Національний мультитест з математики - тести для підготовки до ЗНО, починаючи з 800

Національний мультитест. Тема «Національний мультитест з математики». Всі запитання починаючи з 800

8018028038048058068078088098108118128138148158168178188198208218228238248258268278288298308318328338348358368378388398408418428438448458468478488498508518528538548558568578588598608618628638648658668678688698708718728738748758768778788798808818828838848858868878888898908918928938948958968978988999009019029039049059069079089099109119129139149159169179189199209219229239249259269279289299309319329339349359369379389399409419429439449459469479489499509519529539549559569579589599609619629639649659669679689699709719729739749759769779789799809819829839849859869879889899909919929939949959969979989991000 ▶

Завдання 801 з 1206

В арифметичній прогресії \((a_n)\) різниця \(d=0{,}5\), п'ятнадцятий член \(a_{15}=12.\) Визначте перший член \(a_1\) прогресії.

А\(12{,}5\)

Б\(24\)

В\(6\)

Г\(4{,}5\)

Д\(5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_{15}=a_1+d(15-1);\\[7pt] 12=a_1+0{,}5\cdot 14;\\[7pt] a_1+7=12;\\[7pt] a_1=12-7;\\[7pt] a_1=5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37576

Завдання 802 з 1206

Які твердження правильні?

I. Існує лише одна точка на площині трикутника, яка рівновіддалена від його вершин.

II. Медіана трикутника ділить його на два рівновеликі трикутники.

III. Середня лінія трикутника проходить через точку перетину його медіан.

Алише I

Блише IІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\) (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані \(\dfrac 13\) довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані \(\dfrac 12\) довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні \(\dfrac 13\ne \dfrac 12\), середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37577

Завдання 803 з 1206

Скільки коренів рівняння \(\cos x=0\) належить проміжку \([0; \pi]\)?

Ажодного

Бодин

Втри

Гдва

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37578

Завдання 804 з 1206

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д), якщо \(a\ne \sqrt{2}.\)

Вираз

1\(\dfrac{a^2-2a\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}{a-\sqrt{2}}\)

2\(\dfrac{a^2-2}{a-\sqrt{2}}\)

3\(\log_{b} b^a+3\)

Тотожно рівний вираз

А\(a+\sqrt{2}\)

Б\(1\)

В\(a+3\)

Г\(a+3b\)

Д\(a-\sqrt{2}\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. Скористаймося формулою скороченого множення квадрат різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[6pt] \frac{a^2-2a\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}{a-\sqrt{2}}=\frac{(a-\sqrt{2})^2}{a-\sqrt{2}}=a-\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(\dfrac{a^2-2}{a-\sqrt{2}}=\dfrac{a^2-(\sqrt{2})^2}{a-\sqrt{2}}=\dfrac{(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})}{a-\sqrt{2}}=a+\sqrt{2}.\)

Скористалися формулою скороченого множення різниця квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_b b^a+3=a\cdot \log_b b+3=a\cdot 1+3=a+3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – A, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37579

Завдання 805 з 1206

Установіть відповідність між твердженням (1–3) та функцією (А – Д), для якої це твердження правильне.

Твердження

1найменше значення на відрізку \([1; 3]\) функція набуває в точці \(x=3\)

2областю значень функції є проміжок \([0; +\infty)\)

3графік функції симетричний відносно осі \(y\)

Функція

А\(y=-\frac 3x\)

Б\(y=x^2+3\)

В\(y=\sqrt{x}\)

Г\(y=\log_{0{,}5} x\)

Д\(y=3x\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A. Функція \(y=-\dfrac 3x\) має графік – гіперболу.

Б. \(y=x^2+3\) квадратична функція, графік якої – парабола з вершиною на осі \(y.\)

Функція \(y=x^2+3\) парна:

\begin{gather*} f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x). \end{gather*}

Графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 3 – Б.

B. Функція \(y=\sqrt{x}\) зростає на всій області визначення.

\(y=\sqrt{x}\) за означенням набуває значень від \(0\) до \(+\infty.\)

\begin{gather*} E(y)=[0; +\infty). \end{gather*}

Отже, 2 – B.

Г. \(y=\log_{0{,}5}x\) логарифмічна функція з основою \(a=0{,}5.\)

Оскільки основа \(0{,}5\lt 1\), функція спадна на всій своїй області визначення \(x\gt 0.\) У точці \(x=3\) функція має найменше значення на відрізку \([1; 3]\).

Отже, 1 – Г.

Д. Графік функції \(y=3x\) – пряма.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37580

Завдання 806 з 1206

На катеті \(BC\) прямокутного трикутника \(ACB\), у якому \(\angle C=90^\circ\), \(\angle B=32^\circ\), вибрано точку \(K\) так, що \(AK=KB\) (див. рисунок). Точка \(O\) – центр кола, описаного навколо трикутника \(ACB.\) До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1\(\angle KAB\)

2\(\angle KAC\)

3\(\angle OKB\)

Градусна міра кута

А\(24^\circ\)

Б\(26^\circ\)

В\(32^\circ\)

Г\(58^\circ\)

Д\(64^\circ\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle KAB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) рівнобедрений \((AK=KB)\), то кути при його основі рівні:

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBA=32^\circ. \end{gather*}

Отже, 1 – B.

2. \(\angle KAC.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ.\) \(\Delta ACB{:}\)

\begin{gather*} \angle CAB=90^\circ-\angle B=90^\circ-32^\circ=58^\circ. \end{gather*}

Оскільки промінь \(AK\) проходить між сторонами кута \(\angle CAB{:}\)

\begin{gather*} \angle KAC=\angle CAB-\angle KAB=58^\circ-32^\circ=26^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3. \(\angle OKB.\)

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка \(O\)) – середина гіпотенузи \((AB).\) Отже, \(AO=OB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) – рівнобедрений \((AK=KB)\) за умовою, то медіана \(KO\), проведена до його основи \(AB\), є також і висотою. \(KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ. \Delta KOB{:}\)

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle B=90^\circ-32^\circ=58^\circ. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37581

Завдання 807 з 1206

Обчисліть інтеграл \(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+7x)\ dx.\)

Впишіть відповідь:

-7.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \Big|_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), a \(F(x)\) – її первісна.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+7x)\ dx=\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}+7\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}\right)\Big|_{-2}^1=\left(\frac{x^3}{3}+7\cdot \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-2}^1=\\[6pt] =\left(\frac{1^3}{3}+7\cdot \frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{(-2)^3}{3}+7\cdot \frac{(-2)^2}{2}\right)=\left(\frac 13+7\cdot \frac 12\right)-\left(\frac{-8}{3}+7\cdot \frac 42\right)=\\[6pt] =\frac 13+\frac 72+\frac 83-7\cdot 2=\left(\frac 13+\frac 83\right)+\left(\frac 72-7\cdot 2\right)=\frac 93+3{,}5-14=\\[6pt] =3+3{,}5-14=6{,}5-14=-(14-6{,}5)=-7{,}5. \end{gather*}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Відповідь: \(-7{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37582

Завдання 808 з 1206

У кафе на сніданок пропонують \(10\) видів сендвічів, \(8\) різних салатів і \(6\) видів напоїв. Відвідувач вибирає на сніданок у цьому кафе або сендвіч і напій, або салат і напій. Скільки всього варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

108

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Відвідувач вибирає або (сендвіч і напій), або (салат і напій).

Сендвіч і напій. Вибираємо один із \(10\) сендвічів \((C_{10}^1=10)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

\begin{gather*} 10\cdot 6=60. \end{gather*}

Салат і напій. Вибираємо один із \(8\) салатів \((C_8^1=8)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 6=48. \end{gather*}

Оскільки відвідувач вибирає або перший набір, або другий, за правилом суми додамо отримані результати:

\begin{gather*} 60+48=108. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Правило суми: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «\(A\) або \(B\)» можна здійснити \(n + m\) способами.

Відповідь: \(108.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37583

Завдання 809 з 1206

У прямокутному паралелепіпеді діагональ основи дорівнює \(12\). Це вдвічі більше за довжину однієї зі сторін основи. Обчисліть об'єм цього паралелепіпеда, якщо площа діагонального перерізу дорівнює \(72\sqrt{3}.\)

Впишіть відповідь:

648

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник. Оскільки його діагоналі рівні, за умовою вони становлять \(12\) см, що вдвічі більше за одну зі сторін основи.

У прямокутному \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2;\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2;\\[7pt] AD^2=12^2-6^2;\\[7pt] AD^2=144-36=108;\\[7pt] AD=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Площа прямокутника \(ABCD\) (основи паралелепіпеда):

\begin{gather*} S_\text{осн}=AB\cdot AD=6\cdot 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}. \end{gather*}

Діагональний переріз \(BB_1D_1D\) – прямокутник зі сторонами \(BD\) і \(DD_1\) де (\(DD_1=H\) – висота паралелепіпеда).

За умовою:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=72\sqrt{3};\\[7pt] S_{BB_1D_1D}=BD\cdot H;\\[7pt] 12\cdot H=72\sqrt{3};\\[7pt] H=72\sqrt{3}:12=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=36\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=36\cdot 6\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=216\cdot 3=648. \end{gather*}

Відповідь: \(648.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37584

Завдання 810 з 1206

Обчисліть найбільше значення \(a\), за якого система \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (x-6)^2+(y+8)^2=a;\\ x^2+y^2=9. \end{array}\right. \end{gather*} має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

169

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(O(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-6)^2+(y+8)^2=a\) коло з центром \(O_1(6; -8)\) та радіусом \(R=\sqrt{a}.\)
2) \(x^2+y^2=9\) коло з центром \(O_2(0; 0)\) та радіусом \(r=3.\)

Система має єдиний розв'язок тоді, коли ці два кола дотикаються.

Знайдемо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

\begin{gather*} O_1O_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(6-0)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Для дотику відстань між центрами має дорівнювати або сумі, або різниці радіусів:

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=7;\\[7pt] a=49. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}-3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=13;\\[7pt] a=169. \end{gather*}

(Також можливий варіант \(3-\sqrt{a}=10\), але тоді \(\sqrt{a}=-7\), що неможливо).

Оскільки за умовою потрібне найбільше значення, вибираємо \(169.\)

Відповідь: \(169.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 742. Запитання: 37585

Завдання 811 з 1206

На графіку відображено зміну кількості опадів (мм) протягом року в регіоні України. За графіком визначте місяці, у яких кількість опадів перевищувала \(50\) мм.

А\(5\); \(8\)

Б\(6\); \(7\)

В\(5\); \(6\); \(7\)

Г\(5\); \(6\); \(7\); \(8\)

Д\(5\); \(6\); \(7\); \(12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(50\) мм у \(5\), \(6\), \(7\) та \(12\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37680

Завдання 812 з 1206

\(2\cdot \left(-\dfrac 13\right)=\)

А\(-\dfrac 16\)

Б\(\dfrac 23\)

В\(1\dfrac 23\)

Г\(-6\)

Д\(-\dfrac 23\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

\begin{gather*} 2\cdot \left(-\frac 13\right)=-\frac{2\cdot 1}{3}=-\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37681

Завдання 813 з 1206

Розв'язком нерівності \(5^{-x}\gt 25\) є число

А\(-3\)

Б\(1\)

В\(-1\)

Г\(0\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

\begin{gather*} 5^{-x}\gt 25;\\[7pt] 5^{-x}\gt 5^2. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((5)\) більша за одиницю \((5\gt 1)\), функція зростаюча, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} -x\gt 2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -2).\) З наведених чисел лише \(-3\) належить заданому проміжку.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37682

Завдання 814 з 1206

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням...

Аквадрата навколо його діагоналі».

Бквадрата навколо його сторони».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, яка містить одну з його сторін.

Оскільки квадрат — окремий випадок прямокутника, то внаслідок обертання квадрата навколо його сторони також утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37683

Завдання 815 з 1206

Спростіть вираз \(a^6\cdot (a^2)^3.\)

А\(a^{30}\)

Б\(a^{36}\)

В\(a^{11}\)

Г\(a^{12}\)

Д\(a^{48}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[7pt] a^6\cdot (a^2)^3=a^6\cdot a^6=a^{6+6}=a^{12}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37684

Завдання 816 з 1206

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-3; 3].\) Визначте нуль цієї функції.

А\(-1\)

Б\(-3\)

В\(0\)

Г\(3\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

Нулем функції називають таке значення аргумента, за якого значення функції дорівнює нулю.

На графіку функції це точка його перетину з віссю \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37685

Завдання 817 з 1206

Два журналісти заповнюють стрічку новин на інтернет-порталі. Перший журналіст публікує за день \(k\) новин, а другий – \(n\) новин. Скільки новин разом опублікують обидва журналісти, якщо перший працював \(2\) дні, а другий – \(3\) дні?

А\(2k+3n\)

Б\(5+k+n\)

В\(5(k+n)\)

Г\(5kn\)

Д\(6kn\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

	Продуктивність, новин/день	Час роботи, дні	Усього новин
Перший журналіст	\(k\)	\(2\)	\(2k\)
Другий журналіст	\(n\)	\(3\)	\(3n\)

Щоб дізнатися, скільки всього новин журналісти додадуть у стрічку разом, треба додати результати їхньої індивідуальної роботи:

\begin{gather*} 2k+3n. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37686

Завдання 818 з 1206

На відрізку \(AB\) вибрано точку \(M\) (див. рисунок). Обчисліть відстань від середини відрізка \(AM\) до точки \(B\), якщо \(AB=26\) см, \(AM=8\) см.

А\(17\) см

Б\(22\) см

В\(18\) см

Г\(24\) см

Д\(20\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії, уміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур у розв'язуванні планіметричних задач.

Оскільки точка \(M\) лежить на відрізку \(AB\), загальна довжина складається з двох частин:

\begin{gather*} AB=AM+MB;\\[7pt] MB=AB-AM=26-8=18\ \text{см}. \end{gather*}

Нехай точка \(K\) – середина відрізка \(AM.\) Тоді відстань від \(K\) до \(M\) дорівнює половині довжини \(AM{:}\)

\begin{gather*} KM=AM:2=8:2=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відстань від середини відрізка \(AM\) (точки \(K\)) до точки \(B\) складається з відрізків \(KM\) та \(MB{:}\)

\begin{gather*} KB=KM+MB=4+18=22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37687

Завдання 819 з 1206

Спростіть вираз \(\dfrac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\dfrac{2a+b}{a+b}.\)

А\(1\)

Б\(\dfrac{b-a}{a+b}\)

В\(\dfrac{3a+b}{a+b}\)

Г\(-1\)

Д\(\dfrac{a-b}{a+b}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

У виразі \(a^2+ab\) винесімо спільний множник \((a)\) за дужки:

\begin{gather*} a^2+ab=a(a+b);\\[6pt] \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a(a+b)}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a}{a+b}-\frac{2a+b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a-(2a+b)}{a+b}=\frac{a-2a-b}{a+b}=\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-1(a+b)}{a+b}=-1. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37688

Завдання 820 з 1206

У координатній площині \(yz\) прямокутної системи координат у просторі лежить точка

А\((-2; 5; 0)\)

Б\((-2; 5; 2)\)

В\((2; 0; 0)\)

Г\((2; 0; -5)\)

Д\((0; 2; -5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка, яка лежить у площині \(yz\), має нульову координату \(x.\) Тобто з-поміж наведених точок лише одна \((0; 2; -5)\) лежить у площині \(yz.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37689

Завдання 821 з 1206

Скільки коренів рівняння \(2\cos x=\sqrt{2}\) належить проміжку \([0; \pi]\)?

Аодин

Бжодного

Втри

Гбільш як три

Ддва

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} 2\cos x=\sqrt{2};\\[6pt] \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Рівняння \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\pm\mathrm{arccos}\ \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k, \ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{\pi}{4}\) належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37690

Завдання 822 з 1206

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує трикутник, у якого лише один гострий кут.

II. У рівнобедреному трикутнику \(ABC\) серединний перпендикуляр, проведений до основи \(AC\), проходить через вершину \(B.\)

III. У будь-якому прямокутному трикутнику сума градусних мір гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

Алише II

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

Длише ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює \(180^\circ.\) Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за \(90^\circ\)), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати \(90^\circ\) або бути більшими за \(90^\circ\)). Наприклад, якщо два кути прямі, то \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони \(AC\) як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину \(B.\)

Отже, твердження правильне.

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди \(180^\circ.\) Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює \(90^\circ\), обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37691

Завдання 823 з 1206

В арифметичній прогресії \((a_n){:}\) \(a_1=3\), \(a_3=10.\) Визначте різницю \(d\) прогресії.

А\(d=3{,}5\)

Б\(d=6{,}5\)

В\(d=7\)

Г\(d=-3{,}5\)

Д\(d=-7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_{3}=a_1+d(n-1);\\[7pt] 10=3+d(3-1);\\[7pt] 10=3+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+3=10;\\[7pt] 2d=10-3;\\[7pt] 2d=7;\\[7pt] d=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37692

Завдання 824 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{cases}\)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0+y_0=\)

А\(-5{,}5\)

Б\(-0{,}5\)

В\(2{,}5\)

Г\(-5\)

Д\(-4{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на \(5{:}\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x=y,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо \(y=10x\) в друге рівняння:

\begin{gather*} 4x-10x=3;\\[7pt] -6x=3;\\[7pt] x=3:(-6);\\[7pt] x=-0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо \(y{:}\)

\begin{gather*} y=10\cdot (-0{,}5)=-5. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((-0{,}5; -5){:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=-0{,}5+(-5)=-5{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37693

Завдання 825 з 1206

У паралелограмі \(ABCD\) бісектриса кута \(A=60^\circ\) перетинає сторону \(BC\) в точці \(K\), \(BK=8\) см, \(KC=6\) см (див. рисунок). Обчисліть площу паралелограма \(ABCD.\)

А\(56\sqrt{3}\) см\(^2\)

Б\(28\) см\(^2\)

В\(48\) см\(^2\)

Г\(28\sqrt{3}\) см\(^2\)

Д\(56\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, уміння визначати площу паралелограма.

Оскільки в паралелограмі протилежні сторони рівні, то \(AD=BC.\)

\begin{gather*} BC=BK+KC=8+6=14\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, \(AD=14\) см.

При перетині паралельних прямих \(BC\) і \(AD\) січною \(AK\) внутрішні різносторонні кути рівні: \(\angle KAD=\angle BKA.\) Оскільки \(AK\) – бісектриса, то \(\angle BAK=\angle KAD.\) Звідси \(\angle BAK=\angle BKA.\)

У трикутнику \(ABK\) два кути рівні, отже, він рівнобедрений з основою \(AK.\) Тому бічні сторони рівні: \(AB=BK=8\) см.

Площу паралелограма визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=ab\sin\gamma.\\[7pt] S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle A;\\[7pt] S=8\cdot 14\cdot \sin 60^\circ=8\cdot 14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\cdot 7\cdot \sqrt{3}=56\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37694

Завдання 826 з 1206

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д), якщо \(a\gt 0.\)

Вираз

1\(\sqrt{4a}\)

2\(2^{\log_{\scriptstyle 4} a}\)

3\(\left(\dfrac 2a\right)^{-1}\)

Тотожно рівний вираз

А\(-\dfrac 2a\)

Б\(2a\)

В\(2\sqrt{a}\)

Г\(\sqrt{a}\)

Д\(\dfrac a2\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

1. \(\sqrt{4a}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{a}=2\sqrt{a}.\)

Використали властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:

\begin{gather*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\ge 0. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

2. \begin{gather*} 2^{\textstyle \log_4 a}=2^{\textstyle \log_{2^2} a}=2^{\textstyle \frac 12\cdot \log_2 a}=2^{\textstyle \log_2 a^{\textstyle \frac 12}}=a^{\textstyle \frac 12}=\sqrt{a}. \end{gather*}

Використали властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a b^k=k\log_a b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\left(\dfrac 2a\right)^{-1}=\dfrac a2.\)

Використали властивість степеня із цілим показником:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n,\ a\ne 0,\ b\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37695

Завдання 827 з 1206

Доберіть до твердження (1–3) та функцію (А – Д), щодо якої це твердження правильне.

Твердження

1областю значень функції є проміжок \([0; +\infty)\)

2графік функції проходить через точку \((0; 1)\)

3функція має точку локального екстремуму на проміжку \([1; 3]\)

Функція

А\(y=-\cos x\)

Б\(y=4^x\)

В\(y=2\sqrt{x+1}\)

Г\(y=x^2-4x+3\)

Д\(y=x\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

A Функція \(y=-\cos x\).

Область значень цією функції \(E(y)=[-1; 1].\) Точка екстремуму є, але графік проходить через точку \((0; -1).\)

Б Функція \(y=4^x\).

Графік функції проходить через точку \((0; 1).\) Якщо \(x=0\), \(y=4^0=1.\)

Отже, 2 – Б.

B Функція \(y=2\sqrt{x+1}.\)

За властивістю арифметичного квадратного кореня \(\sqrt{a}\ge 0.\)

Дізнаймося область визначення:

\begin{gather*} x+1\ge 0;\\[7pt] x\ge -1. \end{gather*}

Оскільки область визначення \(x\in [-1; +\infty)\), то значення \(y\) змінюється від \(2\sqrt{-1+1}=0\) до \(+\infty.\)

Областю значень функції є проміжок \(E(y)=[0; +\infty).\)

Отже, 1 – B.

Г Функція \(y=x^2-4x+3.\)

Це квадратична функція (парабола, гілки вгору). Точка екстремуму (тут – мінімуму) – вершина параболи.

Визначмо абсцису вершини \(x_0\) за формулою:

\begin{gather*} x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2. \end{gather*}

Оскільки число \(2\) належить проміжку \([1; 3]\), умова виконується. Функція має точку локального екстремуму на проміжку \([1; 3].\)

Отже, 3 – Г.

Д Функція \(y=x\).

Це лінійна функція (пряма), вона не має точок екстремуму та проходить через початок координат \((0; 0).\)

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37697

Завдання 828 з 1206

Прямокутники \(ABCD\) і \(DKLM\) рівні (див. рисунок). AD = 6, DM = 8. Доберіть до величини (1–3) її значення (А – Д).

