Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний рух по колу. Лінійна і кутова швидкості.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик рівномірного руху по колу.

За періодом \(T\) обертання та радіусом \(R\) колової траєкторії легко визначити лінійну швидкість \(v\) рівномірного руху тіла по колу. Дійсно, за час \(t\) одного оберту \((t=T)\) тіло долає відстань, що дорівнює довжині кола \(l\): $$ l=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R. $$

Оскільки \(v=\frac lt,\) маємо: $$ v=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{T}. $$

Запишімо відповідні формули для визначення лінійних швидкостей стрілок годинника:

\begin{gather*} v_\text{хв}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R_\text{хв}}{T_\text{хв}},\\[6pt] v_\text{год}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R_\text{год}}{T_\text{год}}. \end{gather*}

За умовою хвилинна стрілка вдвічі довша за годинну. Оскільки йдеться про рух кінців цих стрілок, то довжини стрілок – це радіуси обертання кінців стрілок – хвилинної \(R_\text{хв}\) і годинної \(R_\text{год}:\) $$ R_\text{хв}=2R_\text{год}. $$

Тоді період обертання хвилинної стрілки становитиме \(1\) годину: $$ T_\text{хв}=60\ \text{хв}=1\ \text{год}. $$

А період обертання годинної стрілки – \(12\) годин: $$ T_\text{год}=12\ \text{год}. $$

Запишімо відношення лінійних швидкостей стрілок годинника і обчислімо його:

\begin{gather*} \frac{v_\text{хв}}{v_\text{год}}=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R_\text{хв}\cdot T_\text{год}}{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R_\text{год}\cdot T_\text{хв}}=\frac{R_\text{хв}\cdot T_\text{год}}{R_\text{год}\cdot T_\text{хв}},\\[6pt] \frac{v_\text{хв}}{v_\text{год}}=\frac{2R_\text{год}\cdot 12\ \text{год}}{R_\text{год}\cdot 1\ \text{год}}=24. \end{gather*}

Отже, лінійна швидкість хвилинної стрілки \(v_\text{хв}\) більша за лінійну швидкість годинної стрілки \(v_\text{год}\) у \(24\) рази.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу у рівномірному і рівноприскореному рухах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Проаналізуймо всі ділянки й точки графіка залежності проєкції швидкості прямолінійного руху тіла від часу.

У точці А тіло має певну початкову швидкість, відмінну від нуля, а далі продовжує рухатися прямолінійно рівноприскорено (ділянка АБ).

Від моменту часу, що відповідає точці Б, тіло сповільнює свій рух (ділянка БB), потім зупиняється (точка B).

Після зупинки в точці В тіло набирає швидкість, рухаючись у протилежному напрямку (ділянка BГ).

Продовжуючи рух з моменту часу, що відповідає точці Г, тіло рухається зі сталою швидкістю – прямолінійний рівномірний рух.

Отже, зміна напрямку руху відбувається в момент часу, що відповідає точці В.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Кванти світла (фотони).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння імпульсу тіла та імпульсу фотона.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) ‒ це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Отже, в проєкціях на вісь \(Ox\) імпульс електрона \(p_e\) дорівнюватиме: $$ p_e=mv. $$

Імпульс фотона \(p_\text{ф}\) дорівнює відношенню його енергії \(E\) до швидкості руху \(c\) та обернено пропорційний довжині хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) фотона: $$ p_\text{ф}=\frac Ec=\frac{h\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}{c}=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}. $$

За умовою імпульс електрона дорівнює імпульсу фотона: $$ mv=\frac{h}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}. $$

З цієї рівності виразімо й обчислімо шукану величину ‒ швидкість руху електрона:

Відповідь: 1,1.

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Нитяний маятник, період коливань нитяного маятника.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формули для періоду математичного маятника і вміння її застосовувати.

Фізична величина довжина \(l\) математичного маятника входить у формулу періоду \(T\) коливань математичного маятника: $$ T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(g=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2\) ‒ прискорення вільного падіння.

