Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм.

Щоб відповідсти на запитання, потрібно визначити на осі "роки" рік, в якому точка, що йому відповідає, віддалена від точки, що відповідає попередньому року, по вертикалі на найбільшу відстань.

З діаграми видно, що найбільші по вертикалі відстані спостерігаються між точками, що відповідають \(2006\) р. \((5\mathord{,}8\) млн. км\(^2)\) i \(2007\) р. \((4\mathord{,}3\) млн. км\(^2)\) та точками, що відповідають \(2012\) р. \((3\mathord{,}4\) млн. км\(^2)\) і \(2013\) р. \((5\mathord{,}1\) млн. км\(^2).\)

Знайдемо різниці між річними мінімумами: $$ 5\mathord{,}8-4\mathord{,}3=1\mathord{,}5 $$ (зменшення у \(2007\) р. порівняно з \(2006\) р.) та $$ 5\mathord{,}1-4\mathord{,}3=1\mathord{,}8 $$ (збільшення у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р.)

Оскільки \(1\mathord{,}8\gt 1\mathord{,}5\), то величина річного мінімуму площі поверхні льоду найбільше змінилася у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р. Отже, правильна відповідь \(2013\) р.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Друге рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є показниковим. Розв'яжемо це рівняння. Для цього запишемо число \(16\) у вигляді степеня з основою \(4\): $$ 16=4^2, $$ тоді $$ 16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}. $$ Отже, рівняння набуває вигляду $$ 4^x=4^{-2}. $$ Оскільки степені з однаковими основами рівні, коли рівні показники їх степенів, то отримуємо \(x=-2.\) Підставимо отримане значення \(x=-2\) в перше рівняння системи:

\begin{gather*} -2+y=5,\\[7pt] y=7. \end{gather*}

Отже, пара чисел \((-2; 7)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Тоді

$$ x_0\cdot y_0=-2\cdot 7=-14. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у числі \(8\) цифр, серед них дві цифри \(5.\) Тоді імовірність того, що комп'ютерна програма навмання видалить цифру \(5\), за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості цифр \(5\) у числі до загальної кількості цифр у цьому числі:

$$ P(A)=\frac 28=\frac 14. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відношення і пропорції. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння використовувати відношення для розв'язування текстових задач і знання означення подільності числа на \(9.\)

Введемо коефіцієнт пропорційності \(n\), тоді для оформлення зали було закуплено \(4n\) та \(5n\) повітряних кульок кожного кольору. Загальна кількість повітряних кульок, закуплених для оформлення зали, складає \(4n+5n=9n\) кульок. Оскілько \(n\) має бути натуральним числом, то загальна кількість кульок повинна бути кратною \(9.\)

Число ділиться на \(9\) націло, якщо сума всіх його цифр ділиться на \(9\) націло.

Перевіримо кожну із запропонованих відповідей:

А. \(1+0+0=1\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(100\) не ділиться на \(9.\)

Б. \(1+1+5=7\) – не ділиться на \(9\), тому й число \(115\) не ділиться на \(9.\)

В. \(1+1+7=9\) – ділиться на \(9\), отже, число \(117\) ділиться на \(9.\)

Г. \(1+2+0=3\) – не ділиться на \(9\), отже, і \(120\) не ділиться на \(9.\)

Д. \(1+4+5=10\) – не ділиться на \(9\), отже і \(145\) не ділиться на \(9.\)

Отже, загальна кількість кульок із наведених чисел може дорівнювати лише \(117.\)

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Помітимо, що ця система є лінійною відносно \(2^{x}\) і \(y.\) Застосуємо метод додавання. Від першого рівняння системи віднімемо почленне друге рівняння:

$$ 3y - 2^{x} + 2^{x} - (-y) = -13 - 15. $$

Звівши подібні доданки, отримаємо: \(4y = -28,\) звідси \(y = -7.\)

Підставимо отримане значення \(y = -7\) в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, у перше: $$ 3 \cdot (-7) + 2^{x} = -13, $$ звідси \begin{gather*} 2^{x} = -13 + 21,\\[7pt] 2^{x} = 8,\\[7pt] x = 3. \end{gather*}

Отже, \((3; -7)\) – розв’язок системи. Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 3 + (-7) = -4. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми арифметичної прогресії.

Всі дистанції, що долав плавець кожного тренування, поки не досягнув результату \(1000\) м, утворюють арифметичну прогресію. За умовою \(a_{1} = 450\) м, \(d = 50\) м, \(a_{n} = 1000\) м.

Визначимо \(n\) за формулою загального члена $$ a_{n} = a_{1} + d(n - 1). $$ Підставимо в цю формулу \(a_{1} = 450\), \(d = 50\) і \(a_{n} = 1000.\) Отримаємо $$ 1000 = 450 + 50(n - 1), $$ звідки \(n = 12.\)

За ці \(12\) тренувань плавець проплив всього

Оскільки плавець тренувався тричі на тиждень, то за \(10\) тижнів він провів \(30\) тренувань. Під час кожного з останніх \(18\) тренувань плавець пропливав \(1000\) м, тому за ці \(18\) тренувань плавець проплив всього $$ 18 \cdot 1000 = 18000\ \text{м}. $$ Отже, за перші \(10\) тижнів тренувань плавець проплив всього

Відповідь: \(26{,}7.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь методом підстановки.

З першого рівняння маємо \(\sqrt{x} = 4.\) Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, отримаємо \(x_{0} = 16.\) Підставивши це значення в друге рівняння, отримаємо $$ 16 - 2y = 26, $$ звідки \(y_{0} = -5.\) Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 16 - 5 = 11. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення між двома числами.

Нехай Петро зібрав \(x\) яблук, тоді Сергій зібрав \(5x\) яблук. Оскільки разом хлопці зібрали \(x + 5x = 6x\) яблук, то $$ \frac{x}{6x} = \frac{1}{6} $$ всіх яблук зібрав Петро.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції.

Точка належить графіку функції, якщо цей графік проходить через точку. З рисунка видно, що серед запропонованих точок лише точка \((-3; 1)\) належить графіку заданої функції.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул площі поверхні паралелепіпеда, вміння розв'язувати текстові задачі.

Площа бічної поверхні

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=P_{ABCD}\cdot CC_1=(5+4)\cdot 2\cdot 2{,}5=45\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа стін становить \(0{,}8\) від площі бічної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{стін}=45\cdot 0{,}8=36\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площі стелі:

\begin{gather*} S_\text{стелі}=4\cdot 5=20\ \text{м}^2. \end{gather*}

Площа, яку треба пофарбувати:

\begin{gather*} S=36+20=56\ \text{м}^2. \end{gather*}

На \(1\) м\(^2\) витрачається \(0{,}25\) кг фарби, отже,

\begin{gather*} 56\cdot 0{,}25=14\ \text{кг} \end{gather*}

потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни та стелю.

Відповідь: \(14.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

Відповідь: \(36.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати точки, що належить графіку функції.

Точка \((x_0; y_0)\) належить графіку функції \(y=f(x)\), якщо її координати задовольняють умову \(y_0=f(x_0).\)

Якщо точка \((x_0; 4)\) належить графіку функції $$ y=\sqrt{2x^2+x+1}, $$ то має виконуватися рівність: $$ 4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}. $$

Звідси після піднесення лівої і правої частин до квадрата дістанемо: \begin{gather*} 2x_0^2+x_0+1=16,\\[7pt] 2x_0^2+x_0-15=0,\\[7pt] x_0=2{,}5\ \text{або}\ x_0=-3. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(x_0\gt 0\), то \(x_0=2{,}5.\)

Відповідь: \(2{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма. Розглянемо окремо кожне твердження.

I. \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\) – твердження є правильним, оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\)

II. \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) – це твердження неправильне. Протилежні кути паралелограма рівні, їх сума може дорівнювати \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Але з рисунка видно, що кути \(B\) і \(D\) – тупі (їх градусна міра перевищує \(90^\circ\), отже, їх сума більша за \(180^\circ\)).

III. \(\angle B - \angle A \gt 0^\circ\) – ця нерівність рівносильна нерівності \(\angle B \gt \angle A.\) З рисунка видно, що це твердження є правильним. Отже, правильні твердження I і III.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки.

Це завдання перевіряє вміння записувати число у вигляді відсотка.

Щоб виразити число у відсотках, треба помножити його на \(100\ \%.\) Тоді $$ \frac{1}{5} \cdot 100\ \% = 20\ \%. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей вертикальних та суміжних кутів, які відносяться до найпростіших геометричних фігур на площині.

Нагадаємо, що суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) є суміжними.

Вертикальними називаються два кути, в яких сторони одного кута є доповнювальними променями сторін другого. На рис. 2 кути \(AOB\) та \(COD\) є вертикальними. Вертикальними також є кути \(AOD\) та \(BOC.\)

Проаналізуємо наведені твердження.

I. Вертикальні кути є рівними, але їх сума дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Тому твердження I не є правильним.

II. Суміжні кути в сумі утворюють розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює \(180^\circ.\) Отже, твердження II є правильним.

III. Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше \(90^\circ\), і тупим, якщо його градусна міра більше \(90^\circ\) і менше \(180^\circ.\) Їх сума не обов’язково дорівнює \(180^\circ\), а дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли вони суміжні. Отже, твердження III не є правильним.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

1) \(x^2+y^2=81\) коло з центром \((0; 0)\) та радіусом \(9.\)

2) \((x+2)^2+y^2=a^2\) коло з центром \((-2; 0)\) та радіусом \(a.\)

 

Система має єдиний розв'язок за умови внутрішнього або зовнішнього дотику двох кіл.

 

Найбільше значення параметра \(a\), за якого система має єдиний розв'язок \(a=11.\)

Відповідь: \(11.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв'язувати рівняння графічним методом, рівнянь з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно.

Побудуємо графік \(y=\left|x^2-3|x|-4\right|.\)

\begin{gather*} x_0=\frac 32=1{,}5;\\[6pt] y_0=1{,}5^2-3\cdot 1{,}5-4=-6{,}25. \end{gather*}

\((1{,}5; -6{,}25)\) – вершина параболи.

Точки перетину з осями:

– з \(Ox{:}\)

\begin{gather*} y=0;\\[7pt] x^2-3x-4=0;\\[7pt] D=9+16=25;\\[6pt] x_1=\frac{3+5}{2}=4;\\[6pt] x_2=\frac{3-5}{2}=-1. \end{gather*}

– з \(Oy{:}\)

\begin{gather*} x=0;\\[7pt] y=-4. \end{gather*}

\(a=1\) гілки напрямлені вгору.

\(y=a\) – пряма, паралельна осі \(Ox.\) Кількість розв'язків рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) – кількість точок перетину графіків.

Найбільше значення \(a\), при якому рівняння має чотири корені: \(a=6{,}25.\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

Пояснення

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac 1x\le \frac 13;\\[6pt] \frac 1x-\frac 13\le 0;\\[6pt] \frac{3-x}{3x}\le 0;\\[6pt] \frac{x-3}{3x}\ge 0.\\[6pt] \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів.

ОДЗ: \(x\ne 0.\)

\(x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ 2x+3\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ x\ne -1{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння буде мати один корінь у двох випадках:

1) рівняння \(x^2-x+a=0\) має один корінь \((D=0)\) та він не дорівнює \(-1{,}5.\)

2) рівняння \(x^2-x+a=0\) має два корені \((D\gt 0)\), але один з коренів дорівнює \(-1{,}5.\)

Розглянемо кожний випадок: \begin{gather*} \text{1)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a=0;\\[7pt] a=\frac 14;\\[7pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Отже, при \(a=\frac 14\) рівняння має один корінь.

\begin{gather*} \text{2)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a\gt 0;\\[6pt] x_1=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2};\\[6pt] x_2=\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}. \end{gather*}

\(x_1\gt 0\), отже, не може дорівнювати \(-1{,}5.\)

Знайдемо значення \(a\), при якому \(x_2=-1{,}5.\)

\begin{gather*} \frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}=-\frac 32;\\[6pt] 1-\sqrt{1-4a}=-3;\\[6pt] \sqrt{1-4a}=4;\\[7pt] 1-4a=16;\\[7pt] -4a=15;\\[6pt] a=-\frac{15}{4};\\[6pt] a=-3{,}75. \end{gather*}

Отже, при \(a=-3{,}75\) рівняння має один корінь.

У відповідь запишем найменше значення \(a.\)

Відповідь: \(-3{,}75.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) вписані у кола.

Точка \(O\) – центр сфери. Проведемо \(OO_1\!\perp\!(ABC)\), \(ON\!\perp\!BB_1.\)

Точка \(O_1\) – центр кола, описаного навколо \(\Delta ABC.\)

\(ONBO_1\) – прямокутник.

За умовою \(\angle OBN=30^\circ.\) Отже, \(\angle OBO_1=60^\circ.\) Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1.\) \(OB=6\) см.

У \(\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\),

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ O_1B=3\) см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де \(a=AB\) – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(121{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_8 16=\log_{2^3} 2^4=\frac 43\log_2 2=\frac 43. \end{gather*}

Відповідь: Б

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

І. Протилежні кути ромба рівні (властивість будь-якого паралелограма).

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба).

ІІІ. У будь-який ромб можна вписати коло (сума довжин протилежних сторін рівна).

Усі твердження є правильними.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x(x - 5) \ge 0, \\ (x - 4)(x - 5) \ge 0, \\ x - 5 \ge 0, \\ a \ge 0, \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge 5, \\ a \ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Використаємо властивість коренів:

\(x = 5\) – корінь рівняння незалежно від параметра \(a.\)

Для того, щоб рівняння мало два корені, необхідно, щоб \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) мало один корінь, який не збігається з \(x = 5.\)

\(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) піднесемо до квадрата обидві частини рівняння: \begin{gather*} x + x - 4 + 2\sqrt{x(x - 4)} = a,\\[7pt] 2\sqrt{x(x - 4)} = a + 4 - 2x. \end{gather*}

Ліва частина рівняння невід'ємна, тому й права частина повинна бути невід'ємною. Отже,

\begin{gather*} a + 4 - 2x,\\[7pt] 2x \le a + 4,\\[7pt] x \le \frac{a + 4}{2}. \end{gather*}

З урахуванням ОДЗ:

Найменше ціле значення параметра \(a\), при якому початкове рівняння має два корені при \(a \gt 6 + 2\sqrt{5}\)
\(6 + 2\sqrt{5} \approx 10{,}5.\) Отже, \(a = 11.\)

Відповідь: \(11.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – призма, \(BB_1\) – висота призми. \(AC = 17\) см.

1. \((AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1\), \((AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C\). Отже, \(\Delta AB_1C\) – даний переріз.

2. \(BO\!\perp\!AC\) (властивість діагоналей ромба). \(B_1O\!\perp\!AC\) (за теоремою про три перпендикуляри). \((BOB_1)\!\perp\!AC.\) Отже, \(\angle B_1OB = \alpha\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((AB_1C)\) і \((ABC).\)

3. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\),

4.

\begin{gather*} V = S_{основи} \cdot H = S_{ABCD} \cdot BB_1,\\[6pt] S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{17}{2}BD,\\[6pt] BB_1 = 1{,}2BD. \end{gather*}

За умовою, \(V = 1020\ \text{см}^3.\) Отже,

\begin{gather*} \frac{17}{2}BD \cdot 1{,}2BD = 1020,\\[6pt] BD^2 = 100,\\[7pt] BD = 10\ \text{см},\\[6pt] BO = \frac{1}{2}BD = 5\ \text{см}. \end{gather*}

5. \(BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12\) см.

6. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(110{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування квадратних нерівностей.

\begin{gather*} 2x \ge x^2,\\[7pt] x^2 - 2x \le 0,\\[7pt] x(x - 2) \le 0. \end{gather*}

\(x = 0\), \(x = 2\) – нулі функції. Розв'яжемо методом інтервалів.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

\(\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ\) як суміжні.

\(\angle DAC = 146^\circ\), \(\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \((\angle B = 90^\circ).\) \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.\) \(\angle ACB = \alpha = 56^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє уміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(6{:}\) \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=2\ \big|\cdot 6,\\[6pt] 3x+2x=12,\\[6pt] 5x=12,\\[7pt] x=12:5,\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

\(f(x)=2x^3-5.\)

Знайдемо похідну функції: \(f'(x)=6x^2.\)

Похідна функції в точці \(x_0=-1{:}\)

\begin{gather*} f'(-1)=6\cdot (-1)^2=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

На полиці \(18\) банок із джемом. З абрикосовим джемом \(6\) банок.

Імовірність того, що навмання взята банка буде з абрикосовим джемом, становить: \begin{gather*} P=\frac{6}{18}=\frac 13. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Після зниження ціни на \(15\ \%\) вартість товару становить \begin{gather*} 100\ \%-15\ \%=85\ \%. \end{gather*}

Знайдемо \(85\ \%\) від \(1800\) грн:

\begin{gather*} 1800\cdot 0{,}85=18\cdot 85=1530\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – пряма призма, тому \(CC_1 \perp (ABC)\), \(ABCD\) – трапеція, \(AB=CD.\)

Додаткова побудова: \(CK\ ||\ AB.\)

\(CC_1\ ||\ BB_1\), \(CK\ ||\ AB\), \(CK\cap CC_1\), \(AB\cap BB_1\), звідси, за ознакою паралельності площин \((CKC_1)\ ||\ (ABB_1).\)

Січна площина \((CC_1K)\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, \(KK_1\ ||\ AA_1\), \(C_1K_1\ ||\ CK.\)

\(AB\ ||\ CK\), \(CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).\)

Прямокутник \(KCC_1K_1\) – шуканий переріз.

\begin{gather*} V=S_\text{основи}\cdot H=S_{ABCD}\cdot CC_1;\\[7pt] CC_1=8\ \text{см};\\[7pt] V=672\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай \(BC=x\) см, тоді \(AD=CE=6x\) см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де \(CE \perp AD\) – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=CD\) (за умовою), \(AB=CK\) (протилежні сторони паралелограма).

Отже, \(CK=13\) см.

Відповідь: \(104.\)

Пояснення

Пояснення

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

\(f(x)=4\cos x+5.\)

Знайдемо похідну: \(f'(x)=-4\sin x.\)

Похідна функції в точці \(x_0=\frac{\pi}{2}{:}\)

\begin{gather*} f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\sin \frac{\pi}{2}=-4\cdot 1=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього \(12\) бідонів. Квітковий мед міститься у \(3\) бідонах. Імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити кідковий мед: \begin{gather*} P=\frac{3}{12}=\frac 14. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма та вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^p=p\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Знайдемо \(0{,}5\ \%\) від \(32\ 000\) грн.

\begin{gather*} \frac{32\ 000\cdot 0{,}5}{100}=320\cdot 0{,}5=160\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на найпростіші випадки підрахунку ймовірностей.

Чоловіків \(\frac 27\) від усіх співробітників відділу. Отже, кількість жінок становить \begin{gather*} 1-\frac 27=\frac 57. \end{gather*}

Відношення кількості жінок до кількості чоловіків становить: \begin{gather*} \frac 57:\frac 27=\frac{5\cdot 7}{7\cdot 2}=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій.

Функція \(y=f(x)\) є спадною, тому меншому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Отже, правильна нерівність \(f(1)\gt f(10).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення рівняння з однією змінною, кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною, вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо до спільної основи

\begin{gather*} 5^{x+3}=(5^{-3})^x;\\[7pt] 5^{x+3}=5^{-3x};\\[7pt] x+3=-3x;\\[7pt] 4x=-3;\\[6pt] x=-\frac 34. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=-0{,}75\) належить проміжку \((-1; 0].\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати основні задачі на відсотки.

Журнал коштував \(25\) грн, а став – \(21\) грн. Отже, ціна знизилась на \(4\) грн від початкової (\(25\) грн). Це становить:

\begin{gather*} \frac{4}{25}\cdot 100\ \%=16\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх тотожні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^p=p\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac 2x=5;\\[6pt] x=\frac 25;\\[6pt] x=0{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак перпендикулярності прямої та площини у просторі.

\(ABCA_1B_1C_1\) – пряма призма \(\Delta ABC\) – рівнобедрений, \(AB=BC=25\) см, \(AC=30\) см.

Додаткова побудова:
\(AK\ \perp\ BC\) (у \(\Delta ABC\)),
\(KK_1\ \perp BC\ (BCC_1).\)

За ознакою перпендикулярності прямої та площини \(BC\ \perp\ (AKK_1).\)

Отже, \(AKK_1A_1\) – переріз призми, який проходить через ребро \(AA_1\) та перпендикуляра \(BC.\) \(AKK_1A_1\) – прямокутник.

Розглянемо \(\Delta ABC.\) \(BE\ \perp\ AC\), \(AK\ \perp\ BC.\) \(\Delta ABE\) \((\angle E=90^\circ)\), \(AB=25\) см.

\(AE=\frac 12 AC=15\) см (\(BE\) – висота та медіана). За теоремою Піфагора

Відповідь: \(900.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі поверхні конуса.

Прямокутний \(\Delta CAB\ (\angle C=90^\circ)\), \(AC=12\) см, \(BC=9\) см.

\begin{gather*} S_{\text{біч}} = \pi Rl, \end{gather*}

де \(R=BC\), \(l=AB.\)

За теоремою Піфагора

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

\(210\) пакетів два кур'єри доставили у співвідношенні \(3 : 7\). Другий кур'єр доставив \(\dfrac{7}{10}\) від загальної кількості пакетів.

Отже, \(210 \cdot \dfrac{7}{10} = 21 \cdot 7 = 147\) пакетів доставив другий кур'єр.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі бічної поверхні циліндра.

При обертанні прямокутника навколо меншої сторони отримаємо циліндр.
\(OO_1 = 8\) см – висота циліндра.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямі на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралельних прямих.

\(a\ ||\ b\), \(c\) – січна.

За властивістю паралельних прямих:

I. \(\angle 1\) i \(\angle 3\) суміжні (за означенням суміжних кутів).

II. \(\angle 1=\angle 2\) як відповідні при паралельних прямих.

IІІ. \(\angle 1=\angle 2\), \(\angle 1+\angle 3=180^\circ\) (за властивістю суміжних кутів).

Отже, \(\angle 2+\angle 3=180^\circ\).

Усі з наведених тверджень є правильними.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати текстові задачі на відношення.

\(5000\) грн було розподілено таким чином:

\(\dfrac 14\) – отримав перший фахівець,

\(\dfrac 34\) – другий фахівець.

Отже, другий фахівець отримав:

\begin{gather*} 5000\cdot \frac 34=1250\cdot 3=3750\ \text{грн.} \end{gather*}

Відповідь: Г.

 

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій, заданих формулою, парності та непарності функцій.

Для того, щоб функція була парна, необхідно виконання двох умов:
1) \(D(y)\) – симетрична відносно \((0; 0){;}\)
2) \(f(-x) = f(x)\).

А \(y = 4^x\), \(y(-x) = 4^{-x} = \dfrac{1}{4^x} \ne y(x).\)

Б \(y = x\), \(y(-x) = -x \ne y(x).\)

В \(y = \sqrt{x},\) \(D(y)\) несиметрична відносно \((0; 0).\)

Г \(y = \mathrm{tg}\ x\), \(y(-x) = \mathrm{tg}\ (-x) = -\mathrm{tg}\ x = -y(x).\)

Д \(y = |x|\), \( y(-x) = \lvert -x\rvert = |x| = y(x)\) – парна.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання означення бісектриси кута, теореми про суму кутів трикутника.

\(BD\) – бісектриса \(\angle B\), тому $$ \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 70^\circ. $$

У \(\Delta ABC\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх тотожні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння множити многочлени, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриємо дужки:

Відповідь: A.