Величина

1\(\sin MDL\)

2\(\mathrm{tg}\ ABD\)

3\(\cos BDL\)

Значення величини

А\(0{,}6\)

Б\(0{,}75\)

В\(0{,}8\)

Г\(0\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутник.Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутних трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Оскільки прямокутники рівні, їхні відповідні сторони однакові. З рисунка видно, що

\begin{gather*} AD=BC=LM=6;\\[7pt] AB=DC=DM=8. \end{gather*}

1. \(\sin \angle MDL.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DML\ (\angle M=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DL^2=DM^2+LM^2;\\[7pt] DL=\sqrt{DM^2+LM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10;\\[6pt] \sin \angle MDL=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}=\frac{ML}{DL}=\frac{6}{10}=0{,}6. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(\mathrm{tg}\ \angle ABD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \angle ABD=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{прилеглий катет}}=\frac{AD}{AB}=\frac 68=\frac 34=0{,}75. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\cos \angle BDL.\)

Оскільки прямокутники рівні, то \(\Delta ABD=\Delta LDM.\)

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Отже, \(\angle ADB=\angle DLM\) та \(\angle ABD=\angle LDM.\)

У прямокутному \(\Delta ABD{:}\)

\begin{gather*} \angle DAB=90^\circ \Rightarrow \angle ADB+\angle ABD=90^\circ. \end{gather*}

Замінивши \(\angle ABD\) на рівний йому \(\angle LDM\), маємо:

\begin{gather*} \angle ADB+\angle LDM=90^\circ. \end{gather*}

Оскільки \(\angle ADM=180^\circ\) – розгорнутий:

\begin{gather*} \angle BDL=180^\circ-(\angle ADB+\angle LDM)=180^\circ-90^\circ=90^\circ;\\[7pt] \cos \angle BDL=\cos 90^\circ=0. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37698

Завдання 829 з 1206

Обчисліть інтеграл \(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+4x)\ dx.\)

Впишіть відповідь:

-3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\ \Big|_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-2}^1 (x^2+4x)\ dx=\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}+4\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}\right)\Big|_{-2}^1=\left(\frac{x^3}{3}+4\cdot \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-2}^1=\\[6pt] =\left(\frac{1^3}{3}+4\cdot \frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{(-2)^3}{3}+4\cdot \frac{(-2)^2}{2}\right)=\left(\frac 13+4\cdot \frac 12\right)-\left(\frac{-8}{3}+4\cdot \frac 42\right)=\\[6pt] =\frac 13+\frac 42+\frac 83-4\cdot 2=\left(\frac 13+\frac 83\right)+(2-8)=\frac 93-6=3-6=-3. \end{gather*}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}x^\alpha,\ \alpha\ne -1\end{gather}	\begin{gather}\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\end{gather}

Відповідь: \(-3.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37700

Завдання 830 з 1206

У кафе на сніданок пропонують \(10\) видів сендвічів, \(8\) різних салатів і \(6\) видів напоїв. Відвідувач вибирає на сніданок у цьому кафе два різні сендвічі, салат і напій. Скільки всього варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

2160

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Вибір двох різних сендвічів.

Оскільки порядок вибору двох різних сендвічів не має значення, скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_{10}^2=\frac{10!}{2!\cdot (10-2)!}=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2!\cdot 8!}=\frac{9\cdot 10}{1\cdot 2}=9\cdot 5=45. \end{gather*}

Вибір салату та напою.

Вибираємо по одній страві:

Салат: \(8\) варіантів.
Напій: \(6\) варіантів.

Загальна кількість варіантів.

За правилом добутку (оскільки ми вибираємо сендвічі, салат і напій одночасно) перемножмо результати:

\begin{gather*} 45\cdot 8\cdot 6=2160. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(2160.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37701

Завдання 831 з 1206

Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник із гіпотенузою \(12.\) Визначте об'єм \(V\) цього конуса. У відповіді запишіть значення \(\dfrac{V}{\pi}.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса.

Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник \(ABC.\) Оскільки за умовою він прямокутний \((\angle A=90^\circ){:}\)
– гіпотенуза збігається з діаметром основи конуса: \(d=12.\)
– радіус основи \((R){:}\ R=\dfrac d2=\dfrac{12}{2}=6.\)

У прямокутному рівнобедреному трикутнику висота \(H\), проведена до гіпотенузи, є медіаною. За властивістю прямокутного трикутника, така медіана дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=\frac d2=6. \end{gather*}

Важливо: Якщо осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник, то його висота завжди дорівнює радіусу основи \((H=R).\)

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=6\) та \(H=6{:}\)

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \pi\cdot 6^2\cdot 6=\frac 13\cdot \pi\cdot 36\cdot 6=\pi\cdot 36\cdot 2=72\pi;\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{72\pi}{\pi}=72. \end{gather*}

Відповідь: \(72.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37702

Завдання 832 з 1206

Обчисліть кількість цілих значень \(a\), за яких рівняння \(x^2-(9-a)x+20-3a-2a^2=0\) має лише додатні корені.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

\begin{gather*} x^2-(9-a)x+20-3a-2a^2=0;\\[7pt] x_1\gt 0\ \text{i}\ x_2\gt 0. \end{gather*}

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

\begin{gather*} D=(9-a)^2-4\cdot (20-3a-2a^2)=81-18a+a^2-80+12a+8a^2=\\[7pt] =9a^2-6a+1\ (\text{це формула квадрата двочлена});\\[7pt] D=(3a-1)^2. \end{gather*}

Оскільки \((3a-1)^2\ge 0\) для будь-якого значення \(a\), то корені існують за будь-якого \(a.\)

Обидва корені додатні, якщо одночасно виконано дві умови: їхня сума та їхній добуток більші за нуль.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому рівнянні:

1) аналізування суми коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\gt 0,\\ x_1+x_2=9-a; \end{array}\right.\\[7pt] 9-a\gt 0;\\[7pt] 9\gt a;\\[7pt] a\lt 9; \end{gather*}

2) аналізування добутку коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на \(-1\) (змінивши знак нерівності):

\begin{gather*} 2a^2+3a-20\lt 0;\\[7pt] 2a^2+3a-20=0;\\[7pt] D=3^2-4\cdot 2\cdot (-20)=9+160=169;\\[7pt] D=\sqrt{169}=13;\\[6pt] a_1=\frac{-3-13}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4;\\[6pt] a_2=\frac{-3+13}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=2{,}5. \end{gather*}

Отже, \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Визначмо перетин отриманих умов:
1) \(a\lt 9;\)
2) \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Спільний розв’язок – проміжок \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Усього таких значень шість.

Відповідь: \(6.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 743. Запитання: 37703

Завдання 833 з 1206

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали \(5\) зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте всі зали кінотеатру, у яких глядачів було більше, ніж у жовтій.

Абіла, блакитна, зелена, фіолетова

Бфіолетова

Вбіла, блакитна, фіолетова

Гзелена

Дбіла, блакитна

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Щоб глядачів було більше, стовпчик має бути вищим за жовтий.

Біла зала: висота \(55\ (55\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Блакитна зала: висота \(40\ (40\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Зелена зала: висота \(20\ (20\lt 35)\) – глядачів було менше, ніж у жовтій.

Фіолетова зала: висота \(45\ (45\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Правильний варіант: біла, блакитна та фіолетова зали.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37740

Завдання 834 з 1206

Розв'яжіть рівняння \(0{,}02x=-2.\)

А\(100\)

Б\(20\)

В\(1\)

Г\(-20\)

Д\(-100\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 0{,}02x=-2.\\[7pt] x=-2:0{,}02;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37741

Завдання 835 з 1206

\(3(4x+8)=\)

А\(12x+8\)

Б\(4x+11\)

В\(7x+11\)

Г\(7x+18\)

Д\(12x+24\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкривати дужки або множити число на суму двох чи більше чисел.

Щоб помножити число на суму двох чисел, треба це число помножити на кожен доданок і результати додати. Розкриймо дужки:

\begin{gather*} 3(4x+8)=3\cdot 4x+3\cdot 8=12x+24. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37742

Завдання 836 з 1206

Сторона \(CD\) паралелограма \(ABCD\) утворює з прямою \(AD\) кут, градусна міра якого дорівнює \(55^\circ\) (див. рисунок). Обчисліть градусну міру кута \(MAB.\)

А\(125^\circ\)

Б\(55^\circ\)

В\(115^\circ\)

Г\(145^\circ\)

Д\(135^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

Розгляньмо прямі \(AB\) і \(CD\) та січну \(MK.\) Кут \(BAD\) та кут \(CDK\) є відповідними кутами при паралельних прямих \(AB\!\parallel\!CD\) та січній \(MK.\)

\begin{gather*} \angle BAD=\angle CDK=55^\circ. \end{gather*}

За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \angle MAB+\angle BAD=180^\circ;\\[7pt] \angle MAB=180^\circ-\angle BAD=180^\circ-55^\circ=125^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37743

Завдання 837 з 1206

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Апрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Врівнобедреного трикутника навколо його основи».

Грівнобедреного трикутника навколо його висоти».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37744

Завдання 838 з 1206

Спростіть вираз \(3a-2(4-a).\)

А\(a-8\)

Б\(-3a^2+14a-8\)

В\(2a-8\)

Г\(5a-8\)

Д\(10a\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} 3a-2(4-a)=3a-2\cdot 4+2\cdot a=3a-8+2a=5a-8. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37745

Завдання 839 з 1206

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-2; 4].\) За якого значення \(x_0\) \(f(x_0)\gt 0.\)

А\(x_0=2\)

Б\(x_0=-1\)

В\(x_0=1\)

Г\(x_0=3\)

Д\(x_0=4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Завдання перевіряє вміння знаходити значення функції в точці за її графіком.

Нерівність \(f(x_0)\gt 0\) виконується для тих значень аргумента, за яких графік функції розташований у верхній півплощині (вище від осі \(Ox\)). Функція набуває додатних значень на проміжку \(x\in [-2; 1).\)

Серед запропонованих варіантів лише значення \(x=-1\) входить у цей проміжок. У точці \(x=1\) функція дорівнює нулю \(f(1)=0\), що не задовольняє строгу нерівність.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37746

Завдання 840 з 1206

Які твердження правильні?

I. Медіана трикутника з'єднує його вершину із серединою протилежної сторони.

II. Точка перетину медіан трикутника – центр вписаного в нього кола.

III. У прямокутному трикутнику одна з його медіан дорівнює половині гіпотенузи.

Алише I

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання перевіряє знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. Згідно з аксіомами геометрії, кожна сторона трикутника має лише одну середину. Відрізок, що сполучає цю точку з протилежною вершиною, за означенням є медіаною.

II. Твердження неправильне. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис (інцентр). Точку перетину медіан називають центроїдом (або центром мас). Центроїд ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини.

III. Твердження правильне. Це властивість медіани, проведеної до гіпотенузи. Оскільки центр описаного навколо прямокутного трикутника кола завжди лежить на середині гіпотенузи, то медіана, що з'єднує вершину прямого кута із цією точкою, – радіус \((R).\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37747

Завдання 841 з 1206

Плату за користування комп'ютерною програмою підвищили зі \(120\) грн у \(2021\) р. до \(144\) грн у \(2022\) р. На скільки відсотків збільшили плату у \(2022\) р. порівняно з \(2021\) р.?

А\(10\,\%\)

Б\(24\,\%\)

В\(20\,\%\)

Г\(80\,\%\)

Д\(120\,\%\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом та обчислювати відсотки.

Плата зросла на \(144-120=24\) (грн).

\(24\) гривні становлять від \(120\) гривень:

\begin{gather*} \frac{24}{120}\cdot 100\,\%=\frac 15\cdot 100\,\%=20\,\%. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37748

Завдання 842 з 1206

Якому проміжку належить корінь рівняння \(\log_{0{,}5} x=-2\)?

А\((-\infty; -1]\)

Б\((-1; 1]\)

В\((1; 4]\)

Г\((4; 8]\)

Д\((8; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} x=0{,}5^{-2};\\[6pt] x=\left(\frac 12\right)^{-2};\\[6pt] x=2^2;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

Корінь рівняння \(4\in (1;4].\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37749

Завдання 843 з 1206

\(\dfrac{3^{10}\cdot 11^{12}}{33^{11}}=\)

А\(33\)

Б\(\frac{3}{11}\)

В\(\frac{11}{9}\)

Г\(\frac{1}{33}\)

Д\(\frac{11}{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{3^{10}\cdot 11^{12}}{33^{11}}=\frac{3^{10}\cdot 11^{12}}{(3\cdot 11)^{11}}=\frac{3^{10}\cdot 11^{12}}{3^{11}\cdot 11^{11}}=\frac{11}{3}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37750

Завдання 844 з 1206

У правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює \(a\), бічне ребро – \(b\). Площу \(S\) бічної поверхні цієї призми обчислюють за формулою

А\(S=a^2b\)

Б\(S=2a^2+4ab\)

В\(S=\dfrac 13a^2b\)

Г\(S=2a^2\)

Д\(S=4ab\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

У правильній призмі бічне ребро – її висота, отже \(H=b.\)

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot b=4ab. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37751

Завдання 845 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} \sqrt{2x}=\sqrt{6},\\ x-4y=7. \end{cases}\)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(y_0=\)

А\(-6\)

Б\(-2{,}5\)

В\(-1\)

Г\(1{,}25\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

Піднесімо обидві частини першого рівняння до квадрата:

\begin{gather*} ((\sqrt{a})^2=a,\ \text{якщо}\ a\ge 0){:}\\[7pt] 2x=6;\\[7pt] x=6:2. \end{gather*}

Підставмо \(x=3\) у рівняння \(x-4y=7{:}\)

\begin{gather*} 3-4y=7;\\[7pt] -4y=7-3;\\[7pt] -4y=4;\\[7pt] y=4:(-4);\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-1.\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37752

Завдання 846 з 1206

Різниця арифметичної прогресії \((a_n)\) дорівнює \(4.\) Обчисліть значення виразу \(a_5-a_3.\)

А\(-8\)

Б\(-4\)

В\(8\)

Г\(0\)

Д\(4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Спростімо вираз:

\begin{gather*} a_5-a_3=a_1+4d-(a_1+2d)=a_1+4d-a_1-2d=2d. \end{gather*}

Отже, \(a_5-a_3=2\cdot 4=8.\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37753

Завдання 847 з 1206

На стороні \(BC\) квадрата \(ABCD\) вибрано точку \(K\) так, що \(BK:KC=3:1\) (див. рисунок). Обчисліть довжину відрізка \(AK\), якщо сторона квадрата дорівнює \(12\) см.

А\(9\) см

Б\(15\) см

В\(16\) см

Г\(18\) см

Д\(20\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора.

\(ABCD\) – квадрат, \(BC=12\) см. Точка \(K\) ділить сторону \(BC\) у відношенні \(BK:KC=3:1.\) Нехай \(BK=3x\) см, \(KC=x\) см.

\begin{gather*} BC=BK+KC;\\[7pt] 3x+x=12\ \text{см};\\[7pt] 4x=12\ \text{см};\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Отже, \(BK=9\) см, \(KC=3\) см.

Розгляньмо \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Катети \(AB=12\) см і \(BK=9\) см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2. \end{gather*}

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} AK^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AK=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37754

Завдання 848 з 1206

До початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо \(n\) – натуральне число, \(n\gt 1.\)

Початок речення

1Якщо \(n\cos 8\pi=a\), то

2Якщо \(\log_2 8+\log_2 n=\log_2 a\), то

3Якщо \(\sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}\), то

Закінчення речення

А\(a=2n.\)

Б\(a=8n.\)

В\(a=8+n.\)

Г\(a=n.\)

Д\(a=3n.\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних, логарифмічних виразів.

1. Якщо \(n\cos 8\pi=a\), то…

Функція \(\cos x\) має період \(2\pi.\)

\begin{gather*} \cos 8\pi =\cos(4\cdot 2\pi)=\cos 0=1. \end{gather*}

Тоді \(a=n\cdot 1=n.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Якщо \(\log_2 8+\log_2 n=\log_2 a\), то...

\begin{gather*} \log_2 (8n)=\log_2 a. \end{gather*}

Якщо логарифмічні вирази мають однакові основи \((2)\), можна прирівняти їхні підлогарифмічні вирази (аргументи).

Отже, \(8n=a.\)

Застосували властивість логарифмів:

\begin{gather*} \log_a b+\log_a c=\log_a (b\cdot c). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Якщо \(\sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}\), то…

Квадратний корінь \(\sqrt{\vphantom{X}\ldots}\) має показник \(2.\) Скористаймося властивістю \(\sqrt[\scriptstyle m]{\sqrt[\scriptstyle n]{x}}=\sqrt[\scriptstyle {mn}]{x}\ \ {:}\)

\begin{gather*} \sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle 2n]{8}\ ;\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 2n]{8}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}. \end{gather*}

Звідси \(a=2\cdot n=2n.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37755

Завдання 849 з 1206

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1\(y=(x+2)^2\)

2\(y=2\sqrt{x}\)

3\(y=2^x\)

Властивість

Азростає на проміжку \((-\infty; +\infty)\)

Бграфік функції має одну спільну точку із графіком функції \(y=x-2\)

Вграфік функції має дві спільні точки з графіком функції \(y=x-2\)

Гспадає на проміжку \((-\infty; -2]\)

Дспадає на проміжку \((-\infty; 2]\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=(x+2)^2\) квадратична, її графік – парабола.

Графік отримано паралельним перенесенням параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(Ox.\) Вершина параболи має координати \((-2; 0).\) Гілки напрямлені вгору. Отже, на проміжку \((-\infty; -2]\) функція спадає, а на проміжку \([-2; +\infty)\) – зростає.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=2\sqrt{x}\) – ірраціональна функція.

Графік \(y=2\sqrt{x}\) – вітка параболи, що виходить із точки \((0; 0)\) і лежить у першій чверті.

Пряма \(y=x-2\) проходить через точки \((2; 0)\) і \((0; -2).\)

Графік функції \(y=2\sqrt{x}\) має одну спільну точку з графіком функції \(y=x-2.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Функція \(y=2^x\) показникова з основою \(a=2.\)

Вона зростає \((a\gt 1)\) на всій області визначення, тобто на проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37756

Завдання 850 з 1206

На рисунку зображено прямокутну трапецію \(ABCD\), у якої \(AB=BC\), \(AC=80\) см, \(CD=48\) см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо \(O\) – середина діагоналі \(AC\) трапеції \(ABCD.\)

Відрізок

1\(AO\)

2\(AD\)

3\(AB\)

Довжина відрізка

А\(64\) см

Б\(40\) см

В\(54\) см

Г\(50\) см

Д\(32\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. \(AO.\)

За умовою точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), тому маємо:

\begin{gather*} AO=AC:2=80:2=40\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(AD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ACD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AD^2+DC^2;\\[7pt] AD^2=AC^2-DC^2=80^2-48^2=6400-2304=4096;\\[7pt] AD=\sqrt{4096}=64\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(AB.\)

Проведімо висоту \(BK\) з вершини \(B\) до основи \(AD.\) Трапеція прямокутна, тому \(BK=CD=48\) см.

Нехай \(AB=BC=x.\) Тоді чотирикутник \(KBCD\) – прямокутник, отже \(KD=BC=x.\) Тоді відрізок \(AK=AD-KD=64-x.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABK.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+KB^2;\\[7pt] (64-x)^2+48^2=x^2;\\[7pt] 4096-128x+x^2+2304=x^2;\\[7pt] -128x+6400=0;\\[7pt] 128x=6400;\\[7pt] x=6400:128;\\[7pt] x=50. \end{gather*}

Тож \(AB=50\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37757

Завдання 851 з 1206

Функції \(F(x)=4x^3-3x^2+9\) i \(G(x)\) є первісними для функції \(f(x).\) Графік функції \(G(x)\) проходить через точку \((-1; 0).\) Обчисліть \(G(1).\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Будь-які дві первісні \(F(x)\) і \(G(x)\) для тієї самої функції \(f(x)\) різняться лише деякою сталою величиною \(C\):

\begin{gather*} G(x)=F(x)+C. \end{gather*}

За умовою маємо первісну

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} G(x)=4x^3-3x^2+9+C. \end{gather*}

Відомо, що графік функції \(G(x)\) проходить через точку з координатами \((-1; 0).\) Це означає, що за \(x=-1\) значення функції \(G(-1)=0.\) Підставмо ці значення в рівняння:

\begin{gather*} 0=4\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2+9+C;\\[7pt] 0=4\cdot (-1)-3\cdot (1)+9+C;\\[7pt] 0=-4-3+9+C;\\[7pt] 0=2+C;\\[7pt] C=-2. \end{gather*}

Отже, функція \(G(x)\) має вигляд:

\begin{gather*} G(x)=4x^3-3x^2+9-2=4x^3-3x^2+7. \end{gather*}

Обчислімо значення функції в точці \(x=1.\)

\begin{gather*} G(1)=4\cdot (1)^3-3\cdot (1)^2+7;\\[7pt] G(1)=4-3+7;\\[7pt] G(1)=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37758

Завдання 852 з 1206

Для перевезення учасників симпозіуму треба замовити один автобус і два мікроавтобуси. Скільки всього варіантів вибору машин за таким замовленням, якщо виконавець замовлення має \(8\) автобусів і \(6\) мікроавтобусів?

Впишіть відповідь:

120

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для виконання замовлення автобуса виконавець має \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

II. Для виконання замовлення на два мікроавтобуси виконавець має \(6\) різних мікроавтобусів. Треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};\\[6pt] C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=\frac{30}{2}=15. \end{gather*}

Отже, виконавець замовлення може \(15\) способами вибрати два мікроавтобуси.

