ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння закону збереження енергії в механічних процесах і розуміння поняття консервативних сил.

Закон збереження механічної енергії виконуваний лише для тих систем, у яких тіла взаємодіють тільки консервативними силами.

Консервативні сили – це сили, робота яких не залежить від форми траєкторії, а визначена лише початковим і кінцевим механічними станами тіла.

Сила тертя не є консервативною, тому для тих систем, у яких є тертя, ніколи не діє закон збереження механічної енергії.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закони Ньютона. Сила тертя.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння впливу сили тертя в задачах на основі побутових прикладів.

Під час перетягування каната виграє той, хто може перетягнути стрічку посередині на свій бік. Чим більшою є сила тертя між учасником і підлогою, тим більшу силу треба прикласти, щоби зсунути його з місця. Тому для здобуття перемоги тягнути канат із більшою силою ніж опонент не достатньо, якщо сила тертя з боку підлоги в нього більша.

Сила тертя з боку каната важлива, але вона не визначає переможця, адже за дуже великої сили тертя між канатом й учасником він почне рухатися разом із канатом.

Маса учасників впливає лише на те, наскільки сила тяжіння діятиме на них. Притягування Землі може піти як на користь, так і на шкоду залежно від того в який бік нахилене тіло учасника.

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичних засад рівномірного руху по колу й уміння розв’язувати розрахункові задачі на основні фізичні величини, пов’язані з рівномірним рухом по колу (доцентрове прискорення, лінійна швидкість).

Пригадаймо, що за визначенням рівномірний рух тіла по колу – це такий криволінійний рух, за якого траєкторією руху тіла є коло, а лінійна швидкість руху не змінюється із часом.

Для правильного розв’язання задачі потрібно вибрати дві точки твердого тіла, що обертається навколо осі \(O\), і простежити за їхнім рухом (рис. 1).

Рис. 1. Точки А і В твердого тіла

Нехай точка \(A\) лежить на відстані \(r\) від осі \(O\), а точка \(B\) на відстані \(R\) так, що \(R \gt r\). За один період обертання \(T\) всі точки повернуться у свої початкові положення. Шлях кожної точки – це коло, тож можна його обчислити як довжину цього кола: \begin{gather*} l_A=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r;\\[7pt] l_B=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r. \end{gather*}

Після цього можна обчислити лінійну швидкість кожної точки: \begin{gather*} v_A=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r}{T};\\[6pt] v_B=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r}{T}. \end{gather*}

Отже: $$ v_A \lt v_B. $$

Кутову швидкість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}\) точки можна обчислити за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}= \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}. $$

Оскільки за період \(T\) всі точки повертаються в своє положення, то вони роблять повний (\(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) радіан) оберт. А кутова швидкість для обох точок дорівнює $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_{A}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}_{B}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}}{t}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}. $$

Те саме можна зробити і для будь-якої іншої пари точок твердого тіла, отже кутова швидкість буде однаковою для всіх його точок.

Доцентрове прискорення для всіх точок напрямлене до центра, тому його напрямок відрізняється для точок у різних частинах тіла, як зображено на рисунку 1.

Модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою: $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}. $$

Потім потрібно порівняти модулі доцентрового прискорення для точок A і B: \begin{gather*} a_{\text{доц A}}=\frac{v_A^2}{r}=\left(\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}r}{T}\right)^2 \frac 1r=r\left(\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}\right)^2;\\[6pt] a_{\text{доц B}}=\frac{v_B^2}{R}=\left(\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T}\right)^2 \frac 1R=R\left(\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{T}\right)^2;\\[6pt] a_{\text{доц B}} \gt a_{\text{доц A}}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Кінематика. Швидкість. Додавання швидкостей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати розрахункові задачі з додавання швидкостей і розуміння поняття відносності руху.

За умовою завдання швидкості поїзда й людини співнапрямлені, а швидкість вітру направлена в протилежний бік. Це схематично зображено на рисунку 1.

Рис. 1. Швидкості руху поїзда, людини й вітру

Тоді перш за все знайдемо швидкість людини відносно землі, щоби порівняти її зі швидкістю вітру, яку визначаємо саме відносно землі.

Швидкість людини відносно землі згідно з умовою завдання дорівнює: $$ \overrightarrow{v_{\text{л.в.з.}}}=\overrightarrow{v_{\text{людини}}}+ \overrightarrow{v_{\text{поїзда}}} $$

У проєкції на вісь \(OX\) швидкість людини відносно землі дорівнює: $$ v_{\text{л.в.з.}}=-v_{\text{людини}}-v_{\text{поїзда}}=-2\ \frac{\text{м}}{\text{с}}-10\ \frac{\text{м}}{\text{с}}=-12\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. $$

Тоді швидкість вітру відносно людини дорівнює різниці векторів швидкості людини й вітру відносно землі: $$ \overrightarrow{v_{\text{в.в.л.}}}=\overrightarrow{v_{\text{вітру}}}+ \overrightarrow{v_{\text{л.в.з.}}} $$

У проєкції на вісь \(OX\) швидкість вітру відносно людини дорівнює: $$ v_{\text{л.в.з.}}=v_{\text{вітру}}-v_{\text{людини}}=3\ \frac{\text{м}}{\text{с}}-\left(-12\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\right)=15\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Інерціальні системи відліку. Постулати спеціальної теорії відносності.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі для тіл, що рухаються зі швидкостями, близькими до швидкості світла.

Дано:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\tau}=2,2\ \text{мкс}\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=0,8\ \text{с}\)
\(c=3\cdot 10^8\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(l\ -\ ?\)

Час життя мюона на Землі можна розрахувати за формулою: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\tau}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\tau}_0}{\sqrt{1-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}^2}{c^2}}}= \frac{2,2\ \text{мкс}}{\sqrt{1-\frac{(0,8\ \text{с})^2}{c^2}}}=\frac{2,2\ \text{мкс}}{0,6}\approx 3,67\ \text{мкс}. $$

Тоді відстань, яку мюон пройде відносно Землі, дорівнюватиме: $$ l=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\tau}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=3,67\ \text{мкс}\cdot 0,8\cdot 10^8\frac{\text{м}}{\text{с}}=3,67\cdot 10^{-6}\ \text{с}\cdot 0,8\cdot 3\cdot 10^8\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx 880\ \text{м}. $$

Відповідь: 880.

ТЕМА: Механічні коливання і хвилі. Частота й період коливань.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на визначення параметрів коливань частинок хвилі.

Паперовий кораблик на гребені хвилі коливається так само, як і частинки води у хвилі.

Під час коливань за один період тіло повертається в початкове положення. Нехай у початковий момент часу кораблик перебуває в точці максимального відхилення рівноваги. Тоді за чверть періоду кораблик опиниться на рівні спокійної води. А за наступну чверть періоду – у точці максимального відхилення від положення рівноваги з іншого боку від рівня рівноваги, тобто в найнижчому положенні.

Якщо частота коливань \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=2\ \text{Гц}=2\ \text{с}^{-1}\), можна обчислити період коливань: $$ 1)\ T=\frac{1}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}=\frac 12=0,5\ \text{с}. $$

Тоді, оскільки кораблик опиниться в найнижчій точці за половину періоду, можна обчислити цей час: $$ 2)\ t=\frac T2=0,25\ \text{с}. $$

Відповідь: 0,25.

ТЕМА: Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі з використанням законів для рухомих провідників у магнітному полі.

Дано:
\(l=12\ \text{м}\)
\(v=900\ \text{км/год}\)
\(B=50\ \text{мкТл}\)

Знайти:
\(\triangle \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\ -\ ?\)

Два крила літака – це один суцільний провідник, що рухається в магнітному полі. Оскільки рух літака відбувається вздовж магнітного меридіана Землі, то напрямок його швидкості збігається із горизонтальним складником напруженості магнітного поля і перпендикулярний до її вертикального складника.

Під час руху провідника перпендикулярно до ліній напруженості магнітного поля в тому самому напрямку рухаються і всі його вільні електрони. На кожен із цих вільних електронів діє сила Лоренца. За правилом лівої руки, якщо долоню повернути так, щоби чотири пальці показували напрямок, протилежний до напрямку швидкості негативно заряджених частинок, а лінії магнітної індукції входили в долоню, то великий палець лівої руки вкаже напрямок дії сили Лоренца.

У результаті цього вільні електрони змістяться в одне крило, тому крила поляризуються. Тоді для рухомого провідника в магнітному полі можна обчислити електрорушійну силу (ЕРС), що дорівнює різниці потенціалів між двома кінцями провідника: $$ \triangle \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\mathrm{EPC}=Bvl\mathrm{sin}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – кут між швидкістю руху провідника й напрямком ліній магнітної індукції.

Тоді

Відповідь: 0,15.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Основи термодинаміки. Перший закон термодинаміки. Потужність.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на використання першого закону термодинаміки.

Дано:
\(P=2,5\ \text{кВт}\)
\(t=1\ \text{хв}\)
\(\triangle U=80\ \text{кДж}\)

Знайти:
\(\triangle E\ -\ ?\)

Теплову енергію середовища можна розрахувати за першим законом термодинаміки: $$ Q=\triangle U+A, $$ де \(\triangle U\) – зміна внутрішньої енергії середовища, \(A\) – виконана робота.

Під час роботи кондиціонера внутрішні приміщення охолоджуються тому, що тепло виводиться в середовище зовні. Тому зниження внутрішньої енергії в кімнаті на \(\triangle U\) приводить до збільшення енергії середовища на те саме \(\triangle U\).

Виконану роботу можемо обчислити, знаючи потужність кондиціонера, за формулою: \begin{gather*} P=\frac At.\\[6pt] A=Pt=2,5\ \text{кВт}\cdot 1\ \text{хв}=2500\ \text{Вт}\cdot 60\ \text{с}=150000\ \text{Дж}=150\ \text{кДж}. \end{gather*}

Тоді $$ Q=\triangle U+A=80\ \text{кДж}+150\ \text{кДж}=230\ \text{кДж}. $$

Відповідь: 230.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Сила тертя

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комплексні розрахункові задачі на використання принципів рвномірного руху по колу.

Дано:
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}_1=0,72\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}_2=0,18\)

Знайти:
\(\frac{v_1}{v_2}\ -\ ?\)

Можна вважати, що під час повертання машина рухається по ділянці кола (рис. 1).

Рис. 1. Зображення поворотів як елементів кола під час криволінійного руху

Під час такого руху швидкість автомобіля спрямовано по дотичній до кола. Оскільки під час руху по колу швидкість постійно змінює свій напрямок, виникне доцентрове пришвидшення.

Рис. 2. Напрямок пришвидшення і швидкості під час руху по колу

За другим законом Ньютона рівнодійна сил дорівнює добутку маси тіла на пришвидшення, набуте під час взаємодії, тобто $$ \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}. $$

Єдиною силою, що діє на автомобіль у площині напрямку руху є сила тертя, тому другий закон Ньютона в цьому разі можна записати так: $$ \overrightarrow{F_{\text{тер}}}=m\overrightarrow{a_{\text{доц}}}. $$

Силу тертя визначають за формулою $$ \overrightarrow{F_{\text{тер}}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}\overrightarrow{N}, $$ де \(\overrightarrow{N}\) – сила реакції опори.

Її можна визначити, записавши другий закон Ньютона для осі OY. Уздовж цієї осі на машину діє сила тяжіння і сила реакції опори, але рух не відбувається, а отже рівнодійна дорівнює нулю: \begin{gather*} \overrightarrow{F_{\text{тяж}}}+\overrightarrow{N}=0;\\[7pt] F_{\text{тяж}}-N=0;\\[7pt] F_{\text{тяж}}=N=mg. \end{gather*}

Тоді сила тертя дорівнюватиме: $$ F_{\text{тер}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}mg. $$

Сила тертя завжди заважає рухові. Оскільки швидкість автомобіля спрямована з кола, то сила тертя буде спрямована до його центра. Крім сили тертя, можна також обчислити доцентрове пришвидшення, виразивши його за допомогою швидкості руху автомобіля і радіуса повороту: $$ a_{\text{доц}}=\frac{v^2}{R}. $$

Тоді можна перетворити рівняння: \begin{gather*} F_{\text{тер}}=ma_{\text{доц}};\\[7pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}mg=m\frac{v^2}{R}. \end{gather*}

Тож можна виразити швидкість руху: $$ v=\sqrt{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}gR}. $$

Відношення швидкостей до і після зміни коефіцієнта тертя тоді можна записати так: $$ \frac{v_1}{v_2}=\frac{\sqrt{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}_1gR}}{\sqrt{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}_2gR}} =\sqrt{\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}_1}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\mu}_2}}=\sqrt{\frac{0,72}{0,18}} =2. $$

Відповідь: 2.

ТЕМА: Гідростатичний тиск

Завдання скеровано на оцінювання розуміння понять атмосферного й гідростатичного тиску, уміння розв’язувати розрахункові задачі, пов’язані з ними.

Дано:
\(N=101\)
\(g=10\ \text{м/с}^2\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}=1,3\ \text{кг/м}^3\)
\(h_{1\ \text{поверху}}=3\ \text{м}\)

Знайти:
\(\triangle p\ -\ ?\)

Атмосферний тиск – це тиск повітря над рівнем, де його вимірюють. Тому тиск на першому поверсі буде більшим від тиску на 101-му поверсі саме на значення тиску стовпа повітря висотою 100 поверхів. Тиск нерухомого повітряного стовпа – це гідростатичний тиск. Його визначають за формулою: $$ p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh. $$

Тоді висота повітряного стовпа, утвореного 100 поверхами дорівнюватиме: $$ h=(N-1)\cdot h_{1\ \text{поверху}}=100\cdot 3\ \text{м}=300\ \text{м}. $$

І гідростатичний тиск цього повітряного стовпа: $$ \triangle p=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}gh =1,3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot 10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot 300\ \text{м}=3900\ \text{Па}=3,9\ \text{кПа}. $$

Відповідь: 3,9.

ТЕМА: Магнітне поле, електромагнітна індукція. Трансформатор.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння принципів роботи трансформатора й уміння розв’язувати розрахункові задачі відповідного змісту.

Дано:
\(U_1 = 220\ \text{В}\)
\(U_2 = 11000\ \text{В}\)
\(N_{\text{перв}}=40\)

1. Знайти:
\(k\ -\ ?\)

Описаний в умові трансформатор – підвищувальний, отже коефіцієнт трансформації \(k\lt 1\). Його можна обчислити як відношення початкової напруги до кінцевої: $$ k=\frac{U_1}{U_2}=\frac{220\ \text{В}}{11000\ \text{В}}=0,02. $$

Якщо розімкнути іншу обмотку трансформатора, то первинною вважатимуть обмотку з напругою \(11000\ \text{В}\), а вторинною – із напругою \(220\ \text{В}\). У такому разі коефіцієнт трансформації можна обчислити як відношення напруги на первинній обмотці до напруги на вторинній обмотці: $$ k=\frac{U_2}{U_1}=\frac{11000\ \text{В}}{220\ \text{В}}=50 $$

Такий трансформатор знижуватиме напругу, а за умовою напруга має підвищуватися, тому для подальшого розв’язку потрібно використати коефіцієнт трансформації \(k=0,02\).

2. Знайти:
\(N_{\text{втор}}\ -\ ?\)

Також коефіцієнт трансформації можна обчислити як відношення кількості мотків у первинній обмотці до кількості мотків у вторинній: $$ k=\frac{N_{\text{перв}}}{N_{\text{втор}}}. $$

Тоді $$ N_{\text{втор}}=\frac{N_{\text{перв}}}{k}=\frac{40}{0,05}=2000. $$

Відповідь: 1. 0,02 або 50. 2. 2000.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Закон Ома для повного кола.

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати розрахункові задачі на закон Ома для повного кола, а також уміння читати схеми електричного кола.

Дано:
\(r=1\ \text{Ом}\)

1. Знайти:
\(R_{\text{рис. 2}}\ -\ ?\)

Реостат – це елемент кола зі змінним опором. Зазвичай реостат – це довгий провідник, повзунок якого дає змогу включити в коло його частину будь-якої довжини. Чим меншу частину реостата включено в коло, тим менший його опір. Опір провідника можна визначити за його геометричними параметрами: $$ R=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\frac lS, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\) – питомий опір провідника, \(l\) – його довжина, \(S\) – площа його перерізу.

Фізичну будову реостата відображено й у його символі для схематичного зображення електричного кола. Стрілка в позначенні реостата показує, яку саме його частину включено в коло.

За умовою завдання максимальний опір реостата відповідає крайньому правому положенню. За рисунком 1 можна визначити, що довжина провідника в цьому разі становить 6 клітинок. Масштаб рисунка не зазначено, тому можна вважати, що довжина реостата – 6 умовних одиниць довжини (у. о. д.). На рисунку 2 в коло включено половину реостата. Ні питомий опір провідника, ні його поперечний переріз при цьому не відрізняються від ситуації, коли опір максимальний. Лише довжина провідника вдвічі менша, тож можна обчислити опір реостата в положенні на рисунку 2:

2. Знайти:
\(\frac{l_{\text{рис. 2}}}{l_{\text{рис. 1}}}\ -\ ?\)

Аналогічно можна розрахувати опір реостата для положення на рис. 1: \begin{gather*} R_{\text{рис. 2}}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\frac{l_{\text{рис. 1}}}{S}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}\frac{1\ \text{у. о. д.}}{S}=1\ \text{у. о. д.};\\[6pt] 1\ \frac{\text{Ом}}{\text{у. о. д.}}=1\ \text{Ом}. \end{gather*}

За законом Ома для повного кола можна визначити силу струму: $$ I=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{R+r}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\) – електрорушійна сила джерела, \(r\) – внутрішній опір джерела, \(R\) – опір зовнішньої ділянки кола.

Тоді для рисунків 1 і 2: \begin{gather*} I_{\text{рис. 1}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{R_{\text{рис. 1}}+r}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{1\ \text{Ом}+1\ \text{Ом}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{2\ \text{Ом}};\\[6pt] I_{\text{рис. 2}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{R_{\text{рис. 2}}+r}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{3\ \text{Ом}+1\ \text{Ом}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{4\ \text{Ом}};\\[6pt] I_{\text{рис. 2}}/I_{\text{рис. 1}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{4\ \text{Ом}}/\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}}{2\ \text{Ом}}=0,5. \end{gather*}

Відповідь: 1. 3. 2. 0,5.

ТЕМА: Молекулярна фізика й термодинаміка. Рівняння теплового балансу. Робота. Потужність. Коефіцієнт корисної дії (ККД).

Завдання скеровано на оцінювання вміння розв’язувати комплексні розрахункові задачі, що поєднують у собі використання понять роботи, потужності й рівняння теплового балансу.

Дано:
\(P=4,6\ \text{кВт}\)
\(\triangle t=10\ ^\circ\text{С}\)
\(\triangle \tau=10\ \text{хв}\)
\(m=6\ \text{кг}\)
\(c=460\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot \text{К})\)

1. Знайти:
\(Q(\text{кДж})\ -\ ?\)

Виділена під час тертя теплота витрачається на нагрівання верстата, тому можна скористатися рівнянням теплового балансу для її визначення: $$ Q=cm\triangle t=460\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}\cdot 6\ \text{кг}\cdot 10\ ^\circ\text{С}=27600\ \text{Дж}=27,6\ \text{кДж}. $$

2. Знайти:
\(\text{ККД}_{max}(\text{%})\ -\ ?\)

ККД можна визначити як відношення виконаної тепловою машиною роботи \(A\) до отриманої нею енергії \(Q\): $$ \text{ККД}=\frac{A}{Q}\cdot 100\ \text{%}. $$

Кількість енергії, що отримує верстат від двигуна, можна обчислити за його потужністю: $$ P=\frac{Q_{\text{вит}}}{\tau}, $$ де \(Q_{\text{вит}}\) – витрачена верстатом енергія, а \(\tau\) – час роботи верстата.

\begin{gather*} Q_{\text{вит}}=P\tau=4,6\ \text{кВт}\cdot 10\ \text{хв}=4600\ \text{Вт}\cdot 600\ \text{с}=\\[7pt] =2760000\ \text{Дж}=2760\ \text{кДж}. \end{gather*}

На виконання корисної роботи \(A\) піде вся енергія, передана верстату двигуном крім тої, що буде витрачена на нагрівання від тертя, тому: $$ A=Q_{\text{вит}}-Q=2760\ \text{кДж}-27,6\ \text{кДж}=2732,4\ \text{кДж}. $$

Тоді ККД дорівнюватиме: $$ \text{ККД}=\frac{A}{Q_{\text{вит}}}\cdot 100\ \text{%}=\frac{2732,4\ \text{кДж}}{2760\ \text{кДж}}\cdot 100\ \text{%}\approx 99\ \text{%}. $$

Відповідь: 1. 27,6. 2. 99.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці.

Завдання скеровано на оцінювання розуміння понять імпульсу руху, кінетичної енергії й уміння використовувати закони збереження.

Дано:
\(m_{\text{платф}}=20\ \text{т}\)
\(m_{\text{слон}}=5\ \text{т}\)
\(v_{\text{слон після}}=2\ \text{м/с}\)

1. Знайти:
\(v_{\text{платф після}}\ -\ ?\)

За законом збереження імпульсу, коли слон починає рухатися, то платформа також має почати рухатися. Швидкість платформи буде напрямлено в протилежний від швидкості руху слона бік. Адже до початку руху імпульс як платформи, так і самого слона дорівнює нулю, бо нулю дорівнюють їхні швидкості.

Імпульс розраховують за формулою $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}, $$ де \(m\) – це маса тіла, а \(\overrightarrow{v}\) – його швидкість.

Для розрахунку імпульсу платформи необхідно враховувати як її власну масу, так і масу слона на ній, тоді за законом збереження імпульсу \begin{gather*} (m_{\text{платф}}+m_{\text{слон}})\overrightarrow{v}_{\text{платф до}}+m_{\text{слон}}\overrightarrow{v}_{\text{слон до}}=\\[7pt] (m_{\text{платф}}+m_{\text{слон}})\overrightarrow{v}_{\text{платф після}}\overrightarrow{v}_{\text{слон після}}+m_{\text{слон}}\overrightarrow{v}_{\text{слон після}}=0;\\[7pt] (m_{\text{платф}}+m_{\text{слон}})\overrightarrow{v}_{\text{платф після}}=-m_{\text{слон}}\overrightarrow{v}_{\text{слон після}}. \end{gather*}

Після проєктування попереднього рівняння на напрямок руху слона можна скласти такі вирази: \begin{gather*} (m_{\text{платф}}+m_{\text{слон}})v_{\text{платф після}}=m_{\text{слон}}v_{\text{слон після}};\\[6pt] v_{\text{платф після}}=\frac{m_{\text{слон}}v_{\text{слон після}}}{(m_{\text{платф}}+m_{\text{слон}})}=\frac{5\ \text{т}\cdot 2\ \text{м/с}}{25\ \text{т}}=0,4\ \text{м/с}. \end{gather*}

2. Знайти:
\(E_{\text{кін плат}}\ -\ ?\)

Кінетичну енергію можна обчислити за виразом: $$ E_{\text{кін}}=\frac{mv^2}{2}. $$

Кінетична енергія платформи залежить тільки від її власної маси і швидкості, якої вона набула після того як слон почав рухатися: \begin{gather*} E_{\text{кін плат}}=\frac{mv^2}{2}=\frac{20\ \text{т}\cdot (0,4\ \text{м/с})^2}{2}=\\[6pt] =\frac{20000\ \text{кг}\cdot (0,4\ \text{м/с})^2}{2}=1600\ \text{Дж}=1,6\ \text{кДж}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 0,4. 2. 1,6.