Виразімо \(l\) з формули. Для цього піднесемо ліву і праву частину рівності до квадрату: \begin{gather*} T^2=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2\cdot \frac lg,\\[6pt] l=\frac{T^2\cdot g}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2}. \end{gather*}

Період \(T\) визначмо з наведеного в умові завдання графіка. Через певний інтервал часу коливання маятника повторюватимуться (точки графіка «рухатимуться» синхронно): $$ T=5\ \text{c}. $$

Обчислімо довжину маятника:

Відповідь: 6,25.

Пояснення

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Власна частота і період електромагнітних коливань. Формула Томсона. Електричний резонанс.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння власної частоти, періоду коливань коливального контуру і поняття електричного резонансу.

Електромагнітні хвилі, досягши приймальної антени, збуджують у ній коливання тієї самої частоти, що й частота хвиль.

Частота зовнішньої хвилі \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_\text{хв}\) дорівнює: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_\text{хв}=\frac{c}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}\) ‒ довжина хвилі, \(c=3\cdot 10^8\ \text{м/с}\) ‒ швидкість поширення електромагнітної хвилі.

Але в антену надходять коливання від різних радіостанцій, і кожна радіостанція працює на своїй частоті. Щоб із безлічі коливань виділити коливання потрібної частоти, використовують електричний резонанс. Для цього індуктивно з антеною пов’язують коливальний контур (див. рисунок). Змінюючи електроємність конденсатора (настроюючи радіоприймач), змінюють власну частоту \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_\text{к}\) коливань контуру ‒ величину, обернену до періоду \(T\) коливань, що визначається за формулою Томсона: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_\text{к}=\frac 1T=\frac{1}{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки, \(C\) ‒ електроємність конденсатора.

Коли власна частота коливань коливального контуру збігається із частотою електромагнітної хвилі, на яку настроєно радіоприймач, настає резонанс: амплітуда вимушених коливань сили струму в контурі різко збільшується. Отже, з безлічі сигналів, що збуджують коливання в приймальній антені, виділений один високочастотний модульований сигнал.

Прирівняємо вирази для частоти: \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_\text{хв}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_\text{к},\\[6pt] \frac{c}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\lambda}}=\frac 1T=\frac{1}{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}}. \end{gather*}

Виразімо й обчислімо шукану величину ‒ електроємність конденсатора:

Відповідь: 2.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Закони електролізу.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів Фарадея для електролізу і вміння їх застосовувати.

Запишімо закони Фарадея для електролізу.

1. Маса \(m\) речовини, яка виділяється на електроді під час електролізу, прямо пропорційна силі струму \(I\) та часу \(t\) його проходження крізь електроліт: \begin{gather*} m=kIt,\\[7pt] \text{або}\ \ m=kq, \end{gather*} де \(q\) ‒ заряд, що пройшов через електроліт; \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності, який називають електрохімічний еквівалент.

2. Електрохімічний еквівалент \(k\) прямо пропорційний відношенню молярної маси \(M\) елемента (тут – Гідрогену \(\mathrm{H^+}\)) до валентності \(n=1\) елемента в цій хімічній сполуці: $$ k=\frac 1F\cdot \frac Mn, $$ де \(F\) ‒ стала Фарадея, яка визначається як добуток модуля заряду електрона на сталу Авогадро: $$ F=|e|N_A. $$

Тобто стала Фарадея дорівнює модулю заряду електронів кількістю \(1\ \text{моль}.\)

Підставімо вирази для \(F,\) а потім для \(k\) у перший закон Фарадея: $$ m=kq=\frac{qM}{|e|N_An}. $$

Звідси $$ q=\frac{m|e|N_an}{M}. $$

Вираз $$ \frac mM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}, $$ де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) - кількість речовини (моль) Гідрогену (атомарного водню).

Тобто $$ q=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}|e|N_An. $$

За умовою електролізом добули молекулярний водень. Його хімічна формула \(\mathrm{H_2}.\)

Кількість речовини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_M\) молекулярного водню можна визначити з формули $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_M=\frac{V}{V_M}, $$ де \(V\) ‒ об’єм водню, отриманий в результаті електролізу, \(V_M=22,4\ \text{л/моль}\) ‒ молярний об’єм (об’єм, який займає речовина кількістю \(1\ \text{моль},\) тобто молекулярного водню).

Атомів Гідрогену вдвічі більше, ніж молекул водню, тому і кількість речовини атомарного водню вдвічі більша за кількість речовини молекулярного водню: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_M. $$

Підставімо вираз для кількості речовини атомарного водню у формулу для визначення заряду й обчислімо його:

Є ще один спосіб визначити кількість речовини за допомогою рівняння стану газу ‒ рівняння Менделєєва ‒ Клапейрона:

\begin{gather*} pV=\frac mM RT=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_MRT,\\[6pt] \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}_M=\frac{pV}{RT}. \end{gather*}

В умові зазначено, що водень добуто за нормальних умов (н. у.). Нормальні умови у фізиці ‒ це: тиск \(p=10^5\ \text{Па},\) температура \(t=0\ ^\circ\mathrm{C}\ (273\ \text{К}).\) Універсальна газова стала \(R=8,3\ \text{Дж/(моль}\cdot \text{К)}.\) Об’єм \(V=11,2\ \text{л}=11,2\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.\) Отже,

Як бачимо, використавши цей спосіб, маємо приблизно те саме значення для кількості речовини молекулярного водню.

Обчислення в першому способі були без наближень і їх можна виконати без калькулятора. Також, в умові не зазначено, які точно числові дані брати для фізичних величин, що визначають нормальні умови, і для констант. Зваживши на це, зупинімося на відповіді, отриманій першим способом ‒ \(96\ \text{кКл}.\)

Відповідь: 96.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Напруженість електричного поля. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Сила Лоренца.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння руху зарядженої частинки в електромагнітному полі і вміння застосувати відповідні формули.

На частинку, яка має заряд \(q\) і рухається в електромагнітному полі зі швидкістю \(\overrightarrow{v},\) діє зведена сила Лоренца \(\overrightarrow{F},\) яку можна визначити за формулою: \begin{gather*} \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_\text{ел}+\overrightarrow{F}_\text{Л}, \end{gather*} де \(\overrightarrow{F}_\text{ел}=q\overrightarrow{E}\) ‒ електричний складник зведеної сили Лоренца; \(F_\text{Л}=|q|Bv\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) ‒ магнітний складник зведеної сили Лоренца.

За умовою електрон рухається прямолінійно рівномірно. Це відбудеться у разі, коли сили, що діють на частинку, будуть скомпенсовані (\(F=0,\) відповідно прискорення \(a=0\)): $$ \overrightarrow{F}_\text{ел}=-\overrightarrow{F}_\text{Л}. $$

Зобразімо електрон і позначмо сили, що діють на нього.

Тепер впевнімося, що електричне і магнітне поля дійсно взаємно перпендикулярні. Поля характеризує вектор напруженості \(\overrightarrow{E}\) і вектор магнітної індукції \(\overrightarrow{B}\) відповідно. З’ясуймо, як вони напрямлені.

Якщо ми зобразили вектор сили Лоренца \(\overrightarrow{F}_\text{Л}\) вертикально вниз, то за правилом лівої руки великий палець, відігнутий на \(90^\circ,\) напрямлений вертикально вниз, чотири пальці ‒ ліворуч (протилежно до напрямку руху негативно зарядженої частинки), отже, долоня буде розміщена у площині рисунка до вас. Тоді лінії магнітної індукції входитимуть у долоню, тобто перпендикулярно до площини рисунка від вас (на рисунку позначено хрестиком ×).

Сила \(\overrightarrow{F}_\text{ел},\) з якою діє електричне поле на електрон, напрямлена вгору, протилежно до сили \(\overrightarrow{F}_\text{Л}\) магнітного поля. За напрямок вектора напруженості \(\overrightarrow{E}\) в точці електричного поля беруть напрямок сили, яка діяла б на пробний позитивний заряд, якби він був поміщений у цю точку поля. В умові йдеться про негативно заряджену частинку ‒ електрон, тому вектор напруженості буде напрямлений протилежно до напрямку сили:

Отже, вектори полів дійсно взаємно перпендикулярні: $$ \overrightarrow{B}\perp \overrightarrow{E}. $$

Повернімося до рівності сил: \begin{gather*} F_\text{ел}=F_\text{Л},\\[7pt] qE=|q|Bv\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}, \end{gather*} де \(q\) ‒ заряд електрона, \(\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\sin 90^\circ=1\) ‒ синус кута між вектором швидкості руху електрона і вектором магнітної індукції.

Виразімо й обчислімо шукану величину ‒ швидкість руху електрона:

Відповідь: 1000.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Паралельне і послідовне з’єднання провідників.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння послідовного і паралельного з’єднання провідників і відповідно змінювання фізичних величин, які характеризують електричний струм під час цих з’єднань.

У разі застосування шунта струм \(I\) у колі розділяється на дві частини: одна частина йде на амперметр \(I_\text{A},\) друга ‒ на шунт \(I_\text{ш}:\) $$ I=I_\text{A}+I_\text{ш}. $$

Дізнаймося, який шунт треба приєднати паралельно амперметру, щоб збільшити верхню межу вимірювання амперметра в \(n\) разів: $$ I=nI_\text{A}. $$

Оскільки $$ I=I_\text{A}+I_\text{ш}, $$ то \begin{gather*} nI_\text{A}=I_\text{A}+I_\text{ш},\\[6pt] \text{або}\ I_\text{ш}=I_\text{A}(n-1). \end{gather*}

Напруга на шунті й амперметрі однакова, тому відповідно до закону Ома маємо:

\begin{gather*} I_\text{ш}=\frac{U}{R_\text{ш}},\\[6pt] I_\text{A}(n-1)=\frac{U}{R_\text{A}}(n-1),\\[6pt] \frac{U}{R_\text{ш}}=\frac{U}{R_\text{A}}(n-1)\\[6pt] \frac{1}{R_\text{ш}}=\frac{1}{R_\text{A}}(n-1). \end{gather*}

Отже, необхідний опір шунта визначаємо за формулою: $$ R_\text{ш}=\frac{R_\text{A}}{n-1}. $$

Визначмо, у скільки разів може збільшитися верхня межа вимірювання сили струму, якщо

Обчислімо опір шунта:

Відповідь: 101.

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти. Закон збереження енергії в теплових процесах (перший закон термодинаміки).

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння першого закону термодинаміки і вміння його застосовувати до різних процесів.

Загальна кількість теплоти \(Q,\) отримана газом у процесах \(1‒2‒3,\) дорівнюватиме: $$ Q=Q_{1-2}+Q_{2-3}. $$

Визначимо кількість теплоти окремо для кожного процесу.

Згідно з першим законом термодинаміки кількість теплоти \(Q,\) передана системі, йде на зміну внутрішньої енергії системи \(\Delta U\) та на виконання системою роботи \(A\) проти зовнішніх сил: \begin{gather*} Q=\Delta U + A. \end{gather*}

Розгляньмо процес 1‒2. Графік цього процесу не відповідає жодному з графіків ізопроцесів, які можуть відбуватися з ідеальним газом. Під час цього процесу зростають об’єм, тиск і температура. Запишімо перший закон термодинаміки для процесу 1‒2:

\begin{gather*} Q_{1-2}=\Delta U_{1-2}+A_{1-2},\\[6pt] \Delta U_{1-2}=\frac 32\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}R\Delta T=\frac 32\Delta(pV) \end{gather*}

відповідно до рівняння стану газу Менделєєва – Клапейрона \(pV=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}RT,\) де \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) - кількість речовини, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(T\) ‒ абсолютна температура, \(p\) ‒ тиск, \(V\) ‒ об’єм.

Робота \(A_{1-2}\) дорівнює площі фігури під графіком залежності \(p(V),\)тобто площі прямокутної трапеції з основами \(p_0\) і \(4p_0,\) висотою \(2V_0:\) $$ A_{1-2}=\frac{p_0+4p_0}{2}\cdot 2V_0=5p_0V_0. $$

Визначмо \(Q_{1‒2}:\)

$$ Q_{1-2}=16,5p_0V_0+5p_0V_0=21,5p_0V_0. $$

Розгляньмо процес 2‒3. З рисунка видно, що об’єм залишається сталим \((V_0).\) Цей графік відповідає ізохорному процесу.

Під час цього процесу об’єм газу не змінюється: $$ \Delta V=0, $$ газ роботу не виконує: $$ A_{2-3}=0, $$ тому рівняння першого закону термодинаміки має вигляд $$ Q_{2-3}=\Delta U_{2-3}. $$

Під час ізохорного процесу вся передана газу кількість теплоти витрачається на збільшення внутрішньої енергії газу. Якщо газ ідеальний одноатомний як в умові, то кількість теплоти, передана газу, дорівнює:

Значення кількості теплоти в процесі 2‒3 від’ємне. Це означає, що газ під час цього процесу віддав певну кількість теплоти.

Визначмо, на скільки збільшиться кількість теплоти \(Q\) газу внаслідок обох процесів:

Але в завданні питають, яку кількість теплоти газ отримав. Отримання відбувалося лише під час процесу 1‒2:

У цьому завданні обидві відповіді зараховані як правильні.

Відповідь: 1,6 і 4,3.

Пояснення

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість повітря та її вимірювання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння абсолютної і відносної вологості, і вміння обчислювати величини, які визначають поняття вологості.

Відносна вологість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) ‒ фізична величина, яка показує, наскільки водяна пара близька до насичення, і дорівнює поданому у відсотках відношенню абсолютної вологості \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{a}\) до густини насиченої водяної пари \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п}\) за даної температури: \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{a}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п}}\cdot 100\ \text{%}. \end{gather*}

Абсолютна вологість \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{a}\) ‒ фізична величина, яка характеризує вміст водяної пари в повітрі та чисельно дорівнює масі \(m_{Н_2О}\) водяної пари, що міститься в об’ємі \(V=1\ \text{м}^3\) повітря: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{a}=\frac{m_{\mathrm{H_2O}}}{V}. $$

Зробимо підстановку виразу для абсолютної вологості у формулу для відносної вологості:

\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{m_{\mathrm{H_2O}}}{V\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п}}\cdot 100\ \text{%},\\[6pt] m_{\mathrm{H_2O}}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\cdot V\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}_\text{н.п}}{100\ \text{%}}. \end{gather*}

Обчислімо масу водяної пари в повітрі кімнати:

Відповідь: 600.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Потужність.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння механічної роботи і потужності і вміння їх визначати за заданих умов.

1. Роботу \(A\) сили тяжіння (як і роботу сили пружності) визначають за формулою: $$ A=-(E_{p0}-E_p)=-\Delta E_p. $$

Це математичний запис теореми про потенціальну енергію: робота всіх консервативних сил (що не залежать від траєкторії руху тіла), які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії \(\Delta E_p\) тіла, взятій із протилежним знаком.

Потенціальна енергія піднятого тіла залежить від висоти, на якій перебуває тіло, тобто залежить від вибору нульового рівня, ‒ рівня, від якого буде відлічуватися висота. Нульовий рівень вибирають з міркувань зручності. А зміна потенціальної енергії, а отже, і робота сили тяжіння від вибору нульового рівня не залежать.

Отже, за нульовий рівень візьмемо підніжжя гори, де потенціальна енергія \(E_{p0}\) дорівнюватиме $$ E_{p0}=Mgh_0, $$ де \(M=m_1N\) ‒ маса лижників кількістю \(N\) середньої маси \(m_1\) кожний, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(h_0=0\) ‒ початкова висота, яка співпадає з нульовим рівнем.

Потенціальна енергія \(E_p\) на висоті \(h=2\ \text{км}=2000\ \text{м}\) дорівнюватиме $$ E_p=Mgh. $$

Визначимо корисну роботу, яку виконує підйомник:

Відповідь: 63.

2. Потужність \(P\) (або \(N\)) ‒ це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи й дорівнює відношенню роботи \(A\) до інтервалу часу \(t,\) за який цю роботу виконано: $$ P=\frac At. $$

Обчислимо потужність двигуна підйомника:

Відповідь: 52,5.

Відповідь: 1. 63. 2. 52,5.

Пояснення

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівноприскореного руху і вміння застосовувати кінематичні рівняння для його описання.

1. Кінематичне рівняння, що описує прямолінійний рівноприскорений рух, \(x=-8+8t-2t^2\) має загальний вигляд $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, $$ де \(x\) ‒ кінцева координата для відповідного часу спостереження, \(x_0\) ‒ початкова координата; \(v_0\) ‒ проєкція початкової швидкості руху тіла; \(t\) ‒ час спостереження руху, \(a\) ‒ проєкція прискорення руху тіла.

Початкова координата тіла дорівнювала $$ x_0=-8\ \text{м}. $$

Визначмо, через скільки секунд тіло опиниться в початку координат ‒ \(x=0:\)

\begin{gather*} x=-8+8t-2t^2,\\[7pt] 0=-8+8t-2t^2,\\[7pt] 2t^2-8t+8=0,\\[7pt] t^2-4t+4=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта для зведеного рівняння (коефіцієнт біля \(t^2\) дорівнює \(1\)) визначмо корені рівняння: $$ \left\{ \begin{array}{l} t_1\cdot t_2=4,\\ t_1+t_2=4, \end{array} \right. $$ звідси $$ t_1=t_2=2. $$

Отже, через \(2\ \text{с}\) від початку відліку часу тіло опиниться в початку координат.

Відповідь: 2.

2. Рівняння проєкції швидкості для прямолінійного рівноприскореного руху має вигляд \begin{gather*} v=v_0+at. \end{gather*}

З рівняння $$ x=-8+8t-2t^2, $$ що дане в умові, можемо визначити потрібні для обчислення швидкості руху значення:
‒ початкової швидкості $$ v_0=8\ \text{м/с}, $$ ‒ прискорення $$ a=-4\ \text{м/с}^2 $$ (знак мінус означає, що тіло сповільнює свій рух, гальмує).

Час, через який тіло опиниться в початку координат, ми визначили, відповідаючи на перше питання: $$ t=2\ \text{с}. $$

Обчислімо значення швидкості руху тіла під час проходження точки з координатою \(x=0\) ‒ початку координат:

Отже, в початку координат тіло зупиниться.

Відповідь: 0.

Відповідь: 1. 2. 2. 0.

Пояснення

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Ядерні реакції.

Завдання скеровано на перевірку вміння складати рівняння ядерних реакцій.

Ядерною реакцією називають взаємодію ядер або елементарних частинок із ядром, яка відбувається з утворенням частинок, відмінних від початкових.

Під час ядерних реакцій, як і під час будь-яких явищ, що відбуваються у Всесвіті, справджуються закони збереження: закон збереження електричного заряду, закон збереження імпульсу, закон збереження енергії-маси.

1. Запишімо рівняння ядерної реакції відповідно до умови завдання: $$ \mathrm{^{22}_{11}Na\rightarrow ^{22}_{10}Ne+}^{A}_{Z}\mathrm{X}+^0_0\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}, $$ де \(\mathrm{X}\) ‒ невідома частинка, що утворилася внаслідок реакції, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}\) ‒ нейтрино.

У лівій і правій частинах рівняння реакції суми зарядів, як і суми мас, мають збігатися. Із відповідних рівнянь дістанемо зарядове (протонне) \(Z\) та масове (нуклонне) \(A\) числа невідомого ядра елемента \(\mathrm{X}.\)

Запишімо суму мас і суму зарядів для обох частин рівняння реакції:

\begin{gather*} 22=22+A+0,\\[7pt] 11=10+Z+0. \end{gather*}

З одержаних рівнянь маємо: $$ A=0,\ \ Z=1. $$

Невідома частинка в рівнянні – позитрон \(^0_1p,\) античастинка електрона (Б).

2. Наступне рівняння $$ \mathrm{^{11}_{\ \ 3}Li\rightarrow ^{11}_{\ \ 4}Be+}^{A}_{Z}\mathrm{X}+^0_0\overline{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}, $$ де \(\overline{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\nu}}\) ‒ антинейтрино.

Запишімо суму мас і суму зарядів для обох частин рівняння реакції:

\begin{gather*} 11=11+A+0,\\[7pt] 3=4+Z+0. \end{gather*}

З одержаних рівнянь маємо: $$ A=0,\ \ Z=-1. $$

Невідома частинка в рівнянні – електрон \(^{\ \ \ 0}_{-1}e\) (А).

3. Наступне рівняння $$ \mathrm{^{53}_{27}Co\rightarrow ^{52}_{26}Fe+}^{A}_{Z}\mathrm{X}. $$

Запишімо суму мас і суму зарядів для обох частин рівняння реакції:

\begin{gather*} 53=52+A,\\[7pt] 27=26+Z. \end{gather*}

З одержаних рівнянь маємо: $$ A=1,\ \ Z=1. $$

Невідома частинка в рівнянні – протон \(^1_{1}p\) (B).

4. Наступне рівняння $$ \mathrm{^{5}_{2}He\rightarrow ^{4}_{2}He+}^{A}_{Z}\mathrm{X}. $$

Запишімо суму мас і суму зарядів для обох частин рівняння реакції:

\begin{gather*} 5=4+A,\\[7pt] 2=2+Z. \end{gather*}

З одержаних рівнянь маємо: $$ A=1,\ \ Z=0. $$

Невідома частинка в рівнянні – нейтрон \(^1_{0}n\) (Г).

Відповідь: 1Б, 2А, 3В, 4Г.

Пояснення

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння основних фізичних величин електростатики.

1. Потенціал \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}\) електростатичного поля в даній точці − це скалярна фізична величина, яка характеризує енергетичні властивості поля і дорівнює відношенню потенціальної енергії \(W_\text{п}\) електричного заряду, поміщеного в певну точку поля, до значення \(q\) цього заряду: $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}=\frac{W_\text{п}}{q}. $$

Варіант відповіді – Г.

2. Напруженість електричного поля \(\overrightarrow{E}\) в даній точці − векторна фізична величина, яка характеризує електричне поле й дорівнює відношенню сили \(\overrightarrow{F},\) з якою електричне поле діє на пробний заряд, поміщений у цю точку поля, до значення \(q\) цього заряду: $$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q}. $$

Варіант відповіді – А.

3. Електроємність – це характеристика конденсатора, яку визначають як відношення заряду \(q\) конденсатора до різниці потенціалів між його обкладками \((\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_1-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_2),\) що дорівнює напрузі \(U:\) $$ C=\frac{q}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_1-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}_2},\ \text{або}\ C=\frac qU. $$

Варіант відповіді – Д.

4. Густина енергії − енергія речовини або поля віднесена до одиниці об’єму. Густину енергії електричного поля визначмо за формулою $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\omega}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varepsilon}_0E^2}{2}. $$

Варіант відповіді – Б.

Відповідь: 1Г, 2А, 3Д, 4Б.