Оскільки треба вибрати і автобус, i мікроавтобуси одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 15=120\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Відповідь: \(120.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37759

Завдання 853 з 1206

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює \(8\sqrt{3}\), апофема – \(8.\) Обчисліть об'єм цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

192

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(8\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{64\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=16\cdot 3\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Основа висоти \(H\) піраміди збігається із центром вписаного кола основи. Розгляньмо прямокутний трикутник \(DOK\), катети якого – висота піраміди \(H=DO\) та радіус вписаного кола \(r=OK\), а гіпотенуза – апофема \(L=DK=8\) см.

Радіус вписаного кола для правильного трикутника:

\begin{gather*} r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DK^2=DO^2+OK^2;\\[7pt] DO^2=DK^2-OK^2=8^2-4^2=64-16=48;\\[7pt] DO=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \text{см}.\\[6pt] V=\frac 13\cdot 48\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=\frac 13\cdot 48\cdot 4\cdot 3=48\cdot 4=192\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(192.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37760

Завдання 854 з 1206

За якого найменшого цілого значення \(a\) рівняння \(x^2+(9-a)x+20-3a-2a^2=0\) має лише від'ємні корені?

Впишіть відповідь:

-3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2+(9-a)x+20-3a-2a^2=0;\\[7pt] x_1\lt 0\ \text{i}\ x_2\lt 0. \end{gather*}

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

\begin{gather*} D=(9-a)^2-4\cdot (20-3a-2a^2)=81-18a+a^2-80+12a+8a^2=\\[7pt] =9a^2-6a+1\ (\text{це формула квадрата двочлена});\\[7pt] D=(3a-1)^2. \end{gather*}

Оскільки \((3a-1)^2\ge 0\) для будь-якого значення \(a\), то корені існують за будь-якого \(a.\)

Щоб обидва корені були від’ємними, мають одночасно виконуватися дві умови: \(x_1+x_2\lt 0\) i \(x_1\cdot x_2\gt 0.\)

Проаналізуймо суму коренів цього рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\lt 0,\\ x_1+x_2=-(9-a); \end{array}\right.\\[7pt] -9+a\lt 0;\\[7pt] a\lt 9. \end{gather*}

Проаналізуймо добуток коренів цього рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на \(-1\), змінивши знак нерівності:

Отже, \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Знайдімо перетин отриманих умов:
1. \(a\lt 9.\)
2. \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Спільним розв’язком є проміжок \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Цілі значення \(a\) в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Найменше ціле значення: \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 744. Запитання: 37761

Завдання 855 з 1206

На діаграмі відображено розподіл \(900\) занять, відвіданих студентами у Google Meet, Zoom i Teams. За діаграмою визначте, якою може бути кількість проведених занять у Teams.

А\(600\)

Б\(150\)

В\(500\)

Г\(300\)

Д\(450\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять.

Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(900 : 2 = 450.\)

Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить \(450\) занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom \((450).\) Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet \(\approx 300\) занять;
Teams \(\approx 150\) занять.

Оскільки сектор Teams менший за сектор Google Meet, його значення має бути меншим за половину від \(450\) (тобто меншим за \(225\)). Серед варіантів відповіді лише \(150\) задовольняє ці умови.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37827

Завдання 856 з 1206

Обчисліть \((-3\sqrt{3})^2.\)

А\(-9\)

Б\(9\sqrt{3}\)

В\(27\)

Г\(-27\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв'язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a;\\[7pt] (-3\sqrt{3})^2=(-3)^2\cdot (\sqrt{3})^2=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37828

Завдання 857 з 1206

Позначте корінь рівняння \(-8x=-4.\)

А\(4\)

Б\(0{,}5\)

В\(-2\)

Г\(2\)

Д\(-0{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\(-8x=-4\);

\begin{gather*} x=-4:(-8);\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37829

Завдання 858 з 1206

Автомобіль, рухаючись містом, витрачає \(6\) л пального на \(100\) км пробігу, а за містом – \(4\) л на \(100\) км пробігу. За місяць водій проїхав \(1000\) км, з яких \(300\) км їхав містом, решту – за містом. Скільки літрів пального витратив цей автомобіль за місяць?

А\(54\) л

Б\(50\) л

В\(46\) л

Г\(40\) л

Д\(60\) л

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Обчислімо витрати пального в місті.

Відомо, що авто витрачає \(6\) л на \(100\) км. Оскільки водій проїхав \(300\) км (тобто три рази по \(100\) км), маємо:

\begin{gather*} 3\cdot 6=18\ \text{л}. \end{gather*}

Обчислімо витрати пального за містом.

Витрата становить \(4\) л на \(100\) км. Водій проїхав за містом \(1000 - 300 = 700\) км (сім разів по \(100\) км):

\begin{gather*} 7\cdot 4=28\ \text{л}. \end{gather*}

Додаймо отримані значення:

\begin{gather*} 18+28=46\ \text{л}. \end{gather*}

Отже, за місяць автомобіль витратив \(46\) літрів пального.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37830

Завдання 859 з 1206

Обчисліть периметр рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють \(18\) см і \(7\) см, а бічна сторона – \(11\) см.

А\(37\) см

Б\(42\) см

В\(47\) см

Г\(52\) см

Д\(57\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметр трапеції.

Трапеція рівнобічна, отже бічні сторони рівні. Якщо одна бічна сторона дорівнює \(11\) см, то й інша також дорівнює \(11\) см.

Периметр \((P)\) – це сума довжин усіх сторін многокутника.

\begin{gather*} P=18+7+11+11=47\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37831

Завдання 860 з 1206

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-5; 5].\) Визначте всі точки локального мінімуму цієї функції.

А\(1\)

Б\(4\)

В\(-2; 2\)

Г\(2\)

Д\(-3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначмо найнижчу точку на локальному згині графіка (у місці, де спадання функції змінюється на зростання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі.

Отже, \(x_0=2\) – точка локального мінімуму заданої функції.

Важливо: точка \(x=-2\) – це точка локального максимуму, а не мінімуму. Точки на кінцях проміжку \((x=-5\) та \(x=5)\) не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання). \(y=1\) – це мінімум функції (значення функції в цій точці).

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37832

Завдання 861 з 1206

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням...

Апрямокутника навколо його сторони».

Бпрямокутника навколо його діагоналі».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дквадрата навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Сторона, навколо якої відбувається обертання, стає висотою циліндра, а інша сторона, перпендикулярна до неї, – радіусом основи.

Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони утворюється циліндр.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37833

Завдання 862 з 1206

\(|\lg 5-\lg 9|=\)

А\(\lg \frac 95\)

Б\(\lg 4\)

В\(-\lg 45\)

Г\(\lg \frac 59\)

Д\(-\lg 4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Логарифмічна функція \(y=\lg x\) зростає, оскільки основа \(10\gt 1.\) Тому, якщо \(5\lt 9\), то \(\lg 5\lt \lg 9.\)

Звідси випливає, що вираз під знаком модуля від’ємний:

\begin{gather*} \lg 5-\lg 9\lt 0. \end{gather*}

За означенням, якщо \(a\lt 0\), то \(|a|=-a.\) Отже:

\begin{gather*} |\lg 5-\lg 9|=-(\lg 5-\lg 9)=\lg 9-\lg 5. \end{gather*}

Використаймо формулу різниці логарифмів:

\begin{gather*} \lg b-\lg a=\lg\frac ba;\\[6pt] \lg 9-\lg 5=\lg\frac 95. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37834

Завдання 863 з 1206

На сторонах \(AB\) та \(BC\) трикутника \(ABC\) вибрано точки \(M\) і \(N\) відповідно так, що \(AM=MB\), \(CN=NB.\) Які з наведених тверджень правильні?

I. \(AC\!\parallel\!MN.\)

II. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABC.\)

III. Площа трикутника \(MBN\) та чотирикутника \(AMNC\) рівні.

Алише I та II

Блише ІІ та ІІІ

Влише IІ

Глише І та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей середньої лінії трикутника.

I. \(AC\!\parallel\!MN\) – твердження правильне.

За означенням, відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, – його середня лінія. Середня лінія трикутника завжди паралельна третій стороні: \(MN\!\parallel\!AC.\)

II. Відрізок \(MN\) – середня лінія трикутника \(ABC\) – твердження правильне.

Це випливає безпосередньо з того, що \(M\) і \(N\) – середини сторін \(AB\) та \(BC.\)

III. Площа трикутника \(MBN\) і чотирикутника \(AMNC\) рівні – твердження неправильне.

Трикутник \(MBN\) подібний до трикутника \(ABC\) \((\Delta MBN\sim \Delta ABC)\) за двома сторонами й кутом між ними. Коефіцієнт подібності \(k=\dfrac 12\) (оскільки \(MB=\dfrac 12 AB\)). Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності \((k^2){:}\)

\begin{gather*} \frac{S_{\Delta MBN}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\frac 12\right)^2=\frac 14;\\[6pt] S_{\Delta MBN}=\frac 14 S_{\Delta ABC};\\[6pt] S_{AMNC}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta MBN}=\frac 34 S_{\Delta ABC}. \end{gather*}

Площа чотирикутника \(AMNC\) втричі більша за площу трикутника \(MBN.\) Твердження про їхню рівність хибне.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37835

Завдання 864 з 1206

\(\dfrac{2x^2y}{8xy^5}=\)

А\(16x^3y^6\)

Б\(\dfrac{x^3}{2y^4}\)

В\(\dfrac{xy^4}{4}\)

Г\(\dfrac{4x}{y^4}\)

Д\(\dfrac{x}{4y^4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{2x^2y}{8xy^5}=\frac{2\cdot x^2\cdot y}{8\cdot x\cdot y^5}=\frac{x}{4y^4}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37836

Завдання 865 з 1206

На рисунку зображено ромб, сторона якого дорівнює \(a\), а кут між стороною і меншою діагоналлю – \(\beta.\) Визначте радіус кола, уписаного в цей ромб.

А\(a\sin^2 \beta\)

Б\(a\cos^2 \beta\)

В\(\frac{a\sin 2\beta}{2}\)

Г\(a\cos \beta\)

Д\(a\sin \beta\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1 спосіб.

Діагоналі ромба – бісектриси його кутів. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює \(180^\circ.\) Якщо кут ромба \(\angle C=2\beta\), то інший \(\angle B=180^\circ-2\beta.\)

За формулою зведення \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha.\) Тобто:

\begin{gather*} \sin \angle B=\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta. \end{gather*}

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола \(CH=d=2r.\) Отже:

\begin{gather*} r=\frac{CH}{2}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(CHB{:}\) \(\angle H=90^\circ\), \(BC=a.\)

\begin{gather*} \sin \angle B=\frac{CH}{CB};\\[6pt] CH=CB\cdot \sin \angle B;\\[7pt] CH=a\sin 2\beta. \end{gather*}

Оскільки радіус вписаного кола – це половина висоти ромба, маємо кінцеву формулу:

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

2 спосіб.

У ромбі діагональ ділить кут навпіл, тож якщо гострий кут ромба дорівнює \(\alpha\), то

\begin{gather*} \beta=\frac{\alpha}{2}. \end{gather*}

Площа ромба:

\begin{gather*} S=a^2\sin \alpha. \end{gather*}

Для будь-якого ромба існує вписане коло, до того ж

\begin{gather*} S=r\cdot p, \end{gather*}

де \(r\) – радіус вписаного кола, \(p\) – півпериметр.

Оскільки

\begin{gather*} p=2a, \end{gather*}

то

\begin{gather*} r=\frac Sp=\frac{a^2\sin\alpha}{2a}=\frac{a\sin\alpha}{2}. \end{gather*}

Підставмо \(\alpha=2\beta{:}\)

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37837

Завдання 866 з 1206

Розв'яжіть нерівність \(\log_3 (2x-1)\lt 2.\)

А\((0{,}5; 5)\)

Б\((-\infty; 3{,}5)\)

В\((0{,}5; 3{,}5)\)

Г\((-\infty; 5)\)

Д\((0{,}5; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_3 (2x-1)\lt 2;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt 2\log_3 3;\\[7pt] \log_3 (2x-1)\lt \log_3 3^2;\\[7pt] \log_3(2x-1)\lt \log_3 9. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(3\gt 1\), функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-1\lt 9;\\[7pt] 2x\lt 9+1;\\[7pt] 2x\lt 10;\\[7pt] x\lt 5. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-1\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 1;\\[7pt] x\gt 0{,}5. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (0{,}5; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37838

Завдання 867 з 1206

Арифметичну прогресію \((a_n)\) задано формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=18-1{,}5n.\) Визначте номер члена, значення якого дорівнює \(-30.\)

А\(18\)

Б\(32\)

В\(36\)

Г\(8\)

Д\(72\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=18-1{,}5n.\)

Підставмо значення \(-30\) у формулу замість \(a_n{:}\)

\begin{gather*} -30=18-1{,}5n;\\[7pt] 1{,}5n=18+30;\\[7pt] 1{,}5n=48;\\[7pt] n=48:1{,}5;\\[7pt] n=480:15;\\[7pt] n=32. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37839

Завдання 868 з 1206

Визначте координати вектора, який є сумою векторів \(\vec a\ (2; -2; 3)\) i \(\vec b\ (-7; -3; 4).\)

А\((-5; 1; 7)\)

Б\((-9; -1; 1)\)

В\((-5; -5; 7)\)

Г\((9; 1; -1)\)

Д\((-5; -1; 7)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, треба додати їхні відповідні координати (першу до першої, другу до другої, третю до третьої).

\begin{gather*} \vec c(2+(-7); -2+(-3); 3+4);\\[7pt] \vec c(-5; -5; 7). \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37840

Завдання 869 з 1206

Визначте корінь рівняння \(\mathrm{tg}\ \dfrac x2=-1.\)

А\(-\dfrac{\pi}{8}\)

Б\(-\dfrac{\pi}{4}\)

В\(\dfrac{\pi}{2}\)

Г\(0\)

Д\(-\dfrac{\pi}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \frac x2=-1.\\[6pt] \frac x2=\mathrm{arctg}\ (-1)+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] \frac x2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi\cdot 0=-\dfrac{\pi}{2}.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37841

Завдання 870 з 1206

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д).

Вираз

1\(|1-\sqrt{5}|-\sqrt{5}+1\)

2\(\dfrac{2\sqrt{5}-10}{\sqrt{5}}\)

3\(\log_{\scriptstyle \sqrt{5}} 5\)

Тотожно рівний вираз

А\(\sqrt{5}\)

Б\(0\)

В\(2-2\sqrt{5}\)

Г\(2\)

Д\(-8\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. Оскільки \(1\lt \sqrt{5}\), то \(1-\sqrt{5}\lt 0.\)

За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |1-\sqrt{5}|-\sqrt{5}+1=-(1-\sqrt{5})-\sqrt{5}+1=-1+\sqrt{5}-\sqrt{5}+1=0. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Оскільки \(10=2\cdot 5=2\cdot (\sqrt{5})^2.\) Винесімо спільний множник у чисельнику:

\begin{gather*} \frac{2\sqrt{5}-10}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}-2\cdot (\sqrt{5})^2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}\cdot (1-\sqrt{5})}{\sqrt{5}}=2\cdot (1-\sqrt{5})=2-2\sqrt{5}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Оскільки \(\sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12}.\)

Скористаймося властивостями логарифма:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot\log_a b;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \log_{\textstyle \sqrt{5}} 5=\log_{\textstyle 5^{\frac 12}} 5=\frac{1}{\frac 12}\cdot \log_5 5=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37842

Завдання 871 з 1206

Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка з прямою \(y=x+3.\)

Функція

1\(y=x\)

2\(y=2^{-x}\)

3\(y=\dfrac 1x\)

Кількість спільних точок

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дбезліч

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Функція \(y=x\) і пряма \(y=x+3.\)

Обидві функції лінійні. Їхні кутові коефіцієнти (число перед \(x\)) однакові: \(k_1=1\) та \(k_2=1.\) Якщо кутові коефіцієнти рівні, а вільні члени різні \((0\ne 3)\), то прямі паралельні. Паралельні прямі не мають спільних точок.

Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=2^{-x}\) або \(y=\dfrac{1}{2^x}\) – це спадна показникова функція, яка набуває лише додатних значень. Пряма \(y=x+3\) є функцією, що зростає.

Оскільки одна функція монотонно зростає, а інша монотонно спадає на всій області визначення, вони можуть мати не більш як одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Графік функції \(y=\dfrac 1x\) – гіпербола, гілки якої розташовані в I та III чвертях. Вона нескінченно наближається до осей \(Ox\) та \(Oy\), але ніколи їх не перетинає.

Пряма \(y=x+3\) перетинає обидві гілки гіперболи.

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37843

Завдання 872 з 1206

Прямокутник \(ABCD\), паралелограм \(BKMC\) та трапеція \(DCMN\) лежать в одній площині, точки \(K\), \(C\) і \(D\) належать одній прямій (див. рисунок). \(AB=5\) см, \(AD=12\) см, \(BK=15\) см. До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі прямокутника \(ABCD\)

2відстань від точки \(K\) до прямої \(AN\)

3довжина висоти трапеції \(DCMN\)

Значення величини

А\(17\) см

Б\(14\) см

В\(13\) см

Г\(12\) см

Д\(5\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції, прямокутних трикутників.

1. Довжина діагоналі прямокутника \(ABCD.\)

Діагональ \(BD\) розбиває прямокутник \(ABCD\) на два рівні прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора для \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2;\\[7pt] BD=\sqrt{AB^2+AD^2};\\[7pt] BD=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – B.

2. Відстань від точки \(K\) до прямої \(AN.\) Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Оскільки точки \(K\), \(C\) та \(D\) лежать на одній прямій (за умовою), а пряма \(CD\) перпендикулярна до \(AN\) (бо це сторона прямокутника), то шукана відстань – довжина відрізка \(KD.\)

\begin{gather*} KD=KC+CD. \end{gather*}

У прямокутнику \(ABCD\):
\(AB=CD=5\) см і \(AD=BC=12\) см.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, кут \(\angle BCD=90^\circ\), а отже і суміжний із ним \(\angle BCK=90^\circ.\) За теоремою Піфагора для трикутника \(\Delta CBK{:}\)

\begin{gather*} BK^2=BC^2+KC^2;\\[7pt] KC^2=BK^2-BC^2;\\[7pt] KC=\sqrt{BK^2-BC^2};\\[7pt] KC=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\ \text{см};\\[7pt] KD=KC+CD=9+5=14\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3. Висота трапеції – це відстань між її основами \(DC\) та \(MN.\)

\(DCMN\) – трапеція \(\Rightarrow\ CD\!\parallel\!MN.\) За умовою \(K\), \(C\), \(D\) лежать на одній прямій, яка перпендикулярна до прямої \(AN.\) Оскільки \(DC\) лежить на цій прямій, то основи трапеції перпендикулярні до прямої \(AN\ (DC\!\perp\!DN\), \(MN\!\perp\!DN).\)

\(ABCD\) – прямокутник \(\Rightarrow\ BC\!\parallel\!AD\), \(AB\!\parallel\!CD\), \(AB=CD=5\) см, \(BC=AD=12\) см. Усі кути \(90^\circ.\)

\(BKMC\) – паралелограм \(\Rightarrow BK\!\parallel\!MC\), \(BC\!\parallel\!KM\), \(BK=MC=15\) см, \(BC=KM=12\) см.

Розгляньмо чотирикутник \(DKMN{:}\) \(CK\!\parallel\!MN\), \(KM\!\parallel\!DN\), \(KC\!\perp\!DN.\)

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а один кут прямий, – прямокутник. Тобто \(DKMN\) – прямокутник.

\begin{gather*} DN=KM=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37844

Завдання 873 з 1206

Обчисліть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції \(f(x)=20-3x-x^2\), у точці з абсцисою \(x_0=-6.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

\begin{gather*} f(x)=20-3x-x^2. \end{gather*}

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

\begin{gather*} C,\ \alpha - \text{сталі};\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(20)'-(3x)'-(x^2)';\\[7pt] f'(x)=0-3-2x=-3-2x;\\[7pt] k=f'(-6)=-3-2\cdot (-6);\\[7pt] k=-3+12=9. \end{gather*}

Відповідь: \(9.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37845

Завдання 874 з 1206

П'ять сімей вирушають у туристичну мандрівку п'ятьма автомобілями – трьома джипами та двома седанами. Скільки всього варіантів сформувати із цих автомобілів колону для руху, якщо попереду й позаду колони будуть седани, а всередині неї – джипи?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати перестановки та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу переміщення \(n\) елементів:

\begin{gather*} P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n. \end{gather*}

Розмістімо седани. Маємо \(2\) седани на \(2\) фіксовані місця (попереду і позаду). Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(2\) елементів, обчислімо за формулою:

\begin{gather*} P_2=2!=1\cdot 2=2. \end{gather*}

Розмістімо джипи. Маємо \(3\) джипи на \(3\) місця в центрі колони. Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(3\) елементів:

\begin{gather*} P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6. \end{gather*}

Оскільки вибір седанів і вибір джипів – це незалежні події, які мають відбутися одночасно, використаймо правило добутку:

\begin{gather*} N=P_2\cdot P_3=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Існує \(12\) варіантів сформувати таку колону.

Відповідь: \(12.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37846

Завдання 875 з 1206

Бічна грань правильної трикутної піраміди – рівносторонній трикутник зі стороною \(4\sqrt{6}\) см. Обчисліть висоту (см) цієї піраміди.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

За умовою, бічна грань (наприклад, \(\Delta DBC\)) – рівносторонній трикутник зі стороною \(a=4\sqrt{6}\) см. Це означає, що всі ребра піраміди рівні. Сторона основи \(AB=BC=AC=a=4\sqrt{6}\) см. Бічне ребро \(DA=DB=DC=4\sqrt{6}\) см.

Оскільки піраміда правильна, її висота \(DO\) падає в центр основи – точку перетину медіан, бісектрис і висот трикутника \(ABC.\) Відрізок \(OB\) – радіус описаного кола \((R)\) навколо основи.

\begin{gather*} OB=R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DOB\ (\angle DOB=90^\circ)\), \(DO\) – висота \((H)\) піраміди. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} DB^2=DO^2+OB^2;\\[7pt] DO^2=DB^2-OB^2;\\[7pt] DO^2=(4\sqrt{6})^2-(4\sqrt{2})^2=16\cdot 6-16\cdot 2=96-32=64;\\[7pt] H=DO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37847

Завдання 876 з 1206

Визначте найбільше ціле значення \(a\), за якого корінь рівняння \(3x-4a=\dfrac{2ax+3}{5}\) є додатним числом.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3x-4a=\frac{2ax+3}{5}. \end{gather*}

Позбудьмося знаменника, помноживши обидві частини на \(5{:}\)

\begin{gather*} 5(3x-4a)=2ax+3;\\[7pt] 15x-20a=2ax+3;\\[7pt] 15x-2ax=3+20a;\\[7pt] x(15-2a)=3+20a;\\[6pt] x=\frac{3+20a}{15-2a}. \end{gather*}

Корінь рівняння додатний, якщо

\begin{gather*} \frac{3+20a}{15-2a}\gt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність методом інтервалів:

\begin{gather*} 3+20a=0;\\[7pt] 20a=-3;\\[6pt] a=-\frac{3}{20}=-0{,}15;\\[6pt] 15-2a\ne 0;\\[7pt] -2a\ne -15;\\[7pt] a\ne 7{,}5. \end{gather*}

Отже, \(a\in (-0{,}15; 7{,}5).\)

Цілі значення \(a\) в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}. \end{gather*}

Найбільше ціле значення: \(7.\)

Відповідь: \(7.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 745. Запитання: 37848

Завдання 877 з 1206

\(|2-5\cdot 3|=\)

А\(9\)

Б\(-13\)

В\(-9\)

Г\(17\)

Д\(13\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |2-5\cdot 3|=|2-15|=|-13|=13. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38044

Завдання 878 з 1206

Розв'яжіть нерівність \(3-3x\lt -1.\)

А\((-\infty; \dfrac 43)\)

Б\((\dfrac 34; +\infty)\)

В\((\dfrac 43; +\infty)\)

Г\((\dfrac 23; +\infty)\)

Д\((-\infty; \dfrac 34)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3-3x\lt -1;\\[7pt] -3x\lt -1-3;\\[7pt] -3x\lt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3x\gt 4. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} x\gt \frac 43. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(\frac 43; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38045

Завдання 879 з 1206

Яке геометричне тіло утвориться внаслідок обертання прямокутного трикутника з меншим катетом \(10\) см навколо прямої \(a\) (див. рисунок)?

Ациліндр із твірною \(10\) см

Бциліндр із радіусом основи \(10\) см

Вконус із твірною \(10\) см

Гконус із радіусом основи \(10\) см

Дконус із висотою \(10\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38046

Завдання 880 з 1206

На діаграмі відображено розподіл \(600\) занять, відвіданих студентами у Google Meet, Zoom i Teams. За діаграмою визначте, якою може бути кількість проведених занять у Google Meet.

А\(500\)

Б\(100\)

В\(450\)

Г\(200\)

Д\(300\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічні, табличні, текстові та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший на діаграмі) займає половину круга. Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(600:2=300\). Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять іншу половину – \(300\) занять.

З діаграми видно, що сектор Google Meet (світло-сірий) більший за сектор Teams, але він обов'язково менший за половину круга \((300)\) і більший за чверть круга \((150).\)

Запишімо це у вигляді нерівності для кількості занять у Google Meet \((x){:}\)

\begin{gather*} 150\lt x\lt 300. \end{gather*}

Отже, лише число \(200\) задовольняє умову, оскільки \(150\lt 200\lt 300.\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38047

Завдання 881 з 1206

Які твердження правильні?

I. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Алише І та ІІ

Блише I

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Це одна з основних властивостей паралелограма. У довільному паралелограмі \(ABCD\) проведімо діагональ \(AC.\) За ознакою рівності трикутників за трьома сторонами: \(AB=CD\), \(BC=AD\) як протилежні сторони паралелограма, \(AC\) – спільна, \(\Delta ABC=\Delta CDA.\) Твердження правильне.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

Ця властивість притаманна лише ромбу (а також квадрату як окремому виду ромба). У довільному паралелограмі діагоналі не ділять кути навпіл. Твердження неправильне.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Трикутники можуть бути прямокутними або тупокутними. Ця властивість не є загальною для паралелограмів. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38048

Завдання 882 з 1206

Розв'яжіть систему нерівностей \(\begin{cases} x+1\lt 9,\\ -2x\lt 6. \end{cases}\)

А\((4; 8)\)

Б\((-3; 8)\)

В\((-\infty; -3)\)

Г\((-\infty; 8)\)

Д\((-3; 10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+1\lt 9,\\ -2x\lt 6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 9-1,\\ x\gt 6:(-2), \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 8,\\ x\gt -3. \end{array}\right. \end{gather*}

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-3; 8).\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38049

Завдання 883 з 1206

Графік функції \(y=\dfrac 1x\) паралельно перенесли на \(4\) одиниці праворуч уздовж осі \(x.\) Графік якої функції отримали внаслідок цього перетворення?

А\(y=\dfrac 1x -4\)

Б\(y=\dfrac{1}{x+4}\)

В\(y=\dfrac 4x\)

Г\(y=\dfrac 1x +4\)

Д\(y=\dfrac{1}{x-4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

\(y=\dfrac 1x\) графік перенесли на \(4\) одиниці праворуч. Згідно з правилом замінімо змінну \(x\) у знаменнику на вираз \((x-4).\) Маємо нову функцію: \(y=\dfrac{1}{x-4}.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38050

Завдання 884 з 1206

Кількість столів, які виготовило підприємство за рік, відноситься до кількості виготовлених ним стільців як \(3:4.\) Якою може бути загальна кількість столів і стільців, вироблених цим підприємством протягом року?

А\(101\)

Б\(91\)

В\(87\)

Г\(72\)

Д\(95\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості столів до стільців становить \(3 : 4.\)

Якщо столів \(3x\), а стільців \(4x\), то разом їх:

\begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Загальна кількість столів і стільців – число, кратне \(7.\)

Варіант відповіді	Число	Чи ділиться на \(7\)
A	\(101\)	не ділиться
Б	\(91\)	ділиться
В	\(87\)	не ділиться
Г	\(72\)	не ділиться
Д	\(95\)	не ділиться

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38051

Завдання 885 з 1206

На рисунку, зображено прямокутник \(ABCD\), периметр якого дорівнює \(46\) см. Визначте довжину сторони \(BC\), якщо \(AB+CD=18\) см.

А\(9\) см

Б\(12\) см

В\(13\) см

Г\(16\) см

Д\(14\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника.

Периметр прямокутника – це сума всіх його сторін:

\begin{gather*} P=(AB+CD)+(BC+AD). \end{gather*}

За умовою \(P=46\) см, а сума \(AB+CD=18\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} 46=18+(BC+AD);\\[7pt] BC+AD=46-18=28\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутнику протилежні сторони рівні: \(BC=AD\). Тому

\begin{gather*} BC=28:2=14\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38052

Завдання 886 з 1206

\(\left(\dfrac 17\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{7}\right)^3=\)

А\(\dfrac{1}{49}\)

Б\(1\)

В\(\dfrac{1}{7}\)

Г\(49\)

Д\(7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня з натуральним показником.

Для розв'язання використаймо властивості:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (\sqrt[\scriptstyle n]{x})^n=x.\\[6pt] \left(\frac 17\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{7}\right)^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[\scriptstyle 3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38053

Завдання 887 з 1206

За якою формулою можна обчислити площу \(S\) бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й апофема якої дорівнюють \(a\)?

А\(S=a^4\)

Б\(S=2a^2\)

В\(S=4a^2\)

Г\(S=\dfrac{a^2}{2}\)

Д\(S=6a^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, а \(m\) – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a\). Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(m=a.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38054

Завдання 888 з 1206

\(\dfrac{3a-b}{18a^2-2b^2}=\)

А\(6a+2b\)

Б\(6a-2b\)

В\(\dfrac{1}{6a+2b}\)

Г\(\dfrac 12\)

Д\(\dfrac{1}{6a-2b}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{3a-b}{18a^2-2b^2}=\frac{3a-b}{2(9a^2-b^2)}=\frac{3a-b}{2((3a)^2-b^2)}=\frac{3a-b}{2(3a-b)(3a+b)}=\\[6pt] =\frac{1}{2(3a+b)}=\frac{1}{6a+2b}. \end{gather*}

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38055

Завдання 889 з 1206

Якому проміжку належить корінь рівняння \(\dfrac{x}{18-2x}=\dfrac 14\)?

А\((-\infty; -3)\)

Б\([-3; 0)\)

В\([0; 4)\)

Г\([4; 8)\)

Д\([8; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=3\) належить проміжку \([0; 4).\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38056

Завдання 890 з 1206

Обчисліть інтеграл \(\mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx\), якщо \(\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx=8.\)

А\(20\)

Б\(14\)

В\(2\)

Г\(28\)

Д\(48\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

\begin{gather*} \mathop{\int} (f(x)+g(x))\ dx=\mathop{\int}f(x)\ dx+\mathop{\int} g(x)\ dx;\\[7pt] \mathop{\int} c\cdot f(x)\ dx=c\cdot \mathop{\int} f(x)\ dx \end{gather*}

та формулою Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x) \Big|_a^b=F(b)-F(a).\\[7pt] \mathop{\int}\limits_0^2 (f(x)+6)\ dx=\mathop{\int}\limits_0^2 f(x)\ dx+\mathop{\int}\limits_0^2 6\ dx=8+6x \Big|_0^2=\\[6pt] =8+6\cdot 2-6\cdot 0=8+12=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38057

Завдання 891 з 1206

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) проведено висоту \(CK\) так, що \(AK=16\) см, \(KD=9\) см (див. рисунок). Діагональ \(AC\) перпендикулярна до бічної сторони \(CD.\) Обчисліть площу цієї трапеції.

А\(384\) см\(^2\)

Б\(288\) см\(^2\)

В\(240\) см\(^2\)

Г\(144\) см\(^2\)

Д\(192\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота \(CK\) ділить основу \(AD\) на два відрізки: \(AK=16\) см і \(KD=9\) см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\) \((\angle ACD=90^\circ\) за умовою). Відрізок \(CK\) – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи \(AD.\)

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38058

Завдання 892 з 1206

До кожного виразу (1–3) доберіть тотожно рівний йому вираз (А – Д), якщо \(a\ne 8.\)

Вираз

1\(\frac{64-a^2}{8-a}\)

2\(2^{3a}\)

3\(\log_{\scriptstyle \sqrt[\scriptstyle 8]{2}} 2^a\)

Тотожно рівний вираз

А\(8^a\)

Б\(8+a\)

В\(8a\)

Г\(8-a\)

Д\(\frac a8\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

1. \(\dfrac{64-a^2}{8-a}=\dfrac{8^2-a^2}{8-a}=\dfrac{(8-a)(8+a)}{8-a}=8+a.\)

Скористаймося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(2^{3a}=(2^3)^a=8^a.\)

Застосуймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(\log_{\textstyle \sqrt[\scriptstyle 8]{2}} 2^a=\log_{\textstyle 2^{\textstyle \frac 18}} 2^a=\dfrac{1}{\frac 18}\log_2 2^a=8\log_2 2^a=\log_2 (2^a)^8=\log_2 2^{8a}=8a\cdot\log_22=8a.\)

Використаймо властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] \log_{\textstyle a}a=1;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_{\textstyle a} b;\\[6pt] \log_{\textstyle a} b^k=k\cdot\log_{\textstyle a} b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38059

Завдання 893 з 1206

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція \(y=-(x-2)^2\)

2Функція \(y=\cos x+1\)

3Функція \(y=\frac{1}{2x-2}\)

Закінчення речення

Ає парною.

Бмає лише одну точку локального екстремуму.

Вне визначена за \(x=1.\)

Гнабуває від'ємного значення за \(x=2.\)

Дзростає на проміжку \((0; +\infty).\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=-(x-2)^2\) це квадратична функція (парабола, гілки вниз). Графік має одну точку екстремуму (тут – максимуму) – вершина параболи.

Отже, 1 – Б.

2. \(y=\cos x+1.\)

Оскільки косинус є парною функцією \(\cos(-x)=\cos x\), отримуємо:

\begin{gather*} y(-x)=\cos x+1=y(x). \end{gather*}

Якщо \(y(-x)=y(x)\) то функція за означенням є парною. Графік парної функції симетричний відносно вісі \(Oy.\)

Отже, 2 – A.

3. \(y=\dfrac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо

\begin{gather*} 2x-2\ne 0;\\[7pt] 2x\ne 2;\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38060

Завдання 894 з 1206

Ромб \(ABCD\) та коло із центром у точці \(O\), довжина якого \(12\pi\) см, лежать в одній площині (див. рисунок). Сторона ромба \(AB\) перетинає коло в точці \(K\), \(AD\) – діаметр кола, \(AK=OA.\) До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина радіуса \(OA\)

2Довжина діагоналі \(BD\) ромба \(ABCD\)

3Довжина висоти ромба

Закінчення речення

Адорівнює \(6\) см.

Бдорівнює \(6\sqrt{3}\) см.

Вдорівнює \(12\) см.

Гдорівнює \(6\sqrt{2}\) см.

Ддорівнює \(12\sqrt{3}\) см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, а також властивості ромба.

1. \(OA\) (Радіус кола).

Формула довжини кола: \(L=2\pi R.\) За умовою \(L=12\pi\) см, отже:

\begin{gather*} 2\pi \cdot OA=12\pi\Rightarrow OA=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Довжина діагоналі \(BD\) ромба.

Розгляньмо \(\Delta AKO.\) \(OA=OK=R=6\) см (як радіуси). За умовою \(AK=OA.\) Отже, \(\Delta AKO\) – рівносторонній (\(AK=KO=OA=6\) см). Отже, гострий кут ромба \(\angle A=60^\circ.\)

Оскільки \(AD\) – діаметр, то сторона ромба

\begin{gather*} AB=AD=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

У ромбі сума сусідніх кутів дорівнює \(180^\circ\), тому тупий кут

\begin{gather*} \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \end{gather*}

За властивістю ромба діагональ \(BD\) є бісектрисою кута \(B\), тобто в трикутнику \(ABD\) кути при основі \(\angle ABD=\angle ADB=60^\circ.\) Тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній, і \(BD=AB=12\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина висоти ромба.

Трикутник \(ABD\) рівносторонній, тож висота ромба, проведена з вершини \(B\) до сторони \(AD\), є водночас і висотою цього трикутника.

Формула для обчислення висоти рівностороннього трикутника: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \end{gather*} де \(a\) – його сторона.

Підставмо значення довжини сторони \(a=12\) см:

\begin{gather*} BO=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38061

Завдання 895 з 1206

Протягом першого тижня після реєстрації своєї сторінки в соціальній мережі Оленка отримала \(7\) запрошень дружити. Кожного наступного тижня вона отримувала на \(3\) запрошення більше, ніж попереднього. Скільки всього запрошень стати другом отримала Оленка протягом перших десяти тижнів після реєстрації?

Впишіть відповідь:

205

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

кількість запрошень за 1-й тиждень: \(a_1=7\);
різниця прогресії: \(d=3\);
кількість тижнів (елементів): \(n=10\).

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші \(10\) тижнів, використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] a_n=a_1+d(n-1).\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{10}=\frac{2\cdot 7+3(10-1)}{2}\cdot 10=\frac{14+3\cdot 9}{2}\cdot 10=\frac{14+27}{2}\cdot 10=\frac{41}{2}\cdot 10=\\[6pt] =41\cdot 5=205. \end{gather*}

Відповідь: \(205.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38062

Завдання 896 з 1206

На порожній паркувальний майданчик, де \(10\) паркомісць, заїжджають три автомобілі: Peugeot, Ford i Volkswagen. Скільки всього є варіантів вибору паркомісць для цих автомобілів?

Впишіть відповідь:

720

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

І спосіб.

Перший автомобіль (Peugeot): заїжджає на повністю порожній майданчик, тому має вибір з усіх \(10\) паркомісць.

Другий автомобіль (Ford): заїжджає наступним. Одне місце вже зайняте автомобілем Peugeot, тому для Ford залишається \(9\) варіантів.

Третій автомобіль (Volkswagen): заїжджає останнім. Два місця вже зайняті попередніми машинами, тому для нього залишається \(8\) варіантів.

За комбінаторним правилом добутку, щоб обчислити загальну кількість способів розмістити всі три автомобілі, треба перемножити кількості варіантів вибору для кожного з них:

\begin{gather*} N=10\cdot 9\cdot 8=720\ \text{способів}. \end{gather*}

II спосіб.

Оскільки важливо і вибрати місця, і зважити на те, який автомобіль куди стане (порядок має значення), скористаймося формулою розміщень без повторень \(A_n^k\) вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!};\\[6pt] A_{10}^3=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{7!}=8\cdot 9\cdot 10=720\ \text{способів}. \end{gather*}

Відповідь: \(720.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38063

Завдання 897 з 1206

Обчисліть об'єм правильної чотирикутної призми, діагональний переріз якої – квадрат площею \(64.\)

Впишіть відповідь:

256

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо довжину сторони квадрата – перерізу правильної чотирикутної призми, площа якої 64:

\begin{gather*} BD=BB_1=\sqrt{64}=8. \end{gather*}

Обчислімо висоту призми:

\begin{gather*} H=BB_1=8. \end{gather*}

В основі призми лежить квадрат \(ABCD\) з діагоналлю \(BD=8.\) Обчислімо його площу:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12BD^2=\frac 12\cdot 8^2=\frac 12\cdot 64=32. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення площі основи та висоти у формулу для обчислення об'єму:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H=32\cdot 8=256. \end{gather*}

Відповідь: \(256.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38064

Завдання 898 з 1206

Визначте кількість цілих значень параметра \(a\), за яких корені рівняння \(2x^2-(4a-3)x-6a=0\) належать проміжку \([-5; 8].\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(2x^2-(4a-3)x-6a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a-3);\\[7pt] c_\text{коеф.}=-6a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a-3))^2-4\cdot 2\cdot (-6a);\\[7pt] D=16a^2-24a+9+48a;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} x_1=\frac{(4a-3)-(4a+3)}{4}=\frac{4a-3-4a-3}{4}=\frac{-6}{4}=-1{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{(4a-3)+(4a+3)}{4}=\frac{8a}{4}=2a. \end{gather*}

\(x_1=-1{,}5\) належить проміжку \([-5; 8].\)

\(x_2=2a\) корінь, що залежить від параметра. За умовою він також має належати проміжку \([-5; 8].\)

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -5\le 2a\le 8;\\[6pt] \frac{-5}{2}\le a\le \frac 82;\\[6pt] -2{,}5\le a\le 4. \end{gather*}

Тобто, \(a\in [-2{,}5; 4].\)

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-2; -1; 0; 1; 2; 3, 4\}. \end{gather*}

Порахуємо їхню кількість: усього \(7\) цілих чисел.

Відповідь: \(7.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 746. Запитання: 38065

Завдання 899 з 1206

\((\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{3})=\)

А\(1\)

Б\(-2\)

В\(4\)

Г\(2\)

Д\(5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Для розв’язання завдання використаймо властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

А також формулу скороченого множення «різниця квадратів»:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b).\\[7pt] (\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{3})=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38138

Завдання 900 з 1206

Точки \(A\) i \(B\) лежать на колі радіуса \(8.\) Яке найбільше можливе значення довжини відрізка \(AB\)?

А\(8\)

Б\(32\)

В\(4\)

Г\(24\)

Д\(16\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Найбільша за довжиною хорда кола – його діаметр.

Отже, \(AB=16\), тому що радіус кола дорівнює \(8\ (d=2R).\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38139

Завдання 901 з 1206

Спростіть вираз \(2a-(3b-2a).\)

А\(-3b\)

Б\(4a-3b\)

В\(-6ab-4a\)

Г\(-6ab+4a\)

Д\(-6ab-4a^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} 2a-(3b-2a)=2a-3b+2a=4a-3b. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38140

Завдання 902 з 1206

На діаграмі відображено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали \(5\) зал кінотеатру: білу, блакитну, жовту, зелену та фіолетову. За діаграмою визначте залу кінотеатру, яку відвідали більше ніж 40, але менше ніж 48 глядачів.

Абіла

Бблакитна

Вжовта

Гзелена

Дфіолетова

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 40\lt\ \text{кількість глядачів}\ \lt 48. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(40\), але нижчим за позначку \(48.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55\gt 48\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (\(35\lt 40\) – не підходить).

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (\(20\lt 40\) – не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (Число \(45\) більше за \(40\) і менше за \(48\) \((40\lt 45\lt 48).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(40\) до \(48\), – фіолетова.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38141

Завдання 903 з 1206

Які з наведених тверджень правильні?

I. Одна з висот рівнобедреного трикутника ділить його на два рівні трикутники.

II. Дві висоти тупокутного трикутника лежать поза його межами.

III. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, більша за менший катет цього трикутника.

Алише I

Блише ІІ

Влише І та ІІ

Глише І та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедрених, тупокутних і прямокутних трикутників.

І. Одна з висот рівнобедреного трикутника ділить його на два рівні трикутники.

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена з вершини до його основи, є водночас медіаною і бісектрисою. Ця висота ділить трикутник на два прямокутні трикутники, рівні за двома катетами (або за катетом і гіпотенузою). Твердження правильне.

II. Дві висоти тупокутного трикутника лежать поза його межами.

У тупокутному трикутнику дві висоти, проведені з гострих кутів, перетинають не самі сторони, а їхні продовження поза трикутником (зовні). Лише одна висота, проведена з тупого кута, лежить усередині фігури. Твердження правильне.

III. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, більша за менший катет цього трикутника.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABC\), у якому провели висоту \(CH\) до гіпотенузи. Висота \((CH)\) утворює новий (менший) прямокутний трикутник \(CHB\), \(CH\) є катетом, а менший катет початкового трикутника \(CB\) стає гіпотенузою. Оскільки в прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди більша за будь-який катет, то \(CH\lt CB.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38142

Завдання 904 з 1206

Розв'яжіть рівняння \(x^2-12=4x-12.\)

А\(2-2\sqrt{7}; 2+2\sqrt{7}\)

Б\(-2; 6\)

В\(-6; 2\)

Г\(-4; 0\)

Д\(0; 4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2-12=4x-12;\\[7pt] x^2-12-4x+12=0;\\[7pt] x^2-4x=0;\\[7pt] x(x-4)=0;\\[7pt] x_1=0\ \text{або}\ x-4=0;\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38143

Завдання 905 з 1206

Позначте формулу для обчислення площі \(S\) бічної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює \(\sqrt{a}\), а висота – \(3\sqrt{a}.\)

А\(S=12a\)

Б\(S=12a\sqrt{a}\)

В\(S=18a\)

Г\(S=9a\)

Д\(S=3a\sqrt{a}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(\sqrt{a}\), тож його периметр:

\begin{gather*} P=4\sqrt{a}. \end{gather*}

За умовою задачі висота \(H=3\sqrt{a}.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{біч}=4\sqrt{a}\cdot 3\sqrt{a}=12(\sqrt{a})^2=12a. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38144

Завдання 906 з 1206

Функція \(y=f(x)\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\) і набуває лише від'ємних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише в І та IV

Блише в ІI

Влише в ІII та IV

Глише в І та II

Длише в ІV

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов'язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди від'ємні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (у IV чверті).

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38145

Завдання 907 з 1206

Іван плив на байдарці за течією річки. Який шлях він подолав за \(2{,}5\) год, якщо швидкість течії річки становить \(1{,}8\) км/год, а власна швидкість байдарки – \(5\) км/год?

А\(4{,}5\) км

Б\(17\) км

В\(8\) км

Г\(12{,}5\) км

Д\(16\) км

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки Іван на байдарці плив за течією, додамо швидкість течії до власної швидкості байдарки:

\begin{gather*} v_\text{за теч.}=v_\text{байдарки}+v_\text{теч.}=5+1{,}8=6{,}8\ \text{км/год}. \end{gather*}

Щоб обчислити загальний шлях, швидкість, з якою рухався Іван, помножмо на час, який він витратив на подорож:

\begin{gather*} S=v\cdot t;\\[7pt] S=6{,}8\cdot 2{,}5=17\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38146

Завдання 908 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі точка \(N\) лежить на координатній осі \(y\) (див. рисунок). Визначте можливі координати вектора \(\overrightarrow{ON}.\)

А\((2; -2; 0)\)

Б\((0; 0; 2)\)

В\((-2; 0; 0)\)

Г\((2; 0; 0)\)

Д\((0; 2; 0)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\), її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) додатна: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Д.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38147

Завдання 909 з 1206

Розв'яжіть нерівність \(\log_{\scriptstyle 0{,}2}(x+4)\gt \log_{\scriptstyle 0{,}2} 5.\)

А\((1; +\infty)\)

Б\((-\infty; 1)\)

В\((-4; 1)\)

Г\((9; +\infty)\)

Д\((0; 1)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжімо логарифмічну нерівність \(\log_{0{,}2} (x+4)\gt \log_{0{,}2} 5.\)

Функція є спадною, бо основа логарифма \(0{,}2\lt 1.\) Отже, \(x+4\lt 5\) та за ОДЗ \(x+4\gt 0.\)

Розв'язком нерівності є розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+4\lt 5,\\ x+4\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 5-4,\\ x\gt -4, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -4. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-4; 1). \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38148

Завдання 910 з 1206

Спростіть вираз \(\dfrac{25+10b+b^2}{5b^2+25b}.\)

А\(\dfrac{1}{5b}\)

Б\(2\)

В\(\dfrac{b+5}{5b}\)

Г\(5b\)

Д\(5b(b+5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\[7pt] \frac{25+10b+b^2}{5b^2+25b}=\frac{(5+b)^2}{5b(b+5)}=\frac{5+b}{5b}=\frac{b+5}{5b}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38149

Завдання 911 з 1206

Число \(27\) – член арифметичної прогресії з різницею \(d=5.\) Яке число теж може бути членом цієї прогресії?

А\(49\)

Б\(50\)

В\(51\)

Г\(52\)

Д\(53\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв’язувати текстові задачі.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \(a_k\) відрізняється від відомого \((a_n)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_k-a_n=m\cdot d, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число (кількість кроків).

Різниця між невідомим числом і числом \(27\) має націло ділитися на \(5.\)
А) \(49{:}\
49 - 27 = 22\) (число \(22\) не ділиться на \(5\) без остачі).
Б) \(50{:}\
50 - 27 = 23\) (не ділиться на \(5\)).
В) \(51{:}\
51 - 27 = 24\) (не ділиться на \(5\)).
Г) \(52{:}\
52 - 27 = 25\) (число \(25\) ділиться на \(5\) націло: \(25 : 5 = 5\)).
Д) \(53{:}\
53 - 27 = 26\) (не ділиться на \(5\)).

Оскільки різниця ділиться на \(5\) лише для числа \(52\), воно єдиний можливий правильний варіант із запропонованих.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38150

Завдання 912 з 1206

У паралелограмі \(ABCD\ \angle A=30^\circ\), бічна сторона \(AB=12\) см. Сторона \(AD\) втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см\(^2\)) паралелограма.

А\(54\)

Б\(54\sqrt{3}\)

В\(108\)

Г\(108\sqrt{3}\)

Д\(216\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ).\)

За умовою, \(\angle A=30^\circ\), а гіпотенуза \(AB=12\) см. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи.

\begin{gather*} BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, сторона \(AD\) втричі більша за висоту, проведену до неї:

\begin{gather*} AD=3\cdot BH=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площу паралелограма обчислімо як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\begin{gather*} S=AD\cdot BH=18\cdot 6=108\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38151

Завдання 913 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{cases}\) Для розв'язку \((x_0; y_0)\) обчисліть добуток \(x_0\cdot y_0.\)

А\(-3\)

Б\(-6\)

В\(4\)

Г\(6\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right.\\[7pt] 10x-4y+6x+4y=26+6;\\[7pt] 16x=32;\\[7pt] x=\frac{32}{16}=2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=2\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6;\\[7pt] 12+4y=6;\\[7pt] 4y=6-12;\\[7pt] 4y=-6;\\[6pt] y=-\frac 64=-1{,}5. \end{gather*}

Тобто \((2; -1{,}5)\) – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1{,}5)=-3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38152

Завдання 914 з 1206

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо \(m\) i \(n\) натуральне число, \(n\gt 1\), \(m\gt 1.\)

Початок речення

1Якщо \(n^{\textstyle \log_{n} m}=a\), то

2Якщо \(\dfrac{mn^2-nm^2}{n-m}=a\), то

3Якщо \(n\cos^2 m+n\sin^2 m=a\), то

Закінчення речення

А\(a=m+n.\)

Б\(a=m.\)

В\(a=m-n.\)

Г\(a=mn.\)

Д\(a=n.\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних виразів.

1. Якщо \(n^{\textstyle \log_n m}=a\), то…

Застосуймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\textstyle \log_a b}=b.\\[7pt] m=a. \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. Якщо \(\dfrac{mn^2-nm^2}{n-m}=a\), то…

Розкладімо чисельник дробу на множники, винісши спільний множник \(mn\) за дужки.

\begin{gather*} \frac{mn(n-m)}{n-m}=a. \end{gather*}

Скоротімо дріб на спільний множник \((n-m)\), оскільки \(n\gt 1\), \(m\gt 1\) і \(n\ne m\) (інакше знаменник перетворився б на нуль):

\begin{gather*} mn=a. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. Якщо \(n\sin^2 m+n\cos^2 m=a\), то…

Винесімо спільний множник \(n\) за дужки й застосуймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.\\[7pt] n(\sin^2 m+\cos^2 m)=a;\\[7pt] n\cdot 1=a;\\[7pt] n=a. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38153

Завдання 915 з 1206

У прямокутній системі координат на площині зображено замкнену ламану \(ABCDA\), \(A(0; -1)\), \(B(0; 1)\), \(C(2\pi; 1)\), \(D(2\pi; -1)\) (див. рисунок). Доберіть до функції (1–3) кількістю (А – Д) спільних точок її графіка з ламаною \(ABCDA.\)

Функція

1\(y=x^3\)

2\(y=\cos x\)

3\(y=x+1\)

Кількість спільних точок

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дчотири

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=x^3\) (кубічна парабола).

Оскільки \(y(0)=0^3=0\), графік перетинає відрізок \(AB\) у точці \((0; 0).\) Оскільки \(y(1)=1^3=1\), графік перетинає відрізок \(BC\) у точці \((1; 1).\) Графік має дві спільні точки з ламаною.

Отже, 1 – B.

2. Функція \(y=\cos x\) (косинусоїда).

Розгляньмо зміну косинуса на відрізку \([0; 2\pi]{:}\)

Якщо \(x=0\), \(y=\cos 0=1.\) Це вершина \(B(0; 1).\)

Якщо \(x=\pi\), \(y=\cos \pi=-1.\) Ця точка лежить на нижній основі \(AD.\)

Якщо \(x=2\pi\), \(y=\cos (2\pi)=1.\) Це вершина \(C(2\pi; 1).\)

Графік має три спільні точки з ламаною.

Отже, 2 – Г.

3. Функція \(y=x+1\) (лінійна функція).

Графік має одну спільну точку з ламаною – це вершина \(B(0; 1).\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38154

Завдання 916 з 1206

На сторонах \(AD\) i \(BC\) квадрата \(ABCD.\) вибрано точки \(K\) i \(M\) так, що \(AK=4\) см, \(MC=10\) см, \(KM=DM.\) До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1довжина сторони квадрата \(ABCD\)

2довжина відрізка \(DM\)

3відстань від середини відрізка \(DM\) до прямої \(AB\)

Значення величини

А\(24\) см

Б\(25\) см

В\(19\) см

Г\(18\) см

Д\(26\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутного та рівнобедреного трикутників, а також теореми Піфагора.

1. Довжина сторони квадрата \(ABCD.\)

Оскільки за умовою \(KM=DM\), трикутник \(\Delta KMD\) – рівнобедрений з основою \(KD.\)

Проведімо з вершини \(M\) висоту \(MP\) до основи \(KD\ (MP\!\perp\!AD).\) За властивістю рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є також його медіаною.

Це означає, що точка \(P\) ділить відрізок \(KD\) навпіл: \(KP=PD.\)

Чотирикутник \(MPDC\) за побудовою є прямокутником (оскільки \(MC\!\parallel\!PD\) та \(\angle C=\angle D=90^\circ\)).

З властивостей прямокутника випливає, що протилежні сторони рівні:

\begin{gather*} PD=MC=10\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(P\) – середина \(KD\), то:

\begin{gather*} KP=PD=10\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона квадрата \(AD\) просто складається з трьох відомих відрізків на одній прямій:

\begin{gather*} AD=AK+KP+PD;\\[7pt] AD=4+10+10=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. Довжина відрізка \(DM.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta MCD\ (\angle C=90^\circ).\)

Катет \(MC=10\) см (за умовою).

Катет \(CD=24\) см (сторона квадрата).

За теоремою Піфагора в трикутнику \(\Delta MCD{:}\)

\begin{gather*} DM^2=MC^2+CD^2. \end{gather*}

Підставмо відомі значення чисел:

\begin{gather*} DM^2=10^2+24^2;\\[7pt] DM^2=100+576=676;\\[7pt] DM=\sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Відстань від середини відрізка \(DM\) до прямої \(AB.\)

Чотирикутник \(ABMD\) – це прямокутна трапеція з основами \(BM\) і \(AD\ (BM\!\parallel\!AD\), \(\angle A=\angle B=90^\circ).\)

Точка \(O\) – середина похилої бічної сторони \(MD.\) Проведімо з точки \(O\) перпендикуляр \(OK\) до сторони \(AB\ (OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(BM\!\parallel\!AD\) і вони обидва перпендикулярні до \(AB\), то відрізок \(OK\), проведений через середину \(MD\) паралельно основам, є середньою лінією трапеції \(ABMD.\)

За властивістю середньої лінії трапеції, її довжина дорівнює півсумі основ:

\begin{gather*} OK=\frac{BM+AD}{2}. \end{gather*}

Оскільки \(AD\) (сторона квадрата) \(=24\) см і \(BM=BC-MC=24-10=14\) см, маємо:

\begin{gather*} OK=\frac{14+24}{2}=\frac{38}{2}=19\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38155

Завдання 917 з 1206

Обчисліть значення похідної функції \(f(x)=x(4-x)\) у точці \(x_0=5.\)

Впишіть відповідь:

-6

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, розкриймо дужки, щоб звести функцію до стандартного вигляду многочлена:

\begin{gather*} f(x)=4x-x^2. \end{gather*}

Застосуймо основні правила диференціювання \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\) та \((Cx)'=C.\)

\begin{gather*} f(x)'=(4x)'-(x^2)'=4-2x. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=5\) у рівняння похідної:

\begin{gather*} f(5)'=4-2\cdot 5=4-10=-6. \end{gather*}

Відповідь: \(-6.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38156

Завдання 918 з 1206

У бібліотеці всі книжки кодують чотирма символами за таким правилом: перший символ є буквою латинського алфавіту, а наступні три – цифрами. У кожної книжки є унікальний особистий код. Яку найбільшу кількість книжок можна так закодувати, якщо в латинському алфавіті \(26\) букв?

Впишіть відповідь:

26000

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання перевіряє вміння використовувати комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Унікальний код кожної книжки складається із \(4\) позицій:
[ _ ][ _ ][ _ ][ _ ].

Перша позиція (буква): за умовою використовуємо латинський алфавіт, у якому \(26\) букв. Отже, для першого місця маємо \(26\) варіантів.

Друга позиція (цифра): у математиці \(10\) цифр (від \(0\) до \(9\)). Оскільки в умові немає обмежень на повторення символів, маємо \(10\) варіантів.

Третя позиція (цифра): аналогічно – \(10\) варіантів.

Четверта позиція (цифра): аналогічно – \(10\) варіантів.

За правилом добутку в комбінаториці, щоб обчислити загальну кількість комбінацій для всього коду, треба перемножити кількість варіантів для кожної позиції:

\begin{gather*} N=26\cdot 10\cdot 10\cdot 10=26000. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(26000.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38157

Завдання 919 з 1206

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює \(27\sqrt{3}\) см\(^2.\) Визначте об'єм \(V\) (у см\(^3\)) конуса. У відповіді запишіть значення \(\dfrac{V}{\pi}.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса й уміння їх застосовувати.

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Його сторони – дві твірні конуса \(L\) і діаметр основи \(d=2R\) (де \(R\) – радіус основи конуса).

Оскільки трикутник рівносторонній:

\begin{gather*} L=2R. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(a\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Сторона трикутника \(a=2R\), а його площа \(S=27\sqrt{3}\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \frac{(2R)^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] \frac{4R^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] R^2\sqrt{3}=27\sqrt{3}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(\sqrt{3}{:}\)

\begin{gather*} R^2=27;\\[7pt] R=\sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту рівностороннього трикутника (яка водночас є висотою конуса \(H\)) обчислімо за формулою через його сторону \((a=2R){:}\)

\begin{gather*} H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо значення \(R{:}\)

\begin{gather*} H=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\cdot 3=9\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=3\sqrt{3}\) см та \(H=9\) см:

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \pi\cdot (3\sqrt{3})^2\cdot 9=\frac 13\cdot \pi\cdot 3^2\cdot (\sqrt{3})^2\cdot 9=\\[6pt] =\frac 13\cdot \pi\cdot 9\cdot 3\cdot 9=9\cdot 9\cdot \pi=81\pi\ \text{см}^3;\\[6pt] \frac{V}{\pi}=\frac{81\pi}{\pi}=81. \end{gather*}

Відповідь: \(81.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38158

Завдання 920 з 1206

За якого значення \(m\) один із коренів рівняння \(x^2-8x+m=0\) на \(2\) більший за інший?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє навички розв’язання квадратних рівнянь, аналізування та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-8x+m=0;\\[7pt] x_2=x_1+2. \end{gather*}

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=8;\\[7pt] x_1\cdot x_2=m. \end{gather*}

Підставмо \(x_2=x_1+2\) у рівняння суми:

\begin{gather*} x_1+x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1+2=8. \end{gather*}

Розв’яжімо це рівняння:

\begin{gather*} 2x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1=8-2;\\[7pt] 2x_1=6;\\[7pt] x_1=3. \end{gather*}

Тепер обчислімо другий корінь \(x_2{:}\)

\begin{gather*} x_2=x_1+2=3+2=5. \end{gather*}

Використаймо рівняння добутку коренів для обчислення \(m{:}\)

\begin{gather*} m=x_1\cdot x_2=3\cdot 5=15. \end{gather*}

Відповідь: \(15.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 747. Запитання: 38159

Завдання 921 з 1206

\(\sqrt{(-1-\sqrt{6})^2}=\)

А\(1-\sqrt{6}\)

Б\(1+\sqrt{6}\)

В\(-1-\sqrt{6}\)

Г\(-\sqrt{7}\)

Д\(\sqrt{6}-1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля в розв'язуванні задач.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|.\\[7pt] \sqrt{(-1-\sqrt{6})^2}=|-1-\sqrt{6}|. \end{gather*}

Оскільки обидва доданки \(-1\) та \(-6\) від'ємні, їхня сума теж від'ємне число:

\begin{gather*} -1-\sqrt{6}\lt 0. \end{gather*}

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |-1-\sqrt{6}|=-(-1-\sqrt{6})=1+\sqrt{6}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38203

Завдання 922 з 1206

Визначте координати вектора, який є сумою векторів \(\vec a(1; -2; 5)\) i \(\vec b(-8; -3; 6).\)

А\((-7; -5; 11)\)

Б\((-9; -1; 1)\)

В\((-7; 1; 11)\)

Г\((9; 1; -1)\)

Д\((-7; -1; 11)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(1+(-8); -2+(-3); 5+6);\\[7pt] \vec c(-7; -5; 11). \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38204

Завдання 923 з 1206

Яке число є розв'язком нерівності \(\left(\dfrac 13-\dfrac 12\right)(x+1)\gt 0\)?

А\(1\)

Б\(-1\)

В\(2\)

Г\(-4\)

Д\(0\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} \frac 13-\frac 12=\frac{2-3}{6}=-\frac 16\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність:

\begin{gather*} -\frac 16(x+1)\gt 0. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-6.\)

\begin{gather*} x+1\lt 0;\\[7pt] x\lt -1. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -1).\) З наведених чисел лише \(-4\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38205

Завдання 924 з 1206

На діаграмі відображено розподіл \(500\) занять, відвіданих студентами у Google Meet, Zoom i Teams. Скориставшись діаграмою, продовжте речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Кількість відвіданих занять у Teams...

Аменша від \(150\)».

Бстановить половину від загальної кількості».

Встановить третину від загальної кількості».

Гбільша за кількість занять у Google Meet».

Дналежить проміжку \([250; 400]\)».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, яку відображено на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(500 : 2 = 250.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять другу половину, тобто \(250\) занять.

Сектор Teams візуально менший за чверть від усього круга: \(500:4=125.\) Отже, кількість занять у Teams менша за \(125.\)

А менша від \(150\)». – Правильно, оскільки цей сектор менший навіть за \(125.\)

Б становить половину від загальної кількості». – Неправильно (половину становлять заняття в Zoom).

В становить третину від загальної кількості». – Неправильно (третина – це приблизно \(167\) занять).

Г більша за кількість занять у Google Meet». – Неправильно (темно-сірий сектор менший за світло-сірий).

Д належить проміжку \([250; 400]\)». – Неправильно (у цьому проміжку – кількість занять у Zoom або сума кількостей занять на інших платформах: Teams + Google Meet).

Отже, лише твердження «менша від \(150\)» задовольняє умову.

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38206

Завдання 925 з 1206

\((\sqrt{2}-a)(\sqrt{2}+a)=\)

А\(2-a\)

Б\(2-a^2\)

В\(\sqrt{2}-a^2\)

Г\(2-\sqrt{a}\)

Д\(\sqrt[\scriptstyle 4]{2}-a^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a;\\[7pt] (\sqrt{2}-a)(\sqrt{2}+a)=(\sqrt{2})^2-a^2=2-a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38207

Завдання 926 з 1206

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-2; 4].\) Цей графік перетинає вісь \(y\) в одній із зазначених точок. Визначте цю точку.

А\((4; 0)\)

Б\((3; 4)\)

В\((0; 3)\)

Г\((3; 0)\)

Д\((0; 4)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) в точці \((0; 4).\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38208

Завдання 927 з 1206

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Конус утворений обертанням...

Арівнобедреного трикутника навколо його основи».

Брівностороннього трикутника навколо його сторони».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дпрямокутника навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38209

Завдання 928 з 1206

Спростіть вираз \(\dfrac{(2x^2)^3}{4x^9}.\)

А\(\dfrac{2}{x^3}\)

Б\(\dfrac{2}{x^4}\)

В\(\dfrac{4}{x^3}\)

Г\(\dfrac{3}{2x^4}\)

Д\(\dfrac{1}{2x}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[6pt] \frac{(2x^2)^3}{4x^9}=\frac{2^3\cdot (x^2)^3}{4x^9}=\frac{8\cdot x^6}{4x^9}=\frac{2}{x^3}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38210

Завдання 929 з 1206

Які твердження правильні?

I. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин його діагоналей.

II. Сума квадратів усіх сторін прямокутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

III. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює діагоналі прямокутника.

Алише IІІ

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, зокрема властивостей чотирикутників, вписаних у коло.

I. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин його діагоналей.

З нерівності трикутника для половини прямокутника відомо, що сума двох сторін більша за третю сторону (діагональ): \(a+b\gt d\), відповідно \(2(a+b)\gt 2d.\) Твердження неправильне.

II. Сума квадратів усіх сторін прямокутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного сторонами та діагоналлю:

\(a^2+b^2=d^2.\)

Помноживши обидві частини на \(2\), отримуємо:

\begin{gather*} 2(a^2+b^2)=2d^2;\\[7pt] 2a^2+2b^2=2d^2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює діагоналі прямокутника.

Центр описаного кола лежить на перетині діагоналей, а самі діагоналі – діаметри цього кола \((D=d).\) Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38211

Завдання 930 з 1206

Який корінь рівняння \(\sin \pi x=1\)?

А\(-\dfrac 12\)

Б\(-\dfrac{\pi}{2}\)

В\(1\)

Г\(\dfrac{\pi}{2}\)

Д\(\dfrac 12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \pi x=1;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=\frac 12 +2n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=\dfrac 12.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38212

Завдання 931 з 1206

Сканер сканує одну сторінку за \(6\) секунд. Яку найбільшу кількість сторінок можна зісканувати на цьому сканері за \(5\) хвилин?

А\(30\)

Б\(300\)

В\(50\)

Г\(100\)

Д\(72\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою сканер працює \(5\) хвилин, а швидкість сканування наведено в сторінках за секунду. Тому спершу виразімо хвилини в секундах:

\begin{gather*} 1\ \text{хв}=60\ \text{с};\\[7pt] 5\ \text{хв}=5\cdot 60=300\ \text{с}. \end{gather*}

Сканер сканує \(1\) сторінку за \(6\) секунд.

Обчислімо кількість сторінок, які він зісканує за \(300\) секунд:

\begin{gather*} 300:6=50. \end{gather*}

Отже, за \(5\) хвилин сканер зісканує \(50\) сторінок.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38213

Завдання 932 з 1206

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом \(x(t)=6t^2\), де \(x(t)\) – координата точки (у метрах), \(t\) – час (у секундах). За якою формулою можна обчислити швидкість \(v(t)\) руху цієї матеріальної точки в будь-який момент часу \(t\)?

А\(v(t)=6t^3\)

Б\(v(t)=12t\)

В\(v(t)=3t\)

Г\(v(t)=6t\)

Д\(v(t)=2t^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила диференціювання суми й уміння розв'язувати задачі на використання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом:

\begin{gather*} x(t)=6t^2. \end{gather*}

Фізичний зміст похідної: швидкість \(v(t)\) прямолінійного руху матеріальної точки в момент часу \(t\) дорівнює похідній від функції координати \(x(t)\) за часом:

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

За таблицею похідних:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] v(t)=(6t^2)'=6\cdot 2t=12t. \end{gather*}

Отже, швидкість руху матеріальної точки в будь-який момент часу \(t\) визначають за формулою:

\begin{gather*} v(t)=12t. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38214

Завдання 933 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі задано точки \(K\) і \(N\) на координатній осі \(y\) (див. рисунок). Визначте можливі координати вектора \(\overrightarrow{KN}.\)

А\((0; 0; 9)\)

Б\((9; 0; 0)\)

В\((0; -9; 0)\)

Г\((9; -9; 0)\)

Д\((0; 9; 0)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) і \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати за осями \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю:

\begin{gather*} K(0; y_K; 0);\\[7pt] N(0; y_N; 0). \end{gather*}

Координати вектора \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{KN}(0-0; y_N-y_K; 0-0);\\[7pt] \overrightarrow{KN}(0; y_N-y_K; 0). \end{gather*}

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають дорівнювати нулю.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 9; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38215

Завдання 934 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} \dfrac{3}{x+y}=-\dfrac 12,\\ 2x-y=-3. \end{cases}\)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0=\)

А\(9\)

Б\(3\)

В\(-6\)

Г\(-3\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додавання систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=-3. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6-3;\\[7pt] 3x=-9;\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Отже, \(x_0=-3.\)

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38216

Завдання 935 з 1206

У прямокутній трапеції \(ABCD\) бічні сторони \(AB\) i \(CD\) дорівнюють \(12\) см і \(20\) см відповідно, а \(BC:AD=3:5\) (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А\(96\) см\(^2\)

Б\(384\) см\(^2\)

В\(768\) см\(^2\)

Г\(192\) см\(^2\)

Д\(364\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту \(CH\) з вершини \(C\) на основу \(AD\ (CH\!\perp\!AD).\)

Оскільки трапеція прямокутна \((\angle A=90^\circ)\), чотирикутник \(ABCH\) є прямокутником. Звідси маємо: \(CH=AB=12\) см (висота трапеції) і \(AH=BC.\)

Розгляньмо \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 20^2=12^2+HD^2;\\[7pt] 400=144+HD^2;\\[7pt] HD^2=400-144=256;\\[7pt] HD=16\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою \(BC:AD=3:5.\) Нехай \(BC=3x\), тоді \(AD=5x.\)

Оскільки \(AD=AH+HD\), а \(AH=BC=3x\), підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 5x=3x+16;\\[7pt] 2x=16;\\[7pt] x=8\ \text{см}. \end{gather*}

Тепер визначмо довжини основ:

менша основа \(BC=3\cdot 8=24\) см;

більша основа \(AD=5\cdot 8=40\) см.

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH;\\[6pt] S=\frac{24+40}{2}\cdot 12=\frac{64}{2}\cdot 12=32\cdot 12=384\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38217

Завдання 936 з 1206

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.
(\(e\approx 2{,}7\) – основа натурального логарифма (число Ейлера)).

Вираз

1\(\ln\frac 1e\)

2\(|e-5|\)

3\(e^0\)

Проміжок

А\((-\infty; -1)\)

Б\([-1; 0)\)

В\([0; 1)\)

Г\([1; 2)\)

Д\((2; +\infty)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних і степеневих виразів.

1. \(\ln \dfrac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1.\)

Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(e\approx 2{,}7.\)

\begin{gather*} e-5\lt 0;\\[7pt] |e-5|=-(e-5)=-e+5=\\[7pt] =5-e\approx 5-2{,}7\approx 2{,}3. \end{gather*}

Число \(2{,}3\) належить проміжку \((2; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(e^0=1.\)

Число \(1\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38218

Завдання 937 з 1206

Визначте для функції (1–3) кількість (А – Д) спільних точок її графіка з прямою \(y=1.\)

Функція

1\(y=\cos x\)

2\(y=x^2-2x+2\)

3\(y=1+\dfrac 2x\)

Кількість спільних точок

Ажодної

Бодна

Вдві

Гтри

Дбезліч

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Функція \(y=cos x.\) Косинус – періодична функція.

Підставмо \(y=1{:}\) \(\cos x=1\) виконується в усіх точках виду \(x=2\pi k\), \(k\in Z\) (наприклад: \(0\), \(\pm 2\pi\), \(\pm 4\pi\) тощо). Спільних точок безліч.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y=x^2-2x+2.\)

Підставмо \(y=1{:}\)

\begin{gather*} x^2-2x+2=1;\\[7pt] x^2-2x+1=0;\\[7pt] (x-1)^2=0;\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Квадратне рівняння має лише один корінь. Графіки мають одну спільну точку (пряма є дотичною до вершини параболи).

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=1+\frac 2x.\)

Підставмо \(y=1\) (зважмо на ОДЗ: \(x\ne 0\)):

\begin{gather*} 1+\frac 2x=1;\\[6pt] \frac 2x=0. \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю. Але чисельник тут сталий \((2\ne 0).\)

Горизонтальна пряма \(y=1\) є горизонтальною асимптотою для цієї гіперболи, тому графіки ніколи не перетинаються. Тобто не мають жодної спільної точки.

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38219

Завдання 938 з 1206

У ромб, менша діагональ якого \(30\) см, вписано коло радіуса \(12\) см (див. рисунок). До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1висота ромба

2проєкція меншої діагоналі на сторону ромба

3сторона ромба

Значення величини

А\(18\) см

Б\(20\) см

В\(24\) см

Г\(25\) см

Д\(30\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Висота ромба.

Висота ромба \(h\) дорівнює діаметру вписаного кола \((h=2r){:}\)

\begin{gather*} h=2\cdot 12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

2. Проєкція меншої діагоналі на сторону ромба.

Проєкцією меншої діагоналі \(BD\) на сторону ромба \(AD\) є відрізок \(KD\) (оскільки \(B\) проєктується в точку \(K\), а вершина \(D\) лежить на цій прямій). Розгляньмо прямокутний трикутник \(BKD\ (\angle BKD=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=BK^2+KD^2;\\[7pt] KD^2=BD^2-BK^2;\\[7pt] KD^2=30^2-24^2=900-576=324;\\[7pt] KD=\sqrt{324}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

3. Сторона ромба.

Розгляньмо прямокутні трикутники \(\Delta AOD\ (\angle AOD=90^\circ)\) та \(\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ){:}\) \(\angle AOD=\angle BKD=90^\circ.\)

Гострий кут \(\angle ODA\) (або \(\angle BDK\)) – спільний.

Звідси: \(\Delta AOD\sim \Delta BKD\) за двома гострими кутами (ознака подібності прямокутних трикутників).

Оскільки трикутники подібні, відношення їхніх відповідних сторін (навпроти рівних кутів) є рівними. Запишімо пропорцію відношення гіпотенуз до прилеглих катетів для цих трикутників:

\begin{gather*} \frac{AD}{BD}=\frac{OD}{KD}. \end{gather*}

Підставмо всі відомі значення, які отримали на попередніх кроках \((BD=30\) см, \(OD=15\) см, \(KD=18\) см\(){:}\)

\begin{gather*} \frac{AD}{30}=\frac{15}{18};\\[6pt] AD=\frac{15\cdot 30}{18}=5\cdot 5=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38220

Завдання 939 з 1206

Число \(27\) є членом арифметичної прогресії з різницею \(d=5.\) Визначте числа з проміжку \((60; 75)\), які є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

Впишіть відповідь:

201

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Будь-який інший член прогресії \((a_n)\) відрізняється від відомого \((a_k)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_n=a_k+d\cdot m, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число.

Підставивши відомі значення \(a_k=27\) та \(d=5\)

\begin{gather*} a_n=27+5m. \end{gather*}

Шукані члени прогресії належать інтервалу \((60; 75).\) Складімо подвійну нерівність:

\begin{gather*} 60\lt 27+5m\lt 75;\\[7pt] 60-27\lt 5m\lt 75-27;\\[7pt] 33\lt 5m\lt 48;\\[6pt] \frac{33}{5}\lt m\lt \frac{48}{5};\\[6pt] 6{,}6\lt m\lt 9{,}6;\\[7pt] m=\{7,\ 8,\ 9\} \end{gather*}

Обчислімо відповідні члени арифметичної прогресії:

\begin{gather*} m=7,\ \text{то}\ a_{k+7}=27+5m=27+5\cdot 7=27+35=62;\\[7pt] m=8,\ \text{то}\ a_{k+8}=27+5m=27+5\cdot 8=27+40=67;\\[7pt] m=9,\ \text{то}\ a_{k+9}=27+5m=27+5\cdot 9=27+45=72. \end{gather*}

Обчислімо суму \(S\) визначених членів прогресії:

\begin{gather*} S=62+67+72=201. \end{gather*}

Відповідь: \(201.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38221

Завдання 940 з 1206

У фінал творчого конкурсу вийшли \(5\) співаків і \(12\) музичних груп. Для участі у благодійному конкурсі треба обрати \(1\) співака і \(2\) музичні групи з-поміж фіналістів конкурсу. Скільки всього варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

330

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) елементів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. \end{gather*}

1. Оберімо співака.

Треба обрати \(1\) співака з \(5\) фіналістів. Кількість способів це зробити дорівнює:

\begin{gather*} C_5^1=5. \end{gather*}

2. Оберімо музичні групи.

Треба обрати \(2\) групи з \(12\) фіналістів. Оскільки порядок вибору груп не має значення, використаймо формулу комбінацій \((C_{12}^2){:}\)

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{10!\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 10!}=11\cdot 6=66. \end{gather*}

3. Визначмо загальну кількість варіантів.

Оскільки маємо обрати і співака, і музичні групи (сполучник і вказує на одночасний вибір), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} N=C_5^1\cdot C_{12}^2=5\cdot 66=330. \end{gather*}

Відповідь: \(330.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38222

Завдання 941 з 1206

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом \(60^\circ.\) Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює \(240\sqrt{3}.\) Обчисліть об'єм призми, якщо її висота дорівнює \(8\sqrt{3}.\)

Впишіть відповідь:

3600

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ \((AC)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу:

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ \((BD)\) ромба.

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15;\\[6pt] \Delta COD:\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD};\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

\begin{gather*} S_\text{осн}=a^2\sin 60^\circ.\\[6pt] S_\text{осн}=(10\sqrt{3})^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=100\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставимо знайдені значення площі основи та висоти у формулу об'єму:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H=150\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=150\cdot 8\cdot 3=1200\cdot 3=3600. \end{gather*}

Відповідь: \(3600.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38223

Завдання 942 з 1206

За якого найбільшого цілого значення \(a\) обидва корені квадратного рівняння \(x^2+(2a-15)x+26-4a=0\) більші за \(1\)?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(x^2+(2a-15)x+26-4a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=1;\\[7pt] b_\text{коеф.}=2a-15;\\[7pt] c_\text{коеф.}=26-4a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

\begin{gather*} D=(2a-15)^2-4\cdot (26-4a)=4a^2-60a+225-104+16a;\\[7pt] D=4a^2-44a+121\ (\text{це формула квадрата двочлена});\\[7pt] D=(2a-11)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|2a-11|. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} x_1=\frac{-(2a-15)-(2a-11)}{2}=\frac{-2a+15-2a+11}{2}=\\[6pt] =\frac{-4a+26}{2}=\frac{2(-2a+13)}{2}=-2a+13;\\[6pt] x_2=\frac{-(2a-15)+(2a-11)}{2}=\frac{-2a+15+2a-11}{2}=\frac 42=2\\[6pt] (\text{не залежить від параметра і завжди дорівнює}\ 2). \end{gather*}

За умовою задачі, обидва корені мають бути більшими за \(1{:}\ x_1\gt 1\) i \(x_2\gt 1.\)

Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2\gt 1,\\ -2a+13\gt 1. \end{array}\right.\\[7pt] -2a+13\gt 1;\\[7pt] -2a\gt 1-13;\\[7pt] -2a\gt -12. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 2a\lt 12. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} a\lt 6. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-\infty; 6).\)

У завданні запитують про найбільше ціле значення \(a.\) Оскільки число \(6\) не входить у проміжок (знак строгий), то найбільше ціле число, що задовольняє умову, – це \(5.\)

Відповідь: \(5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 748. Запитання: 38224

Завдання 943 з 1206

З вершини зображеного розгорнутого кута \(AOB\) проведено два промені \(OK\) i \(OM\) так, що \(\angle KOB=115^\circ\), \(\angle MOB=35^\circ.\) Обчисліть градусну міру кута \(KOM.\)

А\(140^\circ\)

Б\(120^\circ\)

В\(60^\circ\)

Г\(70^\circ\)

Д\(80^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.\)

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 115^\circ=\angle KOM+35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=115^\circ-35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38250

Завдання 944 з 1206

У парку висадили клени та ялини у співвідношенні \(3:1\) відповідно. На якій діаграмі правильно відображено розподіл кількості висаджених дерев кожного виду?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми відображення статистичних даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості кленів до кількості ялин: \(3:1.\)

Це означає, що на \(3\) клени припадає \(1\) ялина.

Усього частин:

\begin{gather*} 3\ \text{(клени)} + 1\ \text{(ялина)} = 4\ \text{(частини)}. \end{gather*}

Частка ялин:

\begin{gather*} \frac 14\ \text{від усього кола}. \end{gather*}

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ :4=90^\circ\ \text{(прямий кут)}. \end{gather*}

Частка кленів:

\begin{gather*} \frac 34\ \text{від усього кола (решта}\ 270^\circ\text{)}. \end{gather*}

Отже, вибираємо діаграму, де світло-сірий сектор (ялини) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді В.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38251

Завдання 945 з 1206

\(\sqrt{20}\cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\)

А\(10\)

Б\(100\)

В\(5\)

Г\(25\)

Д\(50\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє знання властивостей коренів і вміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Оскільки \(25=5^2\), \(\sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt[\scriptstyle 4]{5^2}=\sqrt{5}.\)

\begin{gather*} \sqrt{20}\cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt{20}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{20\cdot 5}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Застосували властивості коренів:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle nk]{a^{mk}}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38252

Завдання 946 з 1206

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Кулю утворено обертанням...

Акруга навколо хорди, що є його діаметром».

Бкола навколо його діаметра».

Вкола навколо хорди, що не є його діаметром».

Гкруга навколо прямої, що не проходить через його центр».

Дкола навколо його дотичної».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо хорди, що є його діаметром.

Відповідь: А.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38253

Завдання 947 з 1206

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac 13x\ge -6.\)

А\([-18; +\infty)\)

Б\([-2; +\infty)\)

В\(\left[-\dfrac{1}{18}; +\infty\right)\)

Г\((-\infty; -18]\)

Д\((-\infty; -2]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(3{:}\)

\begin{gather*} 3\cdot \frac 13 x\ge 3\cdot (-6);\\[6pt] x\ge -18. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in [-18; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38254

Завдання 948 з 1206

Які з наведених тверджень правильні?

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює \(120^\circ.\)

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за \(60^\circ.\)

Алише І та ІІІ

Блише IІ

Влише І та ІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутних, рівносторонніх і гострокутних трикутників.

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

Розгорнутий кут дорівнює \(180^\circ.\) Його половина – \(180^\circ :2=90^\circ.\) Найбільшим кутом у прямокутному трикутнику є саме прямий кут \((90^\circ).\) Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює \(120^\circ.\)

Усі кути рівностороннього трикутника рівні й становлять \(60^\circ.\) Сума будь-яких двох із них: \(60^\circ+60^\circ=120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за \(60^\circ.\)

Якщо кожен із трьох кутів трикутника буде більшим за \(60^\circ\) (тобто \(\alpha \gt 60^\circ\), \(\beta \gt 60^\circ\), \(\gamma \gt 60^\circ\)), то їхня сума перевищить \(180^\circ.\) Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38255

Завдання 949 з 1206

Відомо, що \(t\) однакових ручок коштують \(x\) гривень. Скільки гривень коштують \(m\) таких ручок?

А\(\dfrac{m}{xt}\)

Б\(\dfrac{mt}{x}\)

В\(\dfrac{xm}{t}\)

Г\(xtm\)

Д\(\dfrac{xt}{m}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Якщо за \(t\) ручок заплатили \(x\) гривень, то одна ручка коштує \(\dfrac xt\) грн.

Обчислімо загальну вартість ручок, помноживши ціну ручки на кількість ручок \(m{:}\)

\begin{gather*} \frac xt\cdot m=\frac{mx}{t}\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38256

Завдання 950 з 1206

Функція \(y=f(x)\) визначена на проміжку \((-\infty; 0)\) і набуває лише додатних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише в I

Блише в I та IV

Влише в III та IV

Глише в I та IІ

Длише в II

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (-\infty; 0)\), тому її графік обов'язково буде в тій ділянці, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38257

Завдання 951 з 1206

Спростіть вираз \(\dfrac{3x+12}{x^2-16}.\)

А\(\dfrac{3}{4-x}\)

Б\(\dfrac{3}{x+4}\)

В\(\dfrac{3}{x-4}\)

Г\(-\dfrac{3}{x+4}\)

Д\(\dfrac{1}{x-4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{3x+12}{x^2-16}=\frac{3(x+4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{3}{x-4}. \end{gather*}

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38258

Завдання 952 з 1206

Якому проміжку належить корінь рівняння \(\left(\dfrac 13\right)^{\textstyle 2x-1}=9\)?

А\((-\infty; -2]\)

Б\((-2; 0]\)

В\((0; 1]\)

Г\([1; 2)\)

Д\([2; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи:

\begin{gather*} 9=3^2=\left(\frac 13\right)^{-2};\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(\dfrac 13\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} 2x-1=-2;\\[7pt] 2x=-2+1;\\[7pt] 2x=-1;\\[6pt] x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(-\dfrac 12\in (-2; 0].\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38259

Завдання 953 з 1206

Визначте для функції \(f(x)=3x+1\) первісну, графік якої проходить через точку \(M(0; 1).\)

А\(F(x)=3x^2+1\)

Б\(F(x)=\dfrac 32x^2+x+1\)

В\(F(x)=\dfrac 32x^2\)

Г\(F(x)=3\)

Д\(F(x)=3x^2+x\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних та вміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

\begin{gather*} F(x)=3\cdot \frac{x^2}{2}+1\cdot x+C=\frac 32 x^2+x+C. \end{gather*}

Первісну, яка проходить через точку \(M(0; 1)\), дізнаймося підставивши координати точки \(x=0\), \(F(0)=1\) у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої \(C{:}\)

\begin{gather*} \frac 32\cdot 0^2+0+C=1;\\[6pt] C=1. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} F(x)=\frac 32 x^2+x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38260

Завдання 954 з 1206

Обчисліть \(100^{\textstyle \lg 3}.\)

А\(6\)

Б\(1\,000\,000\)

В\(9\)

Г\(3\)

Д\(\sqrt{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y} \end{gather*}

і властивості логарифмів:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[7pt] \log_{10} a=\lg a. \end{gather*}

Оскільки \(100=10^2\), маємо:

\begin{gather*} 100^{\lg 3}=(10^2)^{\lg 3}=10^{2\cdot \lg 3}=10^{\lg 3^2}=3^2=9. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38261

Завдання 955 з 1206

Рівнобедрений трикутник \(ABC\ (AB=BC)\) вписано в коло (див. рисунок). Визначте градусну міру меншої дуги \(AB\), якщо \(\angle ABC=30^\circ.\)

А\(120^\circ\)

Б\(150^\circ\)

В\(70^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(160^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі й уміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

\begin{gather*} \angle BCA=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \end{gather*}

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=75^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

\begin{gather*} \overset{\smile}{AB}=75^\circ \cdot 2=150^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38262

Завдання 956 з 1206

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} \dfrac{x}{3y}=-2,\\ x+y=15. \end{cases}\)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(y_0=\)

А\(3\)

Б\(-3\)

В\(18\)

Г\(16\)

Д\(-18\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння \(\dfrac{x}{3y}=\dfrac{-2}{1}\) за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=-2\cdot 3y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо цей вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} -6y+y=15;\\[7pt] -5y=15;\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-3.\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38263

Завдання 957 з 1206

Задано точки \(A (0; 2; 0)\) i \(B (0; 0; 2).\) Які координати вектора \(\overrightarrow{BA}\)?

А\((0; 2; 2)\)

Б\((0; -2; 2)\)

В\((0; 2; -2)\)

Г\((4; 0; 0)\)

Д\((0; 0; 0)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати вектора в просторі.

Якщо \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{BA}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2).\\[7pt] A(0; 2; 0);\\[7pt] B(0; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0-0; 2-0; 0-2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0; 2; -2). \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38264

Завдання 958 з 1206

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу, де \(e\approx 2{,}7\) – основа натурального логарифма (число Ейлера).

Вираз

1\(\ln e\)

2\(e-4\)

3\(e^2\)

Проміжок

А\((-\infty; -2]\)

Б\((-2; 0]\)

В\((0; 2]\)

Г\((2; 6]\)

Д\((6; +\infty)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

1. \(\ln e.\)

Натуральний логарифм \(\ln e\) – це логарифм за основою \(e\) від числа \(e.\) Застосуймо формулу:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \ln e=1. \end{gather*}

Число \(1\) належить проміжку \((0; 2].\) Отже, правильна відповідь – B.

2. \(e-4.\)

Підставмо наближене значення \(e\approx 2{,}7\)

\begin{gather*} 2{,}7-4=-1{,}3. \end{gather*}

Число \(-1{,}3\) міститься між \(-2\) та \(0\), тобто належить проміжку \((-2; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(e^2.\)

Оскільки \(27^2=729\), то

\begin{gather*} e^2\approx 2{,}7^2=7{,}29. \end{gather*}

Число \(7{,}29\) більше за \(6\), тому належить проміжку \((6; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38265

Завдання 959 з 1206

Доберіть до функції (1–3) її найбільше значення (А – Д) на відрізку \([-1; 3].\)

Функція

1\(y=x^2-2x\)

2\(y=-x\)

3\(y=5^{-x}\)

Найбільше значення функції на відрізку \([-1; 3]\)

А\(1\)

Б\(5\)

В\(4\)

Г\(3\)

Д\(2\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=x^2-2x.\) Графіком цієї квадратичної функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору \((a=1\gt 0).\) Найменшого значення вона набуває у вершині, а найбільше значення функції на відрізку треба шукати на його кінцях.

Обчислімо значення функції на кінцях відрізка \([-1; 3]{:}\)

\begin{gather*} y(-1)=(-1)^2-2\cdot (-1)=1+2=3;\\[7pt] y(3)=3^2-2\cdot 3=9-6=3. \end{gather*}

Оскільки в обох кінцях значення однакові, найбільшим значенням на цьому проміжку є \(3.\)

Отже, 1 – Г.

2. Функція \(y=-x.\) лінійна. Оскільки коефіцієнт перед \(x\) від'ємний \((k=-1)\), функція є спадною на всій своїй області визначення.

Спадна функція набуває свого найбільшого значення на лівому кінці відрізка, тобто за найменшого \(x{:}\)

\begin{gather*} y(-1)=-(-1)=1. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Функція \(y=5^{-x}.\) Перепишімо функцію в зручнішому вигляді: \(y=\dfrac{1}{5^x}.\) Оскільки основа степеня \(0\lt \dfrac 15\lt 1,\) задана показникова функція також спадна.

Отже найбільше значення буде на лівому кінці відрізка (за \(x=-1\)):

\begin{gather*} y=5^{-(-1)}=5^1=5. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38266

Завдання 960 з 1206

На рисунку зображено ромб \(ABCD\) та коло, побудоване на його меншій діагоналі \(BD\) так, як на діаметрі. Точка \(K\) – точка перетину цього кола з діагоналлю \(AC\), \(AK=5\) см, \(KC=35\) см. До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1діаметр заданого кола

2довжина сторони ромба \(ABCD\)

3висота ромба \(ABCD\)

Значення величини

А\(15\) см

Б\(20\) см

В\(24\) см

Г\(25\) см

Д\(30\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

1. Діаметр заданого кола \(BD.\)

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) За властивістю ромба, діагоналі \(AC\) і \(BD\) перпендикулярні \((AC\!⊥\!BD)\), а точка \(O\) є їхньою серединою \((AO=OC\), \(BO=OD).\) Оскільки коло побудоване на \(BD\) як на діаметрі, його центром є саме точка \(O\), а радіус кола дорівнює \(R=BO=OD.\) Точка \(K\) лежить на колі та на діагоналі \(AC.\) Оскільки \(O\) – центр кола, то відрізок \(OK\) – це також радіус кола \((OK=R).\)

\begin{gather*} AC=AK+KC=5+35=40\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(O\) – середина \(AC{:}\)

\begin{gather*} AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо радіус кола \((R = OK)\). З малюнка видно, що точка \(K\) лежить між \(A\) та \(O.\) Тому:

\begin{gather*} OK=AO-OK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Тобто радіус кола \(R=15\) см, звідки:

\begin{gather*} BD=2R=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина сторони ромба \(ABCD\ (AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Висота ромба \(ABCD\ (BH).\)

Площу ромба можна обчислити двома способами: через діагоналі та через сторону і висоту.

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \text{та}\ S=ah.\\[6pt] S=\frac 12AC\cdot BD=AB\cdot BH;\\[6pt] \frac 12\cdot 40\cdot 30=25\cdot BH;\\[6pt] 600=25\cdot BH;\\[6pt] BH=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38267

Завдання 961 з 1206

Тіло рухається прямолінійно за законом \(x(t)=t^2+t+3\), де \(x(t)\) – координата точки (у метрах), \(t\) – час (у секундах). Визначте момент часу \(t\) (у секундах), у який швидкість точки дорівнюватиме \(9\) м/с.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Швидкість руху точки \(v(t)\) в заданий момент часу \(t\) дорівнює першій похідній від функції координати по часу \(x(t){:}\)

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

Обчислімо похідну від заданої функції координати \(x(t)=t^2+t+3{:}\)

\begin{gather*} v(t)=(t^2+t+3)'=2t+1. \end{gather*}

Отже, закон зміни швидкості має вигляд: \(v(t)=2t+1.\)

За умовою задачі швидкість точки дорівнює \(9\) м/с. Складімо та розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} 2t+1=9;\\[7pt] 2t=9-1;\\[7pt] 2t=8;\\[7pt] t=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38268

Завдання 962 з 1206

Аліна бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки. Вона має \(12\) різних листівок: \(6\) – із гербами українських міст і \(6\) – із краєвидами. Аліна вибирає для кожного з двох адресатів у Європі по одній листівці з гербом і для кожного з трьох адресатів в Австралії – по одній листівці з краєвидом. Скільки всього варіантів такого вибору в Аліни?

Впишіть відповідь:

3600

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання перевіряє вміння використовувати розміщення й комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу розміщення \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}. \end{gather*}

1. Вибір листівок із гербами для Європи.

Для \(2\) адресатів у Європі потрібно вибрати по одній листівці із \(6\) наявних із гербами.

Першому адресату можна вибрати будь-яку із \(6\) листівок.

Другому адресату – будь-яку з \(5\) листівок, що залишилися.

Кількість способів (кількість розміщень \(A_6^2\)):

\begin{gather*} A_6^2=\frac{6!}{(6-2)!}=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!}=5\cdot 6=30. \end{gather*}

2. Вибір листівок із краєвидами для Австралії.

Для \(3\) адресатів в Австралії потрібно вибрати по одній листівці із \(6\) наявних із краєвидами.

Першому адресату – \(6\) варіантів.

Другому адресату – \(5\) варіантів.

Третьому адресату – \(4\) варіанти.

Кількість способів (кількість розміщень \(A_6^3\)):

\begin{gather*} A_6^3=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!}=4\cdot 5\cdot 6=120. \end{gather*}

3. Загальна кількість варіантів вибору.

Оскільки Aліна має водночас виконати обидві дії (вибрати листівки і в Європу, і в Австралію), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} 30\cdot 120=3600. \end{gather*}

Відповідь: \(3600.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38269

Завдання 963 з 1206

Дігональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є прямокутний трикутник. Визначте об'єм (см\(^3\)) піраміди, бічне ребро якої дорівнює \(6\sqrt{2}\) см.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

Дігональним перерізом піраміди є трикутник \(SAC\), де \(AC\) – діагональ основи.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні: \(SA=SC=6\sqrt{2}\) см. За умовою, \(\Delta SAC\) є прямокутним. Оскільки \(SA=SC\), то цей трикутник – рівнобедрений прямокутний із прямим кутом при вершині \((\angle ASC=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора для \(\Delta SAC{:}\)

\begin{gather*} AC=\sqrt{SA^2+SC^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{72+72}=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди \(SO\) є медіаною та висотою, проведеною до гіпотенузи \(AC\) у прямокутному трикутнику \(\Delta SAC.\) Вона дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=SO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є квадрат \(ABCD.\) Площу квадрата через його діагональ \(AC\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12\cdot AC^2=\frac 12\cdot 12^2=\frac 12\cdot 144=72\ \text{см}^2;\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H=\frac 13\cdot 72\cdot 6=72\cdot 2=144\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38270

Завдання 964 з 1206

Визначте найбільше ціле від'ємне значення параметра \(a\), за якого рівняння \(\left((a-2)x^2+6x\right)^2-4\left((a-2)x^2+6x\right)+4-a^2=0\) має рівно два корені.

Впишіть відповідь:

-2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

\begin{gather*} ((a-2)x^2+6x)^2-4((a-2)x^2+6x)+4-a^2=0. \end{gather*}

Якщо \(t=(a-2)x^2+6x,\) рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} t^2-4t+4-a^2=0;\\[7pt] (t^2-4t+4)-a^2=0;\\[7pt] (t^2-2\cdot 2t+2^2)-a^2=0;\\[7pt] (t-2)^2-a^2=0;\\[7pt] (t-2-a)(t-2+a)=0;\\[7pt] t-2-a=0\ \text{та}\ t-2+a=0;\\[7pt] t_1=2+a\ \text{та}\ t_2=2-a. \end{gather*}

Оскільки треба знайти від'ємне значення \(a\), то для \(a\lt 0\) значення \(t_1\) і \(t_2\) точно будуть різними \((2+a\ne 2-a\), бо \(a\ne 0\)).

Повернувшись до заміни, маємо сукупність двох квадратних рівнянь (адже шукаємо від'ємне \(a\), коефіцієнт \(a-2\ne 0\)):

1-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2+a)=0.\)

2-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2-a)=0.\)

Обчислімо дискримінанти рівнянь:

Для першого рівняння:

\begin{gather*} D_1=6^2-4\cdot (a-2)\cdot (-(2+a))=36+4(a^2-4)=4a^2+20. \end{gather*}

Оскільки \(4a^2+20\gt 0\) за будь-якого \(a\), то перше рівняння завжди має рівно \(2\) корені.

Для другого рівняння:

\begin{gather*} D_2=6^2-4\cdot (a-2)\cdot (a-2)=36-4(a-2)^2. \end{gather*}

Щоб уся сукупність мала рівно два корені, друге рівняння не повинно мати розв'язків (випадок збігу коренів \(a=0\) не задовольняє умову \(a\lt 0\)). Отже, дискримінант другого рівняння має бути від'ємним.

Розв'яжімо нерівність \(D_2\lt 0{:}\)

\begin{gather*} 36-4(a-2)^2\lt 0;\\[7pt] (a-2)^2\gt 9. \end{gather*}

Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} a-2\gt 3,\\ a-2\lt -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} a\gt 5,\\ a\lt -1. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in (-\infty; -1)\cup (5; +\infty). \end{gather*}

Найбільшим цілим від'ємним значенням параметра із цього проміжку є число \(-2.\)

Відповідь: \(-2.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 749. Запитання: 38271

Завдання 965 з 1206

Комп’ютерна програма навмання видаляє цифру в шестицифровому числі. Яка ймовірність того, що в числі \(125079\) буде видалено цифру, більшу за \(5\)?

А\(\dfrac 13\)

Б\(\dfrac 23\)

В\(\dfrac 16\)

Г\(\dfrac 14\)

Д\(\dfrac 12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A\) (видаленню цифри, більшої за \(5\)).

Задано шестицифрове число \(125079.\) Загалом у цьому числі \(6\) цифр, з яких дві (\(7\) і \(9\)) більші від \(5\). Оскільки програма видаляє цифру навмання, усього існує \(6\) варіантів видалення, отже \(n=6.\) Кількість цифр у числі, які більші від \(5\), становить \(k=2.\)

\begin{gather*} P(A)=\frac 26=13. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38366

Завдання 966 з 1206

На рисунку зображено елемент декору паркану, що складається з дев’яти стрілок, які виходять із вершини розгорнутого кута й поділяють його на рівні частини. Обчисліть градусну міру кута між двома сусідніми стрілками.

А\(20^\circ\)

Б\(18^\circ\)

В\(15^\circ\)

Г\(10^\circ\)

Д\(9^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання видів і властивостей кутів.

Розгорнутий кут поділено на \(10\) рівних частин. Обчислімо градусну міру кожного із цих кутів:

\begin{gather*} 180^\circ:10=18^\circ. \end{gather*}

Отже, градусна міра кута між двома сусідніми стрілками становить \(18^\circ.\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38367

Завдання 967 з 1206

\(3:0{,}3=\)

А\(2{,}7\)

Б\(0{,}1\)

В\(\frac 19\)

Г\(10\)

Д\(0{,}9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} 3:0{,}3=3:\frac{3}{10}=3\cdot \frac{10}{3}=10. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38368

Завдання 968 з 1206

Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2x-7}{3}=\dfrac{5x+4}{2}.\)

А\(-\dfrac{11}{26}\)

Б\(-2\dfrac{4}{11}\)

В\(-1\)

Г\(\dfrac{2}{11}\)

Д\(2\dfrac{4}{11}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 2(2x-7)=3(5x+4);\\[7pt] 4x-14=15x+12;\\[7pt] 4x-15x=12+14;\\[7pt] -11x=26;\\[6pt] x=-\frac{26}{11}=-2\frac{4}{11}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38369

Завдання 969 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед, одна з вершин якого збігається з початком координат – точкою \(O\), а три ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка \(K(12; 15; 16)\) є вершиною паралелепіпеда. Визначте довжину (модуль) вектора \(\overrightarrow{OK}.\)

А\(\sqrt{86}\)

Б\(\sqrt{337}\)

В\(11\)

Г\(25\)

Д\(43\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину вектора \(\overrightarrow{OK}\) можна визначити за формулою:

\begin{gather*} |\overrightarrow{OK}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}, \end{gather*}

де \(O(x_1, y_1, z_1)\), \(K(x_2, y_2, z_2)\) – координати точок.

\begin{gather*} O(0; 0; 0),\ \ K(12; 15; 16);\\[7pt] |\overrightarrow{OK}|=\sqrt{(12-0)^2+(15-0)^2+(16-0)^2}=\sqrt{12^2+15^2+16^2}=\\[7pt] =\sqrt{144+225+256}=\sqrt{625}=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38370

Завдання 970 з 1206

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([–5; 5].\) Визначте ординату точки перетину графіка функції з віссю \(y.\)

А\(1\)

Б\(6\)

В\(3\)

Г\(-4\)

Д\(0\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 3)\), а її ордината дорівнює \(3.\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38371

Завдання 971 з 1206

Масу дорогоцінних каменів вимірюють у каратах. Один карат дорівнює \(0{,}2\) г. Маса діаманта дорівнює \(0{,}8\) карата. Виразіть масу цього діаманта в кілограмах.

А\(4\cdot 10^{-3}\) кг

Б\(1{,}6\cdot 10^{-2}\) кг

В\(1{,}6\cdot 10^{-3}\) кг

Г\(1{,}6\cdot 10^{-4}\) кг

Д\(4\cdot 10^{-4}\) кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки карат дорівнює \(0{,}2\) г, то маса діаманта в \(0{,}8\) карата становить: \begin{gather*} 0{,}8\cdot 0{,}2=0{,}16\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 0{,}16\ \text{г}=\frac{0{,}16}{1000}\ \text{кг}=0{,}00016\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(4\) знаки праворуч:

\begin{gather*} 0{,}00016\ \text{кг}=1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), a \(m\) – ціле число.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38372

Завдання 972 з 1206

Дві твірні циліндра

Азбігаються

Бпаралельні

Вмимобіжні

Гперетинаються під гострим кутом

Дперпендикулярні

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних елементів циліндра.

Циліндр утворюється внаслідок обертання прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Усі твірні циліндра за означенням паралельні його осі обертання. Оскільки дві довільні твірні циліндра паралельні тій самій прямій (осі циліндра), то за ознакою паралельності прямих у просторі вони паралельні між собою.

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38373

Завдання 973 з 1206

Спростіть вираз \(\dfrac{2a^2-50b^2}{5b+a}.\)

А\(2a+10b\)

Б\(\dfrac{2}{a-5b}\)

В\(\dfrac{2}{5b-a}\)

Г\(\dfrac{2}{a+5b}\)

Д\(2a-10b\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{2a^2-50b^2}{5b+a}=\frac{2(a^2-25b^2)}{5b+a}=\frac{2(a-5b)(a+5b)}{5b+a}=2(a-5b)=2a-10b. \end{gather*}

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38374

Завдання 974 з 1206

Які з наведених тверджень правильні?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.

II. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за \(90^\circ\).

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший кут.

Алише І

Блише IІ

Влише ІII

Глише І та ІІІ

Длише ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників.

І. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю сторону.

За нерівністю трикутника сума будь-яких двох його сторін завжди більша за третю: \((a+b\gt c).\) Якщо сума буде меншою або рівною, геометрично неможливо буде замкнути сторони в трикутник. Твердження неправильне.

ІІ. Сума двох будь-яких кутів трикутника більша за \(90^\circ.\)

Це твердження легко спростувати контрприкладом. Візьмімо тупокутний трикутник із кутами \(100^\circ\), \(40^\circ\) і \(40^\circ.\) Сума двох найменших кутів: \(40^\circ+40^\circ=80^\circ\), що менше за \(90^\circ.\) Твердження неправильне.

ІІІ. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший кут.

Це фундаментальна теорема про співвідношення між сторонами й кутами трикутника: у будь-якому трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Твердження правильне.

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38375

Завдання 975 з 1206

Розв’яжіть нерівність \(3^x\cdot 5^x\le \dfrac{1}{15}.\)

А\((-\infty; -1]\)

Б\([1; +\infty)\)

В\((-\infty; \dfrac{1}{15}]\)

Г\((-\infty; 1]\)

Д\([-1; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (ab)^x=a^x\cdot b^x.\\[6pt] 3^x\cdot 5^x\le \frac{1}{15};\\[6pt] (3\cdot 5)^x\le 15^{-1};\\[6pt] 15^x\le 15^{-1}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((15)\) більша за одиницю \((15\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(x\le -1.\)

\begin{gather*} x\in (-\infty; -1]. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38376

Завдання 976 з 1206

Послідовність задано формулою \(n\text{-го}\) члена \(b_n=\dfrac{(-1)^n}{n}.\) Обчисліть значення виразу \(b_4+b_5.\)

А\(\dfrac{1}{20}\)

Б\(\dfrac{2}{9}\)

В\(-\dfrac{1}{20}\)

Г\(\dfrac{9}{20}\)

Д\(-\dfrac{9}{20}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена послідовності та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=\frac{(-1)^n}{n}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_4=\frac{(-1)^4}{4}=\frac 14. \end{gather*}

Обчислімо п’ятий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_5=\frac{(-1)^5}{5}=-\frac 15. \end{gather*}

Обчислімо суму виразу:

\begin{gather*} b_4+b_5=\frac 14+\left(-\frac 15\right)=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38377

Завдання 977 з 1206

Розв’яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} \dfrac{x}{2x+y}=\dfrac 15,\\ 4x+2=y. \end{cases}\)

Якщо \((x_0; y_0)\) – розв’язок системи, то \(x_0+y_0=\)

А\(-8\)

Б\(12\)

В\(6\)

Г\(8\)

Д\(-6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

ОДЗ:

\begin{gather*} 2x+y\ne 0;\\[7pt] 2x\ne y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd \Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] 5\cdot x=1\cdot (2x+y);\\[7pt] 5x=2x+y;\\[7pt] 5x-2x=y;\\[7pt] 3x=y.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3x=y,\\ 4x+2=y. \end{array}\right. \end{gather*}

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(y.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

\begin{gather*} 3x=4x+2;\\[7pt] 3x-4x=2;\\[7pt] -x=2;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x=-2.\) у перше рівняння:

\begin{gather*} y=3\cdot (-2)=-6. \end{gather*}

Отже, \((-2; -6)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо суму:

\begin{gather*} x_0+y_0=-2+(-6)=-8. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38378

Завдання 978 з 1206

Обчисліть значення виразу \(\log_5 (5ab)\), якщо \(\log_5 (ab)=0{,}7.\)

А\(1{,}7\)

Б\(5{,}7\)

В\(5^{1{,}7}\)

Г\(0{,}7\)

Д\(3{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_5 (5ab)=\log_5 5+\log_5 ab=1+0{,}7=1{,}7. \end{gather*}

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38379

Завдання 979 з 1206

На стороні \(BC\) прямокутника \(ABCD\) вибрано точку \(K\) так, що \(AK=8\) см, \(\angle BAK=30^\circ\) (див. рисунок). \(AK\) – бісектриса кута \(BAC.\) Яка площа цього прямокутника?

А\(16\) см\(^2\)

Б\(48\sqrt{3}\) см\(^2\)

В\(24\sqrt{3}\) см\(^2\)

Г\(48\) см\(^2\)

Д\(16\sqrt{3}\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки \(ABCD\) – прямокутник, то \(\angle B=90^\circ.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому гіпотенуза \(AK=8\) см і \(\angle BAK=30^\circ.\)

Катет \(BK\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} BK=\frac 12AK=\frac 12\cdot 8=4\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину катета \(AB\) через косинус кута:

\begin{gather*} \cos\angle BAK=\frac{AB}{AK};\\[6pt] AB=AK\cdot\cos \angle BAK=AK\cdot \cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, \(AK\) – бісектриса кута \(\angle BAC.\) Оскільки \(\angle BAK=30^\circ\), то

\begin{gather*} \angle KAC=\angle BAK=30^\circ. \end{gather*}

Тоді кут

\begin{gather*} \angle BAC=\angle BAK+\angle KAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=4\sqrt{3}\) см і гострий кут \(\angle BAC=60^\circ.\)

Обчислімо довжину катета \(BC\) через тангенс кута:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \angle BAC=\frac{BC}{AB};\\[7pt] BC=AB\cdot \mathrm{tg}\ \angle BAC=4\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}\ 60^\circ=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=4\cdot 3=12\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

\begin{gather*} S=AB\cdot BC=4\sqrt{3}\cdot 12=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38380

Завдання 980 з 1206

Число \(\varphi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\), яке називають золотим перетином, тісно пов’язане з послідовністю чисел Фібоначчі. Доберіть до виразу (1–3) точку (А – Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу.

Вираз

1\(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\varphi\)

2\((1-\sqrt{5})\cdot \varphi\)

3\(\log_5 (2\varphi-\sqrt{5})\)

Точка

А\(K\)

Б\(L\)

В\(M\)

Г\(N\)

Д\(P\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів, визначати місце отриманих чисел на координатній прямій.

1. \(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

\begin{gather*} \frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1-(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-1}{2}=\frac{-2}{2}=-1. \end{gather*}

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\) Отже, 1 – Б.

2. \((1-\sqrt{5})\cdot \varphi.\)

Підставмо значення \(\varphi{:}\)

\begin{gather*} (1-\sqrt{5})\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(1-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{1^2-(\sqrt{5})^2}{2}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2. \end{gather*}

Застосували формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

Числу \(-2\) на прямій відповідає точка \(K.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_5 (2\varphi-\sqrt{5}).\)

\begin{gather*} \log_5 (2\varphi-\sqrt{5})=\log_5 \left(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-\sqrt{5}\right)=\\[6pt] =\log_5 (\sqrt{5}+1-\sqrt{5})=\log_5 1=0. \end{gather*}

Для спрощення виразу застосовували формулу:

\begin{gather*} \log_a 1=0. \end{gather*}

Числу \(0\) на прямій відповідає точка \(M.\) Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38381

Завдання 981 з 1206

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А – Д), у яких лежить графік цієї функції (координатні чверті зазначено на рисунку).

Функція

1\(y=-3-x^2\)

2\(y=\frac 3x\)

3\(y=\mathrm{tg}\ x\)

Координатні чверті

Алише I та II

Блише I та III

Влише III та IV

Глише I та IV

ДI, II, III та IV

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=-3-x^2.\)

Графік цієї функції – парабола. Оскільки коефіцієнт перед \(x^2\) від'ємний \((-1)\), вітки параболи напрямлені вниз. Вершина параболи зміщена по осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз і має координати \((0; -3).\)

Графік повністю лежить нижче осі \(x\), тобто в III та IV чвертях.

Отже, 1 – В.

2. Функція \(y=\dfrac 3x.\)

Це обернена пропорційність, графік якої – гіпербола. Оскільки чисельник додатний \((3\gt 0)\), вітки гіперболи розташовані в I та III координатних чвертях. Графік міститься лише в I та III чвертях.

Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\mathrm{tg}\ x.\)

Графік тангенса – тангенсоїда. Це періодична функція, яка набуває і додатних, і від'ємних значень для різних значень (і додатних, і від'ємних) аргумента \(x\). Тангенсоїда складається з безлічі віток, які проходять через кожну чверть. Графік лежить у I, II, III та IV чвертях.

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38382

Завдання 982 з 1206

На рисунку зображено ромб \(ABCD\) й коло із центром у точці \(O\), побудоване на діагоналі ромба \(BD\) як на діаметрі. Точки \(K\) й \(N\) є точками перетину кола з діагоналлю \(AC\) й стороною \(CD\) відповідно. \(AK=5\) см, \(AO=20\) см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

Відрізок

1\(BO\)

2\(AB\)

3\(BN\)

Довжина відрізка

А\(15\) см

Б\(20\) см

В\(24\) см

Г\(25\) см

Д\(30\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. \(BO.\)

За умовою \(AK=5\) см. Точка \(K\) лежить на відрізку \(AO\), тому:

\begin{gather*} OK=AO-AK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) лежить на колі, а \(O\) – його центр, тому \(OK\) – це радіус кола \((R=15\ \text{см}).\) Оскільки \(BD\) – діаметр кола, то відрізок \(BO\) також є радіусом цього кола:

\begin{gather*} BO=R=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ)\), \(AO=20\) см, \(BO=15\) см. За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи \(AB\) (сторону ромба):

\begin{gather*} AB^2=AO^2+BO^2;\\[7pt] AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. \(BN.\)

Точка \(N\) лежить на колі, а \(BD\) – діаметр. Кут \(\angle BND\) вписаний і спирається на діаметр, тому \(\angle BND=90^\circ.\) Отже \(BN\!\perp\!CD\), тобто \(BN\) – висота ромба, опущена на сторону \(CD.\) Обчислімо висоту \(BN\) через площу ромба.

Площа ромба через діагоналі:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BD=\frac 12\cdot (2\cdot 20)\cdot (2\cdot 15)=\frac 12\cdot 40\cdot 30=600\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площа ромба через сторону й висоту \((CD=AB=25\ \text{см}){:}\)

\begin{gather*} S=CD\cdot BN;\\[7pt] 600=25\cdot BN;\\[6pt] BN=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38383

Завдання 983 з 1206

Похідна лінійної функції \(y=f(x)\) дорівнює \(–5.\) Нуль функції \(y=f(x)\) дорівнює \(1{,}5.\) Обчисліть значення \(f(–2).\)

Впишіть відповідь:

17.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну лінійної функції.

Будь-яку лінійну функцію задано формулою:

\begin{gather*} y=kx+b. \end{gather*}

Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту \(k{:}\)

\begin{gather*} f'(x)=(kx+b)'=k. \end{gather*}

За умовою \(f'(x)=-5\), тому \(k=-5.\)

Тобто функція набуває вигляду:

\begin{gather*} f(x)=-5x+b. \end{gather*}

Нуль функції – це значення аргументу \(x\), за якого \(f(x)=0.\) За умовою, якщо \(x=1{,}5\), то \(f(1{,}5)=0.\)

Підставмо ці дані в рівняння, щоб обчислити \(b{:}\)

\begin{gather*} -5\cdot 1{,}5+b=0;\\[7pt] -7{,}5+b=0;\\[7pt] b=7{,}5. \end{gather*}

Отже, остаточний вигляд функції такий:

\begin{gather*} f(x)=-5x+7{,}5. \end{gather*}

Підставмо \(x=-2\) у формулу функції:

\begin{gather*} f(-2)=-5\cdot (-2)+7{,}5=10+7{,}5=17{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(17{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38384

Завдання 984 з 1206

Студентів і студенток опитали щодо улюбленого жанру кінофільмів. Результати опитування відображено на круговій діаграмі. Жанр «Фантастика» вибрало на \(45\) осіб більше, ніж жанр «Хоррор». Визначте загальну кількість студентів, які взяли участь в опитуванні.

Впишіть відповідь:

1800

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації.

Уся кругова діаграма становить \(100\ \%.\) Віднімімо від загальної кількості відомі частки (%) інших трьох жанрів:

\begin{gather*} 100\ \% - (42{,}5\ \% + 40\ \% + 10\ \%) = 100\ \% - 92{,}5\ \% = 7{,}5\ \%. \end{gather*}

Отже, жанру «Хоррор» віддали перевагу \(7{,}5\ \%\) студентів.

За умовою, «Фантастику» вибрало на \(45\) осіб більше. Обчислімо різницю часток:

\begin{gather*} 10\ \% - 7{,}5\ \%=2{,}5\ \%. \end{gather*}

Це означає, що \(2{,}5\ \%\) від загальної кількості студентів – \(45\) осіб.

За правилом обчислення числа за його відсотком:

\begin{gather*} x=\frac{45}{2{,}5\ \%}=\frac{45}{0{,}025}=\frac{45000}{25}=1800. \end{gather*}

Відповідь: \(1800.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38385

Завдання 985 з 1206

Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є рівносторонній трикутник, висота піраміди дорівнює \(4\sqrt{6}\) см. Визначте площу \(S\) (см\(^2\)) бічної поверхні цієї піраміди. У відповіді запишіть значення \(\dfrac{S}{\sqrt{7}}.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості піраміди для розв’язування стереометричних задач.

Діагональним перерізом такої піраміди є трикутник \(SAC\), де сторона \(AC\) – діагональ квадрата основи, а \(SA\) і \(SC\) – бічні ребра піраміди.

Оскільки \(\Delta SAC\) рівносторонній, то:

\begin{gather*} SA=SC=AC. \end{gather*}

Висота піраміди \(SO\) є одночасно висотою рівностороннього трикутника \(SAC.\)

Формула висоти рівностороннього трикутника зі стороною \(a{:}\)

\begin{gather*} SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Підставмо відоме значення висоти, щоб обчислити довжину сторони \(a\) (яка дорівнює діагоналі \(AC\) й бічному ребру \(SA\)):

\begin{gather*} 4\sqrt{6}=\frac{AC\cdot \sqrt{3}}{2};\\[6pt] AC=\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{8\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, діагональ основи \(AC=8\sqrt{2}\) см, бічне ребро \(SA=8\sqrt{2}\) см.

В основі піраміди лежить квадрат \(ABCD\) із діагоналлю \(AC=8\sqrt{2}\) см, його сторона \(AB\) дорівнює:

\begin{gather*} AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Для обчислення площі бічної поверхні потрібно знати довжину апофеми \(SF\) (висоту бічної грані \(SDC\)). Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOF\) (де \(OF\) – радіус вписаного у квадрат кола, \(OF=\dfrac{AB}{2}=4\) см):

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SF^2=SO^2+OF^2;\\[7pt] SF=\sqrt{SO^2+OF^2}=\sqrt{(4\sqrt{6})^2+4^2}=\sqrt{16\cdot 6+16}=\\[7pt] =\sqrt{96+16}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot P_\text{осн}\cdot SF;\\[6pt] P_\text{осн}=4\cdot AB=4\cdot 8=32\ \text{см};\\[6pt] S=\frac 12\cdot 32\cdot 4\sqrt{7}=64\sqrt{7}\ \text{см}^2. \end{gather*}

За умовою задачі у відповіді треба записати значення \(\dfrac{S}{\sqrt{7}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{64\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=64. \end{gather*}

Відповідь: \(64.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38386

Завдання 986 з 1206

За якого значення \(a\) сума коренів рівняння \(4x-\sqrt{4x+a}+a=0\) дорівнює \(10\)?

Впишіть відповідь:

-19.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових і раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} 4x-\sqrt{4x+a}+a=0;\\[7pt] (4x+a)-\sqrt{4x+a}=0. \end{gather*}

Нехай \(\sqrt{4x+a}=t\), де \(t\ne 0\), тоді \(4x+a=t^2.\)

Підставмо в рівняння:

\begin{gather*} t^2-t=0;\\[7pt] t(t-1)=0. \end{gather*}

Отримуємо два корені, якщо обидва задовольняють умову \(t=0.\) Отже, \(t_1=0\) i \(t_2=1.\)

1. Якщо \(t=0{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=0;\\[7pt] 4x_1=-a;\\[6pt] x_1=-\frac a4. \end{gather*}

2. Якщо \(t=1{:}\)

\begin{gather*} 4x+a=1^2;\\[7pt] 4x_2=1-a;\\[6pt] x_2=\frac{1-a}{4}. \end{gather*}

Оскільки для будь-якого дійсного значення \(a\) отримуємо два різні корені, рівняння завжди має рівно два корені.

За умовою сума коренів дорівнює \(10{:}\)

\begin{gather*} x_1+x_2=10;\\[6pt] -\frac a4+\frac{1-a}{4}=10. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

\begin{gather*} -a+1-a=40;\\[7pt] -2a+1=40;\\[7pt] -2a=39;\\[7pt] a=39:(-2);\\[7pt] a=-19{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(-19{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 804. Запитання: 38387

Завдання 987 з 1206

На рисунку зображено графік залежності висоти \(h\) (м) м’яча, кинутого в повітря, від часу \(t\) (с), що минув від початку запуску. Визначте проміжок часу, протягом якого м’яч перебував на висоті не менш як \(3\) м.

А\(2\) с

Б\(3\) c

В\(4\) c

Г\(5\) c

Д\(6\) c

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Проміжок часу, протягом якого м'яч перебував на висоті не менш як \(3\) м, тобто \(h(t)\ge 3.\) Графічно цій нерівності відповідає частина кривої, яка розташована на рівні або вище від горизонтальної прямої \(h=3.\)

Шуканий проміжок часу тривав від \(1\) с до \(5\) с. Обчислімо його тривалість:

\begin{gather*} 5 - 1 = 4\ \text{с}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38388

Завдання 988 з 1206

На рисунку зображено куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\) Яка пряма лежить у площині \(BB_1C_1\)?

А\(AB\)

Б\(B_1D_1\)

В\(A_1C\)

Г\(AD\)

Д\(B_1C\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Площина \(BB_1C_1\) – це площина бічної грані куба, яка містить чотири вершини: \(B\), \(B_1\), \(C_1\) та \(C\) (тобто це грань \(BB_1C_1C\)).

Застосуймо аксіому стереометрії: пряма лежить у площині, якщо принаймні дві її точки належать цій площині.

\(B_1C\) – діагональ бічної грані \(BB_1C_1C.\) Оскільки обидві точки \(B_1\) і \(C\) лежать у площині цієї грані, то й уся пряма \(B_1C\) лежить у площині \(BB_1C_1.\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38389

Завдання 989 з 1206

\((x-3)^2=\)

А\(x^2-9\)

Б\(x^2+6x-9\)

В\(x^2-3x+9\)

Г\(x^2+3x-9\)

Д\(x^2-6x+9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] (x-3)^2=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2-6x+9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38390

Завдання 990 з 1206

В одному гігабайті \(2^{20}\) кілобайт. Скільки кілобайт у \(8\) гігабайтах?

А\(2^{23}\)

Б\(2^{20}\)

В\(16^{20}\)

Г\(2^{160}\)

Д\(2^{60}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і вміння виконувати дії з дійсними числами.

Якщо в \(1\) Гб \(2^{20}\) Кб, то для обчислення кількості кілобайт у \(8\) Гб треба помножити \(8\) на кількість кілобайт в одному гігабайті:

\begin{gather*} 8\cdot 2^{20}=2^3\cdot 2^{20}=2^{3+20}=2^{23}. \end{gather*}

Застосували властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38391

Завдання 991 з 1206

Розв’яжіть рівняння \(3^{x+1}=81.\)

А\(5\)

Б\(3\)

В\(2\)

Г\(-3\)

Д\(4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^{x+1}=81;\\[7pt] 3^{x+1}=3^4. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} x+1=4;\\[7pt] x=4-1;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38392

Завдання 992 з 1206

У прямокутній системі координат у просторі задано точку \(A (–1; 4; 5).\) Які координати точки, що є проєкцією точки \(A\) на вісь \(y\)?

А\((-1; 0; 5)\)

Б\((0; 4; 0)\)

В\((-1; 0; 0)\)

Г\((0; -4; 0)\)

Д\((0; 0; 5)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкцією точки \(A(-1; 4; 5)\) на вісь \(y\) є точка, у якої абсциса (координата по осі \(Ox\)) й апліката (координата по осі \(Oz\)) дорівнюють \(0\), а ордината (координата по осі \(Oy\)) збігається з ординатою точки \(A.\)

Серед запропонованих варіантів лише точка Б \((0; 4; 0)\) розташована на осі \(y.\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38393

Завдання 993 з 1206

Які твердження правильні?

I. Діагоналі будь-якого прямокутника є бісектрисами його кутів.

II. Діагоналі будь-якого прямокутника ділять його на чотири рівні трикутники.

III. Діагоналі будь-якого прямокутника рівні.

Алише І

Блише IІ

Влише ІI та ІІІ

Глише І та ІІІ

Длише ІII

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника.

I. Діагоналі будь-якого прямокутника є бісектрисами його кутів. Діагоналі є бісектрисами кутів лише в ромба (та квадрата). Твердження неправильне.

II. Діагоналі будь-якого прямокутника ділять його на чотири рівні трикутники. Діагоналі прямокутника ділять його на дві пари рівних трикутників. Твердження неправильне.

III. Діагоналі будь-якого прямокутника рівні. Це основна властивість прямокутника, яка відрізняє його від інших паралелограмів. Твердження правильне.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38394

Завдання 994 з 1206

На якому рисунку зображено графік функції \(y=\dfrac{1}{x-5}\)?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння перетворювати графіки функцій.

Отже, для побудови графіка функції \(y=\dfrac{1}{x-5}\) треба перемістити графік функції \(y=\dfrac 1x\) на \(5\) одиничних відрізків вправо вздовж осі \(Ox.\)

Область визначення функції:

\begin{gather*} x-5\ne 0;\\[7pt] x\ne 5. \end{gather*}

Тому пряма \(x=5\) є вертикальною асимптотою графіка (пунктирна лінія праворуч від осі \(Oy\)).

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38395

Завдання 995 з 1206

Яке число задовольняє систему нерівностей \(\begin{cases}x\gt -3,\\ x\le 7\end{cases}\)?

А\(-3\)

Б\(-10\)

В\(10\)

Г\(5\)

Д\(-6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \begin{cases} x\gt -3;\\ x\le 7. \end{cases} \end{gather*}

Зобразімо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in (-3; 7].\) З наведених чисел лише \(5\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38396

Завдання 996 з 1206

Якщо \(a\lt -2\), то \(1-|a-2|=\)

А\(-a-3\)

Б\(a-1\)

В\(a+3\)

Г\(-a+3\)

Д\(-a-1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з модулем дійсного числа й використовувати його властивості.

За властивістю модуля дійсного числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\(a-2\lt 0\) при \(a\lt -2.\)

Отже, \(|a-2|=-(a-2).\)

Спростімо вираз:

\begin{gather*} 1-|a-2|=1+(a-2)=1+a-2=a-1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38397

Завдання 997 з 1206

На рисунку зображено чотирикутник, у якому два кути – прямі, третій кут дорівнює \(100^\circ.\) Визначте градусну міру четвертого кута цього чотирикутника.

А\(100^\circ\)

Б\(90^\circ\)

В\(80^\circ\)

Г\(20^\circ\)

Д\(70^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

Сума всіх внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\) У заданому чотирикутнику два прямі кути. Прямий кут дорівнює \(90^\circ.\) Третій кут за умовою дорівнює \(100^\circ.\) Позначмо четвертий кут як \(x.\) Отже,

\begin{gather*} 90^\circ+90^\circ+100^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] 280^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] x=360^\circ-280^\circ;\\[7pt] x=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38398

Завдання 998 з 1206

Розв’яжіть нерівність \(\log_4 (2x-2)\lt 2.\)

А\((-\infty; 7)\)

Б\((1; 9)\)

В\((1; 7)\)

Г\((-\infty; 9)\)

Д\((1; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_4 (2x-2)\lt 2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt 2\log_4 4;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 4^2;\\[7pt] \log_4 (2x-2)\lt \log_4 16. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(4\gt 1\), функція зростає, тому знак нерівності для підлогарифмічних виразів не змінюється, а задана нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} 2x-2\lt 16;\\[7pt] 2x\lt 16+2;\\[7pt] 2x\lt 18;\\[7pt] x\lt 9. \end{gather*}

Визначмо ОДЗ. Вираз під знаком логарифма обов'язково має бути додатним:

\begin{gather*} 2x-2\gt 0;\\[7pt] 2x\gt 2;\\[7pt] x\gt 1. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (1; 9). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38399

Завдання 999 з 1206

Спростіть вираз \(\dfrac{a^2+2a}{2a+4}.\)

А\(\frac{a^2}{4}\)

Б\(\frac a2\)

В\(4a^2\)

Г\(2a\)

Д\(\frac a4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2+2a}{2a+4}=\frac{a(a+2)}{2(a+2)}=\frac a2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38400

Завдання 1000 з 1206

Точки \(K\) і \(M\) є серединами сторін \(BC\) і \(CD\) ромба \(ABCD\) (див. рисунок). Довжина перпендикуляра, проведеного від точки \(C\) до прямої \(KM\), дорівнює \(6.\) Визначте площу ромба \(ABCD\), якщо \(KM=m.\)

А\(36m\)

Б\(12m\)

В\(48m\)

Г\(24m\)

Д\(6m\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника, уміння визначати площу ромба.

Оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(BC\) і \(CD\), відрізок \(KM\) є середньою лінією трикутника \(BCD.\) За властивістю середньої лінії: \(KM\!\parallel\!BD\) та \(KM=\dfrac 12 BD.\) Довжина \(KM=m\), тому діагональ ромба \(BD=2m.\)

Нехай \(O\) – точка перетину діагоналей ромба. Діагоналі ромба перпендикулярні \((AC\!\perp\!BD)\), тому висота трикутника \(BCD\), проведена з вершини \(C\), лежить на прямій \(AC\) (відрізок \(CO\)). Якщо \(KM\!\parallel\!BD\) і ділить сторони навпіл, то пряма \(KM\) також ділить висоту \(CO\) навпіл. Отже, відстань від точки \(C\) до лінії \(KM\) (яка дорівнює \(6\)) – це половина відрізка \(CO.\)

\begin{gather*} CO=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Площа ромба складається з площ двох рівних трикутників \((BCD\) і \(ABD){:}\)

\begin{gather*} S_{ABCD}=2\cdot S_{BCD}=2\cdot \left(\frac 12\cdot BD\cdot CO\right)=BD\cdot CO;\\[7pt] S_{ABCD}=2m\cdot 12=24m. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 805. Запитання: 38401

Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики