ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Рівняння стану ідеального газу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння зміни стану ідеального газу, а також вміння скласти рівність тисків.

Гелій до нагрівання мав певну температуру \(T_1\) і займав певний об’єм \(V_1.\) Цей газ створював тиск \(p\) на стінки посудини й на поршень. Зверху ж на рухомий поршень діє атмосферний тиск \(p_\text{атм},\) а також сам поршень теж діє з певним тиском \(p_\text{п}\) на гелій в посудині (див. рисунок).

Отже, можемо прирівняти тиск, який створює гелій, і суму тисків атмосферного і поршня, оскільки поршень не рухається: $$ p=p_\text{атм}+p_\text{п}. $$

Розпишімо, чому дорівнює тиск гелію і тиск поршня. Відповідно до рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона) $$ pV_1=\frac mMRT_1, $$ де \(m\) ‒ маса газу, \(M\) ‒ молярна маса, \(R\) ‒ універсальна газова стала.

Тиск, який створює поршень, визначатимемо за формулою $$ p_\text{п}=\frac FS, $$ де \(S\) ‒ площа поверхні, на яку поршень створює тиск; а \(F=P=m_\text{п}g\) ‒ сила тиску, якою у цьому прикладі є вага \(P,\) що дорівнює добутку маси \(m_\text{п}\) поршня і прискорення \(g\) вільного падіння.

Потім за умовою гелій нагріли до температури \(T_2,\) відповідно збільшився об’єм до \(V_2.\) Тиск при цьому залишився сталим, оскільки маса газу не змінилася, а поршень легко рухається в посудині, тобто відбувся ізопроцес, а саме, ізобарне нагрівання: $$ pV_2=\frac mMRT_2. $$

Запишімо загальне рівняння зміни стану газу після зміни абсолютної температури на \(\Delta T\) і відповідно зміни об’єму на \(\Delta V:\) $$ p\Delta V=\frac mMR\Delta T, $$ звідки тиск дорівнюватиме $$ p=\frac{mR\Delta T}{M\Delta V}. $$

Підставімо всі вирази для відповідних величин у рівність тисків: $$ \frac{mR\Delta T}{M\Delta V}=p_\text{атм}+\frac{m_\text{п}g}{S}. $$

Обчислімо значення правої частини рівності, щоб математично легше було визначити зміну об’єму \(\Delta V:\)

Отже, визначмо, на скільки збільшиться об’єм гелію:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Маса і розмір молекул. Концентрація.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння графічної інтерпретації залежності фізичних величин, а саме, концентрації молекул газу від об’єму.

Концентрація \(n\) молекул газу ‒ фізична величина, яка дорівнює числу \(N\) молекул в одиниці об’єму \(V\) газу: $$ n=\frac NV. $$

Як бачимо з формули, концентрація обернено залежить від об’єму: $$ n\sim \frac 1V. $$

За умовою газ стискають в посудині, отже, об’єм зменшується (знаменник зменшується), значить, концентрація збільшується. При цьому кількість молекул газу не змінюється ‒ газ міститься в посудині, його стискають рухомим поршнем, про витік газу мова не йде, отже, зміна концентрації залежатиме тільки від зміни об’єму.

Така обернена залежність величин відповідає математичній функції $$ y=\frac 1x, $$ графіком якої є вітки гіперболи.

Відповідно, графіком залежності концентрації молекул газу від об’єму буде вітка гіперболи з додатними значеннями (об’єм і концентрація не можуть бути від’ємними).

Графіки Б й В, які відображають лінійну залежність величин, не відповідають шуканій оберненій залежності. А за графіком Г зі збільшенням об’єму концентрація збільшується, що є неправильним у визначеній математичній залежності концентрації від об’єму.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Прості механізми. Коефіцієнт корисної дії.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння простих механізмів ‒ рухомого і нерухомого блоків, а також уміння визначати коефіцієнт корисної дії механізму для підйому вантажів.

Підйомний механізм складається з двох невагомих блоків: рухомий блок (рис. 1), до якого безпосередньо прикріплено вантаж, дає виграш у силі вдвічі, але програш у відстані теж удвічі; другий блок ‒ нерухомий (рис. 2), лише змінює напрямок дії сили.

Коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) (ККД) простого механізму – це відношення корисної роботи \(A_\text{кор},\) яку виконує механізм, до повної роботи \(A_\text{пов},\) яка витрачається на його роботу. Тобто це міра ефективності механізму, що показує, яка частина витраченої енергії перетворюється на корисну роботу: $$ \mathbf{\eta}=\frac{A_\text{кор}}{A_\text{пов}}\cdot 100\ \text{%}. $$

У цьому завданні корисною роботою \(A_\text{кор}\) є підняття вантажу на висоту \(h\) за рахунок зміни потенціальної енергії \((E_{p0}-E_p)\) тіла: $$ A_\text{кор}=E_{p0}-E_p=mgh, $$ де \(m\) – маса вантажу, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h\) – висота, на яку підіймають вантаж.

Загальне визначення механічної роботи (робота сили) \(A\) – це фізична величина, яка характеризує зміну механічного стану тіла й дорівнює добутку модуля сили \(F,\) модуля переміщення \(s\) і косинуса кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором сили й вектором переміщення: $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}. $$

Отже, узявши до уваги, що вантаж підняли на висоту \(h\) від початкового положення, а мотузку підтягнули під дією прикладеної сили на \(2h,\) запишімо формулу для визначення повної роботи: $$ A=Fs\cos\mathbf{\alpha}=F2h, $$ \(\cos\mathbf{\alpha}=\cos 0^\circ=1,\) тому що вектор сили, що долає вагу вантажу, і вектор переміщення лежать на співнапрямлених прямих.

Обчислімо коефіцієнт корисної дії \(\mathbf{\eta}\) (ККД) цього підйомного механізму:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття рівнодійної сил, а також вміння графічно пов’язати динаміку й кінематику процесу.

Сформулюймо другий закон Ньютона: прискорення \(\overrightarrow{a},\) якого набуває тіло внаслідок дії сили \(\overrightarrow{F},\) прямо пропорційне цій силі й обернено пропорційне масі \(m\) тіла: $$ \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}. $$

Здебільшого на тіло діють кілька сил. Якщо тіло можна вважати матеріальною точкою, то всі ці сили можна замінити однією – рівнодійною. Рівнодійна дорівнює геометричній сумі сил, які діють на тіло: $$ \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n, $$ тому другий закон Ньютона зазвичай записують так: \begin{gather*} \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n}{m},\\[6pt] \text{aбо}\\[7pt] \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n=m\overrightarrow{a}. \end{gather*}

Якщо сили, що діють на тіло, скомпенсовано, тобто рівнодійна дорівнює нулю $$ \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_2+\text{...}+\overrightarrow{F}_n=0, $$ тіло не змінюватиме швидкості свого руху ані за значенням, ані за напрямком: $$ \overrightarrow{a}=0, $$ отже, рухатиметься рівномірно прямолінійно або перебуватиме в спокої.

Графіком проєкції швидкості \(v_x\) у разі прямолінійного рівномірного руху є відрізок прямої, паралельної осі часу \(t,\) адже швидкість руху не змінюється із часом. Отже, у завданні цій умові відповідає ділянка графіка \(BC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу в рівномірному й рівноприскореному рухах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння графічної інтерпретації шляху, пройденого тілом.

Шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком швидкості руху:

для прямолінійного рівномірного руху	для прямолінійного рівноприскореного руху
для будь-якого руху

Отже, розгляньмо й порівняймо площі фігур під графіками швидкості руху тіл А, Б, В й Г. Відповідно до умови обмежмо праворуч ці фігури вертикальною прямою, що пройде через позначку \(6\ \text{с}\) на осі часу. А знизу й ліворуч фігури обмежено осями. Тоді розмір площі залежатиме тільки від графіка залежності проєкції швидкості руху тіла від часу. Зробімо висновок:

найменший шлях пройде тіло А	шлях, який пройшло тіло Б
шлях, який пройшло тіло В	найбільший шлях пройде тіло Г

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Додавання швидкостей. Рівномірний рух.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння прямолінійного рівномірного руху, а також вміння додавати швидкості.

Щоб визначити швидкість руху товарного потяга, треба зрозуміти, як було визначено час \(t,\) протягом якого пасажирський потяг проходив повз зустрічний товарний потяг. Рух потягів прямолінійний рівномірний, тож скористаймося відповідною формулою: $$ t=\frac lv. $$

Уявімо, як голови потягів порівнялися, й із цього моменту пішов відлік часу.

Щоб потяги повністю розминулися, голова пасажирського потяга повинна пройти вздовж усього товарного, а потім ще весь пасажирський потяг повинен пройти повз хвіст товарного потяга.

Тож загальний шлях \(l,\) який пройде голова пасажирського потяга з моменту, коли голови потягів порівнялися і до моменту, коли порівняються їхні хвости, становитиме суму довжин обох потягів ‒ пасажирського \(l_\text{п}\) і товарного \(l_\text{т}:\) $$ l= l_\text{п}+l_\text{т}. $$

Якщо потяги рухалися один відносно одного, то й швидкість їхнього руху треба розглядати не відносно землі, а відносно один одного.

Скористаймося законом додавання швидкостей: швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху тіла в нерухомій системі відліку (пасажирського потяга відносно товарного) дорівнює геометричній сумі швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{п}\) руху тіла в рухомій системі відліку (пасажирського потяга відносно землі) і швидкості \(\overrightarrow{v}_\text{т}\) руху рухомої системи відліку відносно нерухомої (наче землі відносно товарного потяга, що те саме ‒ товарного потяга відносно землі): $$ v=v_\text{п}+v_\text{т}. $$

Запишімо ще раз формулу для часу й визначмо швидкість товарного потяга:

Відповідь: А.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння кінематичних рівнянь, що описують рух тіл.

Проаналізуймо рівняння з умови завдання: $$ x=12-5t. $$

Координата \(x\) лінійно залежить від часу \(t\) (змінна \(t\) в першому степені). Отже, цим рівнянням описано прямолінійний рівномірний рух.

Запишімо це рівняння в загальному вигляді: $$ x=x_0+vt, $$ де \(x_0\) ‒ початкова координата тіла, \(v\) ‒ швидкість руху тіла.

Отже, \(x_0=12\ \text{м}, v=-5\ \text{м/с}\) ‒ знак мінус указує на те, що тіло рухається в протилежному напрямку до напрямку горизонтальної осі, уздовж якої рухається тіло.

Визначмо координату тіла через \(4\ \text{с}\) після початку руху: $$ x(4)=12-5\cdot 4=12-20=-8\ \text{м}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Лазер.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння енергії фотона й уміння визначати потужність випромінювання лазера.

Потужність \(P\) випромінювання лазера визначають за формулою: $$ P=\frac{E_\text{ф}}{t}, $$ де \(E_\text{ф}\) ‒ енергія світлового потоку, що випромінює лазер, \(t\) ‒ час випромінювання.

Енергія \(E_1\) одного фотона становить: $$ E_1=h\mathbf{\nu}=\frac{hc}{\mathbf{\lambda}}, $$ де \(h\) ‒ стала Планка, \(\mathbf{\nu}\) ‒ частота випромінювання, \(c\) ‒ швидкість поширення світла у вакуумі, \(\mathbf{\lambda}\) ‒ довжина хвилі.

Тоді енергія всіх \(N\) фотонів, що випускає лазер щосекунди, дорівнюватиме: $$ E_\text{ф}=E_1\cdot N=\frac{hc\cdot N}{\mathbf{\lambda}}. $$

Обчислімо потужність випромінювання лазера:

Відповідь: 2,2.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Закони відбивання світла.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння прямолінійного поширення світла, законів відбивання світлових променів від плоского дзеркала й уміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації кутів.

Промінь, що падає під кутом \(\mathbf{\varphi}=50^\circ\) до горизонту ‒ \(AO.\) Зробімо додаткову побудову перпендикуляра \(CO\) до поверхні дзеркала. За законами відбивання $$ \angle AOC=\angle COD. $$

Складімо рівняння для визначення кута нахилу дзеркала до горизонту ‒ кута \(\mathbf{\alpha},\) комбінуючи кути на рисунку:

\(\angle EOF=\mathbf{\alpha}\) ‒ як вертикальні. Оскільки \(\angle AOC=\angle COD,\) то \begin{gather*} \mathbf{\alpha}=140^\circ-\mathbf{\alpha},\\[7pt] 2\mathbf{\alpha}=140^\circ,\\[7pt] \mathbf{\alpha}=70^\circ. \end{gather*}

Відповідь: 70.