Національний мультитест з математики – Національний мультитест з математики

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(m\cos x\cdot \mathrm{tg}\ x=2\sin x\), то...

Оскільки \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), то

\begin{gather*} m\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=2n\sin x. \end{gather*}

Скоротімо \(\cos x{:}\)

\begin{gather*} m\sin x=2n\sin x. \end{gather*}

Оскільки рівність має виконуватися для всіх можливих допустимих \(x\), прирівняймо коефіцієнти:

\begin{gather*} m=2n. \end{gather*}

Тоді \(n=\dfrac m2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Якщо \(\sqrt{2m^2}=n\), то…

\begin{gather*} \sqrt{2m^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{m^2}=\sqrt{2}\cdot |m|. \end{gather*}

Оскільки за умовою \(m\gt 0\), то \(|m|=m.\)

Звідси \(n=\sqrt{2}\cdot m=m\sqrt{2}.\)

Використали властивості:

\begin{gather*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\ge 0;\\[7pt] \sqrt{a^2}=|a|;\\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо \(4^{\textstyle \log_2 m}=n\), то...

Тоді \(n=m^2.\)

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Функція \(y=\lg x.\)

Це десятковий логарифм. Основа логарифма дорівнює \(10\), що є більшим за \(1\ (10\gt 1).\) Властивість: якщо основа логарифмічної функції більша за одиницю, то функція зростає на всій своїй області визначення \((0; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – A.

2. Функція \(y=\dfrac 1x.\)

Це обернена пропорційність (гіпербола). Знаменник не може дорівнювати нулю, тому \(x\ne 0.\) Тобто функція не визначена лише в одній точці \((x=0).\) Отже, правильна відповідь – Г.

3. Функція \(y=(x+1)^2.\)

Це квадратична функція (парабола). Оскільки коефіцієнт перед квадратом додатний \((a=1\gt 0)\), вітки параболи напрямлені вгору. Вершина параболи міститься в точці \(x=-1.\) Оскільки вітки напрямлені вгору, вершина є точкою екстремуму, а саме – має точку мінімуму. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції і прямокутних трикутників.

1. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Середня лінія трапеції \(KBCD.\)

Основи трапеції \(KBCD\) – це паралельні сторони \(BC\) і \(KD\ (BC=12\) см, \(KD=4\) см\().\) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

Отже, правильна відповідь – В.

3. Відстань від точки \(B\) до сторони \(CD.\)

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного на цю пряму (тобто інша висота \((BH)\) паралелограма, проведена до сторони \(CD\)).

Площу паралелограма \(ABCD\) можна визначити двома способами \((S=a\cdot h){:}\)

Через основу \(AD\) й висоту \(BK{:}\)

\begin{gather*} S=AD\cdot BK=12\cdot 6=72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Через основу \(CD\) й висоту \(BH\) (шукана відстань):

\begin{gather*} S=CD\cdot BH. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони рівні, то \(CD=AB=10\) см. Підставмо значення у формулу площі:

\begin{gather*} 72=10\cdot BH;\\[7pt] BH=72:10=7{,}2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

За означенням (формула Ньютона – Лейбніца), визначений інтеграл від функції \(f(x)\) дорівнює приросту її первісної \(F(x)\) на заданому проміжку:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a). \end{gather*}

За умовою первісна для функції \(f(x)\) дорівнює:

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Обчислімо

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності: \(P(A)=\dfrac km\), де \(k\) – кількість потрібних місць (сприятливих подій), а \(m\) – загальна кількість місць у літаку (усіх можливих подій).

Загальна кількість місць у літаку \((m){:}\)

У літаку всього \(n\) рядів, і в кожному ряду по \(6\) крісел. Отже, загальна кількість місць:

\begin{gather*} m=6\cdot n. \end{gather*}

Кількість потрібних місць \((k){:}\)

Нам потрібні місця в перших трьох рядах. Оскільки в кожному ряду – \(6\) крісел, то в цих рядах загалом:

\begin{gather*} k=3\cdot 6=18. \end{gather*}

За умовою імовірність отримати таке місце дорівнює \(\dfrac{1}{14}.\) Підставмо обчислені значення у формулу ймовірності:

\begin{gather*} \frac{18}{6n}=\frac{1}{14}, \end{gather*}

cкоротімо дріб у лівій частині на \(6{:}\)

\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14}. \end{gather*}

Скористаймося основною властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} n\cdot 1=3\cdot 14;\\[7pt] n=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл, зокрема обчислювати об’єм правильної трикутної піраміди за відомими медіаною основи піраміди та твірною конуса.

Висоти конуса \((H_\text{К})\) та піраміди \((H_\text{П})\) рівні: \(H_\text{К}=H_\text{П}=H.\) Радіус основи конуса \((R)\) дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди: \(R_\text{К}=R_\text{П}=R.\) Твірна конуса \(L=12\) см.

В основі піраміди лежить правильний (рівносторонній) трикутник, медіана якого \(m=9\) см. Оскільки трикутник правильний, медіана є також і висотою (\(h=9\) см).

У правильному трикутнику точка перетину медіан (центр описаного кола) ділить медіану у відношенні \(2:1\), починаючи відлік від вершини. Тому радіус описаного кола становить \(\dfrac 23\) від довжини медіани:

\begin{gather*} R=\frac 23\cdot m=\frac 23\cdot 9=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус основи конуса також \(R=6\) см. Сторона правильного трикутника:

\begin{gather*} a=R\sqrt{3}.\\[7pt] a=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника:

Розгляньмо прямокутний трикутник, утворений висотою конуса \(H\), радіусом основи \(R\) і твірною \(L.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} H^2+R^2=L^2;\\[7pt] H^2+6^2=12^2;\\[7pt] H^2+36=144;\\[7pt] H^2=144-36;\\[7pt] H^2=108;\\[7pt] H=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди:

Відповідь: \(162.\)

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник визначений і не дорівнює нулю.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Для існування коренів виразу підкореневі вирази мають бути невід'ємними:

\begin{gather*} x\ge 0;\\[7pt] 3-x\ge 0;\\[7pt] x\le 3. \end{gather*}

Отже, допустимі значення змінної: \(x\in [0; 3].\)

(Зауважмо, що знаменник \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\) ніколи не перетворюється на \(0\), бо сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли вони обоє одночасно дорівнюють нулю, що для \(x=0\) та \(x=3\) неможливо).

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}-\sqrt{27}=0;\\[7pt] 3^{\textstyle 2a-5x+2}=\sqrt{27}. \end{gather*}

Зведімо обидві частини до однієї основи \(3\) (зважаємо на те, що \(27=\sqrt{3^3}=3^{\textstyle \frac 32}=3^{1{,}5}\)):

\begin{gather*} 3^{\textstyle 2a-5x+2}=3^{\textstyle 1{,}5}. \end{gather*}

Показники степенів рівні:

\begin{gather*} 2a-5x+2=1{,}5;\\[7pt] 5x=2a+0{,}5;\\[6pt] x=\frac{2a+0{,}5}{5}. \end{gather*}

Рівняння матиме корені, якщо обчислене значення \(x\) задовольняє ОДЗ, тобто належить проміжку \([0; 3]{:}\)

\begin{gather*} 0\le\frac{2a+0{,}5}{5}\le 3. \end{gather*}

Помножмо всі частини нерівності на \(5{:}\)

\begin{gather*} 0\le 2a+0{,}5\le 15;\\[7pt] 0-0{,}5\le 2a\le 15-0{,}5;\\[7pt] -0{,}5\le 2a\le 14{,}5. \end{gather*}

Поділімо на \(2{:}\)

\begin{gather*} -0{,}25\le a\le 7{,}25. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in [-0{,}25; 7{,}25]. \end{gather*}

Найбільше значення \(a\), за якого рівняння має корені, дорівнює \(7{,}25.\)

Відповідь: \(7{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні подвійні нерівності й порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} -4\lt 6-2x\lt 2. \end{gather*}

Віднімімо \(6\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -4-6\lt -2x\lt 2-6;\\[7pt] -10\lt -2x\lt -4. \end{gather*}

Поділімо на \(-2{:}\)
Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} \frac{-10}{-2}\gt x\gt \frac{-4}{-2};\\[6pt] 5\gt x\gt 2;\\[7pt] 2\lt x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (2; 5).\) З наведених чисел лише \(3\) належить заданому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] (-6x^3)^2=(-6)^2\cdot (x^3)^2=36x^6. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур для розв'язання задач практичного змісту.

Напрямки північ і схід перпендикулярні, тому кут між ними дорівнює \(90^\circ.\) Кут між напрямком північ і напрямком \(OA\) дорівнює \(15^\circ\), тому:

\begin{gather*} \angle AOB=90^\circ-15^\circ=75^\circ. \end{gather*}

Напрямок південний схід є бісектрисою прямого кута між напрямками схід і південь, тобто

\begin{gather*} \angle BOC=\angle COD=90^\circ: 2=45^\circ. \end{gather*}

Обчислімо шуканий кут повороту:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

За умовою температура повітря не перевищувала \(10\ ^\circ\mathrm{C}\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де значення температури є меншим або дорівнює \(10\ ^\circ\mathrm{C}\ (t\le 10\ ^\circ\mathrm{C}).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від 0 до 7 год (з 00:00 до 07:00) температура підвищується з \(2\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) включно. Тривалість підвищення: \(7-0=7\) год.

Від 22 до 24 год (з 22:00 до 24:00) температура знижується з \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(7\ ^\circ\mathrm{C}.\) Тривалість зниження: \(24-22=2\) год.

Сумарна кількість годин: \(7+2=9\) год.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a-(12a+5a)=a-17a=-16a. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел й уміння розв'язувати задачі на відношення і пропорції.

Усі цукерки розфасували по \(6\) штук у коробку без залишку. Це означає, що шукане число можна поділити на \(6\) націло. Число ділиться на \(6\) тоді й тільки тоді, коли воно одночасно ділиться і на \(2\), і на \(3.\)

За ознакою подільності число ділиться на \(2\), якщо воно парне (закінчується на \(0\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\)).

За ознакою подільності число ділиться на \(3\) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на \(3.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання про піраміду та її елементи.

Правильна шестикутна піраміда – це многокутник, основою якого є правильний шестикутник, а всі бічні грані – рівні між собою рівнобедрені трикутники.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} x(2x+5)=2x+5;\\[7pt] x(2x+5)-(2x+5)=0. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \((2x+5)\) за дужки:

\begin{gather*} (2x+5)(x-1)=0. \end{gather*}

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 2x+5=0\ \text{або}\ x-1=0;\\[7pt] 2x=-5;\\[7pt] x_1=-2{,}5;\\[7pt] x_2=1. \end{gather*}

Порівняймо корені: \(-2{,}5\lt 1\), отже, менший корінь – це \(x=-2{,}5.\)

\begin{gather*} -2{,}5\in (-3; -1]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, рівностороннього трикутника.

І. \(BM\!\perp\!BC.\)

Протилежні сторони ромба паралельні \((BC\!\parallel\!AD).\) Висота \(BM\!\perp\!AD\), тому вона перпендикулярна і до паралельної сторони \(BC.\) Твердження правильне.

ІI. Трикутник \(ABD\) є рівностороннім.

За умовою \(BM\) – висота та медіана \((AM=MD)\) трикутника \(ABD.\) Отже, \(\Delta ABD\) рівнобедрений \((AB=BD).\) У ромба всі сторони рівні, тому \(AB=AD.\) Маємо \(AB=AD=BD\), тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній. Твердження правильне.

ІII. \(\angle BAD\) удвічі менший за \(\angle ADC.\)

Оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній, його кут \(\angle BAD=60^\circ.\)
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює \(180^\circ\), тому \(\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\)
Отже, \(\angle BAD=60^\circ\) удвічі менший за \(\angle ADC=120^\circ.\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння перетворювати графіки функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

На рисунку 1 вершина графіка розташована в точці \(x=0.\) На рисунку 2 вершина змістилася в точку \(x=-2.\) Це означає, що графік функції \(y=f(x)\) перенесли ліворуч на \(2\) одиниці вздовж осі \(x.\) Згідно з правилом замінімо змінну \(x\) на вираз \((x+2).\) Маємо нову функцію: \(y=f(x+2).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник на множники:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

З першого рівняння визначмо \(x{:}\)

\begin{gather*} -2x=6;\\[6pt] x=\frac{6}{-2}=-3. \end{gather*}

З другого рівняння визначмо \(y{:}\)

\begin{gather*} \frac y3=9;\\[6pt] y=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Запишімо розв'язок як упорядковану пару \((x; y){:}\ (-3; 27).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

За формулою відстані між двома точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) і \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) простору:

Точка лежить усередині сфери, якщо відстань від неї до центра \(O\) менша за радіус \((OX\lt 13).\)

У всіх варіантах відповіді \(x\) та \(y\) координати збігаються з координатами центра \(O(11; -3; -5).\) Тому відстань від центра \(O\) до точки \((11; -3; z)\) обчислімо як модуль різниці аплікат:

\begin{gather*} OX=|z-(-5)|=|z+5|. \end{gather*}

Перевірмо варіанти, шукаючи той, де \(OX\lt 13{:}\)

A \((11; -3; 10){:}\ 10 + 5 = 15\gt 13\) (поза сферою).

Б \((11; -3; 6){:}\ 6 + 5 = 11\lt 13\) (усередині сфери – правильний варіант).

В \((11; -3; 19){:}\ 19 + 5 = 24\gt 13\) (поза сферою).

Д \((11; -3; 9){:}\ 9+ 5 = 14\gt 13\) (поза сферою).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів та \(n\)-го члена арифметичної прогресії.

За формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n. \end{gather*}

Для суми перших десяти членів \((n=10)\) формула матиме вигляд:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10. \end{gather*}

За умовою задачі відомо, що \(a_1+a_{10}=-12.\) Підставмо це значення у формулу:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{-12}{2}\cdot 10=-6\cdot 10=-60. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника і прямокутного трикутника.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності \((x\gt 0).\) Тоді \(AB=3x\), а \(BC=5x.\) За формулою периметра прямокутника:

\begin{gather*} P=2(AB+BC);\\[7pt] 2(3x+5x)=96;\\[7pt] 16x=96;\\[7pt] x=96:16;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Отже, сторона \(AB=3\cdot 6=18\) см.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}\) \(\angle KAB=30^\circ\), \(AB=18\) см – прилеглий катет, \(AK\) – шукана гіпотенуза. За означенням косинуса гострого кута:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних, ірраціональних виразів.

1. \(\lg 100.\)

Десятковий логарифм – це логарифм за основою \(10.\)

Застосуймо формули:

\begin{gather*} \log_{10} a=\lg a;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \lg 100=\log_{10} 10^2=2\cdot \log_{10} 10=2\cdot 1=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin\dfrac{3\pi}{2}.\)

Кут \(\dfrac{3\pi}{2}\) радіан відповідає \(270^\circ.\)

За тригонометричним колом або таблицею значень:

\begin{gather*} \sin\frac{3\pi}{2}=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A Графік функції \(f\) має лише одну спільну точку з графіком кола \((x-3)^2+(y+2)^2=1\).

Рівняння \((x-3)^2+(y+2)^2=1\) задає коло із центром у точці \((3; -2)\) і радіусом \(R=1.\)

Графік функції (пряма) проходить через точку \((3; -2)\), яка є центром кола. З рисунка видно, що він лише один раз перетинає коло. Отже, графік функції має з колом тільки одну спільну точку.

Отже, 2 – А.

Б Похідна функції \(f\) є додатною на проміжку \([–3; 3].\)

Якщо похідна \(f'(x)\gt 0\), то функція зростає на цьому проміжку. Це означає, що внаслідок збільшення значення \(x\) значення самої функції \(y\) також збільшується (графік функції підіймається).

Оскільки жоден графік не зростає безперервно від \(x=-3\) до \(x=3\), варіант Б є хибним в усіх трьох випадках.

В Функція \(f\) є непарною.

Графік непарної функції обов'язково симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Якщо повернути графік на \(180^\circ\) навколо точки \((0; 0)\), він має повністю збігтися сам із собою. Також графік непарної функції завжди проходить через точку \((0; 0)\) (якщо вона належить області визначення). Жоден графік не є симетричним відносно початку координат. Отже, варіант В є хибним в усіх трьох випадках.

Г Значення функції \(f\) на кінцях проміжку \([–3; 3]\) є рівними.

Перевірмо значення функції \(y=f(x)\) на кінцях проміжку \([-3; 3].\)

За графіком визначмо ординату точок з абсцисами \(x=-3\) та \(x=3\) \(f(-3)=2\) і \(f(3)=2.\)

Значення функції на кінцях проміжку є рівними \(f(-3)=f(3)=2.\) Отже, 1 – Г.

Д Функція \(f\) має два нулі.

Нулі функції – це точки перетину її графіка з віссю \(Ox\ (y=0).\) На рисунку графік перетинає вісь \(Ox\) точно у двох точках на проміжку \([-3; 0].\) Тобто функція має два нулі. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \((AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2;\\[7pt] AB^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] AB=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Радіус кола, вписаного в ромб \((r).\)

Висота ромба \(h=AK=12\) см. Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині його висоти:

\begin{gather*} r=\frac h2=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(OK.\)

Оскільки \(ABCD\) – ромб, то центр його симетрії (точка перетину діагоналей) – це точка \(O.\) Відрізок \(OK\) є медіаною, проведеною з прямого кута \(\angle AKC\) прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) до гіпотенузи \(AC.\)

Властивість: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи, тобто \(OK=AO=OC.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) знайдімо відрізок \(KC.\) Усі сторони ромба рівні \(13\) см, тому \(BC=13\) см.

\begin{gather*} KC=BC-BK=13-5=8\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2;\\[7pt] AC^2=12^2+8^2=144+64=208;\\[7pt] AC=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(OK=\dfrac{AC}{2}\),

\begin{gather*} OK=\frac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

Пряма \(y=x\) має кутовий коефіцієнт \(k=1.\) Оскільки дотична паралельна цій прямій, їхні кутові коефіцієнти рівні: \(f'(x_0)=1{:}\)

\begin{gather*} 8-2x_0=1;\\[7pt] -2x_0=1-8;\\[7pt] -2x_0=-7;\\[7pt] x_0=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}

де: \(N\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Усього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, усього в літаку \(N=6n\) місць.

У будь-якому ряду лише \(2\) місця біля проходу (по одному з кожного боку від проходу). Отже, у першому ряду таких місць \(k=2.\)

За означенням, імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(2\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{2}{6n}=\frac{1}{102};\\[6pt] \frac{1}{3n}=\frac{1}{102};\\[6pt] 3n=102;\\[7pt] n=34. \end{gather*}

Відповідь: \(34.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної чотирикутної призми для обчислення об’єму призми.

Об'єм призми обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

В основі правильної чотирикутної призми квадрат з діагоналлю \(d=16\) см.

Радіус \(R\) кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою це також радіус основи конуса: \(R_\text{конуса}=8\) см.

Висота призми дорівнює висоті конуса:

\begin{gather*} H_\text{призми}=H_\text{конуса}=H. \end{gather*}

У конусі розгляньмо прямокутний трикутник, утворений твірною \(L=17\) см, радіусом основи \(R=8\) см і висотою \(H{:}\)

Основою правильної призми є квадрат. Площу квадрата через його діагональ \(d\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(M\ (x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишемо рівняння так:

\begin{gather*} (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Це коло з центром в точці \(M\ (11+3a; -2)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися ліворуч або праворуч залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(x_0\)), але по осі \(y\) він завжди зафіксований на позначці \(-2.\)

Графік перетинає вісь ординат у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(y\) – це пряма \(x=0.\) Відстань від центра \(O\ (x_0; -2)\) до осі \(y\) – це просто модуль координати \(x_0{:}\)

\begin{gather*} |x_0|\lt R;\\[7pt] |11+3a|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 11+3a\lt 7,\\ 11+3a\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3a\lt 7-11,\\ 3a\gt -7-11, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3a\lt -4,\\ 3a\gt -18, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt -\dfrac 43,\\ a\gt -6, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\lt -1\dfrac 13,\\ a\gt -6. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in \left(-6; -1\dfrac 13\right).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\}\).

Найменше ціле значення: \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему про зовнішній кут трикутника.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, які не суміжні з ним.

Обчислімо зовнішній кут при вершині \(A\):

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Потрібно визначити відношення кількості зелених стрічок до кількості коричневих стрічок влітку. За умовою період влітку відповідає білим стовпцям діаграми.

За даними з діаграми (білі стовпці):

• кількість зелених стрічок влітку – \(50.\)
• кількість коричневих стрічок влітку – \(20.\)

Обчислімо, у скільки разів кількість зелених стрічок більша за кількість коричневих:

\begin{gather*} \frac{50}{20}=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв'язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

• степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

• арифметичного кубічного кореня

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Будь-яка призма завжди має дві рівні основи (верхню і нижню). Кількість бічних граней призми дорівнює кількості сторін многокутника, що лежить у її основі. Оскільки призма трикутна, у її основі лежить трикутник (\(3\) сторони), тому вона має три бічні грані. Отже, трикутна призма має дві основи й три бічні грані.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3-x=2\frac 13;\\[6pt] x=3-2\frac 13. \end{gather*}

Запишімо ціле число \(3\) у вигляді мішаного числа зі знаменником \(3{:}\)

\begin{gather*} 3=2\frac 33;\\[6pt] x=2\frac 33-2\frac 13;\\[6pt] x=\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати множину значень функції за її графіком і застосовувати правила геометричних перетворень графіків функцій.

Графік функції \(y=f(x)\) визначений на проміжку \([-4; 3].\) Множину значень \(E(f)\) визначено проєкцією графіка на вісь \(Oy{:}\)

\begin{gather*} E(f)=[-1; 2]. \end{gather*}

Щоб побудувати графік функції \(y=f(x)-2\), треба перенести графік \(y=f(x)\) уздовж осі \(Oy\) на \(2\) одиниці вниз.

Віднімання числа \(2\) від усієї функції означає паралельне перенесення графіка на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(Oy.\) Отже, від кожного значення y потрібно відняти \(2.\)

Обчислення нової області значень:

\begin{gather*} E(f-2)=[-1-2; 2-2]=[-3; 0]. \end{gather*}

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

\begin{gather*} |1-0{,}5^{-3}|=|1-8|=|-7|=7. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) У прямокутній трапеції два кути при меншій бічній стороні – прямі \((90^\circ\ \text{і}\ 90^\circ).\) Отже, кути при більшій бічній стороні – гострий і тупий, але їхня сума також має бути \(180^\circ\), тобто трапеція має бути рівнобічною (а не прямокутною). Твердження неправильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні \((a+b=c+d).\) Для прямокутної трапеції це цілком можливо (наприклад, якщо основи дорівнюють \(3\) і \(6\), а бічні сторони – \(4\) й \(5{:}\ (3+6=4+5=9\)). Твердження правильне.

III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

Якщо гострий кут прямокутної трапеції дорівнює \(30^\circ\), то у прямокутному трикутнику, утвореному висотою і більшою бічною стороною, висота (катет проти кута \(30^\circ\)) удвічі менша за більшу бічну сторону (гіпотенузу). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійнi, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Нерівність виду \(f(x)^2\lt a^2\) рівносильна подвійній нерівності

\begin{gather*} -a\lt f(x)\lt a. \end{gather*}

Оскільки \(9=3^2\), то

\begin{gather*} (2x+1)^2\lt 3^2, \end{gather*}

маємо подвійну нерівність:

\begin{gather*} -3\lt 2x+1\lt 3. \end{gather*}

Віднімімо \(1\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -3-1\lt 2x\lt 3-1;\\[7pt] -4\lt 2x\lt 2. \end{gather*}

Поділімо всі частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} -2\lt x\lt 1. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-2; 1)\) – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати первісну тригонометричної функції.

Застосуймо правила визначення первісних для кожного доданка окремо:

Отримаємо

\begin{gather*} F(x)=3\sin x-\frac{x^{1+1}}{1+1};\\[6pt] F(x)=3\sin x-\frac{x^2}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо чотирикутник \(KBCD.\) У ньому \(BC\!\parallel\!KD\), тобто це трапеція з основами \(BC\) та \(KD.\) Відрізок \(MN\) з'єднує середини її бічних сторін \(BK\) та \(CD\), тому \(MN\) – середня лінія трапеції \(KBCD.\) За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} MN=\frac{BC+KD}{2}. \end{gather*}

Протилежні сторони паралелограма рівні \((BC=AD)\), тому

\begin{gather*} 24=\frac{AD+18}{2};\\[6pt] AD+18=48;\\[7pt] AD=30\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину відрізка \(AK{:}\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AK};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{BK}{12};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BK}{12};\\[6pt] BK=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою площі паралелограма \(S=a\cdot h_a\) обчислімо площу \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} W=\frac{q^2}{2C}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(C\), щоб винести шукану змінну зі знаменника:

\begin{gather*} W\cdot C=\frac{q^2}{2}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(W{:}\)

\begin{gather*} C=\frac{q^2}{2W}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підстановки, застосовувати основну властивість пропорції.

Знайдемо \(y\) з першого рівняння. Помножимо обидві частини рівняння на \(4{:}\)

Підставимо знайдений \(y=8\) у друге рівняння:

Запишемо відповідь у вигляді впорядкованої пари \((x; y){:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь і вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(D\) є ортогональною проєкцією точки \(C(-1; 3; -4)\) на вісь \(Ox\), її \(x\)-координата залишається такою ж, а \(y\)- і \(z\)-координати дорівнюють нулю: \(D(-1; 0; 0).\)

Обчислімо відстань між точками \(C\) і \(D\).

За формулою відстані між двома точками у просторі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Запишімо масу солі, яку кристалізують з літра ропи, у кілограмах.

Оскільки \(1\) кг \(=\ 1000\) г, то:

\begin{gather*} 300\ \text{г}=0{,}3\ \text{кг}. \end{gather*}

Щоб дізнатися, скільки солі можна кристалізувати з \(9000\) літрів ропи, треба помножити об'єм ропи на масу солі, яку видобувають із літра ропи:

\begin{gather*} m=9000\cdot 0{,}3=2700\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. \(\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}.\)

Звільнімося від ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз \(\sqrt{2}-1{:}\)

Два вирази називають взаємно спряженими, якщо вони різняться лише знаком між доданками.

Оскільки \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), то \(\sqrt{2}-1\approx 0{,}41\gt 0.\) Це число містить корінь, який не можна добути, тому воно ірраціональне додатне.

Отже, правильна відповідь – Г.
 

2. \begin{gather*} \log_2(\delta-1)=\log_2(\sqrt{2}+1-1)=\log_2\sqrt{2}=\log_2 2^{\textstyle \frac 12}=\frac 12\cdot \log_2 2=\frac 12\cdot 1=\frac 12. \end{gather*}

Число \(\dfrac 12=0{,}5\) – це дріб, отже, воно є раціональним нецілим числом.

Для спрощення виразу застосовували формули:

Отже, правильна відповідь – B.
 

Число \(-1\) є цілим від'ємним числом.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних і квадратичних функцій, кола.

1. Побудуймо графік рівняння \(y+x=0.\)

Перенесімо \(x\) у праву частину: \(y=-x.\)

Це лінійна функція, графіком якої є пряма, що проходить через II й IV координатні чверті (бісектриса II й IV чвертей).

Отже, 1 – Г.

2. Побудуймо графік рівняння \(y+x^2=0.\)

Виразімо \(y{:}\ y=-x^2.\)

Це квадратична функція, графіком якої є парабола. Оскільки коефіцієнт біля \(x^2\) від'ємний \((a=-1\lt 0)\), вітки параболи напрямлені вниз.

Отже, 2 – Б.

3. Побудуймо графік рівняння \(y^2+x^2=1.\)

Запишімо в канонічному вигляді: \(x^2+y^2=1^2.\)

Це стандартне рівняння кола із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=1.\)

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутника та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \(ABCD.\)

Периметр квадрата \(P=40\) см.

Оскільки у квадрата всі чотири сторони рівні, то сторона квадрата:

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta CDM\ (\angle D=90^\circ)\) за теоремою Піфагора шукаємо сторону \(DM{:}\)

Оскільки \(DCKM\) – прямокутник, то \(CK=DM=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Д.

3. Відстань між центром квадрата і точкою перетину діагоналей прямокутника \(ABKM.\)

Центр квадрата \(ABCD.\)

Точка перетину діагоналей квадрата знаходиться на відстані від його сторони, що дорівнює половині цієї сторони. Відстань від сторони \(AB\) до точки \(O_1{:}\)

Центр прямокутника \(ABKM.\)

Знайдемо всю основу

Відстань від центра прямокутника (точки перетину його діагоналей) до сторони \(AB\) дорівнює половині його основи \(AM.\) Відстань від сторони \(AB\) до точки \(O_2{:}\)

Оскільки відрізок \(O_1O_2\) паралельний основам \(BC\) та \(AM\), його довжина — це різниця відстаней від сторони \(AB\) до точок \(O_2\) та \(O_1{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна і визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислімо площу зафарбованої фігури за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Визначмо точку перетину графіків \(y=9\) та \(y=x^3+1.\) Для цього прирівняймо їхні вирази:

\begin{gather*} x^3+1=9;\\[7pt] x^3=9-1;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Площу \(S\) фігури, що обмежена зверху графіком \(y=9\) (верхня), знизу – \(y=x^3+1\), а зліва – прямою \(x=0\), обчислімо за допомогою визначеного інтеграла:

Застосували формулу Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати інформацію з полігона частот й обчислювати середнє значення.

З полігона частот виписуємо значення елементів \((x_i)\) й відповідні їм частоти \((n_i){:}\)

Обчислімо загальну кількість елементів (суму частот):

\begin{gather*} N=3+7+1+3+3+5=22. \end{gather*}

Середнє значення обчислімо як середнє арифметичне:

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей многогранників і тіл обертання, формул площ поверхонь й об'ємів многогранників і тіл обертання.

Формула площі поверхні сфери:

\begin{gather*} S=4\pi R^2. \end{gather*}

За умовою \(S=432\pi\), тому:

\begin{gather*} 4\pi R^2=432\pi. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівності на \(4\pi{:}\)

\begin{gather*} R^2=108;\\[7pt] R=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює діаметру сфери \(D{:}\)

\begin{gather*} H=D=2R=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є правильний трикутник. За умовою радіус описаного навколо нього кола дорівнює радіусу сфери:

\begin{gather*} R_\text{осн}=R=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона основи \((a){:}\)

\begin{gather*} R_\text{осн}=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R_\text{осн}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа основи \((S_\text{осн}){:}\)

Формула об'єму піраміди:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кількість розв’язків системи двох лінійних рівнянь із двома змінними залежно від значень параметра.

Система лінійних рівнянь виду

\begin{gather*} \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \end{gather*}

не має розв'язків, якщо коефіцієнти при змінних пропорційні, але не дорівнюють відношенню вільних членів:

\begin{gather*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}. \end{gather*}

Запишімо відношення коефіцієнтів:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}\ne \frac{3}{24}. \end{gather*}

Розв'яжімо першу рівність:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}. \end{gather*}

За властивістю пропорції:

\begin{gather*} a(5a+6)=2\cdot 16;\\[7pt] 5a^2+6a-32=0. \end{gather*}

Для розв'язання квадратного рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0\) обчислімо дискримінант \(D=b^2-4ac.\)

Оскільки \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\\[6pt] a_1=\frac{-6+26}{2\cdot 5}=\frac{20}{10}=2;\\[6pt] a_2=\frac{-6-26}{2\cdot 5}=\frac{-32}{10}=-3{,}2. \end{gather*}

Перевірмо умову нерівності \(\dfrac{a}{16}\ne\dfrac{3}{24}\) \(\left(\text{де}\ \dfrac{3}{24}=\dfrac 18\right){:}\)

• якщо \(a=2,\)

\(\dfrac{2}{16}=\dfrac 18.\) Умова не виконується (за \(a=2\) система має безліч розв'язків);

• якщо \(a=-3{,}2,\)

\(\dfrac{-3{,}2}{16}=-\dfrac{32}{160}=-\dfrac 15\ne \dfrac 18.\) Умова виконується (система не має розв'язків).

Отже, система не має розв’язків лише за \(a=-3{,}2.\)

Відповідь: \(-3{,}2.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо.

\begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*}

(де \(a\) – будь-яке число \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати дані, наведені на графіку або в таблиці.

На горизонтальній осі час зазначено у хвилинах, тому виразимо у хвилинах час, заданий в умові:

\begin{gather*} 1\ \text{год}\ 20\ \text{хв}=60\ \text{хв}+20\ \text{хв}=80\ \text{хв}. \end{gather*}

На графіку значенню часу \(t=80\) хв відповідає заряд батареї \(70\ \%.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивості зовнішнього кута трикутника.

Кут \(\angle CBD=153^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABD\) при вершині \(B.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle CBD=\angle CAD+\angle ADB;\\[7pt] \angle CAD=\angle CBD-\angle ADB. \end{gather*}

Підставмо відомі значення \(\angle ADB=90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \angle CAD=153^\circ-90^\circ=63^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності площин і властивостей паралелепіпеда.

У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані лежать у паралельних площинах.

Грань \(AA_1D_1D\) проходить через точки \(A_1\), \(D_1\), \(D\), а грань \(BB_1C_1C\) – через точки \(C\), \(B\), \(B_1.\)

Оскільки це протилежні грані паралелепіпеда, площини \(A_1D_1D\) й \(CBB_1\) паралельні.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число в правій частині рівняння у неправильний дріб:

\begin{gather*} -3\frac{12}{13}=-\frac{3\cdot 13+12}{13}=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Запишімо рівняння:

\begin{gather*} \frac{4}{13}x=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(13{:}\)

\begin{gather*} 4x=-51;\\[6pt] x=-\frac{51}{4}=-12,75;\\[7pt] -12{,}75\in (-55; -10). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Скористаймося формулою скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей і вміння визначати парність і непарність функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, якщо для всіх \(x\) з області визначення виконується умова:

\begin{gather*} f(-x)=f(x). \end{gather*}

Перевірмо варіанти відповіді:

А \(y=3^{2x},\)

\(f(-x)=3^{2(-x)}=3^{-2x}\ne f(x)\) – ні парна, ні непарна.

Б \(y=\sin x +1,\)

B \(y=\dfrac 3x,\)

\(f(-x)=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac 3x=-f(x)\) – непарна.

Г \(y=2x^4,\)

\(f(-x)=2(-x)^4=2x^4=f(x)\) – парна.

Д \(y=2x,\)

\(f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)\) – непарна.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту трапеції \(BH\!\perp\!AD.\)

У прямокутному трикутнику \(BHO\ \angle BOH=45^\circ\), отже, трикутник \(BHO\) – рівнобедрений \((BH=HO).\)

Отже,

\begin{gather*} BH=HO=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Оскільки \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, проєкція бічної сторони

\begin{gather*} AH=\frac{AD-BC}{2}. \end{gather*}

За умовою \(AD=3BC.\)

Позначмо \(BC=x\), тоді \(AD=3x.\)

\begin{gather*} AH=\frac{3x-x}{2}=x=BC. \end{gather*}

Оскільки \(AO=AH+HO\), маємо

\begin{gather*} AO=x+\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Також

\begin{gather*} AO=\frac{AD}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x. \end{gather*}

Прирівняймо вирази для \(AO{:}\)

\begin{gather*} 1{,}5x=x+\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 1{,}5x-x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 0{,}5x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] x=a\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, основи трапеції дорівнюють:

\begin{gather*} BC=x=a\sqrt{2};\\[7pt] AD=3x=3a\sqrt{2}. \end{gather*}

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 2(x^2-x)=x^2+3. \end{gather*}

Розкриймо дужки в лівій частині рівняння й перенесімо всі доданки в ліву частину, щоб отримати квадратне рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0.\)

\begin{gather*} 2x^2-2x-x^2-3=0;\\[7pt] x^2-2x-3=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-3.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac.\)

Формула для визначення коренів квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

Дискримінант \(D\gt 0\), обчислімо корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1;\\[6pt] x_2=\frac{2+4}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати типові задачі на відсотки, зокрема визначати число за значенням його відсотка.

Оскільки знижка була \(70\ \%\), покупець заплатив:

\begin{gather*} 100\ \%-70\ \%=30\ \% \end{gather*}

від початкової вартості. Тобто \(30\ \%\) становлять \(105\) грн. Складімо пропорцію:

\begin{gather*} 30\ \%\ - \ 105\ \text{грн};\\[6pt] 100\ \%\ -\ x\ \text{грн};\\[6pt] \frac{30}{100}=\frac{105\ \text{грн}}{x};\\[6pt] x=\frac{105\ \text{грн}\cdot 100}{30}=350\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

I. Будь-який ромб є паралелограмом.

За означенням ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Твердження правильне.

II. Будь-яка висота ромба, проведена з його вершини, проходить через точку перетину діагоналей ромба.

Висота, опущена з вершини ромба на протилежну сторону, у загальному випадку не проходить через точку перетину діагоналей. Через цю точку проходить лише та висота, що сполучає протилежні сторони й ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Твердження неправильне.

III. Діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

Діагональ ромба ділить його на два трикутники зі спільною стороною (діагоналлю) і двома парами рівних сторін (оскільки всі сторони ромба рівні). Ці трикутники рівні за трьома сторонами (третя ознака рівності трикутників). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідні елементарних функцій, похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

Використали формули

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі}\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[6pt] (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}};\\[7pt] (u+v)'=u'+v'. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] 2^{3-x}\gt \frac 14,\\[6pt] 2^{3-x}\gt 4^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt (2^2)^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt 2^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((2)\) більша за одиницю \((2\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(3-x\gt -2.\)

Розв’яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} -x\gt -2-3;\\[7pt] -x\gt -5. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; 5).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Оскільки \(0{,}2=\dfrac{2}{10}=\dfrac 15=5^{-1}\) та \(25=5^2\), то:

Застосували властивості логарифмів:

і властивість степенів

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Центр сфери розташований у початку координат – точці \(O(0; 0; 0).\) Оскільки точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, радіус \(R\) дорівнює відстані від початку координат до точки \(A{:}\)

Рівняння сфери із центром у точці \((0; 0; 0)\) і радіусом \(R=5\) має вигляд:

\begin{gather*} x^2+y^2+z^2=25. \end{gather*}

Перевірмо запропоновані варіанти:

A \((5; 5; 5){:}\)

\(5^2+5^2+5^2=75\ne 25.\)

Б \((0; 0; 10){:}\)

\(0^2+0^2+10^2=100\ne 25.\)

B \((0; 0; 5){:}\)

\(0^2+0^2+5^2=25\) – підходить.

Г \((0; 1; 4){:}\)

\(0^2+1^2+4^2=17\ne 25.\)

Д \((5; 5; 0){:}\)

\(5^2+5^2+0^2=50\ne 25.\)

Відповідь: B.