] \log_3 \frac{1}{27}=\log_3 \frac{1}{3^3}=\log_3 3^{-3}=-3\cdot \log_3 3=-3\cdot 1=-3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37165

Завдання 305 з 986

Розв'яжіть рівняння $3^x=81\cdot 9^x.$

А$-2$

Б$-4$

В$3$

Г$-3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведемо все до однієї основи: $81=3^4$ та $9=3^2.$

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Тоді $(3^2)^x=3^{2\cdot x}.$

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $3$), можемо прирівняти iз показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37164

Завдання 306 з 986

На діаграмі відображено розподіл $900$ занять, відвіданих студентами в Google Meet, Zoom i Teams. Скориставшись діаграмою, продовжте речення так, щоб утворилось правильне твердження: «Кількість відвіданих занять у Google meet...

Аналежить проміжку $[500; 700]$».

Бменша за $400$».

Вменша, ніж кількість занять у Teams».

Гстановить половину від загальної кількості».

Дудвічі менша за кількість занять у Zoom».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: $900 : 2 = 450.$ Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить $450$ занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom $(450).$ Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet $\approx 300$ занять.

Teams $\approx 150$ занять.

Перевіряємо твердження про Google Meet:

А належить проміжку $[500; 700].$ $300$ не належить заданому проміжку - твердження неправильне.

Б менша за $400.\ 300 \lt 400$ - твердження правильне.

В менша, ніж кількість занять у Teams. $300\lt 150$ - нерівність не виконується, тому твердження неправильне.

Г становить половину від загальної кількості. $300\ne 450$ - твердження неправильне.

Д удвічі менша за кількість занять у Zoom. $450 : 2 = 225 \ne 300$ - твердження неправильне.

Отже, лише твердження «менше від $400$» задовольняє умову.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37163

Завдання 307 з 986

Яке тіло утвориться внаслідок обертання прямокутника навколо однієї зі сторін (див. рисунок)?

Аконус

Бциліндр

Взрізаний конус

Гпіраміда

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37162

Завдання 308 з 986

На відрізку $AB$ вибрано точку $C$ так, що $AC:CB=2:3.$ Визначте довжину відрізка $AC$, якщо $CB=12$ см.

А$4$ см

Б$18$ см

В$6$ см

Г$12$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відрізок $AC$ складається з $2$ частин, отже: $AC=2x.$

Відрізок $CB$ складається з $3$ частин, отже: $CB=3x.$

За умовою $CB=12$ см. Тоді

\begin{gather*} 3x=12;\\[7pt] x=4\ \text{см}. \end{gather*}

Підставимо це значення у вираз для $AC{:}$

\begin{gather*} AC=2x=2\cdot 4=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 737. Запитання: 37161

Завдання 309 з 986

За якого значення $a$ сума коренів рівняння $x^2+(a-2)x+28-4a=0$ на $1$ більша від їхнього добутку?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати їхні властивості та досліджувати рівняння з параметрами.

\begin{gather*} x^2+(a-2)x+28-4a=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У цьому завданні $x_1+x_2=-(a-2)$ та $x_1\cdot x_2=28-4a.$

За умовою:

\begin{gather*} x_1+x_2=x_1\cdot x_2+1;\\[7pt] -(a-2)=28-4a+1;\\[7pt] -a+2=29-4a;\\[7pt] -a+4a=29-2;\\[7pt] 3a=27;\\[7pt] a=27:3;\\[7pt] a=9. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути $D\ge 0.$

\begin{gather*} D=(a-2)^2-4\cdot 1\cdot (28-4a). \end{gather*}

Якщо $a=9$, то

\begin{gather*} D=(9-2)^2-4\cdot 1\cdot (28-4\cdot 9)=7^2-4\cdot 1\cdot (28-36);\\[7pt] D=49-4\cdot (-8)=49+32=81. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, корені існують.

Відповідь: $9.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37119

Завдання 310 з 986

Осьовий переріз циліндра – прямокутник, діагональ якого дорівнює $24$ та утворює з площиною основи кут $30^\circ.$ Визначте об'єм $V$ цього циліндра. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

1296

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу $(AC)$ ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута $30^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} CD=AC:2=24:2=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, висота циліндра $H=CD=12$ см.

2. $\cos A=\frac{AD}{AC}$;

\begin{gather*} \cos 30^\circ=\frac{AD}{24};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{24};\\[6pt] AD=\frac{\sqrt{3}\cdot 24}{2}=12\sqrt{3}\ \text{см}\ (\text{діаметр основи}\ d=AD);\\[6pt] d=2R;\\[6pt] R=\frac d2=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра визначмо за формулою $V=\pi R^2H{:}$

\begin{gather*} V=\pi\cdot (6\sqrt{3})^2\cdot 12=\pi\cdot 6^2\cdot 3\cdot 12=36\cdot 36\cdot \pi=1296\pi\ \text{см}^3.\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{1296\pi}{\pi}=1296\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1296.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37118

Завдання 311 з 986

З трьох хлопців і трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі за допомогою комбінацій (сполук).

Формуючи музичний квартет (групу виконавців), ми зважаємо лише на склад учасників. Оскільки порядок вибору не має значення, використовуємо формулу для обчислення кількості комбінацій із $n$ елементів по $k{:}$

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

Треба обрати $4$ учасників із $6$ можливих ($3$ дівчини та $3$ хлопці) без урахування порядку. Отже:

\begin{gather*} C_6^4=\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)\cdot (1\cdot 2)}=\frac{5\cdot 6}{1\cdot 2}=5\cdot 3=15. \end{gather*}

Відповідь: $15.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37117

Завдання 312 з 986

Задано функцію $f(x)=6\sqrt{x}-\frac{16}{x}+\ln 2.$ Обчисліть $f'(4).$

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\ a\gt 0, m\in Z, n\in N, n\ge 2;\\[6pt] \sqrt{x}=x^{\frac 12};\\[6pt] \frac 1x=x^{-1}. \end{gather*}

Зауважмо, що $\ln 2$ – це стале число (константа), оскільки вираз не містить змінної $x.$

Отже, функцію $f(x)$ можна записати у вигляді:

\begin{gather*} f(x)=6x^{\frac 12}-16x^{-1}+\ln 2. \end{gather*}

Визначмо похідну $f'(x)$, застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^{\alpha})'=\alpha x^{a-1};\\[6pt] f'(x)=6\cdot \frac 12x^{\frac 12-1}-16\cdot (-1)x^{-1-1}+0;\\[6pt] f'(x)=3x^{-\frac 12}+16x^{-2};\\[6pt] f'(x)=3\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+16\cdot \frac{1}{x^2};\\[6pt] f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної, підставивши $x=4$ в отриманий вираз:

\begin{gather*} f'(4)=\frac{3}{\sqrt{4}}+\frac{16}{4^2}=\frac 32+\frac{16}{16}=1{,}5+1=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37116

Завдання 313 з 986

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точку $O$ так, що $BO\ ||\ CD$ (див. рисунок). $CO$ – висота трапеції, $BC=6$ см, $CD=10$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OD$

2$CO$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. $BC\ ||\ AD$ (за означенням трапеції), а за умовою $BO\ ||\ CD.$ Чотирикутник $BODC$ – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

\begin{gather*} OD=BC=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$ ($\angle COD=90^\circ$, оскільки $CO$ – висота).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CO^2+OD^2=CD^2;\\[7pt] CO^2+6^2=10^2;\\[7pt] CO^2=100-36=64;\\[7pt] CO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин $B$ і $C$, відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту $BK$ з точки $B$, то $AK=OD=6$ см.

Також $KO=BC=6$ см. Отже, довжина основи

\begin{gather*} AD=AK+KO+OD=6\ \text{см} + 6\ \text{см} + 6\ \text{см} = 18\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} L=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6\ \text{см}+18\ \text{см}}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37115

Завдання 314 з 986

У прямокутній системі координат на площині зображено ламану $ABCDA$ (див. рисунок). Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка з ламаною $ABCDA.$

Функція

1$y=\frac{\pi}{2}$

2$y=\cos x$

3$y=x^2+1$

Кількість спільних точок

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дбезліч

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. $y=\frac{\pi}{2}.$ Це горизонтальна пряма, що проходить через значення $y\approx \frac{3{,}14}{2}\approx 1{,}57.$ Оскільки $1{,}57\gt 1$, пряма $y=\frac{\pi}{2}$ пройде вище від прямокутника $ABCD$ й не перетне його в жодній точці.

Отже, правильна відповідь – A.

2. $y=\cos x.$ Графік косинуса перетинає бічні сторони прямокутника та дотикається його верхньої межі в одній точці. Отже, графік і прямокутник мають три спільні точки.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $y=x^2+1.$ Оскільки графіком функції $y=x^2+1$ є парабола з вершиною в точці $(0; 1)$, вітки якої спрямовані вгору, то вона має лише одну спільну точку з прямою (або межею прямокутника).

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37114

Завдання 315 з 986

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n\gt 0.$

Початок речення

1Якщо $|-n|=a$, то

2Якщо $(n-2)(n+1)-n^2=a$, то

3Якщо $2^{-\lg n}=2^{\lg a}$, то

Закінчення речення

А$a=-n-2.$

Б$a=\frac 1n.$

В$a=n.$

Г$a=-2.$

Д$a=-n.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо $|-n|=a$, то...

За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою $n\gt 0$, тож $|-n| =n$, тому $a=n.$

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо $(n-2)(n+1)-n^2=a$, то...

\begin{gather*} (n-2)(n+1)-n^2=n^2+1n-2n-2-n^2=-n-2;\\[7pt] a=-n-2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

3. Якщо $2^{-\lg n}=2^{\lg a}$, то...

Оскільки основи степенів однакові $(2)$, можна прирівняти показники:

\begin{gather*} -\lg n=\lg a. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \lg n^{-1}=\lg a;\\[7pt] n^{-1}=a. \end{gather*}

Оскільки $n^{-1}=\frac 1n$, то $\frac 1n=a.$

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37113

Завдання 316 з 986

Визначте корінь рівняння $2\sqrt{3}\cos x=3.$

А$-\frac{\pi}{6}$

Б$\frac{5\pi}{6}$

В$\frac{4\pi}{3}$

Г$-\frac{\pi}{3}$

Д$\frac{\pi}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\sqrt{3}\cos x=3;\\[6pt] \cos x=\frac{3}{2\sqrt{3}}. \end{gather*}

Усуньмо ірраціональність у знаменнику дробу:

\begin{gather*} \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2};\\[6pt] x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0$, $x=\pm \frac{\pi}{6}.$

Оскільки функція косинус парна, то

\begin{gather*} \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Отже, $-\frac{\pi}{6}$ – корінь рівняння.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37112

Завдання 317 з 986

Обчисліть $0{,}25^{\log_{0{,}5}4}.$

А$16$

Б$0{,}5$

В$0{,}25$

Г$4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

\begin{gather*} 0{,}25^{\log_{0{,}5} 4}=0{,}5^{2\log_{0{,}5} 4}=0{,}5^{\log_{0{,}5} 4^2}=0{,}5^{\log_{0{,}5} 16}=16. \end{gather*}

За властивістю логарифмів:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37111

Завдання 318 з 986

В арифметичній прогресії $(a_n){:}\ a_1=4$, $a_3=9.$ Визначте різницю $d$ прогресії.

А$d=-2,5$

Б$d=6,5$

В$d=5$

Г$d=2,5$

Д$d=-5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$-перших членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_3=a_1+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+4=9;\\[7pt] 2d=9-4;\\[7pt] 2d=5;\\[7pt] d=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37110

Завдання 319 з 986

Розкладіть на множники вираз $(7x-1)^2-9x^2.$

А$(4x-1)(10x-1)$

Б$(4x-1)(10x+1)$

В$(10x-1)^2$

Г$(4x-1)^2$

Д$(-2x-1)(16x-1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення різниця квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b).\\[7pt] (7x-1)^2-9x^2=(7x-1)^2-3^2x^2=(7x-1)^2-(3x)^2=\\[7pt] =(7x-1-3x)\cdot (7x-1+3x)=(4x-1)(10x-1). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37109

Завдання 320 з 986

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $K$ та $N$, що лежать на координатній осі $y$ (див. рисунок). Визначте можливі координати вектора $\overrightarrow{KN}.$

А$(0; 0; 4)$

Б$(4; 0; 0)$

В$(0; 4; 0)$

Г$(4; -4; 0)$

Д$(0; -4; 0)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки $K$ та $N$ лежать на осі $y.$ Це означає, що їхні координати по осях $x$ та $z$ дорівнюють нулю:

\begin{gather*} K(0; y_K; 0);\\[7pt] N(0; y_N; 0). \end{gather*}

Координати векторa $\overrightarrow{KN}$, який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця $(N)$ і початку $(K){:}$

\begin{gather*} \overrightarrow{KN}(0-0; y_N-y_K; 0-0);\\[7pt] \overrightarrow{KN}(0; y_N-y_K; 0). \end{gather*}

У вектора, що лежить на осі $y$, перша та третя координати мають бути нулями.

Вектор напрямлений від $K$ до $N$, тобто в додатному напрямку осі $y.$ Це означає, що ордината y вектора має бути додатною $(y_N-y_K\gt 0).$

Серед запропонованих варіантів лише вектор $(0; 4; 0)$ лежить на осі $Oy$ і має додатний напрямок.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37108

Завдання 321 з 986

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0=$

А$-2$

Б$2$

В$4$

Г$12$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння, їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо обидві частини першого рівняння на $2y$, щоб позбутися знаменника:

\begin{gather*} x=-3\cdot 2y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо $x=-6y$ у друге рівняння:

\begin{gather*} -6y+y=10;\\[7pt] -5y=10;\\[7pt] y=-2. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=-6y=-6\cdot (-2)=12. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел $(12; -2).$

$x_0=12.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37107

Завдання 322 з 986

Які твердження правильні?

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює $120^\circ.$

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за $60^\circ.$

А лише I та III

Блише IІ

В лише I та ІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута $180^\circ.$ Його половина – це $90^\circ.$ У прямокутному трикутнику один кут прямий $(90^\circ)$, а сума двох гострих кутів також дорівнює $90^\circ.$ Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника $180^\circ$, то градусна міра кожного кута дорівнює: $180^\circ : 3 = 60^\circ.$ Сума будь-яких двох кутів: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.$ Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за $60^\circ$, то їхня сума більша за $180^\circ$ (наприклад, $61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ$). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює $180^\circ.$ Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37106

Завдання 323 з 986

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-5; 5].$

Множину точок локального максимуму цієї функції наведено у варіанті відповіді

А$-2; 1$

Б$7$

В$5$

Г$6$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента $x$, за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначимо найвищу точку на локальному згині графіка (у місці, де зростання функції змінюється на спадання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі .

Отже, $x_0=-2$ – точка локального максимуму заданої функції.

Важливо: точка $x=1$ – це точка локального мінімуму, а не максимуму. Точки на кінцях проміжку $( x=-5$ та $x=5)$ не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання).

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37105

Завдання 324 з 986

Позначте формулу для обчислення об'єму $V$ правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює $a$, а висота – $3a.$

А$V=a^3$

Б$V=3a^3$

В$V=4a^3$

Г$V=\frac{a^3}{3}$

Д$V=9a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей призми.

Об'єм призми визначаємо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною $a$, тож його площа:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2. \end{gather*}

За умовою задачі висота $H=3a.$

Отже,

\begin{gather*} V=a^2\cdot 3a=3a^3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37104

Завдання 325 з 986

$\dfrac{5^3\cdot 2^4}{4^3\cdot 5^2}=$

А$\frac 12$

Б$\frac{2}{5}$

В$\frac 52$

Г$1$

Д$\frac 54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення і властивостей степеня з натуральним показником.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] \frac{5^3\cdot 2^4}{4^3\cdot 5^2}=\frac{5^3\cdot 2^4}{(2^2)^3\cdot 5^2}=\frac{5^3\cdot 2^4}{2^6\cdot 5^2}=\frac{5^1}{2^2}=\frac 54. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37103

Завдання 326 з 986

Два кола із центрами в точках $O$ i $O_1$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють $2$ см і $10$ см.

А$6$ см

Б$4$ см

В$12$ см

Г$9$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів.

За умовою:

\begin{gather*} r=2\ \text{см};\\[7pt] R=10\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів цих кіл:

\begin{gather*} OO_1=r+R=2\ \text{см}+10\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37102

Завдання 327 з 986

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^x=\dfrac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \end{gather*}

Перетворімо дріб:

\begin{gather*} \frac 18=\frac{1}{2^3}=2^{-3}. \end{gather*}

Маємо рівняння:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3}. \end{gather*}

Оскільки основи степенів однакові $(2)$, прирівнюємо показники:

\begin{gather*} x=-3 \end{gather*}

Корінь рівняння $-3$ належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37101

Завдання 328 з 986

У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло $145$ дзвінків, а за другу годину – на $17$ дзвінків більше. Скільки всього надійшло дзвінків на телефон гарячої лінії за дві години роботи?

А$307$

Б$287$

В$273$

Г$290$

Д$162$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо, скільки дзвінків надійшло за другу годину.

За умовою, це на $17$ більше, ніж за першу:

\begin{gather*} 145+17=162\ (\text{дзвінки}). \end{gather*}

Тепер знайдемо загальну кількість дзвінків за дві години:

\begin{gather*} 145+162=307\ (\text{дзвінків}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37100

Завдання 329 з 986

На рисунку зображено прямі, що перетинаються. Визначте градусну міру кута $\beta$, якщо $\alpha=25^\circ.$

А$145^\circ$

Б$155^\circ$

В$115^\circ$

Г$65^\circ$

Д$165^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Суміжні кути.

Завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення і властивість суміжних кутів.

Кути $\alpha$ та $\beta$ суміжні, оскільки мають спільну сторону, а інші їхні сторони є доповняльними променями. Сума суміжних кутів завжди дорівнює $180^\circ.$ Тому

\begin{gather*} \beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37099

Завдання 330 з 986

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали $5$ зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте загальну кількість глядачів, які відвідали білу і зелену зали кінотеатру.

А$80$

Б$65$

В$70$

Г$90$

Д$75$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній та текстовій формах.

Згідно з діаграмою стовпчик «біла» досягає позначки $55$ на вертикальній осі «Кількість глядачів», стовпчик «зелена» – позначки $20.$

Обчислімо суму:

\begin{gather*} 55+20=75. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 736. Запитання: 37098

Завдання 331 з 986

Обчисліть суму всіх цілих значень параметра $a$, за яких один корінь рівняння $2x^2-(4a+9)x+6a+9=0$ належить проміжку $(-8; 0)$, а другий – проміжку $(1; 5).$

Впишіть відповідь:

-14

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

$ax^2+bx+c=0$, де $a$, $b$, $c$ – коефіцієнти квадратного рівняння.

$D=b^2-4ac$ – дискримінант.

Якщо $D\gt 0$, то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні $2x^2-(4a+9)x+6a+9=0$ маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a+9);\\[7pt] c_\text{коеф.}=6a+9. \end{gather*}

Обчислімо дискримінат заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a+9))^2-4\cdot 2\cdot (6a+9);\\[7pt] D=(16a^2+72a+81)-8(6a+9);\\[7pt] D=16a^2+72a+81-48a-72;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} x_1=\frac{(4a+9)-(4a+3)}{4}=\frac{4a+9-4a-3}{4}=\frac 64=1{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{(4a+9)+(4a+3)}{4}=\frac{8a+12}{4}=\frac{4(2a+3)}{4}=2a+3. \end{gather*}

За умовою задачі перший корінь належить проміжку $(-8; 0)$, а другий – проміжку $(1; 5).$

$x_1=1{,}5$ належить проміжку $(1; 5).$

Отже, $x_2=2a+3$ має належати проміжку $(-8; 0).$

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -8\lt 2a+3\lt 0;\\[7pt] -8-3\lt 2a\lt 0-3;\\[7pt] -11\lt 2a\lt -3;\\[6pt] \frac{-11}{2}\lt a\lt \frac{-3}{2};\\[6pt] -5{,}5\lt a\lt -1{,}5. \end{gather*}

Тобто $a\in (-5{,}5; -1{,}5).$

Цілі числа, які належать цьому проміжку: $\{-5$, $-4$, $-3$, $-2\}.$

У відповіді запишімо їхню суму:

\begin{gather*} -5+(-4)+(-3)+(-2)=-14. \end{gather*}

Відповідь: $-14.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36923

Завдання 332 з 986

Основою прямої призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $6$ і $6\sqrt{3}.$ Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Обчисліть площу бічної поверхні призми.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу бічної поверхні призми.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, катетами якого є половини діагоналей:

\begin{gather*} CO=3\sqrt{3};\\[7pt] DO=3. \end{gather*}

За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу (сторону ромба):

\begin{gather*} CD=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6. \end{gather*}

Більша діагональ $A_1C$ призми утворює прямокутний трикутник $CAA_1$ $(\angle A=90^\circ)$ з більшою діагоналлю основи $(AC=6\sqrt{3})$ і висотою призми.

Оскільки кут нахилу $30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)$, то

\begin{gather*} H=AC\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6. \end{gather*}

Формула бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4\cdot CD=4\cdot 6=24;\\[7pt] S_\text{біч}=24\cdot 6=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36922

Завдання 333 з 986

У магазині електроніки можна придбати оптичні диски $20$ різних брендів. Юлія планує купити в цьому магазині по одному диску трьох різних брендів. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1140

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Оскільки Юля купує диски різних брендів і порядок, у якому вона кладе їх у кошик, не має значення, скористаймося формулою комбінацій вибору $k$ варіантів з $n$ можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!},\ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n=n!\\[6pt] C_{20}^3=\frac{20!}{3!\cdot (20-3)!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1}=20\cdot 19\cdot 3=1140. \end{gather*}

Відповідь: $1140.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36921

Завдання 334 з 986

Графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $(-\infty; +\infty)$, паралельний осі $x$ (див. рисунок). Площа зафарбованої фігури дорівнює $8$ кв. од. Обчисліть $\mathop{\int}\limits_{-3}^{3} f(x)\ dx.$

Впишіть відповідь:

-16

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

Зафарбована фігура – прямокутник. Його основа лежить на осі $Ox$ від $-3$ до $0.$

Довжина основи $a=3$

Площа прямокутника \begin{gather*} S=a\cdot b, \end{gather*} де $a$ - ширина, $b$ - висота.

За умовою $S = 8.$

Звідси висота (відстань від осі $Ox$ до графіка) дорівнює $\frac 83.$

Оскільки графік розташований нижче від осі $Ox$, значення функції від'ємне: \begin{gather*} f(x)=-\frac 83. \end{gather*}

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він дорівнює різниці площі фігури над віссю $Ox$ і площі фігури під віссю $Ox.$ Весь проміжок інтегрування — від $-3$ до $3.$

Оскільки функція $f(x)=-\frac 83$ є сталою на всьому проміжку, шукаймо інтеграл від сталої:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-3}^3 \left(-\frac 83\right)\ dx=-\frac 83\cdot x\left|_{-3}^3\right.=-\frac 83\cdot 3-\left(-\frac 83\right)\cdot (-3)=\\[6pt] =-\frac{8\cdot 3}{3}-\frac{8\cdot 3}{3}=-8-8=-16. \end{gather*}

Відповідь: $-16.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36920

Завдання 335 з 986

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $AB=BC=CD=6$ см, діагональ $AC$ утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1основа $AD$

2висота трапеції $ABCD$

3діагональ $AC$

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$6\ \text{см}$

В$3\sqrt{3}\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$3\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа $AD{:}$ оскільки $BC\ ||\ AD$, то внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$ $\Delta ABC$ — рівнобедрений $(AB=BC=6)$, тому $\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.$

Отже, у трапеції

\begin{gather*} \angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож $\angle D=60^\circ.$

Розгляньмо $\Delta ACD{:}$

\begin{gather*} \angle CAD=30^\circ;\\[7pt] \angle D=60^\circ \Rightarrow \angle ACD=90^\circ. \end{gather*}

У прямокутному $\Delta ACD$ катет $CD=6$ і лежить навпроти кута $30^\circ$, тому гіпотенуза

\begin{gather*} AD=2\cdot CD=2\cdot 6\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту $CH.$ У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ$, $\angle D=60^\circ){:}$

\begin{gather*} CH=CD\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. Діагональ $AC{:}$ у прямокутному $\Delta ACD$

\begin{gather*} AC=AD\cdot \cos 30^\circ=12\ \text{см}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36919

Завдання 336 з 986

Доберіть до функції (1–3) властивість (А – Д) її графіка.

Функція

1$y=\frac 4x$

2$y=\sin x$

3$y=\log_{0{,}5} x$

Властивість графіка функції

Ане перетинає осі $x$

Бперетинає вісь $x$ у точці з абсцисою $1$

Вдвічі перетинає графік функції $y=(x-1)^2$

Гсиметричний відносно осі $y$

Дрозміщений лише в першій і другій координатних чвертях

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція $y=\frac 4x$ має графік гіперболу. Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки $x\ne 0$, то й $y\ne 0.$

Отже, 1 – A.

2. Для функції $y=\sin x$ область значень $[-1; 1].$ Її графік симетричний відносно початку координат (непарна функція). Графік $y=(x-1)^2$ – парабола з вершиною в $(1; 0).$ Синусоїда перетинає її двічі.

Отже, 2 – B.

3. Функція $y=\log_{0{,}5} x$ логарифмічна. Якщо $x=1$, то $y=\log_{0{,}5} 1=0.$

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36918

Завдання 337 з 986

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д).

Вираз

1$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$

2$|3-\sqrt{10}|$

3$\log_5 125$

Тотожно рівний вираз

А$\sqrt{10}-3$

Б$3-\sqrt{10}$

В$\sqrt{10}+3$

Г$3$

Д$25$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних виразів, уміння використовувати властивості модуля числа.

Спростимо вирази:

1. – В.

\begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3. \end{gather*}

2. – A.

\begin{gather*} |3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3. \end{gather*}

Вираз $3-\sqrt{10}\lt 0,$ тому

\begin{gather*} |3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}. \end{gather*}

3. – Г.

\begin{gather*} \log_5125=\log_55^3=3\log_55=3. \end{gather*}

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36917

Завдання 338 з 986

За якою формулою визначають площу $S$ повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої та апофема дорівнюють $a$?

А$S=a^3$

Б$S=6a^2$

В$S=3a^2$

Г$S=5a^2$

Д$S=2a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

Площу повної поверхні піраміди визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=S_\text{біч}+S_\text{осн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot a+S_\text{осн}. \end{gather*}

Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2;\\[7pt] P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює $a$ за умовою.

Отже,

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot 4a\cdot a+a^2=\frac 42a^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36916

Завдання 339 з 986

Який вираз тотожно рівний виразу $(\cos x-\sin x)^2$?

А$\cos 2x$

Б$1$

В$\cos 2x-\sin 2x$

Г$\cos 2x-1$

Д$1-\sin 2x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростiмо вираз за формулою квадрата різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] (\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=\\[7pt] =(cos^2 x+\sin^2 x)-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x. \end{gather*}

Застосували основну тригонометричну тотожність $\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1$ і формулу подвійного кута $\sin 2x=2\sin x\cos x.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36915

Завдання 340 з 986

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{3}{x+y}=-\frac 12,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$16$

Б$2$

В$-10$

Г$-8$

Д$-16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додаванням отриману систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=12. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6+12;\\[7pt] 3x=6;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо $x=2$ у перше рівняння:

\begin{gather*} 2+y=-6;\\[7pt] y=-8. \end{gather*}

$(2; -8)$ – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-8)=-16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36914

Завдання 341 з 986

Визначте вираз для похідної функції $f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4.$

А$f'(x)=x^3-\frac 1x$

Б$f'(x)=6x+\frac 1x+4$

В$f'(x)=6x+\frac{2}{x^3}$

Г$f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}$

Д$f'(x)=x^3-\frac 1x+4x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз $\frac{2}{x^2}$ за властивістю степенів $a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}$

\begin{gather*} \frac{2}{x^2}=2\cdot \frac{1}{x^2}=2x^{-2}. \end{gather*}

Скористаймося правилом диференціювання суми $(u + v)'=u'+v'$ і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36913

Завдання 342 з 986

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, у якого менша діагональ дорівнює стороні.

II. Висота будь-якого ромба більша за його сторону.

III. Діагональ будь-якого ромба ділить ромб на два рівні трикутники.

Алише I

Блише IІІ

Влише II та ІІІ

Глише I та III

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює $60^\circ$, то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36912

Завдання 343 з 986

У під'їзді дев'ятиповерхового будинку на кожному поверсі розташовано по $4$ квартири. На якому поверсі квартира № 27, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А$5$

Б$6$

В$7$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Поділімо номер квартири на кількість квартир на поверсі:

\begin{gather*} 27:4=6\ (\text{остача}\ 3). \end{gather*}

Це означає, що $6$ поверхів повністю заповнені (це $6\cdot 4 = 24$ квартири), а квартира №27 розташована на наступному, сьомому поверсі.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36911

Завдання 344 з 986

Розв'яжіть нерівність $\log_{0{,}7} x\gt 1.$

А$(0{,}7; +\infty)$

Б$(-\infty; 0{,}7)$

В$(1; +\infty)$

Г$(0{,}7; 1)$

Д$(0; 0{,}7)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_{0{,}7}\gt 1. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} \log_{0{,}7}x\gt \log_{0{,}7} 0{,}7. \end{gather*}

Функція $y=\log_{0{,}7}x$ спадна, тому $x\lt 0{,}7.$

Логарифмічна функція має область визначення $x\gt 0.$

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt 0{,}7\\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $x\in (0; 0{,}7).$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36910

Завдання 345 з 986

У прямокутній системі координат на площині задано точки $A$ та $B$ (див. рисунок). Визначте відстань між цими точками.

А$\sqrt{5}$

Б$25$

В$\sqrt{13}$

Г$5$

Д$\sqrt{17}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

Визначмо координати точок за рисунком: $A(-1; -1)$ і $B(3; 2).$

Обчислімо відстань між цими точками за формулою:

\begin{gather*} \left |AB\right |=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\\[7pt] \left |AB\right |=\sqrt{(3-(-1))^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(3+1)^2+(2+1)^2}=\\[7pt] =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36909

Завдання 346 з 986

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ У яких чвертях розташований графік функції $y=f(x+3)$?

Алише в І та ІІ

Бв усіх чвертях

Влише в ІI та IІІ

Глише в І, ІІ та ІІІ

Длише в І та IV

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції $f(x + a)$ треба графік функції $f(x)$ перенести вздовж осі $Ox$ на $a$ одиниць вправо, якщо $a\lt 0$, і на $a$ одиниць вліво, якщо $a\gt 0.$

Отже, для побудови графіка функції $f(x+3)$ треба перемістити графік функції $f(x)$ на $3$ одиничні відрізки вліво вздовж осі $Ox.$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36908

Завдання 347 з 986

Обчисліть $\left|2\cdot \left(-\frac 56\right)\right|.$

А$-\frac 53$

Б$\frac{12}{5}$

В$\frac 12$

Г$\frac 53$

Д$-\frac 12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left |2\cdot\left(-\frac 56\right)\right |=\left |\frac 21\cdot \left(-\frac 56\right)\right |=\left |-\frac{2\cdot 5}{1\cdot 6}\right |=\left |-\frac{10}{6}\right |=\left |-\frac 53\right |=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36907

Завдання 348 з 986

Розв'яжіть рівняння $3\sqrt{x}=12.$

А$2$

Б$4$

В$-2; 2$

Г$16$

Д$8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 3\sqrt{x}=12;\\[6pt] \sqrt{x}=\frac{12}{3};\\[6pt] \sqrt{x}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=4^2;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36906

Завдання 349 з 986

Основа трикутної піраміди – рівнобедрений прямокутний трикутник із катетом $a.$ Визначте формулу для обчислення об'єму $V$ цієї піраміди, якщо її висота дорівнює катету основи.

А$V=\frac{a^3}{3}$

Б$V=\frac{a^3}{2}$

В$V=\frac{a^3}{4}$

Г$V=\frac{a^3}{6}$

Д$V=a^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – $a.$

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює $a$ за умовою: $H=a.$

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \frac 12a^2\cdot a=\frac 16\cdot \frac{a^3}{1}=\frac{a^3}{6}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36905

Завдання 350 з 986

З точки $O$, яка лежить на прямій $AB$, проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM=30^\circ$, $\angle MOK=80^\circ$. Визначте градусну міру кута $AOK$. Уважайте, що промені $OK$, $OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.

А$50^\circ$

Б$60^\circ$

В$80^\circ$

Г$70^\circ$

Д$110^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\begin{gather*} \angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ;\\[7pt] \angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36904

Завдання 351 з 986

Залежність заряду акумуляторної батареї смартфона від часу заряджання відображено на графіку (див. рисунок). За графіком визначте заряд акумуляторної батареї через $20$ хв після початку заряджання.

А$40\ \%$

Б$20\ \%$

В$30\ \%$

Г$80\ \%$

Д$100\ \%$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

Аналізуючи графік бачимо, що через $20$ хв після початку заряджання рівень заряду акумулятора становитиме $30\ \%.$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36903

Завдання 352 з 986

Скільки всього цілих чисел містить інтервал $(-2{,}07; 15{,}9)$?

А$19$

Б$15$

В$13$

Г$17$

Д$18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишімо подвійною нерівністю: \begin{gather*} -2{,}07\lt x\lt 15{,}9. \end{gather*}

Першим цілим числом, яке більше за $-2{,}07$, є $-2.$ Останнім цілим числом, яке менше за $15{,}9$, є $15.$

Кількість цілих чисел:

від $1$ до $15$ – це п`ятнадцять чисел;
число $0$ – це ще одне число;
числа $-1$ та $-2$ – це ще два числа.

Всього: $15 + 1 + 2 = 18.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36902

Завдання 353 з 986

За якого значення параметра $a$ сума квадратів коренів рівняння $x^2-8x+4a-1=0$ дорівнює $38$?

Впишіть відповідь:

3.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У цьому завданні $x_1+x_2=8$ та $x_1\cdot x_2=4a-1.$

Треба визначити $x_1^2+x_2^2.$ Використаймо формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2. \end{gather*}

Звідси:

\begin{gather*} x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \end{gather*}

За умовою сума квадратів дорівнює $38{:}$

\begin{gather*} 8^2-2(4a-1)=38;\\[7pt] 64-8a+2=38;\\[7pt] 66-8a=38;\\[7pt] -8a=38-66;\\[7pt] -8a=-28;\\[6pt] a=\frac{28}{8}=3{,}5. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути $D\ge 0.$

\begin{gather*} D=(-8)^2-4(4a-1)=64-16a+4=68-16a. \end{gather*}

Якщо $a=3{,}5$, то

\begin{gather*} D=68-16\cdot (-3{,}5)=68-56=12. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, корені існують.

Відповідь: $3{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36611

Завдання 354 з 986

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $260.$ Обчисліть об'єм $V$ призми. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\sqrt{3}}.$

Впишіть відповідь:

1200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot 0{,}5;\\[7pt] BD^2=64+225-12=169;\\[7pt] BD=13\ (\text{см}). \end{gather*}

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами $BB_1D_1D.$ Сторона $BD=13$ см, а висота $DD_1=H.$ Його площа за умовою дорівнює $260$ см$^2{:}$

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу основи призми (паралелограма $ABCD$) за формулою $S=ab\sin \gamma{:}$

\begin{gather*} S_\text{осн}=8\cdot 15\cdot \sin 60^\circ=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити $\frac{V}{\sqrt{3}}{:}$

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1200.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36610

Завдання 355 з 986

Софія бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має $10$ різних листівок такої тематики. Для кожного із чотирьох адресатів Софія вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Софії способів такого вибору, якщо вона надсилатиме всі листівки в конвертах одного кольору?

Впишіть відповідь:

10080

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Софія має $10$ різних листівок, їй потрібно вибрати по одній для $4$ різних адресатів.

Оскільки адресати різні, порядок вибору має значення. Кількість способів вибрати $4$ листівки з $10$ листівок та розподілити їх між $4$ різними адресатам обчислюємо за формулою розміщення $m$ елементів з $n$ можливих:

\begin{gather*} A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}.\\[6pt] A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040. \end{gather*}

Всі листівки надсилаються в конвертах одного кольору: або всі жовті або всі сині. Тобто всього є два варіанти.

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 5040\cdot 2=10080. \end{gather*}

Відповідь: $10080.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36609

Завдання 356 з 986

Обчисліть інтеграл $\mathop{\int}\limits_1^{e^3} \frac{dx}{6x}.$

Впишіть відповідь:

0.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^3}\ \frac{dx}{6x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac{1}{6x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 16\cdot \frac 1x\ dx=\frac 16\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 1x\ dx=\frac 16(\ln|x|)|_1^{e^3}=\\[6pt] =\frac 16(\ln(e^3)-\ln 1)=\frac 16(3-0)=\frac 16\cdot 3=\frac 36=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Функція $f(x)$	Загальний вигляд первісних $F(x)+C$, де $C$ – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: $0{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36608

Завдання 357 з 986

У рівнобічній трапеції $ABCD$ діагоналі $AC$ i $BD$ взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці $O$, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $BO=6\sqrt{2}$ см, $KM=12$ см (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2$AD$

3висота трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$12$ см

Б$15$ см

В$18$ см

Г$21$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники $AOD$ та $BOC$, утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки $AC=BD$, діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: $AO=OD$ та $BO=OC$). Отже, $BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.$

У прямокутному трикутнику $BOC$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BC^2=BO^2+OC^2;\\[7pt] BC^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2+36\cdot 2=72+72=144;\\[7pt] BC=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. За умовою, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $KM=12$ см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

\begin{gather*} AD=2\cdot KM=2\cdot 12\ \text{см}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Висота $h$ трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників $AOD$ та $BOC$).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота $\Delta BOC{:}$

\begin{gather*} h_1=\frac{BC}{2}=\frac{12\ \text{см}}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Висота $\Delta AOD{:}$

\begin{gather*} h_2=\frac{AD}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції:

\begin{gather*} h=h_1+h_2=6\ \text{см}+12\ \text{см}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36607

Завдання 358 з 986

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=x-2$

2Функція $y=x^3$

3Функція $y=\cos x$

Закінчення речення

Ає парною.

Бмає спільну точку з графіком функції $y=\log_{0{,}5}(x+1)$ у точці з абсцисою $x_0=0.$

Внабуває від'ємного значення за $x=1.$

Гмає область визначення $[-1; 1].$

Дспадає на проміжку $(-\infty; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. $y=x-2$

За $x=1$ маємо $y=1-2=-1.$

Оскільки $-1\lt 0$, функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. $y=x^3$

Обчислімо значення в точці $x=0.$

Для $y=x^3{:}$ \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для $y=\log_{0{,}5}(x+1){:}$

\begin{gather*} y(0)=\log_{0{,}5}(0+1)=\log_{0{,}5} 1=0. \end{gather*}

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку $(0; 0).$

Отже, 2 – Б.

3. $\cos x$

Функція є парною $\cos(-x)=\cos x$, тому її графік симетричний відносно осі $Oy.$

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36606

Завдання 359 з 986

Доберіть на координатній прямій (див. рисунок) до виразу (1–3) точку (А – Д), координатою якої є значення цього виразу за $a=0{,}5.$

Вираз

1$|a-2{,}5|$

2$a^0$

3$\log_2 a$

Точка

А$K$

Б$L$

В$M$

Г$N$

Д$P$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення (модуль, степінь, логарифм) математичних виразів і визначати положення отриманих чисел на координатній прямій.

1. За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |0{,}5-2{,}5|=|-2|=2. \end{gather*}

Числу $2$ на прямій відповідає точка $P.$

Отже, 1 – Д.

2. $0{,}5^0=1.$ Числу $1$ на прямій відповідає точка $N.$

Отже, 2 – Г.

3. За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_2 0{,}5=\log_2 \frac 12=\log_2 2^{-1}=-1\log_2 2=-1. \end{gather*}

Числу $-1$ на прямій відповідає точка $L.$

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36605

Завдання 360 з 986

У магазині канцтоварів ручка коштує $5$ грн, а набір із двох ручок – $9$ грн. Яку найбільшу кількість таких ручок можна купити в цьому магазині на суму до $61$ грн?

А$13$

Б$9$

В$10$

Г$11$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує $9$ гривень. На $61$ гривню можна купити $6$ наборів. На це буде витрачено $54$ гривні. На $7$ гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за $5$ гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити – $13.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36604

Завдання 361 з 986

У прямокутній системі координат у просторі задано точку $O(0; 0; 0).$ Від якої точки відстань до точки $O$ найменша?

А$(0; 4; 0)$

Б$(0; 3; -4)$

В$(-5; 0; 0)$

Г$(1; 3; 0)$

Д$(3; 0; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань $d$ від точки з координатами $(x; y; z)$ до початку координат $(0; 0; 0)$ обчислюють за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \end{gather*}

A $(0; 4; 0){:}$

\begin{gather*} d^2=0^2+4^2+0^2=16;\\[7pt] d=\sqrt{16}=4. \end{gather*}

Б $(0; 3; -4){:}$

\begin{gather*} d^2=0^2+3^2+(-4)^2=9+16=25;\\[7pt] d=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

B $(-5; 0; 0){:}$

\begin{gather*} d^2=(-5)^2+0^2+0^2=25;\\[7pt] d=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Г $(1; 3; 0){:}$

\begin{gather*} d^2=1^2+3^2+0^2=1+9=10;\\[7pt] d=\sqrt{10}\approx 3{,}16\ -\ \text{найменша відстань}. \end{gather*}

Д $(3; 0; -3){:}$

\begin{gather*} d^2=3^2+0^2+(-3)^2=9+9=18;\\[7pt] d=\sqrt{18}\approx 4{,}24. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36603

Завдання 362 з 986

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2^{3x-y}=2^7,\\ 2x+y=3. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$2$

Б$-2$

В$-1$

Г$-3$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} 3x-y=7. \end{gather*}

Маємо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3x-y=7,\\ 2x+y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

\begin{gather*} (3x-y)+(2x+y)=7+3;\\[7pt] 5x=10;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо значення $x=2$ у друге рівняння системи й визначмо $y{:}$

\begin{gather*} 2\cdot 2+y=3;\\[7pt] 4+y=3;\\[7pt] y=3-4;\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Тобто $(2; -1)$ – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1)=-2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36602

Завдання 363 з 986

$\frac{a^2 - 4b^2}{3a + 6b}=$

А$\frac{a+2b}{3}$

Б$\frac{a-2b}{3}$

В$3a-6b$

Г$\frac{3}{a-2b}$

Д$\frac{3}{a+2b}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b). \end{gather*}

У виразі $3a+6b=3(a+2b)$ винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2-4b^2}{3a+6b}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{3(a+2b)}=\frac{a-2b}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36601

Завдання 364 з 986

У прямокутнику $ABCD$ бісектриса кута $A$ перетинає сторону $BC$ в точці $M$, $BM:MC=4:5$ (див. рисунок). Обчисліть площу прямокутника $ABCD$, якщо $BC=18$ см.

А$144$ см$^2$

Б$162$ см$^2$

В$90$ см$^2$

Г$120$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона $BC=18$ см, точка $M$ поділила її у відношенні $4:5.$ Тому загальна кількість частин дорівнює $9{:}$

\begin{gather*} 4x+5x=9x\ \text{частин};\\[7pt] x=18\ \text{см}:9=2\ \text{см (довжина однієї частини)}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} BM=4\cdot 2\ \text{см}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $AM$ – бісектриса прямого кута $A$, то

\begin{gather*} \angle BAM=\angle MAD=45^\circ. \end{gather*}

У прямокутнику сторони $BC$ та $AD$ паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник $ABM{:}$ у ньому два кути по $45^\circ{:}$ \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони $AB$ та $BM$ рівні:

\begin{gather*} AB=BM=8\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника:

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\ \text{см}\cdot 18\ \text{см}=144\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36600

Завдання 365 з 986

Визначте восьмий член $a_8$ арифметичної прогресії $(a_n)$, у якої $a_7=11$, $a_9=18.$

А$29$

Б$14{,}5$

В$15$

Г$3{,}5$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

\begin{gather*} a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} a_8=\frac{a_7+a_9}{2}=\frac{11+18}{2}=\frac{29}{2}=14{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36599

Завдання 366 з 986

Визначте корінь рівняння $\mathrm{tg}\ \pi x=1.$

А$\frac{\pi}{4}$

Б$0$

В$1$

Г$\frac{1}{4}$

Д$\frac{1}{\pi}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \pi x=1;\\[7pt] \pi x=\mathrm{arctg}\ 1+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $\pi{:}$

\begin{gather*} x=\frac{1}{4}+k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо $k=0$, то $x=\frac 14.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36598

Завдання 367 з 986

До кола із центром у точці $O$ проведено дотичну $AB$, яка дотикається кола в точці $A.$ Пряма $OB$ перетинає коло в точках $D$ i $C$, $\angle AOB=60^\circ.$

Які з наведених тверджень правильні?

I. $OA\ \perp\ AB.$

II. $OB=2OA.$

III. $OD=AC.$

Алише I та II

БІ, ІІ та ІІІ

Влише I та III

Глише III

Длише II та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. $OA\ \perp\ AB$ – правильно. Радіус кола, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної.

II. $OB=2OA$ – правильно.

Розгляньмо трикутник $\Delta OAB\ (\angle A=90^\circ).$

Сума його гострих кутів дорівнює $90^\circ$, отже $\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$

Катет $OA$ лежить навпроти кута $30^\circ$, тому він дорівнює половині гіпотенузи $OB.$ Тобто $OB=2OA.$

III. $OD=AC$ – правильно.

$OD$ та $OC$ – це радіуси кола, тому $OD=OC.$

Розгляньмо $\Delta OAC.$ Він рівнобедрений ($OA=OC$ як радіуси).

Оскільки кут при вершині $\angle AOC=60^\circ$, то градусна міра кутів при основі також $(180^\circ-60^\circ) : 2 = 60^\circ.$

Отже, $\Delta OAC$ – рівносторонній, тому $AC=OC.$

Оскільки $OD=OC$ й $AC=OC$, то $OD=AC.$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36597

Завдання 368 з 986

Визначте $\sin(180^\circ+\alpha)$, якщо $\sin \alpha=0{,}8.$

А$0{,}6$

Б$0{,}2$

В$-0{,}8$

Г$-0{,}6$

Д$0{,}8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і застосовувати формули зведення.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin \alpha. \end{gather*}

Підставмо значення $\sin \alpha=0{,}8.$

Отже, $\sin(180^\circ+\alpha)=-0{,}8.$

Кут $(180^\circ+\alpha)$ розташований у III чверті тригонометричного кола.

У III чверті синус набуває від’ємного значення, тому поставлено знак мінус.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36596

Завдання 369 з 986

На рисунку зображено графік квадратичної функції.

Локальним екстремумом цієї функції є

А$x_0=4$

Б$x_0=0$

В$x_0=1$

Г$x_0=3$

Д$x_0=-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точку локального екстремуму функції за її графіком.

На рисунку зображено параболу – графік квадратичної функції. Гілки параболи напрямлені вниз, отже, функція має точку локального максимуму. Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргументу $x$, за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Точка максимуму відповідає вершині параболи.

Вершина параболи розташована в найвищій точці графіка. Опустімо перпендикуляр із цієї точки на вісь $Ox{:}$

\begin{gather*} x_0=1. \end{gather*}

Точка локального екстремуму заданої функції:

\begin{gather*} x_0=1. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36595

Завдання 370 з 986

Якому проміжку належить корінь рівняння $2^x=\frac 18$?

А$(-6; -4]$

Б$(-4; -2]$

В$(-2; 0]$

Г$(0; 2]$

Д$(2; 4]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Розв'яжімо показникове рівняння:

\begin{gather*} 2^x=\frac 18. \end{gather*}

Зведімо до однакової основи:

\begin{gather*} 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-3$ належить проміжку $(-4; -2].$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36594

Завдання 371 з 986

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Арівнобедреного трикутника навколо його основи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Врівностороннього трикутника навколо його висоти».

Гпрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника $APB$ навколо його висоти $PO$, проведеної до основи.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36593

Завдання 372 з 986

Якому проміжку належить значення виразу $\left(\frac 14\right)^{-2}?$

А$(-\infty; -10]$

Б$(-10; 0]$

В$(0; 1]$

Г$(1; 10]$

Д$(10; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

Для розв’язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] \left(\frac 14\right)^{-2}=(4^{-1})^{-2}=4^{-1\cdot (-2)}=4^2=16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36592

Завдання 373 з 986

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 20\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 38. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку $20$, але нижчим за позначку $38.$

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки $55.$ ($55 \gt 38$ – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик на позначці $40.$ ($40 \gt 38$ – не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці $35.$ Число $35$ більше за $20$ і менше за $38$ $(20\lt 35\lt 38).$ Цей варіант відповідає умові завдання.

Зелена зала: стовпчик точно на рівні $20.$ (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці $45.$ ($45 \gt 38$ – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від $20$ до $38$, – жовта.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36591

Завдання 374 з 986

Обчисліть довжину основи рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює $12$ см, а периметр – $40$ см.

А$14$ см

Б$12$ см

В$8$ см

Г$28$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: $AB=BC=12$ см. Основа: $AC.$

Периметр $(P)$ – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де $a$ – бічна сторона, а $b$ – основа.

\begin{gather*} 40=2\cdot 12+b;\\[7pt] 40=24+b;\\[7pt] b=40-24;\\[6pt] b=16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36590

Завдання 375 з 986

За якого найменшого натурального значення $a$, рівняння \begin{gather*} (9^x-8\cdot 3^x-9)(5+\ln^2(4a-11x))=0 \end{gather*} має корінь.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

\begin{gather*} 4a-11x\gt 0. \end{gather*}

Перенесімо $-11x$ праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на $4{:}$ \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай $3^x=t$, тоді $3^{2x}=t^2{:}$

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $t_1=9$, $t_2=-1.$

Повернімося до заміни $3^x=t$ й замість $t$ підставмо обчислені значення.

Підставимо $9{:}$

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо $-1{:}$

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

$3^x$ не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції $y=a^x$ завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені $2$ не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь $x=2$ в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, $a=6.$

Відповідь: $6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36568

Завдання 376 з 986

Задано сферу, площа поверхні якої $768\pi$ см$^2$, і циліндр, основу якого вписано у квадрат $ABCD.$ Радіус сфери дорівнює стороні квадрата $ABCD$, а діаметр сфери – діагоналі осьового перерізу циліндра. Визначте об’єм $V$ цього циліндра. У відповіді запишіть $\frac{V}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

1152

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

\begin{gather*} S=768\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] 4\pi R^2=768\pi;\\[7pt] R^2=192\ \text{см}^2;\\[7pt] R=\sqrt{192\ \text{см}^2}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата $ABCD{:}$

\begin{gather*} AD=R=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою завдання, у квадрат $ABCD$ вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

\begin{gather*} d_\text{цил}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на $2{:}$

\begin{gather*} R_\text{цил}=\frac{8\sqrt{3}\ \text{см}}{2}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній $GH$, яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника $GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}$

\begin{gather*} GH=\sqrt{(EG)^2-(EH)^2}=\sqrt{(16\sqrt{3}\ \text{см})^2-(8\sqrt{3}\ \text{см})^2}=\sqrt{16^2\cdot 3\ \text{см}^2-8^2\cdot 3\ \text{см}^2};\\[7pt] GH=\sqrt{3\cdot 8\cdot 24\ \text{см}^2}=24\ \text{см};\\[7pt] h=GH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо об’єм циліндра:

\begin{gather*} V=\pi\cdot (4\sqrt{3})^2\cdot 24=\pi\cdot 16\cdot 3\cdot 24=48\cdot 24\pi=1152\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Поділімо знайдений об’єм на $\pi$, як зазначено в умові завдання:

\begin{gather*} \frac{V}{\pi}=\frac{1152\pi\ \text{см}^3}{\pi}=1152 \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1152.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36567

Завдання 377 з 986

На паркувальному майданчику бізнес-центру n рядів для автомобілів (див. рисунок). У кожному ряду $8$ паркомісць (по $4$ місця обабіч проїзду). Коли водій під’їжджає до шлагбаума, автоматична система видає йому талон із випадково вибраним вільним місцем. Імовірність того, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному із чотирьох перших рядів, дорівнює $\frac 19.$ Визначте загальну кількість рядів $(n)$ на цьому паркувальному майданчику.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події $A$ можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де $m$ – кількість сприятливих подій, $n$ – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є $32$ місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику $n$ рядів, місць в одному ряді – $8$, отже, усього $8n$ місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на $8{:}$ \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість $n$ рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36566

Завдання 378 з 986

Задано функцію $f(x)=x^2\cdot (2x-1)^3$, $f'(x)$ – її похідна. Обчисліть значення виразу $f(2)+f'(1).$

Впишіть відповідь:

116

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці $x=2$, для цього у функцію замість $x$ підставмо $2{:}$

\begin{gather*} f(2)=2^2\cdot (2\cdot 2-1)^3=4\cdot (4-1)^3=4\cdot 27=108. \end{gather*}

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

\begin{gather*} (uv)'=u'\cdot v+u\cdot v'. \end{gather*}

Звернімо увагу, що $g(x)=(2x-1)^3$ – складена функція:

\begin{gather*} f'(x)=(x^2)'\cdot (2x-1)^3+((2x-1)^3)'\cdot x^2=2x\cdot (2x-1)^3+3\cdot (2x-1)^2\cdot 2\cdot x^2. \end{gather*}

Обчислімо значення знайденої похідної в точці $x=1$, для цього в похідну замість $x$ підставмо $1.$

\begin{gather*} f'(1)=2\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)^3+3\cdot (2\cdot 1-1)^2\cdot 2\cdot 1^2=2\cdot 1+3\cdot 2=2+6=8. \end{gather*}

Обчислімо суму $f(2)+f'(1){:}$

\begin{gather*} f(2)+f'(1)=108+8=116. \end{gather*}

Відповідь: $116.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36565

Завдання 379 з 986

На паралельних прямих $n$ і $m$ розміщено півкруг діаметра $AB$, рівносторонній трикутник $ACD$, ромб $DCKL$ (див. рисунок). Висота трикутника $ACD$ дорівнює $4\sqrt{3}.$ Доберіть до фігури (1–3) її площу (А – Д). Уважайте, що $\pi=3{,}14.$

Фігура

1половина півкруга діаметра $AB$

2трикутник $ACD$

3ромб $DCKL$

Площа

А$9{,}42$

Б$12\sqrt{3}$

В$16\sqrt{3}$

Г$37{,}68$

Д$32\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника $ACD$, задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. \end{gather*}

Визначмо площу круга радіуса $2\sqrt{3}{:}$

\begin{gather*} S=\pi R^2=\pi\cdot (2\sqrt{3})^2=4\cdot 3\cdot \pi=12\pi. \end{gather*}

Обчислімо площу половини півкруга радіуса $2\sqrt{3}$, для цього поділімо обчислену площу круга на $4{:}$

\begin{gather*} \frac S4=\frac{12\pi}{4}=3\pi=3\cdot 3{,}14=9{,}42. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника $ACD{:}$

\begin{gather*} 2\cdot h=a\sqrt{3};\\[6pt] a=\frac{2\cdot h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8. \end{gather*}

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

\begin{gather*} S_\Delta=\frac 12 a\cdot h_a=\frac 12\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба $DCKL$ дорівнює довжині сторони трикутника $ACD.$ Висота ромба $DCKL$ дорівнює довжині висоти трикутника $ACD.$ Обчислімо площу ромба $DCKL$ через висоту:

\begin{gather*} S=a\cdot h_a=8\cdot 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36564

Завдання 380 з 986

Узгодьте вираз (1–3) зі значенням $a$ (А – Д), за якого значення цього виразу дорівнює 2.

Вираз

1$\frac 2a$

2$16^a$

3$(a-1)^2-a^2$

Значення $a$

А$\frac 14$

Б$\frac 12$

В$1$

Г$-\frac 12$

Д$-\frac 14$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні, показникові вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати вирази й виконувати обчислення після підставлення значення.

Підставмо $2$ в значення кожного виразу.

1. $\frac 2a=2.$

Представмо у вигляді дробу праву частину виразу, для цього допишімо в знаменнику $1{:}$ \begin{gather*} \frac 2a=\frac 21. \end{gather*}

Визначмо $a{:}$ оскільки чисельники дробів однакові, то, щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими і їхні знаменники: \begin{gather*} a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

2. $16^a=2.$

Перепишімо ліву частину виразу: \begin{gather*} 16^a=(2^4)^a=2^{4a};\\[7pt] 2^{4a}=2^1. \end{gather*}

Оскільки основи однакові в обох частинах, можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} 4a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини утвореного рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} a=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

3. $(a-1)^2-a^2=2.$

Розкриймо дужку за формулою скороченого множення: \begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] a^2-2a+1-a^2=2. \end{gather*}

Зведімо подібні доданки: \begin{gather*} -2a+1=2. \end{gather*}

Перенесімо $1$ праворуч: \begin{gather*} -2a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини отриманого рівняння на $-2{:}$ \begin{gather*} a=\frac{1}{-2}=-\frac 12. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36562

Завдання 381 з 986

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А – Д), у яких лежить графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).

Функція

1$y=-\log_3 x$

2$y=-|x|+4$

3$y=-(x^2+2)$

Координатна чверть

Алише I та II

Блише I та III

Влише III та IV

Глише I та IV

ДI, II, III та IV

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, використовуючи перетворення графіків функцій.

1. Схематично зобразімо графік логарифмічної функції: $y=log_a x$, основа якої більша за одиницю, отже, графік зростаючий. За умовою, перед усією функцією $y=\log_3 x$ стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі $x.$ Отриманий графік лежить у першій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь Г.

2. Зобразімо функцію $y=|x|.$ За умовою, перед усією функцією $y=|x|$ стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі $|x|.$ Оскільки до всієї функції $y=-|x|$ додаємо $4$, то паралельно переносимо графік функції $y=-|x|$ на $4$ одиниці вгору відносно осі $y.$ Отриманий графік лежить в усіх чвертях. Отже, правильна відповідь Д.

3. Розкриймо дужки: $-(x^2+2)=-x^2-2.$ Зобразімо функцію $y=-x^2$ – це парабола вітками донизу. Оскільки від усієї функції $y=-x^2$ віднімаємо $2$, то паралельно переносимо графік функції $y=-x^2$ на $2$ одиниці вниз відносно осі $y.$ Отриманий графік лежить у третій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36560

Завдання 382 з 986

Розв’яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x-2}{x+3}\ge 0,\\ -x\le -2. \end{array}\right. \end{gather*}

А$[2; +\infty)$

Б$(2; +\infty)$

В$(-3; 2)$

Г$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Д$(-\infty; -3)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи нерівностей, які містять дробово-раціональну і лінійну нерівності.

Розв’яжімо нерівності системи й визначмо перетин розв’язків.

$\frac{x-2}{x+3}\ge 0.$

Запишімо ОДЗ: знаменник не може дорівнювати нулю:

\begin{gather*} \text{ОДЗ:}\ x+3\ne 0;\\[7pt] x\ne -3. \end{gather*}

Використаймо метод інтервалів, для цього перенесімо знаменник у чисельник:

\begin{gather*} (x-2)(x+3)\ge 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності, для цього ліву частину прирівнюймо до нуля:

\begin{gather*} (x-2)(x+3)=0. \end{gather*}

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому прирівнюємо кожен множник до нуля:

\begin{gather*} x-2=0\ \text{або}\ x+3=0;\\[7pt] x=2\ \text{або}\ x=-3. \end{gather*}

Накреслімо числову пряму, на якій точками позначмо обчислені нулі лівої частини нерівності: $2$, $-3.$

Зауважмо: нерівність нестрога, тож точку, якою позначено на прямій значення $2$, зафарбовуємо. За ОДЗ $x$ не може дорівнювати значенню $-3$, тому точку, яка його позначає на прямій, буде виколото.

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Ліва частина нерівності була більшою за нуль, тому в розв’язку першої нерівності системи запишімо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

\begin{gather*} -x\le -2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на $-1.$ Зауважмо: якщо множимо нерівність на від’ємне число, то знак нерівності змінюємо на протилежний:

\begin{gather*} x\ge 2. \end{gather*}

Отже, розв’язком цієї нерівності буде проміжок $[2; +\infty).$

Позначмо на числовій прямій розв’язки обох нерівностей і визначмо їхній перетин:

\begin{gather*} x\in [2; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36559

Завдання 383 з 986

Якому проміжку належить значення виразу? \begin{gather*} 4\cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ+2\cos^2 17^\circ+2\sin^2 17^\circ. \end{gather*}

А$(-\infty; -2)$

Б$[-1; 0)$

В$[-1; 0]$

Г$[1; 2)$

Д$[2; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати тригонометричні вирази й визначати належність результату до числового проміжку.

Запишімо $4$ як добуток: \begin{gather*} 2\cdot 2. \end{gather*}

З другого і третього доданка винесімо спільний множник 2 за дужку:

\begin{gather*} 2\cdot 2\cdot \cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ+2(\sin^2 17^\circ+\cos^2 17^\circ). \end{gather*}

Використаймо формулу синуса подвійного аргумента:

\begin{gather*} \sin (2a)=2\sin a\cdot \cos a;\\[7pt] 2\cdot \cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ=\sin (2\cdot 135^\circ). \end{gather*}

Використаймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 17^\circ+\cos^2 17^\circ=1;\\[7pt] 2\sin (2\cdot 135^\circ)+2\cdot 1=2\sin 270^\circ+2. \end{gather*}

За формулами зведення:

\begin{gather*} \sin 270^\circ=-1;\\[7pt] 2\cdot(-1)+2=-2+2=0. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36558

Завдання 384 з 986

Визначте загальний вигляд первісних для функції \begin{gather*} f(x)=\frac{2}{\cos^2 x}+\frac 3x+\cos x+2. \end{gather*}

А$\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C$

Б$\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C$

В$2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C$

Г$2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C$

Д$\mathrm{tg}\ x+\ln|x|+\sin x+2x+C$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний вигляд первісних функції.

Перепишімо перші два доданки, винісши множники з їхніх чисельників: \begin{gather*} \frac{2}{\cos^2 x}=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x};\\[6pt] \frac 3x=3\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Тепер функція має такий вигляд:

\begin{gather*} f(x)=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}+3\cdot \frac 1x+\cos x+2. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції, проаналізувавши доданки:

1. Доданок $2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ – множник $2$ залишмо без змін, первісна для $\frac{1}{\cos^2 x}$ за таблицею первісних дорівнює $\mathrm{tg}\ x$, тож маємо $2\mathrm{tg}\ x.$

2. Доданок $3\cdot \frac 1x$ – множник $3$ залишмо без змін, первісна для $\frac 1x$ за таблицею первісних дорівнює $\ln |x|$, тож $3\ln |x|.$

3. Доданок $\cos x$ – первісна для $\cos x$ за таблицею первісних дорівнює $\sin x$ , тож маємо $\sin x.$

4. Доданок $2$ – первісна від сталої $2$ дорівнює $2x.$

Запишімо суму всіх доданків, які визначили в пунктах 1–4, у кінці додамо константу $C$, бо за умовою треба визначити загальний вигляд первісних функції:

\begin{gather*} F(x)=2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36557

Завдання 385 з 986

У трапеції $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Периметр трикутника $BOC$ відноситься до периметра трикутника $DOA$ як $2:7.$ Площа трапеції $ABCD$ дорівнює $405$ см$^2$, $AD=28$ см. Визначте висоту трикутника $AOD.$

А$6$ см

Б$8{,}5$ см

В$12{,}25$ см

Г$15{,}5$ см

Д$17{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати складники та площу трапеції, використовуючи властивості подібних трикутників.

Проведімо висоту $h_2$ трикутника $AOD$, розмір якої треба визначити, висоту $h_1$ трикутника $BOC$, висоту $h$ трапеції. Довжина останньої дорівнює сумі довжин висот трикутників:

\begin{gather*} h=h_1+h_2. \end{gather*}

За умовою завдання, $ABCD$ – трапеція, тож її основи $AD$ і $BC$ паралельні. Трикутники $BCO$ і $DAO$ подібні за двома кутами: $\angle AOD=\angle COB$ подібні як вертикальні, $\angle OBC=\angle ODA$ подібні як внутрішні різносторонні при двох паралельних прямих $AD$, $BC$ і січній $BD.$

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює їхньому коефіцієнту подібності $k{:}$

\begin{gather*} k=\frac{P_{\Delta BOC}}{P_{\Delta AOD}}=\frac 27. \end{gather*}

Відповідні сторони подібних трикутників відносяться одна до одної за обчисленим коефіцієнтом подібності: \begin{gather*} \frac{BC}{AD}=\frac 27. \end{gather*}

Довжина сторони $AD$ відома за умовою завдання й дорівнює $28$, підставмо її в знаменник правої частини:

\begin{gather*} \frac{BC}{28}=\frac 27;\\[6pt] BC=\frac{28\cdot 2}{7}=8. \end{gather*}

За умовою завдання площа трапеції $S_{ABCD}=405$ см$^2.$ Запишімо формулу для обчислення площі трапеції:

\begin{gather*} S_{ABCD}=mh. \end{gather*}

Визначмо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} m=\frac{BC+AD}{2}=\frac{8\ \text{см}+28\ \text{см}}{2}=18\ \text{см}. \end{gather*}

З площі трапеції обчислімо її висоту:

\begin{gather*} h=\frac Sm=\frac{405\ \text{см}^2}{18\ \text{см}}=22{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Висоти трикутників $BCO$ і $DAO$ пропорційні за коефіцієнтом подібності $k.$ Нехай коефіцієнтом відношення буде $x$ тоді $h_1=2x$, $h_2=7x.$ Сума довжин висот трикутників дорівнює довжині висоти трапеції, яку вже обчислено:

\begin{gather*} 2x+7x=22{,}5\ \text{см};\\[7pt] 9x=22{,}5\ \text{см};\\[7pt] x=2{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трикутника $DAO$ дорівнює $7x$, тож маємо помножити $7$ на щойно обчислене значення $x{:}$

\begin{gather*} h_2=7\cdot 2{,}5\ \text{см}=17{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36556

Завдання 386 з 986

Розв’яжіть рівняння $|4x-1|=5.$ Якщо рівняння має кілька коренів, обчисліть їхню суму.

А$-1$

Б$1{,}5$

В$0{,}5$

Г$1$

Д$-1{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Оскільки у лівій частині рівняння \begin{gather*} |4x-1|=5 \end{gather*} є модуль, а в правій – додатне число, розкриймо модуль за схемою: рівняння вигляду $|f(x)|=a$, де $a\gt 0$, рівносильне сукупності двох рівнянь $f(x)=a$ або $f(x)=-a.$

Отже, рівняння $|4x-1|=5$ рівносильне сукупності рівнянь: \begin{gather*} 4x-1=5\ \text{або}\ 4x-1=-5. \end{gather*}

Розв’яжімо перше рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=5. \end{gather*}

Перенесімо $-1$ праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=5+1;\\[7pt] 4x=6. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} x=\frac 64;\\[6pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Розв’яжімо друге рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=-5. \end{gather*}

Перенесімо $-1$ праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=-5+1;\\[7pt] 4x=-4. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на $4{:}$ \begin{gather*} x=\frac{-4}{4};\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

На вимогу завдання у відповіді треба зазначити суму всіх визначених коренів. Оскільки маємо два корені рівняння, додамо їх:

\begin{gather*} 1{,}5+(-1)=1{,}5-1=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36555

Завдання 387 з 986

У прямокутній системі координат у просторі зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$, одна з вершин якої збігається з початком координат – точкою $O$, а два ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка $S(4; -4; 11)$ є вершиною піраміди. Визначте довжину апофеми цієї піраміди.

А$4\sqrt{2}$

Б$\sqrt{105}$

В$\sqrt{137}$

Г$12$

Д$\sqrt{151}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Многогранники. Координати та вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку просторової уяви, уміння визначати відстані між двома точками з відомими координатами, знання властивостей піраміди.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди.

Проведімо апофему $SK$, довжину якої треба визначити на вимогу задачі.

Побудуймо висоту піраміди $SO.$ Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то її основою є квадрат, а основа висоти піраміди (точка $O$) проєктується в центр квадрата (точку перетину його діагоналей).

За рисунком основа піраміди лежить у координатній площині $xy$, тож висота $SO$ піраміди дорівнюватиме модулю координати $z$ вершини $S$ піраміди \begin{gather*} SO=|z|=11. \end{gather*}

З’єднаймо основу висоти піраміди (точку $O$) з основою проведеної апофеми (точкою $K$). Відрізок $OK$ – перпендикуляр до ребра $CD$, на якому лежить точка $K.$ За умовою ребро $CD$ лежить на осі $x.$ Відстань від точки $O$ до осі $x$ дорівнюватиме модулю координати y точки $O$, яка збігається з координатою $y$ вершини $S{:}$ \begin{gather*} OK=|y|=|-4|=4. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $SOK$ $(\angle SOK=90^\circ)$, у якому: довжина катета $SO$ дорівнює $11$, довжина катета $OK$ дорівнює $4$, довжина гіпотенузи $SK$ невідома. Використаймо теорему Піфагора, щоб визначити довжину гіпотенузи $SK{:}$

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2;\\[7pt] SK=\sqrt{SO^2+OK^2};\\[7pt] SK=\sqrt{11^2+4^2}=\sqrt{121+16}=\sqrt{137}. \end{gather*}

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36554

Завдання 388 з 986

До зустрічі Нового року залишилося зовсім мало часу, а ще треба нарізати продукти для салату. Мама зможе самотужки нарізати їх за три години, а тато – за шість годин. За скільки годин вони зможуть нарізати всі продукти для салату, якщо працюватимуть разом?

А$5$ год

Б$4$ год

В$3$ год

Г$2$ год

Д$1$ год

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі.

Складімо таблицю.

Нехай уся робота $(A)$, яку треба виконати (нарізати всі продукти для салату), буде одиницею $(1).$

У стовпчик із часом запишімо відомий час, за який мама і тато окремо самотужки нарізають всі продукти. Час, за який мама і тато разом нарізають всі продукти, позначмо $x.$

Продуктивність $(N)$ – це відношення роботи, яку треба виконати, до часу, за який цю роботу виконано: \begin{gather*} N=\frac At. \end{gather*}

	$A$	$t$, год	$N$
Мама	$1$	$3$	$1/3$
Тато	$1$	$6$	$1/6$
Разом	$1$	$x$	$1/x$

Сума індивідуальної продуктивності мами й індивідуальної продуктивності тата дорівнюватиме їхній спільній продуктивності, тож складімо рівняння: \begin{gather*} \frac 13+\frac 16=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині зводимо дроби до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac 26+\frac 16=\frac 1x;\\[6pt] \frac 36=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на $2$, для цього і чисельник, і знаменник дробу розділімо на $2{:}$ \begin{gather*} \frac 12=\frac 1x. \end{gather*}

Чисельники дробів однакові. Щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими їхні знаменники: \begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36553

Завдання 389 з 986

$25^{\log_5 2+1}=$

А$1$

Б$10$

В$100$

Г$1000$

Д$10000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{m+n}=a^m\cdot a^n;\\[7pt] 25^{\log_5 2+1}=25^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо $25$ як $5^2{:}$ \begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, щоб розкрити дужки:

\begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25=5^{2\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо число $2$, на яке множимо логарифм, у степінь аргумента цього логарифма, використавши тотожність:

\begin{gather*} p\log_a x=\log_a x^p;\\[7pt] 5^{2\log_5 2}\cdot 25=5^{\log_5 2^2}\cdot 25=5^{\log_5 4}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] 5^{\log_5 4}\cdot 25=4\cdot 25=100. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36552

Завдання 390 з 986

Задано прямокутний рівнобедрений трикутник $ABC$ $(\angle C=90^\circ).$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Один із гострих кутів трикутника $ABC$ може дорівнювати $50^\circ.$

II. У трикутнику $ABC$ бісектриса кута $C$, проведена до гіпотенузи $AB$, дорівнює радіусу описаного навколо цього трикутника кола.

III. Висоти трикутника $ABC$, проведені з гострих кутів, рівні.

Алише II

Блише I та II

Влише I

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутних рівнобедрених трикутників.

I. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$, тож сума його гострих кутів дорівнює $90^\circ.$ Оскільки трикутник $ABC$ також рівнобедрений, то $\angle A=\angle B=45^\circ.$ Відповідно жоден кут цього трикутника не може дорівнювати $50^\circ.$ Твердження неправильне.

II. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$ і рівнобедрений $(AC=BC)$, тож бісектриса кута $C$, проведена до гіпотенузи, також є висотою і медіаною. Медіана, проведена до гіпотенузи в прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи й радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. Твердження правильне.

III. Трикутник $ABC$ прямокутний $(\angle C=90^\circ)$, тож висота, проведена з гострого кута $A$, дорівнює довжині сторони $AC$, висота, проведена з гострого кута $B$, дорівнює довжині сторони $BC.$ Трикутник $ABC$ також рівнобедрений $(AC=BC)$, тому висоти, проведені з його гострих кутів, теж рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36551

Завдання 391 з 986

Яка область визначення функції $y=\log_2(x^2-12x+11).$

А$(-\infty; 1)$

Б$(1; 11)$

В$[1; 11]$

Г$(11; +\infty)$

Д$(-\infty; 1)\cup (11; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні функції та їхні властивості.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область визначення логарифмічної функції.

Розв’яжімо нерівність методом інтервалів: \begin{gather*} x^2-12x+11\gt 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності. Для цього ліву частину прирівняймо до нуля: \begin{gather*} x^2-12x+11=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-b,\\ x_1\cdot x_2=c. \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=12,\\ x_1\cdot x_2=11. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, $x_1=11$, $x_2=1$, оскільки сума чисел $11$ й $1$ дорівнює $12$, а їхній добуток становить $11.$

Накреслімо числову пряму, на якій виколотими точками, оскільки нерівність строга, позначмо нулі лівої частини нерівності: $1$, $11.$

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Оскільки ліва частина нерівності за умовою завдання більша за нуль, то у відповіді запишемо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

\begin{gather*} x\in (-\infty; 1)\cup (11; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36550

Завдання 392 з 986

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у якому точки $M$, $K$, $N$, $L$ ділять навпіл ребра $AD$, $A_1D_1$, $D_1C_1$, $DC$ відповідно. Визначте площину, що паралельна площині $MKN.$

А$AA_1D_1$

Б$ABC$

В$B_1D_1D$

Г$AA_1B_1$

Д$AA_1C_1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати взаємне розміщення площин у просторі.

А Площини перетинаються по прямій $MK{:}$

\begin{gather*} AA_1D_1\cap MKN=MK. \end{gather*}

Б Площини перетинаються по прямій $ML{:}$

\begin{gather*} ABC\cap MKN=ML. \end{gather*}

B Площини перетинаються по прямій $PQ{:}$

\begin{gather*} B_1D_1D\cap MKN=PQ. \end{gather*}

Г Продовживши зображення площин, можна побачити, що вони перетинаються по прямій $GF{:}$

\begin{gather*} AA_1B_1\cap MKN=GF. \end{gather*}

Д Площини $AA_1C_1$ та $MKN$ паралельні:

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36549

Завдання 393 з 986

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\frac 12\right)^{x+3}=\sqrt[3]{4}$?

А$(-15; -10)$

Б$(-10; -5)$

В$(-5; 0)$

Г$(0; 5)$

Д$(5; 10)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Перетворімо $\left(\frac 12\right)^{x+3}$ на $(2^{-1})^{x+3}$, скориставшись формулою $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

За властивістю степеня:

\begin{gather*} \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn};\\[6pt] \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac 23};\\[6pt] (2^{-1})^{x+3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

У лівій частині за властивістю степенів $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ розкриймо дужки, для цього перемножмо степені в дужках і за дужками:

\begin{gather*} 2^{-x-3}=2^{\frac 23}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа $2$), можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} -x-3=\frac 23. \end{gather*}

У цьому лінійному рівнянні перенесімо $-3$ праворуч, змінивши знак мінус на знак плюс: \begin{gather*} -x=3+\frac 23;\\[6pt] -x=3\frac 23. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на $-1{:}$ \begin{gather*} x=-3\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36548

Завдання 394 з 986

У чотирикутник $ABCD$ вписано коло. Визначте периметр цього чотирикутника, якщо відомо, що $AB=16$ см, $CD=11$ см.

А$18$ см

Б$27$ см

В$31$ см

Г$54$ см

Д$77$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості чотирикутника, у який можна вписати коло.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD. \end{gather*}

Обчислімо суму довжин двох відомих протилежних сторін заданого чотирикутника:

\begin{gather*} AB+CD=16+11=27\ \text{см}. \end{gather*}

Відомо, що в цей чотирикутник вписано коло. У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні:

\begin{gather*} AB+CD=AD+BC. \end{gather*}

Тоді сума двох інших протилежних сторін $BC$ й $AD$ заданого чотирикутника також дорівнюватиме $27$ см:

\begin{gather*} BC+AD=27\ \text{см}. \end{gather*}

Уже відомі суми протилежних сторін чотирикутника: $AB$, $CD$ і $BC$, $AD.$ Щоб обчислити його периметр, треба додати дві відомі суми:

\begin{gather*} P=AB+CD+BC+AD=27+27=54\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36547

Завдання 395 з 986

PIN-код складається із $4$ цифр (цифри можуть повторюватися). Відомо, що перша цифра – не нуль; друга – парна. Скількома способами можна скласти такий PIN-код?

А$4500$

Б$5000$

В$5500$

Г$5450$

Д$4000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати комбінаторне правило множення для розв’язання практичних задач.

Усього є $10$ цифр: $0$; $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9.$

Відомо, що на першому місці в числі може стояти будь-яка цифра, але не нуль. Є дев’ять цифр, які відповідають цій умові: $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9.$ Отже, маємо $9$ варіантів вибору першої цифри.

На другому місці може стояти парна цифра. Усього є п’ять парних цифр: $0$; $2$; $4$; $6$; $8.$ Отже, для вибору другої цифри є п’ять варіантів.

На третьому місці може стояти будь-яка цифра. Оскільки вже визначили, що всього є десять цифр, то маємо десять варіантів вибору третьої цифри.

На четвертому місці може стояти будь-яка цифра, тож маємо десять варіантів вибору четвертої цифри.

Треба вибрати цифру і для першого місця в числі, і для другого, і для третього, і для четвертого. Тому кількості варіантів маємо перемножити за правилом добутку, оскільки є сполучник і:

\begin{gather*} 9\cdot 5\cdot 10\cdot 10=4500. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36546

Завдання 396 з 986

Якщо $a=\frac{b^2}{2c}-b$, то $c=$

А$\frac{b}{2(a+b)}$

Б$\frac{b^2}{2a+2b}$

В$\frac{2(a+b)}{b}$

Г$\frac{2a+2b}{b^2}$

Д$\frac{a+b}{b^2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо $\frac{b^2}{2c}$ ліворуч, $a$ – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на $-1{:}$ \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину $b+a$, для цього допишімо в знаменнику $1{:}$ \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на $2(a+b){:}$ \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього $2$ помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36545

Завдання 397 з 986

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ з вершиною $S.$ У цій піраміді $AD$ є

Аапофемою

Бребром основи

Ввисотою основи

Гбічним ребром

Двисотою

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді $SABCD{:}$

$SA$, $SB$, $SC$, $SD$ – бічні ребра;

$AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – ребра основи.

Отже, $HD$ є ребром основи.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 731. Запитання: 36407

Завдання 398 з 986

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-4)x+16=0$ на $6$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2-(2m-4)x+16=0;\\[7pt] x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6. \end{gather*}

Знайдемо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(2m-4)^2-4\cdot 1\cdot 16=\\[7pt] =4m^2-16m+16-64=4m^2-16m-48\gt 0;\\[7pt] 4(m^2-4m-12)\gt 0;\\[7pt] 4(m-6)(m+2)\gt 0. \end{gather*}

Додатне значення $m$, при якому рівняння має два різних кореня $m\gt 6.$

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array}\right.\\[7pt] 2x_2=2m-10;\\[7pt] x_2=m-5. \end{gather*}

Підставмо значення $x_2$ у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16;\\[7pt] (m+1)(m-5)=16;\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0;\\[7pt] m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ne m\gt 6. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, додатне значення $m=7.$

Відповідь: $7.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36406

Завдання 399 з 986

Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною $6$ см. Визначте площу $S$ (у см$^2$) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\frac{S}{\pi}.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра $ABCD$ є квадрат. $AB=BC=CD=AD=6$ см.

\begin{gather*} S_\text{біч}=2\pi RH,\ \text{де}\ R=\frac 12AD=3\ \text{см};\\[6pt] H=AB=6\ \text{см};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi\cdot 3\cdot 6=36\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S}{\pi}=\frac{36\pi}{\pi}=36. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36405

Завдання 400 з 986

У квітковому магазині є $13$ білих і $8$ жовтих троянд. Покупець вибирає у цьому магазині чотири білі й одну жовту троянди. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

5720

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати задачі, використовуючи комбінацї та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $4$ білі троянди з $13$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{13}^4=\frac{13!}{4!\cdot (13-4)!}=\frac{13!}{4!\cdot 9!}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{2\cdot 3\cdot 4}=5\cdot 11\cdot 13=715\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ жовту троянду з $8$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об'єкт із $8$ наявних можна $8$ способами:

\begin{gather*} C_{8}^1=8. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $4$ білі й $1$ жовту троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{13}^4\cdot _8^1=715\cdot 8=5720. \end{gather*}

Відповідь: $5720.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 733. Запитання: 36404

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}0\end{gather}	\begin{gather}C\end{gather}
\begin{gather}x^{\alpha},\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}
\begin{gather}\frac{1}{\cos^2 x}\end{gather}	\begin{gather}\mathrm{tg}\ x+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

	\(A\)	\(t\), год	\(N\)
Мама	\(1\)	\(3\)	\(1/3\)
Тато	\(1\)	\(6\)	\(1/6\)
Разом	\(1\)	\(x\)	\(1/x\)

Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики